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专题 09 二次函数中的等腰三角形、直角三角形存
在性问题的三类综合题型
目录
典例详解
类型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题
类型二、二次函数中的直角三角形存在性问题
类型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题
压轴专练
类型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题
1.解题思路：先设动点坐标（含参数），结合二次函数表达式确定顶点、交点等关键坐标；再分三种情
况（两腰为已知边、一动一静边、两动边）讨论等腰三角形构成。
2.解题技巧：用两点间距离公式将边长转化为含参数的代数式，简化计算；利用二次函数对称性减少分
类，结合图形范围验根防漏解。
3.解题方法：以代数方程法为主，列边长相等的方程求解参数；辅以几何法（如垂直平分线性质）快速
定位可能点，最后结合函数定义域确定有效解。
例1．如图，关于x的二次函数 的图象与x轴相交于点 和点 ，与y轴相交于点
C．
(1)求二次函数的表达式和线段 的长；
(2)在抛物线对称轴上找一点P，使 为等腰三角形？直接写出点P的坐标．【变式1-1】如图，抛物线 经过点 ，且顶点B的坐标为 ，对称轴与x轴交于点
C．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)在第一象限内的抛物线上找点P，使 是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．
【变式1-2】如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点C．已知点 的坐标
是 ，抛物线的对称轴是直线 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)第一象限内的抛物线上有一动点 ，使 的面积最大，求点 的坐标和 面积的最大值；
(3)对称轴与 轴交于点 ，在对称轴上找一点 ，使 是以 为腰的等腰三角形，求点 的坐标．
类型二、二次函数中的直角三角形存在性问题
1.解题思路：先确定抛物线与坐标轴交点等定点（如 A、B），设抛物线上动点P(x,y)，分∠A=90°、
∠B=90°、∠P=90°三类讨论直角顶点。
2.解题技巧：用勾股定理（PA²+PB²=AB²等）或斜率乘积为-1（垂直）列方程，借抛物线表达式消y，
结合x范围验根。
3.解题方法：代数法为主，列坐标方程求解；辅以几何法（过A、B作垂线交抛物线得P），结合图形验
证直角合理性。例2．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y
轴交于点C，该抛物线过点 ．
(1)求该抛物线的解析式及点A、点B的坐标；
(2)如图1，连接AC，抛物线的对称轴上是否存在点M，使 是直角三角形？若存在，求出M的坐标；
若不存在，请说明理由．
【变式2-1】如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ，连接 ， ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点 为抛物线对称轴上一点，是否存在点 ，使 为直角三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【变式2-2】如图，已知抛物线经过点 ， ，顶点为 ，与 轴交于点 ，且与直线
交于点 ．(1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
(2)求 的面积；
(3)若点 为抛物线上的一个动点，是否存在以 为直角边的直角三角形 ？ 若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题
1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P，分∠A、∠B、∠P为直角顶点三类，每类需满足
“直角”+“两直角边相等”。
2.解题技巧：用坐标表边长，结合勾股定理（直角）与距离相等（等腰）列方程，借抛物线消 y；利用
斜率（垂直时积为-1）简化计算，结合图形限x范围。
3.解题方法：代数法联立直角与等腰方程求解；几何法构造全等（如过 P作横纵垂线，使直角边等
长），验证交点合理性。
例3．如图，抛物线 经过 ， 两点，与 轴相交于点 ，连接 ，点 为线
段 上方抛物线上一动点（不与点 重合），过点 作 轴的垂线 ，交 于点 ，交 轴于点 ．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)过点 作 直线 ， 为垂足，当点 运动到何处时，以 ， ， 为顶点的三角形是等腰直角三角形？并求出此时点 的坐标．
【变式3-1】如图，将抛物线 向右平移 个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为 ，与 轴
交于点 ，且 为等腰直角三角形．
(1)求 的值；
(2)在新抛物线上是否存在一点 ，使 为等腰直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【变式3-2】如图，已知抛物线 的对称轴是直线 ，与 轴相交于 ， 两点（点 在
点 的右侧），与 轴交于点 ．
(1)求线段 的长；
(2)若点 是抛物线上 ， 两点之间的一个动点（不与点 ， 重合），设点 的横坐标为 ，过点
作 轴，交直线 于点 ．
（ⅰ）当线段 的长有最大值时，求点 的坐标；
（ⅱ）过点 作 交抛物线于点 ，是否存在点 使 为等腰直角三角形？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．一、解答题
1．如图，已知抛物线 的图像与 轴相交于 、 两点，顶点为 ，对称轴与
轴交于点 ，点 在线段 上（不与 、 重合），过点 作 轴的平行线交对称轴左侧的抛物线于
点 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点 C的坐标；
(2)若 是以 为底的等腰三角形，直接写出点 E 的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点
(1)求抛物线解析式；
(2)若点 为抛物线 部分上一动点（可与 ， 两点重合），过点 作 轴交直线 于点
，交 轴于点 ．连接 ，当 为等腰三角形时，直接写出 的值．
3．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ， ．抛物线的对称轴
与经过点 的直线 交于点 ，与 轴交于点(1)求抛物线的表达式；
(2)若在抛物线上存在点 ，使得 ，是以 为直角边的直角三角形，求出所有点 的坐标
4．如图1，抛物线 经过点 和点 ，与 轴交于点 ， 是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)当点 的坐标为 时，求 的面积．
(3)如图2，连接 ，当 是以 为直角边的直角三角形时，求点 的坐标．
5．综合与探究
如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接 ．若
点P在线段 上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点
F．设点P的横坐标为m．(1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线 的函数解析式．
(2)在点P的运动过程中，是否存在m使得 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不
存在，请说明理由．
6．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点（ 在 的左侧），与 轴交于点 ，顶点为 ．
(1)请求出点 ， ， 的坐标；
(2)若 是第二象限的抛物线上的一个动点（不与 重合），过点 作 轴交 于点 ，求线段
长度的最大值；
(3)若 为直线 上的动点，在抛物线上是否存在点 ，使得 为等腰直角三角形？若存在，直接写
出 坐标．
