文档内容
3.2 双曲线
【划重点】
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及其求法
2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．
3．掌握双曲线的简单几何性质.
4．理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
5．会判断直线与双曲线的位置关系．
【知识梳理】
知识点一 双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点F，F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|FF|)的点的轨迹．
1 2 1 2
2．定义的集合表示：{M|||MF |－|MF ||＝2a，0<2a<|FF|}．
1 2 1 2
3．焦点：两个定点F，F.
1 2
4．焦距：两焦点间的距离，表示为|FF|.
1 2
知识点二 双曲线的标准方程与性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
性质 顶点坐标 A(－a，0)，A(a，0) A(0，－a)，A(0，a)
1 2 1 2
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
知识点三 等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为.知识点四 直线与双曲线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；
Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点．
知识点五 弦长公式
若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x，y)，B(x，y)两点，则|AB|＝.
1 1 2 2
【例题详解】
一、双曲线的定义及其应用
例1 (1)已知 ， ，动点P满足 （a为常数），则下列说法中错误的是
（ ）
A． 时，点P的轨迹是y轴
B． 时，点P的轨迹是一条直线
C． 或 时，点P的轨迹不存在
D． 时，点P的轨迹是双曲线
(2)平面内到两个定点 的距离之差的绝对值等于 的点的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线
(3)双曲线 上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（ ）
A．1或21 B．14或36 C．2 D．21
跟踪训练1 (1)在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，动点Р满足 ，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．抛物线
C．双曲线 D．双曲线的一支
(2)已知双曲线 上一点 到双曲线的一个焦点的距离为3，则 到另一个焦点的距离为 ．
二、双曲线的简单几何性质
例2 (1)（多选）关于双曲线 与双曲线 ，下列说法不正确的是（ ）
A．实轴长相等 B．离心率相等
C．焦距相等 D．焦点到渐近线的距离相等
(2)求下列双曲线的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率及渐近线方程：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
跟踪训练2 (1)（多选）已知双曲线C： ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2
B．若（4，0）是双曲线C的一个焦点，则m=6
C．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m=2
D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为m
(2)求双曲线 的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程．三、求双曲线的标准方程
例3 (1)以直线 为渐近线，一个焦点坐标为 的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
(2)在双曲线中，虚轴长为6，且双曲线与椭圆 有公共焦点，则双曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
(3)根据下列条件，求双曲线的标准方程：
①以椭圆 短轴的两个端点为焦点，且过点 ；
②经过点 和 ．
跟踪训练3 (1)顶点距离为6，渐近线方程是 的双曲线方程是（ ）
A． 或 B． 或C． D．
(2)已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，且与椭圆 有相等的焦距，则C的方
程为（ ）
A． B．
C． D．
四、与双曲线有关的轨迹问题
例4 (1)若动点 满足关系式 ，则点 的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支
(2)动圆M与圆 ： ，圆 ： ，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
（ ）
A． B． C． D．
(3)已知 ， ，若点 满足 ，则P点的轨迹是什么，并求点P的
轨迹方程.
跟踪训练4 求下列动圆的圆心 的轨迹方程：(1)与圆 和圆 都内切；
(2)与圆 内切，且与圆 外切；
(3)在 中， ， ，直线 ， 的斜率之积为 ，求顶点 的轨迹方程.
五、求双曲线的离心率
例5 (1)点 到双曲线 ： 的一条渐近线的距离为 ，则双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C． D．5
(2)已知双曲线 的渐近线为 ，则该双曲线的离心率为 ．
跟踪训练5 (1)已知双曲线 ： 的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的 倍，则
双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
(2)已知 ， 是双曲线 的左，右焦点，点 在 上， 垂直于 轴，
，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．六、直线与双曲线的位置关系
例6 (1)直线 与双曲线 的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
(2)过点 作直线l，使l与双曲线 有且仅有一个公共点，这样的直线l共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
(3)过双曲线 的右焦点F作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，求弦长 ．
(4)已知双曲线 ，直线 ，若直线与双曲线的右支有两个交点，求 的取值范围．
跟踪训练6 (1)（多选）若直线 与双曲线 有两个交点，则 的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知F（－5，0），F（5，0）是双曲线C的两个焦点，过F 且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，
1 2 2
且|AB|= ，则C的方程为 .
(3)已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为10，且它的一条渐近线方程为
(i)求C的标准方程；(ii)过C的右顶点，斜率为2的直线l交C于A，B两点，求
【课堂巩固】
1．在双曲线的标准方程中，若 ，则其标准方程是（ ）
A． B． C． D． 或
2．已知点 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．若双曲线 的虚轴长为 ，则该双曲线的渐近线的方程是（ ）
A． B．
C． D．4．已知双曲线C： 的一条渐近线与直线 垂直，则该双曲线C的离心率
为（ ）
A． B． C．2 D．
5．在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 的一条渐近线平行，且双曲线的一个焦
点在直线l上，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据直线与双曲线得一条渐近线平行可得 的关系，求出双曲线的一个焦点的坐标，再根据
的关系求出 ，即可得解.
【详解】因为直线 与双曲线 的一条渐近线平行，
所以 ，即 ，
由直线 ，令 ，得 ，
则双曲线的一个焦点为 ，即半焦距 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以双曲线的方程为 .
故选：C.6．双曲线 的渐近线与圆 相切，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
7．过点 与双曲线 只有一个公共点的直线有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线 的通径长是
（ ）
A． B． C． D．
9．（多选）已知曲线 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 是椭圆，则其长轴长为
B．若 ，则 是双曲线
C．C不可能表示一个圆
D．若 ，则 上的点到焦点的最短距离为
10．（多选）已知双曲线 ，则（ ）
A． 的焦距为
B． 的虚轴长是实轴长的 倍
C．双曲线 与 有相同的渐近线D．点 到 的一条渐近线的距离为
11．已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则a的值为 ．
12．双曲线C： 的渐近线与直线 交于A，B两点，且 ，那么双曲线C的离心率为
.
13．已知双曲线的方程为 ，写出它的顶点坐标､焦点坐标､实半轴长､虚半轴长与渐近线方程．
14．已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为 ．
(1)求C的标准方程；
(2)若直线 与双曲线C交于A，B两点，求 ．
15．若双曲线C： 上一点 到左、右焦点的距离之差的绝对值为2.
(1)求双曲线C的方程；(2)设 、 是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若 ，求 的面积.
【课时作业】
1．若点 在双曲线 上，双曲线的焦点为 ，且 ，则 等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
2．已知双曲线过点 ，且与椭圆 有公共焦点，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．若双曲线 的一个焦点是 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线 经过点 ，则其渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．5．在平面直角坐标系中，已知 的顶点 ， ，其内切圆圆心在直线 上，则顶点C的
轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
7．已知双曲线 的右焦点为 ，点 ，若直线 与 只有一个交点，则 （ ）
A． B． C． D．
8．“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
9．若双曲线 的一条渐近线与直线 相互垂直，则双曲线 的两个焦点与虚轴
的一个端点构成的三角形的面积为 （ ）
A． B．6 C． D．810．已知直线 与双曲线 无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为
（ ）．
A． B． C． D．
11．（多选）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 ，则（ ）
A．离心率为2
B．渐近线方程为
C．实轴长为2
D．右焦点到渐近线的距离为
12．（多选）已知双曲线 ，则（ ）
A．双曲线 与圆 有2个公共点
B．双曲线 的离心率与椭圆 的离心率相同
C．双曲线 的渐近线斜率与双曲线 的渐近线的斜率互为倒数
D．双曲线 与直线 只有一个公共点
13．（多选）已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．214．（多选）已知双曲线 ： ，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线 的渐近线方程为
B．双曲线 的焦点到渐近线的距离为
C．与双曲线 的渐近线平行的直线与双曲线 一定没有交点
D．若直线 与双曲线 没有交点，则 的取值范围为
15．双曲线经过一点 ，渐近线方程为 ，则该双曲线的标准方程为 ．
16．已知双曲线 经过点 ，双曲线C的离心率为 ，则双曲线C的焦点到
其渐近线的距离为 ．
17．在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，点 的轨迹为 .求
的方程；
18．已知圆 ，圆 ．
(1)证明圆A与圆B相交，并求圆A与圆B的公共弦所在直线的方程；
(2)已知点 ，若直线PA，PC相交于点P，且它们的斜率之积为 ，求动点P的轨迹方程并说明轨迹
图形．19．已知双曲线 与 有相同的渐近线，点 为 的右焦点， ，
为 的左右顶点．
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 倾斜角为 的直线 交双曲线 于 ， 两点，求 ．
20．已知椭圆 的离心率为 ，且与双曲线 有相同的焦点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆 的左焦点为 ，过 的直线 与椭圆 相交于 两点，若 ，求直线 的方程.
