文档内容
3.2 双曲线
【划重点】
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及其求法
2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．
3．掌握双曲线的简单几何性质.
4．理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
5．会判断直线与双曲线的位置关系．
【知识梳理】
知识点一 双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点F，F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|FF|)的点的轨迹．
1 2 1 2
2．定义的集合表示：{M|||MF |－|MF ||＝2a，0<2a<|FF|}．
1 2 1 2
3．焦点：两个定点F，F.
1 2
4．焦距：两焦点间的距离，表示为|FF|.
1 2
知识点二 双曲线的标准方程与性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
性质 顶点坐标 A(－a，0)，A(a，0) A(0，－a)，A(0，a)
1 2 1 2
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
知识点三 等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为.知识点四 直线与双曲线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；
Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点．
知识点五 弦长公式
若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x，y)，B(x，y)两点，则|AB|＝.
1 1 2 2
【例题详解】
一、双曲线的定义及其应用
例1 (1)已知 ， ，动点P满足 （a为常数），则下列说法中错误的是
（ ）
A． 时，点P的轨迹是y轴
B． 时，点P的轨迹是一条直线
C． 或 时，点P的轨迹不存在
D． 时，点P的轨迹是双曲线
【答案】B
【分析】根据双曲线定义，依次判断每个选项， 时， ，点P的轨迹是两条射线，
错误，其他选项正确，得到答案.
【详解】对选项A： 时， ，点P的轨迹是y轴，正确；
对选项B： 时， ，点P的轨迹是两条射线，错误；
对选项C：当 时， 不成立；当 时， 不成立，点P的轨迹不
存在，正确；对选项D： 时，根据双曲线定义知，点P的轨迹是双曲线，正确.
故选：B
(2)平面内到两个定点 的距离之差的绝对值等于 的点的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线
【答案】B
【分析】直接分析即可得结果.
【详解】如图：
设动点为 ， 到两个定点 的距离之差的绝对值为 ，
则若 在线段 （不包含两端点）上，有 ；
若 在直线 外，有 ；
若 在线段 的延长线上或线段 的反向延长线上（均包含两端点），
则有 .
故选：B
(3)双曲线 上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（ ）
A．1或21 B．14或36 C．2 D．21
【答案】D
【分析】利用双曲线定义得到 ，求出 或 ，舍去不合要求的情况，得到答
案.
【详解】设双曲线的左右焦点分别为 ，不妨设 ，
根据双曲线的定义知| ，所以 或 ，
而 ， ，
双曲线右支上一点 ， ，则 ，则点 到右焦点 的距离为
，
当 时， 取得最小值，最小值为2，
故 不成立，舍去， 满足要求，
所以点P到另一个焦点的距离为21，
故选：D
跟踪训练1 (1)在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，动点Р满足 ，则动
点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．抛物线
C．双曲线 D．双曲线的一支
【答案】D
【分析】由双曲线的定义可得答案.
【详解】因为 ， ，所以 ，若动点Р满足 ，则动点P的
轨迹是以 、 为焦点的双曲线.
而题目中动点Р只满足 ，有 ，所以动点P的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的
右支.
故选：D
(2)已知双曲线 上一点 到双曲线的一个焦点的距离为3，则 到另一个焦点的距离为 ．
【答案】9
【分析】求出双曲线的a,b,c，讨论P在左支和右支上，运用双曲线的定义，得到所求距离．
【详解】双曲线 中， ， ，
设双曲线的左右焦点为 ，可设 ，若P在双曲线左支上，则 ；若P在双曲线右支上，则有 ，
所以 在双曲线左支上，因为 ，
所以 到另一个焦点的距离为9．
故答案为：9
二、双曲线的简单几何性质
例2 (1)（多选）关于双曲线 与双曲线 ，下列说法不正确的是（ ）
A．实轴长相等 B．离心率相等
C．焦距相等 D．焦点到渐近线的距离相等
【答案】ABD
【分析】利用双曲线的性质对每个选项逐个判断即可
【详解】双曲线 中，实轴长为 ，虚轴长为 ，焦距长为 ，右
焦点为 ，
所以离心率 ，渐近线方程为 ，不妨取 即 ，
所以焦点到渐近线的距离为 ，
双曲线 中实轴长为 ，虚轴长为 ，焦距长为 ，
右焦点为 ，
所以离心率 ，渐近线方程为 ，不妨取 即
，所以焦点到渐近线的距离为 ，
综上，两条双曲线只有焦距相等，
故选：ABD
(2)求下列双曲线的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率及渐近线方程：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
【分析】将双曲线方程化为标准方程，确定焦点所在位置，求出 ，即可求出实轴长、虚轴长、顶点
坐标、焦点坐标、离心率及渐近线方程.
【详解】①解：将双曲线 化为标准方程 ，
则焦点在 轴上，且 ，
即 ，
所以实轴长为 ，
虚轴长为 ，
顶点坐标为 ，
焦点坐标为 ，
离心率为 ，
渐近线方程为 ；
②解：将双曲线 化为标准方程 ，则焦点在 轴上，且 ，
即 ，
所以实轴长为 ，
虚轴长为 ，
顶点坐标为 ，
焦点坐标为 ，
离心率为 ，
渐近线方程为 ；
③解：将双曲线 化为标准方程 ，
则焦点在 轴上，且 ，
即 ，
所以实轴长为 ，
虚轴长为 ，
顶点坐标为 ，
焦点坐标为 ，
离心率为 ，
渐近线方程为 ；
④解：由双曲线 ，
得焦点在 轴上，且 ，
即 ，
所以实轴长为 ，
虚轴长为 ，顶点坐标为 ，
焦点坐标为 ，
离心率为 ，
渐近线方程为 ；
跟踪训练2 (1)（多选）已知双曲线C： ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2
B．若（4，0）是双曲线C的一个焦点，则m=6
C．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m=2
D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为m
【答案】BC
【分析】直接根据双曲线的性质逐一判断即可.
【详解】双曲线C： 1中实轴长为4，故A错误；
由于（4，0）是双曲线C的一个焦点，即 ，所以 ，解得 ，故B正确；
双曲线C： 的渐近线为 ，所以 ，得 ，故C正确；
双曲线C的焦点到渐近线的距离为 ，故D错误；
故选：BC.
(2)求双曲线 的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程．
【答案】（2）实轴长为 ，虚轴长为 ，焦点坐标为 ，渐近线方程为 .
【分析】（2）将双曲线方程化为标准方程，求出 ，即可得出答案.【详解】（2）由双曲线 ，得 ，
则焦点在 轴上， ，
所以实轴长为 ，虚轴长为 ，焦点坐标为 ，渐近线方程为 .
三、求双曲线的标准方程
例3 (1)以直线 为渐近线，一个焦点坐标为 的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据焦点坐标可知双曲线的焦点在 轴上，根据渐近线方程可设双曲线方程为 ，
再根据焦点坐标可得答案.
【详解】因为一个焦点坐标为 ，所以双曲线的焦点在 轴上，
因为渐近线方程为 ，
所以可设双曲线方程为 ，即 ，
故 ，解得 ，所以双曲线的方程为 .
故选：D.(2)在双曲线中，虚轴长为6，且双曲线与椭圆 有公共焦点，则双曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将椭圆方程化成标准方程求出其焦点坐标，再根据双曲线虚轴长度为6，即可求得双曲线的标准
方程.
【详解】椭圆 的标准方程为 ；
易得椭圆焦点坐标为 ，
又因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以双曲线的焦点在 轴上，且 ，
由双曲线虚轴长为6可知 ，所以 ；
所以，双曲线的标准方程为 .
故选：B.
(3)根据下列条件，求双曲线的标准方程：
①以椭圆 短轴的两个端点为焦点，且过点 ；②经过点 和 ．
【答案】① ；②
【分析】①根据题意首先确定其焦点坐标为 ，设出标准方程将 带入即可求得结果；
②设双曲线方程的一般形式为 ，将 两点代入解方程即可求得其标准方程为
.
【详解】①易知椭圆 短轴的两个端点坐标为 ；
所以双曲线焦点在 轴上，
可设双曲线的标准方程为 ，且 ，
点 在双曲线上，即 ，解得 ；
所以双曲线的标准方程为 .
②设双曲线方程为 ，
将 两点代入可得 ，解得 ；
所以双曲线的标准方程为 .
跟踪训练3 (1)顶点距离为6，渐近线方程是 的双曲线方程是（ ）
A． 或 B． 或
C． D．【答案】A
【分析】当焦点在 轴上时，设双曲线的方程为 1，列出方程组求得 ；当焦点在 轴
上时，设双曲线的方程为 1，列出方程组求得 ，即可求解.
【详解】解：当双曲线的焦点在 轴上时，设双曲线的方程为 1，
因为顶点间的距离为 ，渐近线方程为 ，
可得 ，解得 ，所以双曲线的方程为 ；
当双曲线的焦点在 轴上时，设双曲线的方程为 1，
因为顶点间的距离为 ，渐近线方程为 ，
可得 ，解得 ，所以双曲线的方程为 .
故选：A.
(2)已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，且与椭圆 有相等的焦距，则C的方
程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程、椭圆的半焦距，再列式求出 作答.
【详解】由椭圆 得其半焦距为 ，依题意， ，
双曲线 的渐近线方程为 ，于是 ，即 ，
由 ，解得 ，
所以双曲线C的方程为 .
故选：A
四、与双曲线有关的轨迹问题
例4 (1)若动点 满足关系式 ，则点 的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支
【答案】D
【分析】设 ， .由已知可得 ，根据双曲线的定义即可得出答案.
【详解】设 ， ，则 .
则由已知可得， ，所以点 的轨迹是双曲线的左支.
故选：D.
(2)动圆M与圆 ： ，圆 ： ，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先设 ，半径为 ，根据动圆 与圆 ， 都外切得到 ，从而得到 的轨迹为以 为焦点， 的双曲线左支，再求轨迹方程即可.
【详解】圆 ： ，圆心 ，半径 .
圆 ： ，圆心 ，半径 .
设 ，半径为 ，因为动圆 与圆 ， 都外切，
所以 ，
所以 的轨迹为以 为焦点， 的双曲线左支.
所以 ， ，解得 ，
即 的轨迹方程为： .
故选：D
(3)已知 ， ，若点 满足 ，则P点的轨迹是什么，并求点P的
轨迹方程.
【答案】当 时，轨迹是直线，轨迹方程为： ；
当 时，轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，轨迹方程为 ；
当 时，轨迹是射线，轨迹方程为 ；
当 时，点 不存在.
【分析】分 ， ， 和 ，由 分别求轨迹方程即可.
【详解】当 时，易知 ，即点 在 的垂直平分线上，故P点的轨迹是直线，轨迹方程为：
；
当 时，由 ，知P点的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，设双曲线方程为，
又 知 ，故轨迹方程为 ；
当 时，由 知P点的轨迹是射线，轨迹方程为 ；
当 时，显然满足 的点 不存在.
综上：当 时，轨迹是直线，轨迹方程为： ；
当 时，轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，轨迹方程为 ；
当 时，轨迹是射线，轨迹方程为 ；
当 时，点 不存在.
跟踪训练4 求下列动圆的圆心 的轨迹方程：
(1)与圆 和圆 都内切；
(2)与圆 内切，且与圆 外切；
(3)在 中， ， ，直线 ， 的斜率之积为 ，求顶点 的轨迹方程.
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【分析】（1）依题意可得 ，根据双曲线的定义可知圆心 的轨迹是以点 、 分
别为上、下焦点的双曲线的下支，即可求出其轨迹方程；
（2）依题意可得 ，根据双曲线的定义可知圆心 的轨迹是以点 、 分别为左、
右焦点的双曲线的左支，即可求出其轨迹方程；
（3）设 根据斜率公式得到方程，整理可得.
【详解】（1）圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为 ，则圆 与圆 外离，
设圆 的半径为 ，由题意可得 ，所以 ，
所以圆心 的轨迹是以点 、 分别为上、下焦点的双曲线的下支，
设圆心 的轨迹方程为 ，
由题意可得 ，则 ， ，
因此圆心 的轨迹方程为 .
（2）圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为 ，则圆 与圆 外离，
设圆 的半径为 ，由题意可得 ，所以 ，
所以圆心 的轨迹是以点 、 分别为左、右焦点的双曲线的左支，
设圆心 的轨迹方程为 ，由题意可得 ，则 ， ，
因此圆心 的轨迹方程为 .
（3）设 ，则 ， ，
根据题意有 ，
化简得
∴顶点 的轨迹方程为 .
五、求双曲线的离心率
例5 (1)点 到双曲线 ： 的一条渐近线的距离为 ，则双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C【分析】由双曲线的性质计算即可.
【详解】由题意可得双曲线的一条渐近线为： ，
所以 到 的距离为 ，
不妨设 则 .
故选：C
(2)已知双曲线 的渐近线为 ，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】
【分析】根据渐近线方程可得： ，进而得到 .
【详解】因为双曲线 的渐近线为 ，
所以 ，则 ，
故答案为： .
跟踪训练5 (1)已知双曲线 ： 的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的 倍，则
双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据点到直线距离公式可得 ，然后可得.
【详解】由题可知，点 到直线 为 ，
所以
所以 ，所以双曲线 的离心率
故选：A
(2)已知 ， 是双曲线 的左，右焦点，点 在 上， 垂直于 轴，
，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在 中，设 ，根据已知可得 ， .
结合双曲线的定义即可求得 与 的关系，进而求得离心率.
【详解】由已知可得， 中， .
设 ，则 ， .
根据双曲线的定义可知， ，即 ， ， .
所以， ， .
故选：B.
六、直线与双曲线的位置关系
例6 (1)直线 与双曲线 的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
【答案】B【详解】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x ，从而得出直线和双曲线位置关系，得出答
案.
【解答过程】由 得 整理得， ；
所以 ，故直线和双曲线只有一个交点；
又双曲线 的渐近线方程为：
与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点.
所以直线和双曲线的位置关系为相交．
故选：B
(2)过点 作直线l，使l与双曲线 有且仅有一个公共点，这样的直线l共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【分析】作图分析，判断点P在双曲线的外部，则符合条件的直线有和渐近线平行的直线还有切线，由此
可得答案.
【详解】如图示，双曲线 的渐近线为 ，点 在双曲线外部，
则过点P和双曲线有且仅有一个公共点的直线，包括两条和渐近线平行的直线 ，
还有两条和双曲线相切的直线 ，因此过点P和双曲线有且仅有一个公共点的直线有4条，故选：D.
(3)过双曲线 的右焦点F作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，求弦长 ．
【答案】
【分析】利用公式 计算可得；
【详解】解：双曲线 中， ， ，所以 ，
利用公式 ，代入得 ．
(4)已知双曲线 ，直线 ，若直线与双曲线的右支有两个交点，求 的取值范围．
【答案】 或
【分析】联立双曲线与直线方程得到关于 的一元二次方程，再利用根的分布得到关于 的不等式组，解
之即可得解.
【详解】依题意，联立方程 ，消去 ，得 ，
设直线与双曲线的右支的两个交点为 ，则 ，解得 或 ，
所以 或 .
跟踪训练6 (1)（多选）若直线 与双曲线 有两个交点，则 的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】CD
【分析】把 代入双曲线方程，由方程有两解求出a的范围作答.
【详解】把 代入双曲线 ，得 ，
依题意，关于y的方程有两个不等实根，则 ，解得 或 ，
选项AB不满足，CD满足.
故选：CD
(2)已知F（－5，0），F（5，0）是双曲线C的两个焦点，过F 且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，
1 2 2
且|AB|= ，则C的方程为 .
【答案】
【分析】由题意， 设双曲线 ，然后根据题意列出关于 的方程组，求出 ，从而
可求出C的方程.
【详解】由题意， 设双曲线 ，
根据题意得 ，解得因此，所求的双曲线方程为 .
故答案为：
(3)已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为10，且它的一条渐近线方程为
(i)求C的标准方程；
(ii)过C的右顶点，斜率为2的直线l交C于A，B两点，求
【答案】(i) ；(ii)
【分析】(i)由条件设双曲线的方程为 ，根据条件列方程求 即可；(ii)联立方程组，
求出交点坐标，利用两点距离公式求
【详解】(i)因为焦点在x轴上，故设C的标准方程为
双曲线的焦距为10， ，
的一条渐近线为 ， ，
又 ，联立上式解得 ， ，
故所求方程为
(ii)由(1) 的右顶点为 ，又直线 的斜率为2，所以直线l的方程为
联立 消去变量y可得， ，
解得 或
则A，B两点的坐标分别为 ，
故【课堂巩固】
1．在双曲线的标准方程中，若 ，则其标准方程是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】双曲线的标准方程有两种情形，一是焦点在x轴，另一种焦点在y轴，根据a与b写出标准方程
即可．
【详解】在双曲线的标准方程中， ，
当双曲线的焦点在x轴上时，它的标准方程是 ；
当双曲线的焦点在y轴上时，它的标准方程是 .
所以双曲线标准方程是 或 .
故选：D
2．已知点 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由双曲线的定义可知，动点 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，利用待定系数法求轨迹方
程.【详解】 ， ，又动点 满足 ，
动点 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，
设双曲线方程为 ，
则有 ，
动点 的轨迹方程为 ．
故选：A．
3．若双曲线 的虚轴长为 ，则该双曲线的渐近线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意求出 的值，再根据双曲线的渐近线方程求解即可.
【详解】由双曲线的标准方程 得，焦点在 轴上，
，虚轴长为 ，
所以 ，
所以该双曲线的渐近线方程为：
，
故选：C.
4．已知双曲线C： 的一条渐近线与直线 垂直，则该双曲线C的离心率
为（ ）
A． B． C．2 D．【答案】A
【分析】求出双曲线C渐近线的方程，再由垂直关系列式，求出 的关系计算离心率作答.
【详解】依题意，双曲线C的渐近线方程为： ，依题意， ，于是 ，
双曲线C的实半轴长为 ，虚半轴长为 ，半焦距 ，
所以双曲线C的离心率 .
故选：A
5．在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 的一条渐近线平行，且双曲线的一个焦
点在直线l上，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据直线与双曲线得一条渐近线平行可得 的关系，求出双曲线的一个焦点的坐标，再根据
的关系求出 ，即可得解.
【详解】因为直线 与双曲线 的一条渐近线平行，
所以 ，即 ，
由直线 ，令 ，得 ，
则双曲线的一个焦点为 ，即半焦距 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以双曲线的方程为 .故选：C.
6．双曲线 的渐近线与圆 相切，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】根据圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】双曲线 的渐近线方程为 ，
由 可知该圆的圆心为 ，半径为 ，
因为双曲线 的渐近线与圆 相切，所以有
故选：B
7．过点 与双曲线 只有一个公共点的直线有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】易得点 在渐近线 上，然后画出图象，由过点 的直线与另一条渐近线平行和与
双曲线相切，利用数形结合法求解.
【详解】因为双曲线的方程为 ，
所以 ，
所以双曲线的渐近线方程为 ，
又点 在直线 上，
如图所示：当过点 的直线与直线 平行或与x轴垂直（过右焦点）时，与双曲线只有一个公共点，
所以这样的直线有2条．
故选：B
8．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线 的通径长是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的通径长公式计算．
【详解】由已知 ，双曲线的通径长 ，
故选：B.
9．（多选）已知曲线 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 是椭圆，则其长轴长为
B．若 ，则 是双曲线
C．C不可能表示一个圆
D．若 ，则 上的点到焦点的最短距离为
【答案】BC【分析】根据 可知若为椭圆，则焦点在 轴上，进而可判断A,进而可判断BC，根据椭圆的几何
性质可判断D.
【详解】由于 ，所以 ，
对于A,当 时，故 表示焦点在 轴上的椭圆，故椭圆的长轴长为 ，故A错误,
对于B,当 时， 是双曲线，故B正确,
对于C,由于 ，故C不可能表示一个圆，故C正确，
对于D, 时， ，表示焦点在 轴上的椭圆，且此时
故椭圆上的点到焦点的最小距离为 ，故D错误,
故选:BC
10．（多选）已知双曲线 ，则（ ）
A． 的焦距为
B． 的虚轴长是实轴长的 倍
C．双曲线 与 有相同的渐近线
D．点 到 的一条渐近线的距离为
【答案】BCD
【分析】根据给定的双曲线方程，求出实半轴、虚半轴长，半焦距，再逐项判断作答.
【详解】双曲线 的实半轴、虚半轴长分别为 ，则半焦距 ，
对于 ， 的焦距为 ，A错误；对于B， 的虚轴长 ，实轴长 ，则 的虚轴长是实轴长的 倍，B正确；
对于C，双曲线 的渐近线方程为 ， 的渐近线方程为 ， C正确；
对于D，由选项C知，点 到直线 的距离为 ，D正确；
故选：BCD
11．已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则a的值为 ．
【答案】4
【分析】求出双曲线 的渐近线方程，由条件，结合两直线垂直斜率相乘为 ，列方程可求 .
【详解】由双曲线标准方程特征知 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，
由已知可得渐近线 与直线 垂直，
所以 ，
所以 ．
故答案为： .
12．双曲线C： 的渐近线与直线 交于A，B两点，且 ，那么双曲线C的离心率为
.
【答案】
【分析】由题可得 ，然后根据离心率公式结合条件即得.
【详解】由双曲线的方程可得 ，且渐近线的方程为： ，
与 联立可得 ，所以 ，由题意可得 ，解得 ，又 ，
所以双曲线的离心率 .
故答案为： .
13．已知双曲线的方程为 ，写出它的顶点坐标､焦点坐标､实半轴长､虚半轴长与渐近线方程．
【答案】顶点坐标 和 ，焦点坐标 和 ，实半轴长为1，虚半轴长为2，渐近线方程
为
【分析】先将双曲线的方程化为标准方程，再研究其性质.
【详解】双曲线的方程为 化为标准方程
则 ， ，
所以双曲线的顶点坐标为 和 ，焦点坐标为 和 ，
实半轴长为1，虚半轴长为2，渐近线方程为
14．已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为 ．
(1)求C的标准方程；
(2)若直线 与双曲线C交于A，B两点，求 ．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）焦点在 轴上，设方程为 根据题意求出 即可
（2）设点，联立方程组，消元得一元二次方程，由韦达定理，然后利用弦长公式计算即可
【详解】（1）因为焦点在 轴上，设双曲线 的标准方程为 ，
由题意得 ，所以 ，①
又双曲线 的一条渐近线为 ，
所以 ，②
又 ，③
联立上述式子解得 ， ，
故所求方程为 ；
（2）设 ， ，
联立 ，整理得 ，
由 ，
所以 ， ，
即
15．若双曲线C： 上一点 到左、右焦点的距离之差的绝对值为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设 、 是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若 ，求 的面积.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据双曲线的定义和条件求解；
（2）先求出 和 ，再根据余弦定理求出 与 夹角，运用三角形面积公式计算.【详解】（1）令 分别是左右焦点，则 ，得 ，
双曲线的方程为 ，将点 代入上式，得：
，
双曲线的标准方程为 ；
（2）不妨设点P在第一象限，由双曲线的几何性质知： ，
，解得 ，
在△ 中， ，
设 与 的夹角为 ，由余弦定理得： ，
；
综上，双曲线的标准方程为 ，△ 的面积为 .
【课时作业】
1．若点 在双曲线 上，双曲线的焦点为 ，且 ，则 等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
【答案】B
【分析】先由双曲线方程求出 ，再根据双曲线定义结合已知条件解方程组可得结果.
【详解】双曲线中 ，得 ，则 ，
由双曲线的定义可得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，故选：B
2．已知双曲线过点 ，且与椭圆 有公共焦点，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意求得 ， ，得到 ，进而求得双曲线的标准方程.
【详解】由椭圆 ，可化为标准方程 ，可得 ，
因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以 ，
又因为双曲线过点 ，可得 ，则 ，
所以双曲线的标准方程为 .
故选：B.
3．若双曲线 的一个焦点是 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的焦点坐标可得答案.
【详解】因为双曲线 的一个焦点是 ，故 ，所以 .
故选：B.
4．已知双曲线 经过点 ，则其渐近线方程是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】先应用双曲线 经过点 求出 ，再根据双曲线几何性质渐近线方程
解决即可.
【详解】由题知双曲线 经过点 ， 所以 ，
所以 ，双曲线焦点在 轴上，
所以双曲线的渐近线方程为 ，
故选：A
5．在平面直角坐标系中，已知 的顶点 ， ，其内切圆圆心在直线 上，则顶点C的
轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据图可得： 为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以 、 为焦点，实轴长为6
的双曲线的右支，从而写出其方程即得．
【详解】解：如图设 与圆的切点分别为 、 、 ，
则有 ， ， ，
所以 ．
根据双曲线定义，所求轨迹是以 、 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），
即 、 ，又 ，所以 ，
所以方程为 ．
故选：A．6．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据渐近线方程可得 ，再由 可求得结果.
【详解】因为双曲线 的一条渐近线方程为 ，
所以 ，
所以双曲线的离心率为 ，
故选：B
7．已知双曲线 的右焦点为 ，点 ，若直线 与 只有一个交点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可得直线 与渐近线平行，结合平行关系运算求解.
【详解】双曲线 可得 ， ， ，
所以双曲线的渐近线方程为 ，右焦点为 ，
因为直线 与 只有一个交点，所以直线 与双曲线的渐近线平行，所以 ，解得 .
故选：B.
8．“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【分析】利用定义法，分充分性和必要性分类讨论即可.
【详解】充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，所以直线与双曲线相切或直线与渐近线平
行.故充分性不满足；
必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”.故必要性满足.
所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要非充分条件.
故选：B
9．若双曲线 的一条渐近线与直线 相互垂直，则双曲线 的两个焦点与虚轴
的一个端点构成的三角形的面积为 （ ）
A． B．6 C． D．8
【答案】C
【分析】写出渐近线方程，利用直线垂直列方程求解 ，从而得焦点坐标与虚轴顶点坐标，可求解得三角
形面积.
【详解】双曲线 的一条渐近线方程为 ，
由两直线垂直得， ，
，所以双曲线的焦点坐标为
，
虚轴一个顶点坐标为 ，
故选：C10．已知直线 与双曲线 无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用直线与双曲线的渐近线的位置关系即可求得结果.
【详解】由题意得， 的斜率为 ，
而 的渐近线为 ，
由于直线 与双曲线 没有公共交点，如图，
所以 ，即 ，故 ，即 ，所以 ，
故 ，即 .
故选：C.
11．（多选）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 ，则（ ）
A．离心率为2
B．渐近线方程为
C．实轴长为2
D．右焦点到渐近线的距离为
【答案】ABD【分析】根据双曲线方程确定 的值，即可一一判断各选项，即得答案.
【详解】由双曲线的方程可得， ， ， ，
所以 ， ， ，实轴长 ，离心率 ，所以A正确，C不正确，
所以，渐近线方程为 ，所以B正确，
因为右焦点为 ，不妨取渐近线 ，即 ，
则 到渐近线 距离为 ，所以D正确.
故选：ABD.
12．（多选）已知双曲线 ，则（ ）
A．双曲线 与圆 有2个公共点
B．双曲线 的离心率与椭圆 的离心率相同
C．双曲线 的渐近线斜率与双曲线 的渐近线的斜率互为倒数
D．双曲线 与直线 只有一个公共点
【答案】AD
【分析】根据双曲线和椭圆的离心率公式、结合双曲线的渐近线方程、一元二次方程根的判别式逐一判断
即可.
【详解】由已知得在双曲线C中， ， ， ，所以双曲线C的焦点为 ，渐近
线方程为 ，离心率为 .
A：双曲线C的顶点为 ，圆 的圆心为 ，半径为1，因此双曲线 与圆 有2个公共点，所以本选项正确；
B：椭圆 的离心率为 ，显然双曲线 的离心率与椭圆 的离心率不相同，因
此本选项不正确；
C：双曲线 的渐近线的斜率为 ，显然双曲线 的渐近线斜率与双曲线 的渐
近线的斜率互为倒数是不正确的，因此本选项不正确；
D：因为双曲线 的一条渐近线 与直线 平行，所以双曲线 与直线 只有一个
公共点，因此本选项说法正确，
故选：AD
13．（多选）已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】BD
【分析】由题意可得渐近线和x轴的夹角是30°或60°，所以有 或 ，再利用
可求得离心率.
【详解】∵双曲线的两条渐近线的夹角为60°，两渐近线关于x轴对称，
∴渐近线和x轴的夹角是30°或60°.
又渐近线方程为 ，斜率为 .
则 或 ，
当 时， ；当 时， ．
故选：BD．
14．（多选）已知双曲线 ： ，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线 的渐近线方程为
B．双曲线 的焦点到渐近线的距离为
C．与双曲线 的渐近线平行的直线与双曲线 一定没有交点
D．若直线 与双曲线 没有交点，则 的取值范围为
【答案】ABD
【分析】A选项，利用焦点在 轴上的双曲线方程为 进行求解；B选项，利用点到直线距离公式进
行求解；C选项，与渐近线平行的直线与双曲线有一个焦点；D选项，直线 的斜率与渐近线斜率相比
较，得到 的取值范围．
【详解】解：对于 ，由双曲线 ： ，则 ， ，所以其渐近线方程为 ，故A正
确；
对于B，由双曲线 ： ，则 ， ， ，其焦点坐标为 ，其渐近线方程为
，所以一个焦点到渐近线的距离为 ，故B正确；
对于C，与渐近线平行的直线与双曲线 有且仅有一个交点，故C不正确；
对于D，若直线 与双曲线 没有交点，则 的斜率应该和双曲线渐近线斜率比较，则 或
，故D正确．
故选：ABD．15．双曲线经过一点 ，渐近线方程为 ，则该双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【分析】由题意可设双曲线方程为 ，将 代入方程求得 ，即可求得答案.
【详解】由题意双曲线经过一点 ，渐近线方程为 ，
可设双曲线方程为 ，
将 代入方程得 ，
故双曲线的方程为 ，标准方程为 ，
故答案为：
16．已知双曲线 经过点 ，双曲线C的离心率为 ，则双曲线C的焦点到
其渐近线的距离为 ．
【答案】4
【分析】利用已知条件先求出双曲线的标准方程，找出一个焦点和一条渐近线，
利用点到直线距离公式求解即可.
【详解】由双曲线经过点 ，则
，①
双曲线离心率为： ，②
又 ，③
联立①②③解得： ，所以双曲线标准方程为：
所以双曲线的一个焦点为 ，
一条渐近线为 ，
所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为：
，
故答案为：4.
17．在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，点 的轨迹为 .求
的方程；
【答案】 ；
【分析】
利用双曲线的定义可知轨迹 是以点 、 为左、右焦点双曲线的右支，求出 、 的值，从而得
的值，即可得出轨迹 的方程；
【详解】
因为 ，由双曲线的定义可知，
轨迹 是以点 、 为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹 的方程为 ，则 ，可得 ，
，即 ，所以 ，
所以轨迹 的方程为 .
18．已知圆 ，圆 ．
(1)证明圆A与圆B相交，并求圆A与圆B的公共弦所在直线的方程；(2)已知点 ，若直线PA，PC相交于点P，且它们的斜率之积为 ，求动点P的轨迹方程并说明轨迹
图形．
【答案】(1)证明见解析；
(2)轨迹方程为 ，P的轨迹是除去 ， 两点的双曲线
【分析】（1）求出圆A与圆B的圆心和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断证出两圆相交，两圆
的方程作差即可求出圆A与圆B的公共弦所在直线的方程；
（2）设 ，由题意得， ，化简即得动点P的轨迹方程，并可知轨迹图形．
【详解】(1)圆A，圆心 ，半径 ，
圆B，圆心 ，半径 ， ，
∴ ，所以圆A与圆B相交．
圆 ，圆 ，
两式相减，得 ．
(2)设 ，由题意得， ，
化简得，P的轨迹方程为 ，所以P的轨迹是除去 ， 两点的双曲线．
19．已知双曲线 与 有相同的渐近线，点 为 的右焦点， ，
为 的左右顶点．
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 倾斜角为 的直线 交双曲线 于 ， 两点，求 ．【答案】(1) ；(2)3
【分析】（1）根据渐近线和焦点坐标列式计算即可；
（2）联立直线和双曲线方程，利用韦达定理和弦长公式计算即可.
【详解】（1）因为 的渐近线为 ，所以有 ，
又 ，
所以 ， ，
所以双曲线 的方程为 ．
（2）直线 过点 ，倾斜角为 所以直线 的方程为 ，
由 得 ，
设 ，
所以 ， ，
所以
．
20．已知椭圆 的离心率为 ，且与双曲线 有相同的焦点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆 的左焦点为 ，过 的直线 与椭圆 相交于 两点，若 ，求直线 的方程.【答案】（1） ；（2） 或 .
【分析】（1）由题可得焦点为 ，再结合离心率即可求出 即可得出方程；
（2）由题知 ，设直线 的方程为 ， ，进而结合弦长公式求解即可.
【详解】（1）由题意，双曲线的焦点为 ，
所以依题意知椭圆中
解得：
所以椭圆 的方程为
（2）由（1）知椭圆 的左焦点为 为
依题意可设为直线 的方程为
设
将直线 的方程代入椭圆方程 整理得
则
解得 ，
故直线 的方程为 或
【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为 ；（2）联立直线与曲线方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为 （ ）形式；
（5）代入韦达定理求解.
