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第三章《圆锥曲线的方程》
3.1 椭圆
【划重点】
1．理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程.
2．掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程．
3．掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.
4．会判断直线与椭圆的位置关系．
【知识梳理】
知识点一 椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F，F 的距离的和等于常数(大于|FF|)的点的轨迹．
1 2 1 2
2．焦点：两个定点F，F.
1 2
3．焦距：两焦点间的距离|FF|.
1 2
4．几何表示：|MF |＋|MF |＝2a(常数)且2a>|FF|.
1 2 1 2
知识点二 椭圆的标准方程及其几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
A(－a，0)，A(a，0)， A(0，－a)，A(0，a)，
1 2 1 2
顶点
B(0，－b)，B(0，b) B(－b，0)，B(b，0)
1 2 1 2
轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |FF|＝2
1 2
对称性 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
离心率 e＝∈(0,1)
知识点三 直线与椭圆的位置关系
(1)直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立
消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及 Δ的取值的关系如表所示．
直线与椭圆 解的个数 Δ的取值
两个不同的公共点 两解 Δ>0
一个公共点 一解 Δ＝0
没有公共点 无解 Δ<0
(2)弦长公式：
设直线与椭圆的交点坐标为A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则|AB|＝ 或 |AB|＝ (k为直线斜率)．
【例题详解】
一、椭圆的定义及其应用
例1 (1)设定点 ， ，动点P满足条件 ，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义可判断动点的轨迹.
【详解】因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以点P的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆.
故选：A.
(2)设 是椭圆 上的动点，则 到该椭圆的两个焦点距离之和为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】首先求出 ，再根据椭圆的定义得解.
【详解】椭圆 ，则 ，所以 ，
因为 是椭圆上的动点，则 到该椭圆的两个焦点距离之和为 .
故选：D
(3)设 分别为椭圆 的左右焦点，过 的直线交椭圆于A、B两点，则 的周长为（ ）
A．12 B．24 C． D．
【答案】D
【分析】将三角形周长 整理并结合椭圆的定义，即可求得答案.
【详解】由题意可得，对于椭圆 有长半轴长 ，
又过 的直线交椭圆于A、B两点，
故 的周长
，
故选：D
跟踪训练1 (1)P是椭圆 上的一点，F是椭圆的左焦点，O是坐标原点，已知点M是线段PF的
中点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角形中位线定理，先求出 ，然后再根据椭圆的定义，即可算出 .
【详解】设 为椭圆的右焦点，连接 ，
因为M是线段PF的中点， 为 的中点，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为椭圆标准方程为 ，所以 ，
又由椭圆的定义，有 ，所以 .
故选：C(2)已知点 ， 是椭圆 上关于原点对称的两点， ， 分别是椭圆 的左、右焦点，若
，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先证明四边形 是平行四边形，再利用椭圆的定义求出 即得解.
【详解】因为 ,
所以四边形 是平行四边形.
所以 .
由椭圆的定义得 .
所以 .
故选：C
二、椭圆的简单几何性质例2 (1)椭圆 与椭圆 的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
【答案】D
【分析】分别求出两个椭圆的长短半轴长、半焦距、离心率，即可判断作答.
【详解】椭圆 的焦点在x轴上，
长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为 .
椭圆 的焦点在x轴上，
长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为8，离心率为 ，
所以两椭圆焦距相等.
故选：D.
(2)椭圆 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆中 的关系即可求解.
【详解】由于 ，所以椭圆的焦点在 轴上，且 ，故焦点为
，
故选：D
(3)中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆几何性质可知 ，代入椭圆标准方程即可求得结果.
【详解】根据题意可设椭圆方程为 ，
易知 ，且 ，解得 ；
所以 ，故椭圆方程为 .
故选：A
跟踪训练2 (1)已知椭圆 为两个焦点， 为椭圆 上一点，若 的周长为
4，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的方程可得 的关系，结合 的周长，列方程求解，即得答案.
【详解】设椭圆 的焦距为 ，则 ，
的周长为 ，解得 ，
故选：D
(2)（多选）已知 是椭圆 上的一点， 是椭圆 的两个焦点，则下列结论正确的是
（ ）
A．椭圆 的短轴长为 B． 的坐标为
C．椭圆 的离心率为 D．存在点P，使得
【答案】AC
【分析】由椭圆标准方程可得基本量，从而可求离心率，故可判断ABC的正误，根据 的大小关系可判断D的正误.
【详解】椭圆的焦点在 轴上， ，则短轴长为 ，A正确；
的坐标为 ，B错误；离心率为 ，C正确；
因为 ，故以原点为圆心， 为半径的圆与椭圆没有交点，
故不存在点P，使得 ，D错误，
故选：AC.
三、求椭圆的标准方程
例3 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点 ；
(2)经过两点 和 ；
(3)经过 两点.
(4)过点 且与椭圆 有相同焦点.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由题意可得 ，然后利用椭圆的定义得到 ，进而即可求解；（2）椭圆的方程为 （ ， ， ），将点 的坐标代入，解方程组即可求解；
（3）椭圆的方程为 （ ， ， ），将点 的坐标代入，解方程组即可求解；
（4）根据题意可知椭圆的焦点坐标为 ，设所求方程为 ，
将点 代入得即可求解.
【详解】（1）由题意知 ，且焦点坐标分别为 ， .
由 ，得 ，可得 ，所以
.
又焦点在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为 .
（2）设椭圆的方程为 （ ， ， ）.将 两点的坐标代入方程，
得 ，解得 ，
故所求椭圆的标准方程为 .
（3）设所求的椭圆方程为 ．
把 两点代入，
得： ，解得 ，
∴椭圆方程为 ．（4）依题意，知椭圆的焦点坐标为 .
设所求方程为 ，
将点 代入得 ，所以 ，
则所求椭圆的标准方程为 .
跟踪训练3 求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为 ；
(2)椭圆过点 ，离心率 ；
(3)在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8；
(4)与椭圆 有相同的焦点，且短轴长为2．
【答案】(1) ；(2) 或 ；(3) ；(4) .
【分析】（1）由 、 、 和长轴在x轴上，可得答案；
（2）若焦点在x轴上，则 ，由 、 得椭圆的标准方程；若焦点在y轴上，则 ，
由 ，得椭圆的标准方程；
（3）分析知 结合 可得椭圆的标准方程；
（4）椭圆化为标准形式可得焦点在y轴上，可设所求椭圆的方程为 ，利用焦点坐标、
可得求椭圆的标准方程．
【详解】（1）由题意，可知 ， ，得 ， ，从而 ，又长轴在x轴上，故所求椭圆的标准方程为 ．
（2）若焦点在x轴上，则 ，
由 ，得 ，所以 ，此时椭圆的标准方程为 ，
若焦点在y轴上，则 ，
由 ，得 ，
此时椭圆的标准方程为 ，
故椭圆的标准方程为 或 ．
（3）分析知 ， ，故椭圆的标准方程为 ．
（4）椭圆 可化为 ，
可知焦点在y轴上，焦点坐标为 ，
故可设所求椭圆的方程为 ，则 ，
又 ，即 ，所以 ，
则所求椭圆的标准方程为 ．
四、与椭圆有关的轨迹问题
例4 (1)在平面直角坐标系中，点 到点 、 的距离之和为 ，则点 的轨迹方程是 .
【答案】
【分析】依题意可得点 为以点 、 为焦点的椭圆，即可求出 、 、 ，从而得到椭圆方程.
【详解】因为点 到点 、 的距离之和为 ，即 ，所以点 的轨迹为以点 、 为焦点的椭圆，
且 ， ，所以 ，所以椭圆方程为 .
故答案为：
(2)已知 为椭圆 上一动点，记原点为 ，若 ，则点 的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】先设点 ，再由 应用相关点法求轨迹方程即可.
【详解】设点 ，由 得点 ，而点 为椭圆 上的任意一点，
所以 ，整理得 ，
所以点 的轨迹方程是 .
故答案为：
跟踪训练4 (1)已知定圆 ，圆 ，动圆M和定圆 外切和圆 内
切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【答案】
【分析】由椭圆的定义直接求动点M的轨迹方程即可.
【详解】圆 ，圆
因为圆M与圆 外切，所以 ，
因为圆M与圆 内切，所以， ，
两式相加得 ，所以M的轨迹是以 为焦点的椭圆，故其方程为 .
(2)点 是圆 内一定点，动圆 与已知圆相内切且过 点，判断圆心 的轨迹．
(3)已知 是椭圆 上一动点， 为坐标原点，求线段 的中点 的轨迹方程．
【答案】（2）轨迹是椭圆；（3） ．
【分析】（2）根据椭圆的定义求出圆心 M 的轨迹；
（3）应用相关点法设点求轨迹方程即可.
【详解】（2）方程 化成标准形式为 ，圆心为 ，半径 ．
因为动圆 与已知圆相内切且过 点，
所以 ，
根据椭圆的定义，动点 到两定点 的距离之和为定值 ，所以动点 的轨迹是椭圆．
（3）设 ，
由中点坐标公式得 所以
又点 在椭圆 上，
所以 ，
即 ．
五、求椭圆的离心率
例5 (1)椭圆 的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． -1 C． D．
【答案】D
【分析】由题意得出交点坐标代入椭圆方程，利用齐次方程解方程即可.
【详解】由题意，直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则其纵坐标为2c，
将其代入 =1，得 ，解之得 ，
又椭圆的离心率 ，所以 .
故选：D.
(2)已知椭圆 的三个顶点 构成等边三角形，则椭圆 的离心率是 .
【答案】
【分析】首先确定三个顶点的位置，再根据几何关系，建立方程，即可求离心率.
【详解】因为 ，所以三个顶点 应是两个短轴端点，一个长轴端点，
即 ，即 ，则 ，得 .
故答案为：
跟踪训练5 (1)已知 是椭圆 的两个焦点， 是 上一点，若 ，则 的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理,可得 ,求得离心率.
【详解】设 ，
由余弦定理可得 ，解得 ，则 ，
根据椭圆的定义，离心率为 .
故选:B.
(2)已知椭圆 的焦点分别为 ，则 的离心率为 .
【答案】
【分析】根据条件，确定 ，再求 ，即可求椭圆的离心率.
【详解】由题意知椭圆 的焦点在 轴上，所以 ，所以 ，
所以 ，离心率为 .
故答案为：
(3)已知 是椭圆 的左焦点，经过原点 的直线 与椭圆 交于 两点，若
，且 ，则椭圆 的离心率 ．
【答案】 /
【分析】取椭圆的右焦点 ，由直线 过原点及椭圆的对称性可得四边形 为平行四边形，然后根据
椭圆的性质结合条件及余弦定理可得离心率的值.
【详解】取椭圆的右焦点 ，连接 ， ，
由椭圆的对称性，可得四边形 为平行四边形，则 ， ，
又 ，而 ，
所以 ，所以 ，
在 中， ，
整理，得 ，即 ，又 ，
所以 .
故答案为： .
六、直线与椭圆
命题角度1 直线与椭圆的位置关系
例6 (1)直线 ： 与椭圆 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交
【答案】A
【分析】方法1：先求含参直线l恒过定点M，研究定点M与椭圆的位置关系可判断直线l与椭圆的位置关
系；
方法2：代数法，联立直线l与椭圆方程，消参后可由 判断出直线l与椭圆的位置关系.
【详解】方法1：
∵ ，即： ，
∴直线l恒过定点 ，
又∵椭圆
∴ ，∴定点M在椭圆内，
∴直线l与椭圆相交.
方法2：
∴ 恒成立，
∴直线l与椭圆相交.
故选：A.
(2)直线 与椭圆 只有一个交点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】联立直线与椭圆的方程，消去 ，根据 即可求解.
【详解】由 ，消去 并整理得 ，
因为直线 与椭圆 只有一个交点，
所以 ，得 ．
故选:C.
跟踪训练6 (1)已知直线 ，椭圆 ，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】C
【分析】联立直线和椭圆方程，根据所得到的方程的解的个数来判断直线和椭圆的位置关系.
【详解】联立 ，消去 ，整理得到 ，该方程判别式，于是此方程无解，即直线和椭圆没有交点，故直线和椭圆相离.
故选：C
(2)若直线 与圆 没有交点，则过点 的直线与椭圆 的交点的个数
为（ ）
A．0或1 B．2 C．1 D．0或1或2
【答案】B
【分析】由直线与圆的位置关系，可得不等式，根据点与椭圆的位置，可得答案.
【详解】由 ，可知圆心 ，半径为 ，由题意，则 ，即 ，
由 ，则点 在椭圆内，于是过点 的直线与椭圆必有两个交点.
故选：B.
命题角度2 弦长问题
例7 (1)直线x－y＋1＝0被椭圆 ＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】联立方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求距离.
【详解】由 得交点为(0,1)， ，则|AB|＝ ＝ .
故选：A.
(2)过椭圆 的左焦点作斜率为1的弦 ，则弦 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】首先求出椭圆左焦点，然后写出直线方程为 ，再联立椭圆解出两交点坐标，最后依据两点
之间距离公式得到 弦长.
【详解】由 ,得椭圆方程 ,
左焦点为 ,
过左焦点 的直线为 ,代入椭圆方程 得
，解得 或 ，
，
故选：D.
(3)已知直线 与椭圆 交于M，N两点，且 ，则 .
【答案】
【分析】设 ，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式可以求出 .
【详解】设 ，
由 消去y并化简得 ，
所以 ,
由 ，得 ，
所以 ，所以 ，
即 ，化简得 ，所以 ，所以 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式的应用，属于基础题.
跟踪训练7 (1)一条过原点的直线与椭圆 的一个交点为 ，则它被椭圆截得的
弦长等于（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】已知直线与椭圆的一个交点为 ，可求得其与原点的距离，根据对称性可知，直线被椭圆
截得的弦长为两交点分别与原点的距离之和，从而得出答案.
【详解】设过原点 的直线的方程为： ，直线与椭圆 的一个两个交点分
别设为 ，
则根据对称性可知 两点关于原点 对称，即 ，
而
直线被椭圆截得的弦长为 ,所以 .
故选：B.
(2)已知椭圆 的右焦点为 ，左、右顶点为A、 ， ， ．则直线
被椭圆 截得的弦长为 ．【答案】 ．
【分析】由题可得椭圆的方程，联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值.
【详解】设椭圆的半焦距为 ，由 ， ，
可得 ， ，解得 ， ，
则 ，
即有椭圆的方程为 ，
联立直线 和椭圆 ，
可得 ，
设被椭圆 截得的弦的端点的横坐标分别为 ， ，
则 ， ，
可得弦长为 .
故答案为： .
(3)已知直线 ： 与椭圆 ： 交于 ， 两点．
(i)求 的取值范围；
(ii)若 ，求 的值．
【答案】(i) ；(ii) .
【分析】(i)联立直线与椭圆方程得到含参数m的一元二次方程，由它们有两个交点知 ，即可求参数范
围.
(ii)已知弦长，结合弦长公式列方程求参数值即可.
【详解】(i)由题设，联立直线与椭圆方程有 ，整理可得： ，因为直线与椭圆有两个交点，
所以 ，可得 .
(ii)由(i)可得： ， ，
又 ，整理得： ，
所以 ，经检验满足题设，故 .
【课堂巩固】
1． ， 为椭圆 的两个焦点，P是椭圆上的点，且 ，则 （ ）
A．9 B．4 C．2 D．1
【答案】A
【分析】由椭圆定义可得 ，进而求得结果．
【详解】椭圆 中， ， ， 为椭圆 的两个焦点，
⸫ ，又 ，⸫
故选：A
2．如果椭圆 上一点 到此椭圆一个焦点 的距离为2， 是 的中点， 是坐标原点，则
的长为（ ）
A．6 B．10 C．8 D．12
【答案】C
【分析】由椭圆定义可得 ，再利用中位线的性质即可求解．【详解】如图，连接 ， ， ，
由椭圆方程可得： ，则 ，
由椭圆定义可得 ，所以 ，
因为 是 的中点， 是 的中点，则由中位线可得： .
故答案为：C.
3．椭圆 的焦距是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】先把方程整理成标准形式，进而可求半焦距的值，即可得结果.
【详解】因为椭圆 可化为 ，可得 ，
所以焦距为2，
故选：A.
4．曲线 与曲线 一定有（ ）
A．相同的焦距 B．相同的离心率
C．相等的长轴长 D．相等的短轴长
【答案】B
【分析】将椭圆方程 化为标准形式，求两椭圆的焦距，长轴长，短轴长，离心率判断各选项即
可.
【详解】椭圆 化为标准方程为 ，所以椭圆 的长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ，离心率为 ，
椭圆 的长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ，离心率为 ，
所以曲线 与曲线 的离心率一定相等，
故选：B.
5．点M与定点 的距离和它到定直线 的距离的比为 ，则点M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轨迹方程的求解方法列方程求解.
【详解】设 ，
因为点M与定点 的距离和它到定直线 的距离的比为 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，
故选:C.
6．直线 与椭圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【分析】代数法联立直线与椭圆，转化为二次方程根的问题来判断即可.
【详解】联立 ，
则
所以方程有两个不相等的实数根，
所以直线与椭圆相交故选：C.
7．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，过 且斜率为1的直线 交椭圆 于A、 两点，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用弦长公式求解即可.
【详解】设直线AB方程为 ，联立椭圆方程
整理可得： ，设 ，
则 ， ，根据弦长公式有：
= ．故B，C，D错误.
故选：A.
8．已知椭圆 的焦点为 、 ，P为椭圆上的一点，若 ，则 的面积为（ ）
A．3 B．9 C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆定义和焦点三角形，利用余弦定理和面积公式即可求解.
【详解】根据椭圆的定义有 ，①
根据余弦定理得 ，②
结合①②解得 ，所以 的面积 ．
故选:C9．已知椭圆 的离心率为 ，则长轴与短轴的比值为 .
【答案】
【分析】根据 间的关系知 ，再根据条件即可求出结果.
【详解】因为椭圆 的离心率为 ，所以 ，得到 ，所以长
轴与短轴的比值为 .
故答案为： .
10．在平面直角坐标 中，已知椭圆 ： （ ）的左焦点为 ，左顶点为 ，过点
作 轴的垂线在第二象限交椭圆于点 ，连接 并延长交 轴于点 .若 ，则椭圆的离心率
为 .
【答案】
【分析】由 判断出 为 中点，从而得出 为 中点，即可由 与 的比值求出离心率.
【详解】
如图，在直角三角形 中，∵ ，∴ 为线段 的中点，
又∵ 轴，∴ ，∴ 为线段 中点，
又∵在椭圆 中， ， ，∴ ，
∴椭圆 的离心率为 .
故答案为： .
11．已知椭圆的两焦点为 ，点 在椭圆上．若 的面积最大为12，则椭圆的标准方
程为 ．
【答案】
【分析】由题意可知当 在 轴上时 的面积最大，从而可求出 ，再结合 可求出 ，从而可求出
椭圆的标准方程.
【详解】如图，当 在 轴上时 的面积最大，所以 ，所以 ．
又 ，所以 ，
所以椭圆的标准方程为 ．
故答案为：
12．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且经过点 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标，并用描点法画出它的图形．【答案】(1) ；
(2)长轴长为4；短轴长为 ；离心率为 ；顶点坐标为 ，作图见
解析
【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可；
（2）根据长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标的定义求解，并描出顶点画图即可.
【详解】（1）由题意，椭圆的焦点坐标分别为 ，长轴长
，即 ， ，故椭圆的方程为 .
（2）由椭圆的方程为 可得，椭圆的长轴长 ，短轴长 ，离心率为 ，顶点坐标为
，作图如下：
13．已知椭圆 焦点为 ，且过点 ，椭圆第一象限上的一点
到两焦点 的距离之差为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求 外接圆的标准方程．【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由条件列关于 的方程，解方程求 ，由此可得椭圆方程；
（2）由条件结合椭圆定义求 ，根据勾股定理证明 ，由此确定外接圆的圆心和半径，
由此确定圆的方程.
【详解】（1）椭圆 过点 ，且焦点为 ， ，
则 ，解得： ， ，
所以椭圆方程为： ．
（2）由 ，得： ， ，
又 ， ，
所以点 的坐标为 ，
故外接圆圆心是 的中点，圆心的坐标为 ，
半径 ，
所以 外接圆的标准方程为： ．14．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在轴上 ，长轴长为4，焦距为2；
(2)经过 两点.
(3)经过点 ，且与椭圆 有共同的焦点；
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【分析】（1）由定义和椭圆关系式可直接求解；
（2）设所求椭圆的方程 ，将 代入即可求解；
（3）设出标准方程 ，将 代入，结合 相同联立方程可求解.
【详解】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设椭圆的方程为 （ ），
∵长轴长为4，焦距为2，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴椭圆的方程为 ；
（2）设所求椭圆的方程 ，将 代入上式得 ，解得 ，
所以所求椭圆的标准方程为 ；
（3）椭圆 ，即 ，故 ，
焦点为 ， ，
设所求椭圆的标准方程 ，
所以 ，解得 ，
所以所求椭圆的标准方程为 .
15．已知离心率为 的椭圆 过点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作斜率为 直线 与椭圆相交于 两点，求 的长．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）根据离心率可得 的关系，将点 代入椭圆方程，可得椭圆方程；（2）直线方程与椭
圆方程联立，可得弦长 .
【详解】（1） ，又 ，
，即椭圆方程是 ，代入点 ,
可得 ，
椭圆方程是 .
（2）设
直线方程是 ，联立椭圆方程
代入可得 .
【点睛】本题考查了椭圆方程和直线与椭圆的位置关系，涉及弦长公式，属于简单题.
【课时作业】
1．已知 ，动点C满足 ，则点C的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．点
【答案】C
【分析】由 ，作出判断即可．
【详解】因为 ，
所以 ，知点C的轨迹是线段AB．
故选：C.2．若椭圆 的离心率为 ，则椭圆 的长轴长为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】D
【分析】根据椭圆的离心率求出 的值，对椭圆 的焦点位置进行分类讨论，求出 的值，即可求得椭
圆 的长轴长.
【详解】因为 ，所以， .
①若椭圆 的焦点在 轴上，则 ，可得 ，则 ，
此时，椭圆 的长轴长为 ；
②若椭圆 的焦点在 轴上，则 ，可得 ，则 ，
此时，椭圆 的长轴长为 .
综上所述，椭圆 的长轴长为 或 .
故选：D.
3．已知椭圆的方程为 ，弦AB过椭圆的焦点F，另一焦点为F，则 ABF 的周长为（ ）
1 2 2
△
A．8 B．10 C．16 D．20
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义计算周长即可.
【详解】由题意可知 的周长为 20，
故选:D.4．已知点P为椭圆 上动点， 分别是椭圆C的焦点，则 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】D
【分析】由椭圆的定义可得 ，结合 ，即可求解.
【详解】由椭圆 ，可得 ，所以 ，
又由椭圆的定义可得 ，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最大值为 .
故选：D.
5．椭圆 的焦点为 、 ，点 在椭圆上且 轴，则 到直线 的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】先求出 、 的坐标，再由 轴，可求出 ，再由勾股定理可求出 ，然后利用等
面积法可求得结果.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，
所以 ， ，
当 时， ，解得 ，因为 轴，所以 ，
所以 ，
设 到直线 的距离为 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，
故选：A
6．椭圆 与椭圆 的关系为（ ）
A．有相同的长轴长与短轴长 B．有相同的焦距
C．有相同的焦点 D．有相同的离心率
【答案】B
【分析】利用椭圆的方程分别求出两个方程的a，b，c的值以及焦点所在位置，即可判断每个选项的正误.
【详解】对于椭圆 ，则 ，且焦点在x轴上，
所以长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，焦点为 ，离心率为 ，
对于椭圆 ，因为 ，则 ，
可得 ，且焦点在y轴上，所以长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为8，焦点为 ，离心率为 ，
所以A、C、D错误，B正确.
故选：B.
7．已知椭圆长轴、短轴的一个端点分别为A，B，F为椭圆的一个焦点，若 为直角三角形，则该椭
圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的几何性质表示 的各边长，并结合勾股定理求解结果.
【详解】如图，
，
由已知得 ，且 ， ，
得 ，解得 .
故选：C.
8．直线 与椭圆 的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的
离心率e等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】连接 ，求出 ， ，由椭圆的定义列出关于 的方程，求出离
心率.
【详解】如图所示，连接 ，由题意得： ，由勾股定理得：
，由椭圆定义可得： ，即 ，所以 .
故选：B
9．（多选）对于椭圆 ，下面说法正确的是（ ）
A．长轴长为2 B．短轴长为3 C．离心率为 D．焦距为2
【答案】CD
【分析】根据方程可得 ，进而可得 ，结合椭圆性质逐项分析判断.
【详解】椭圆的方程为 ，其中 ，则 ，
所以其长轴长 ．短轴长 ，焦距 ，离心率 ．
故A、B错误，C、D正确.
故选：CD．10．（多选）关于椭圆 有以下结论，其中正确的有（ ）
A．离心率为 B．长轴长是
C．焦距2 D．焦点坐标为
【答案】ACD
【分析】将椭圆方程化为标准方程，再由椭圆的几何性质可得选项.
【详解】将椭圆方程化为标准方程为
所以该椭圆的焦点在 轴上，焦点坐标为 ，故焦距为2，故C、D正确；
因为 所以长轴长是 ，故B错误，
因为 ，所以 ，离心率 ，故A正确.
故选：ACD
11．直线 和曲线 的位置关系为 .
【答案】相交
【分析】根据直线过点且在椭圆内部可得出结论.
【详解】曲线 为： 可得
直线 恒过 ，由 知定点 在椭圆内部，
所以直线 与椭圆 的位置关系为相交.
故答案为：相交.
12．已知P是圆 上任一点， ，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当
点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，结合图形的几何性质探求点Q满足的关系等式，再借助椭圆的定义求出方程作答.【详解】圆 的圆心 ，半径 ，点Q在线段PA的中垂线l上，如图，
有 ，则 ，
因此点Q的轨迹是以A，C为焦点，实轴长 的椭圆，则虚半轴长 ，
所以点Q的轨迹方程为 .
故答案为：
13．已知 是椭圆 ： 的右焦点，直线 过椭圆 的下顶点且斜率为 ，以点 为圆
心、半焦距为半径的圆与直线 相切，则椭圆 的离心率为 .
【答案】
【分析】根据圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径即可列式求解．
【详解】直线l的方程为： ，即 ，由题意，F到l的距离等于c，
由点到直线距离公式，得 ，化简得 ，又 ，解得 ．
故答案为：
14．已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为 ．
【答案】
【分析】根据已知可得 ，设 ，利用勾股定理结合 ，求出 ，四边形
面积等于 ，即可求解.
【详解】因为 为 上关于坐标原点对称的两点，
且 ，所以四边形 为矩形，
设 ，则 ，
所以 ，
，即四边形 面积等于 .
故答案为： .
15．已知椭圆 的左右焦点分别为 、 .
(1)求椭圆 的长轴长、短轴长和焦点坐标；
(2)若点 在椭圆 上，且 ，求 的外接圆的方程；
(3)求过点 且与椭圆 有相同焦点的椭圆方程.
【答案】(1)长轴长 ；短轴长 ； ，
(2)(3)
【分析】（1）根据方程求 ，即可得结果；（2）根据椭圆定义可得 ，结合题意可求
，进而可得三角形 是直角三角形，即可求外接圆方程；（3）根据题意设椭圆方程，代入
点 运算求解即可.
【详解】（1）由题意可得： ，则 ，
故长轴长 ，短轴长 ，焦点坐标 ， .
（2）若点 在椭圆 上，则 ，
∵
所以 ， ，
又∵ ，则 ，即三角形 是直角三角形，
∴三角形 的外接圆心为 ，半径 ，则外接圆方程为 .
（3）由题意设所求椭圆方程为 ，
代入点 得 ，解得 ， （舍去），
所以所求方程为 .
16．圆 ： 与 轴的两个交点分别为 ， ，点 为圆 上一动点，过 作 轴
的垂线，垂足为 ，点 满足 求点 的轨迹方程；【答案】
【分析】
设点 在圆 上，故有 ，设 ，根据题意得 ， ，再代
入圆 即可求解.
【详解】
设点 在圆 上，
故有 ，设 ，又 ，可得 ， ，
即 ， 代入 可得 ，
化简得： ，故点 的轨迹方程为： .
17．椭圆C： 左右焦点为 ， ，离心率为 ，点 在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过点 ，倾斜角为 直线l与椭圆交于B，C两点，求 ．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）利用椭圆的离心率，过点 ，及 ，列方程解出 即可得椭圆方程；
（2）由已知可得直线l的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求解.
【详解】（1）解：由题意得 ，解得 ，
又因为点 在椭圆C上，
带入 得 ，
所以椭圆的标准方程为 .
（2）解：易得直线l的解析式为 ，
设 ， 联立椭圆的方程
得
，
所以 ．
18．已知椭圆 及直线 ．
（1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程．
【答案】（1） （2）【分析】试题分析：（1）将直线的方程 与椭圆的方程 联立，得到
，利用 即可求得m的取值范围；（2）利用两点间的距离公式，再借助于韦达
定理即可得到：两交点AB之间的距离 从而可求得m的值
试题解析：（1）把直线方程 代入椭圆方程 得 ，
即 ． ， 解得
（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 ， ，由（1）得 ， ．
根据弦长公式得 ： ．解得 ．方程为 ．
考点：直线与椭圆相交问题及相交弦问题
