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第 07 讲 空间向量的数量积运算 9 种常见考法归类
掌握空间向量的数量积，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
知识点1 空间向量的夹角
如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向
量a，b的夹角，记作〈a，b〉
定义
范围 0≤〈a，b〉≤π
向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b
知识点2 空间向量的数量积运算
1．(1)空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，
b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)运算律
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R
交换律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
2.投影向量及直线与平面所成的角
(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平
面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a
在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)．
(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为
A′，B′，得到向量A′B′，向量A′B′称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，A′B′的夹角就是向量
a所在直线与平面β所成的角．注意点：
(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定．
①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.
②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.
(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．
知识点3 空间向量数量积的性质
设 ， 是非零向量， 是单位向量，则
① ； ② ；
③ 或 ； ④ ；
⑤ (当且仅当 共线时等号成立)
1、求空间向量数量积的步骤
(1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清；
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积；
(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
注：在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹
角的向量的组合形式;其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积;最后利
用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或特殊角.
2、求两个向量的夹角有两种方法：
①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝ 求出cos〈a，b〉的值，最后确定〈a，b〉的值．
3、利用数量积求夹角或其余弦值的步骤
注：求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角．
4、利用空间向量解决垂直问题的方法
(1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为 0
来判断两直线是否垂直．
(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解
向量m，n的数量积并判断是否为0.
5、求两点间的距离或线段长的方法
（1）将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．
（2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
（3）因为a·a＝|a|2，所以|a|＝ ，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以
推广为|a±b|＝ ，
.
（4）可用|a·e|＝|a||cosθ|(e为单位向量，θ为a，e的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投
影．考点一：空间向量数量积的概念辨析
（一）空间向量的夹角
例1．（2023春·高二课时练习）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量 分别与向量 ，
， ， ， 的夹角．
【答案】45°；135°；60°；120°；90°
【分析】由图形特征求向量夹角.
【详解】连接BD，则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，
所以 ，
，
，
，
.
变式1．（2023春·高二课时练习）在正四面体ABCD中， 与 的夹角等于（ ）
A．30° B．60° C．150° D．120°
【答案】D
【分析】根据正三角内角为 求解.
【详解】由正四面体每个面都是正三角形可知，
故选：D变式2．（2022·高二课时练习）如图，在长方体 中：
(1)哪些棱所在直线与直线 互为异面直线且互相垂直？
(2)若 ，分别求向量 与 ， ， 的夹角.
【答案】(1) ；
(2)具体见解析.
【分析】（1）由长方体的性质及异面直线的定义即可求得答案；
（2）由空间向量夹角的定义并结合线面垂直的性质定理即可求得答案.
【详解】（1）在长方体 中，易知 底面ABCD，则 ， ，而
，所以 ，于是与直线 互为异面直线且互相垂直的直线有
.
（2）易知 ，而 ，所以 .
因为 ，所以 与 的夹角为 ；
因为 ，所以 与 的夹角为 ；
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ，所以 与 的夹角为 .
（二）空间向量的运算律
例2．【多选】（2023春·高二课时练习）设 ， 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确
的有（ ）A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可；
【详解】解：对于A： ，故A正确；
对于B：因为向量不能做除法，即 无意义，故B错误；
对于C： ，故C错误；
对于D： ，故D正确；
故选：AD
变式1．（2023春·高二课时练习）对于任意空间向量 ， ， ，下列说法正确的是（ ）
A．若 且 ，则 B．
C．若 ，且 ，则 D．
【答案】B
【分析】根据空间向量共线的定义判断A，由数量积的运算律判断BCD．
【详解】若 ，则由 且 ，不能得出 ，A错；
由数量积对向量加法的分配律知B正确；
若 ，则 ，当 时就成立，不一定有 ，C错；
是与 平行的向量， 是与 平行的向量，它们一般不相等，D错．
故选：B．
变式2．（2022秋·湖北襄阳·高二校考阶段练习）设 ， ， 都是非零空间向量，则下列等式不一定正确
的是（ ）A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查空间向量加减法和数量积的运算律，根据运算律判断即可．
【详解】由向量加法的结合律知A项正确；由向量数量积的运算律知B项、D项正确；C项若 ， 不共
线且 不垂直，则 ，故C不一定正确．
故选：C.
考点二：空间向量数量积的运算
例3．（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）已知向量 ，向量 与
的夹角都是 ，且 ，试求
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)11
(2)
【分析】（1）计算 ，展开计算得到答案.
（2） ，代入计算得到答案.
【详解】（1）向量 ，向量 与 的夹角都是 ，且 ，
，；
（2）
变式1．（2023秋·广东揭阳·高二统考期末）在空间四边形 中， 等于
（ ）
A． B．0 C．1 D．不确定
【答案】B
【分析】令 ，利用空间向量的数量积运算律求解.
【详解】令 ，
则 ，
，
.
故选：B
变式2．【多选】（2023春·高二课时练习）正方体 的棱长为1，体对角线 与 ，相
交于点 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律结合正方体的性质即得.
【详解】方法一： ，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
方法二：，故A正确；
由正方体的性质可知， ， ，
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：AC．
变式3．（2023春·江苏常州·高二江苏省溧阳中学校考阶段练习）在棱长为1的正方体 中，
为棱 上任意一点，则 =_______.
【答案】1
【分析】根据空间向量的线性运算及数量积的运算性质求解.
【详解】如图，在正方体中， 为棱 上任意一点，则 ， ，
.
故答案为：1.
变式4．（2023·全国·高三专题练习）如图， 面 ， 为矩形，连接 ､ ､ ､ ､ ，
下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】A
【分析】根据矩形的性质，利用线面垂直的性质及判定，易证 、 、 ，而 不
一定与 垂直，再由向量数量积的垂直表示即可确定选项.
【详解】由 面 ， 为矩形，
A： 面 ，则 ，而 与 不一定垂直，不一定有 面 ，故 不一定与
垂直，所以 与 数量积不一定为0，符合题意；
B：由A知 ，又 且 ，则 面 ，又 面 ，所以 ，即
与 数量积为0，不合题意；
C：由上易知 ，又 且 ，则 面 ，又 面 ，所以 ，
即 与 数量积为0，不合题意；
D：由上知 ，而 ，所以 ，即 与 数量积为0，不合题意；
故选：A.
变式5．（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）如图，各棱长都为 的四面体 中
， ，则向量 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量的运算可得 ， ，由向量数量积的定义即可得到答
案.
【详解】由题得 夹角， 夹角， 夹角均为 ，
，
，
，
故选：A.
变式6．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体
中，E，F分别为棱 ，CD的中点，记 ， ， ，满足
， ， ， .(1)用 ， ， 表示 ；
(2)计算 .
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据空间向量对应线段的位置关系，用 表示出 ；
（2）应用向量数量积的运算律得 ，结合已知即可求数量积.
【详解】（1） ；
（2）
.
变式7．（2023春·高二课时练习）如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC
的中点．求下列向量的数量积：
(1)
(2)(3)
【答案】(1)
(2)
(3)1
【分析】（1）正四面体的每个面均为等边三角形，夹角为 ，再结合空间向量数量积的运算法则，得解；
（2）由 ，代入运算，即可得解；
（3）取 的中点 ，连接 ， ，可推出 ，再在 中，利用余
弦定理求出 的值，从而得解．
【详解】（1）
（2） ；
（3）取 的中点 ，连接 ， ，则 ， ，
在 中， ， ，
由余弦定理知， ，
所以 ．变式8．（2023·全国·高三对口高考）已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分
别是 、 的中点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算运算律可得 ，在根据数量积的定义求其值.
【详解】由题意， 和 之间夹角均为 ，结合平面向量线性运算有
故选：C
变式9．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）平行六面体 中，以顶点
为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 ，求 的值是__________．
【答案】1
【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出 ，再根据空间向量的数量积的运算，即可求
得答案.【详解】由题意得 ， ，
则
,
故答案为：1.
变式10．（2023春·高二课时练习）如图, 在直三棱柱 (即 平面 ),
, , 求
【答案】1
【分析】直三棱柱中可得 ，根据 ，由勾股定理可知 ，由
向量的线性运算可得 ，从而有 转化为 化简即可求得答案.
【详解】∵ 平面 ， .又 ，∴E为BC的中点， ．
又
.
考点三：空间向量数量积的最值问题
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知点P在棱长为2的正方体 的表面上运
动，则 的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】取 中点 ，连接 ，利用向量的线性运算及数量积的运算性质可得.
【详解】取 中点 ，连接 ，如图，
则 ，
当 在正方体表面上运动时，运动到 或 处时， 最大，
所以 ,
所以 的最大值为8.
故选：C
变式1．（2023春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB
是该正方体外接球的一条直径，则 的最大值为（ ）A． 2 B． 3 C． 1 D．0
【答案】D
【分析】根据空间向量的加减法运算和数量积的运算律求解.
【详解】由题可得，正方体外接球的直径 ,
设 为正方体外接球的球心，则 为 的中点，
则有 ,且 ，
，
由于 ，所以 的最大值为0，
故选:D.
变式2．（2023春·四川资阳·高二统考开学考试）如图，已知正方体 的棱长为 ，点 是
四边形 的内切圆上一点， 为四边形 的中心，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用向量加法、相等向量将 与 分别表示为 ， ，代入
数量积运算即可.
【详解】由题意知， ，设正方形 的中心为 ，连接 、 、 ，如图所示，
则 ， ， ， 面 ， 面 ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴
∵ ，
∴当 时， ，
∴ .
故选：C.
变式3．（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条
直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则 的取值范围为_______________.【答案】
【分析】利用等体积法求出内切球的半径，以及正四面体中内切球球心到顶点的距离，从而可得
，再根据 即可求解.
【详解】
如图所示，在边长为1的正四面体 中，设四面体内切球球心为 ，
内切球半径为 ，取 中点为 ，
则 , ,所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
因为点P为正四面体表面上的一个动点，
所以 ，即 ，
因为 ,
因为 为球O的一条直径，所以 ,
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
故答案为: .
考点四：利用空间向量的数量积求夹角
例5．（2023秋·高二课时练习）如图，已知正方体 的棱长为a，设
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意取得 ，且 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】由题意，正方体 中，棱长为 ，且 ，
可得 ，可得 ，
且 ，
则 ，
因为 ，所以 .
故选：D.变式1．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体 中，
， ， ， ， ，则 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的基本定理和向量的数量积的定义即可求解.
【详解】设 ， ， ，
因为 向量不共面，故 可构成空间的一组基底，
结合 ， ， ， ， ，
所以 =0， ， ，
则 ， ，
可得
，
，
，所以 ，
又因为异面直线所成角的范围是 ，
所以 与 所成角的余弦值为 .
故选：B.
变式2．（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）如图，在三棱柱 中，底面边
长和侧棱长均相等， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向
量用基底表示，然后利用夹角公式求异面直线 与 所成角的余弦值即可.
【详解】设 ， ， ，棱长均为 ，
由题意， ， ， ，
， ，
，
，，
，
异面直线 与 所成角的余弦值为 ，
故选：A.
变式3．（2023·河北·统考模拟预测）点 、 分别是正四面体ABCD棱 、 的中点，则
______．
【答案】
【分析】以 为基底， ，即可求解.
【详解】解：以 为基底，它们两两之间均为 ，设正四面体ABCD棱长为2，则
,
所以
，
所以 ,
故答案为：变式4．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体 中，
，且 ，则 的余弦值是________.
【答案】 /
【分析】利用空间向量基本定理，得到 ，求出 ， ，再由向量夹角公式求
的余弦值.
【详解】由题设，可得如下示意图，
∴ ，
设 ，则 ，又 ，
所以 ， ， ，
所以以.
，
所以
故答案为： .
变式5．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图：正三棱锥 中， 分别在棱 上，
，且 ，则 的余弦值为___________.
【答案】
【分析】设 ,由 可得 ，又 ，得
，利用数量积的运算律可得 .
【详解】正三棱锥 中，设 , 且侧棱长相等，
因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，即 ，
解得 ，即 的余弦值为 .
故答案为：
变式6．（2023春·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考阶段练习）已知空间向量
，则使向量 与 的夹角为钝角的实数 的取值范围是____________．
【答案】
【分析】先利用空间向量的数量积运算性质求得 ， ， 关于 的表达式，
再由两向量夹角为钝角得到关于 的不等式组，解之即可得解.
【详解】因为 ，
所以 ， ， ，
故 ，
，
，
因为向量 与 的夹角为钝角，
所以 ，即 ，
则 ，
解得 ，即 .故答案为： .
考点五：利用空间向量的数量积解决垂直问题
例6．（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）在空间，已知 ， 为单位向量，且
，若 ， ， ，则实数k的值为（ ）
A．－6 B．6
C．3 D．－3
【答案】B
【分析】由 和 的数量积为0，解出k的值.
【详解】由题意可得 ， ， ，
所以 ，即2k－12＝0，得k＝6.
故选：B.
变式1．（2023·江苏·高二专题练习）已知空间向量 ， ， ， ，且 与 垂直，则 与
的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知可得 ，根据数量积的运算律即可求出 ，进而求出结果.
【详解】因为 与 垂直，所以 ，
即 ，
所以 .又 ，所以 .
故选：D.
例7．（2023春·高二课时练习）已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足， ，A为垂足，
，且 ．求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】要证 ，只要证 ，即证 ，结合空间向量分析运算．
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ， ．
又 ，所以 ，
故 ．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，四边形 为矩形，且
， ， ．
(1)求线段 的长度；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(3)若 为 的中点，证明： ．
【答案】(1)(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由已知角的三边作为空间向量的一组基底，由基底表示 再进行模长计算即可；
（2）由基底表示 、 ，再代入向量夹角公式计算即可；
（3）由 计算即可得结果.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
∴ ，
所以线段 的长度为 ．
（2）∵
， ，
∴ ，
故异面直线 与 所成角的余弦值为 .
（3）因为 为 的中点，所以 ，
又∵ ，
∴ ，即 ．
考点六：利用空间向量的数量积求距离(即线段长度)
例8．（2023春·安徽·高二校联考开学考试）已知 均为空间单位向量，且它们的夹角为 ，则______．
【答案】
【分析】根据条件可求出 ，然后根据 进行数量积的运算即可求解.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，
故答案为：
变式1．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知 ， ， 均为空间单位向量，
它们之间的夹角均为 ，那么 （ ）
A．2 B．
C． D．6
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律、垂直关系的向量表示求解作答.
【详解】因为 ， ， 均为空间单位向量，它们之间的夹角均为 ， ，
所以
.
故选：C
例9．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知正四面体 的棱长
为 ，若 、 分别是 、 的中点，则线段 的长为（ ）
A．2 B．C． D．
【答案】B
【分析】以 、 、 作为一组基底表示出 ，再根据数量积的运算律求出 ，即可得解.
【详解】
，
又 、 、 两两的夹角均为 ，且 ，
，
.
故选：B．
变式1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图，平行六面体 中，
， ， ， ，则线段 的长为______.【答案】1
【分析】根据空间向量的数量积运算律求解即可.
【详解】由题可得, ， ,
所以 ,且 ,
因为 ,
所以
，
所以 ，
故答案为:1.
变式2．（2023秋·天津·高二统考期末）在平行六面体 中， ， ， ，
，则 的长为_______．
【答案】
【分析】由空间向量基本定理得到 ，平方后得到 ，得到 的长.
【详解】由题意得： ，
故
，故 .
故答案为：
变式3．（2023秋·辽宁丹东·高二统考期末）平行六面体 的底面是菱形， ，
， ，线段 的长度为 ，则 ______．
【答案】 /0.5
【分析】利用空间向量基本定理得到 ，平方后，利用数量积公式列出方程，求出
.
【详解】因为 ，
所以
因为 ， ， ， ，
所以 ，
解得： .
故答案为：变式4．（2023秋·吉林长春·高二校考期末）如图，在平行六面体 中， ， ，
， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的基底表示出 ，两边平方，根据向量的数量积运算律，即可
求解.
【详解】因为 ,
所以 ，
所以 ，
，
所以 ，
故选:C.
变式5．（2023·高一课时练习）如图，二面角 的平面角为 ， ， ， ，
， ， ，若 ，则 长为（ ）A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据式子 ，根据空间向量数量积的运算律即可求出 的长．
【详解】因为 ， ，所以 ，
因为二面角的余弦值是 ，所以 ，即 ，
所以
，
所以 ，即 的长为 ．
故选:C．
变式6．（2023春·高二课时练习）如图所示，在120°的二面角 中，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，
BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．
【答案】12
【分析】由 ，结合 和 AC⊥AB，BD⊥AB求解即可.
【详解】∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴ ，又∵二面角 的平面角为120°，
∴ ，
∴
∴CD＝12．
变式7．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角 的大小为 ，四边形 、
都是边长为 的正方形，则 、 两点间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二面角的定义可得出 ，由空间向量的线性运算可得出 ，利用空
间向量数量积的运算性质可求得 ，即为所求.
【详解】因为四边形 、 都是边长为 的正方形，则 ， ，
又因为二面角 的大小为 ，即 ，则 ，
因为 ，由图易知 ， ，
所以，
.
故选：C.
变式8．（2023秋·福建三明·高二统考期末）如图，在四面体ABCD中， ，， ， .
(1)求 的值；
(2)已知F是线段CD中点，点E满足 ，求线段EF的长.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）取 为空间的一个基底，表示出 ，再利用空间向量数量积求解作答.
（2）利用（1）中的信息，利用空间向量数量积计算空间向量的模作答.
【详解】（1）在四面体 中，设 ， ， ，则 ， ，
， ， ，
.
（2）由（1）知，因为 ，则 ，因为F是CD中点，则
，如图，于是得 ，
因此
，即有 ，
所以线段EF的长为 .
考点七：利用空间向量的数量积求投影
例10．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知空间向量 ， ，且 与 夹角的
余弦值为 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意和投影向量的概念计算即可求解.
【详解】 ， ， 与 夹角的余弦值为 ，
在 上的投影向量为
.
故选：D．
变式1．（2023春·高二课时练习）已知 ， 为空间单位向量， ，则 在 方向上投影的
模为_______．
【答案】【分析】利用向量投影的概念可求得结果.
【详解】由题意可知， 在 方向上投影的模为
故答案为： .
变式2．（2023春·高二课时练习）如图，已知正方体 的棱长为1，E为 的中点.
（1）求 ， 的大小；
（2）求向量 在向量 方向上的投影的数量.
【答案】（1） ， ；（2）1
【分析】（1）由 ，可得 ，由 ，可得 ；
（2）由空间向量投影的定义找出 在向量 方向上的投影即可求解
【详解】（1）在正方体 中，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ；
（2）连接 ，
因为 平面 ，
所以 ，又因为 ，
所以 在向量 方向上的投影为 ，
因为 ，
所以向量 在向量 方向上的投影的数量为1
变式3．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥 中， 平面 ， ，
， ．
(1)确定 在平面 上的投影向量，并求 ；
(2)确定 在 上的投影向量，并求 ．
【答案】(1) 在平面 上的投影向量为 ， ；
(2) 在 上的投影向量为 ， .
【分析】（1）根据 平面 可得 在平面 上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积
的定义计算 的值即可求解；
（2）由投影向量的定义可得 在 上的投影向量，由数量积的几何意义可得 的值.【详解】（1）因为 平面 ，所以 在平面 上的投影向量为 ，
因为 平面 ， 面 ，可得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以
.
（2）由（1）知： ， ，
所以 在 上的投影向量为：
，
由数量积的几何意义可得： .
变式4．（2023春·高二课时练习）如图，已知正方体 的棱长为1， 为棱 上的动点，
则向量 在向量 方向上的投影数量的取值范围为______．
【答案】
【分析】设 ，利用向量数量积的定义及运算法则可得 ，知向量 在向量 方向上投影数量为 ，进而求得其取值范围.
【详解】由已知E为棱 上的动点，设 ，
因为 ，
所以
，
所以向量 在向量 方向上投影数量为 ，
又 ， ，
，
所以向量 在向量 方向上投影的数量的取值范围为
故答案为：
考点八：利用空间向量的数量积判断图形的形状
例11．（2023·高三课时练习）已知四边形 满足 ， ， ，
，则该四边形为（ ）．
A．平行四边形 B．梯形
C．长方形 D．空间四边形
【答案】D
【分析】根据向量夹角的运算与定义，求得 都是钝角，得到此四边形是一个空间四边形.
【详解】由 ，可得 ，根据两个向量的夹角的定义，可得四边形 中， ，
同理可得四边形 中，得到 ，
则这个四边形 只能为空间四边形.
故选：D.
变式1．（2023春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考开学考试）设A、B、C、D是空间不共面的四
点，且满足， ， ，点M为BC的中点，则 是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【答案】C
【分析】由题，可得 平面 ，后由 平面 ，可得答案.
【详解】由 ， ，可知 .
又 平面 ， 平面 ， ，则 平面 .
因 ， 平面 ，则 平面 .
故 ，即 是直角三角形.
故选：C
变式2．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）在三维空间中，三个非零向量 满足
，则 是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或锐角三角形
【答案】A
【分析】根据已知条件推出 ，得 为锐角．同理可得 也为锐角．由此可得答
案.
【详解】因为 ，
所以 ，，
所以 ，
即知 为锐角．同理可知 也为锐角．
故 是锐角三角形．
故选：A．
变式3．（2022秋·浙江·高二校联考阶段练习）如图，在四面体 中，设 .
(1)若 是 的中点，用 表示 ；
(2)若 两两垂直，证明： 为锐角三角形.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由空间向量的线性运算的法则求解；
（2）用 表示题中向量，然后证明数量积 都大于0即可．
【详解】（1） .
（2）证明： 为锐角三角形，即证每一个角都是锐角，即证三对数量积 都大
于0，
因为 两两垂直，所以 ，因为 ， ，
所以 ，
，
同理 ，所以 为锐角三角形.
考点九：新定义问题
例12．【多选】（2022秋·广西玉林·高二校考阶段练习）定义空间两个非零向量的一种运算：
，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．
【答案】BD
【分析】理解新定义，对选项逐一判断
【详解】对于A，若 为负数，可知 ，故A错误，
对于B，由定义知B正确，
对于C，若 ，则 ， 共线，故C错误，
对于D，由定义知 ，故D正确．
故选：BD
变式1．【多选】（2023·全国·高三专题练习）在三维空间中，定义向量的外积： 叫做向量 与 的外
积，它是一个向量，满足下列两个条件：
① ， ，且 ， 和 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中
指的指向一致，如图所示）；② 的模 ( 表示向量 ， 的夹角)．
在正方体ABCD-ABC D 中，有以下四个结论，正确的有（ ）
1 1 1 1
A． B． 与 共线
C． D． 与正方体表面积的数值相等
【答案】ABD
【分析】根据所给的新定义及正方体的性质一一计算可得.
【详解】对于A，对于A，设正方体的棱长为 ，在正方体中 ，
则 ，
因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以A正确；
对于B，在正方形 中， ，又因为 平面 ， 平面 ，所以
，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，同理可证 ，
再由右手系知， 与 同向，所以B正确；对于C，由 ， 和 构成右手系知， 与 方向相反，
又由 模的定义知， ，
所以 ，则 ，所以C错误；
对于D，设正方体棱长为 ， ，
正方体表面积为 ，所以D对．
故选：ABD．
变式2．（2022秋·广东广州·高二广州市真光中学校考阶段练习）给定两个不共线的空间向量 与 ，定义
叉乘运算： .规定：
（i） 为同时与 ， 垂直的向量；
（ii） ， ， 三个向量构成右手系（如图1）；
（iii） .
如图2，在长方体 中， ， .给出下列四个结论：
① ；
② ；③ ；
④ .其中，正确结论的序号是______________.
【答案】①③④
【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案．
【详解】解： ，且 分别与 垂直， ，故①
正确；
由题意， ， ，故②错误；
， ，且 与 共线同向，
， 与 共线同向， ， 与 共线同向，
，且 与 共线同向，故③正确；
，故④成立．
故答案为：①③④．
1．（2023春·高一课时练习）已知 ， 均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么 等于（ ）A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】根据 ，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果.
【详解】由题意可得 ，
.
故选：C
2．（2023·全国·统考高考真题）已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形，
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得 ， ，从而得到 ，
再在 中利用余弦定理求得 ，从而求得 ，由此在 中利用余弦定理与三角形面
积公式即可得解；
法二：先在 中利用余弦定理求得 ， ，从而求得 ，再利用空间向
量的数量积运算与余弦定理得到关于 的方程组，从而求得 ，由此在 中利用余弦定
理与三角形面积公式即可得解.
【详解】法一：
连结 交于 ，连结 ，则 为 的中点，如图，因为底面 为正方形， ，所以 ，则 ，
又 ， ，所以 ，则 ，
又 ， ，所以 ，则 ，
在 中， ，
则由余弦定理可得 ，
故 ，则 ，
故在 中， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 的面积为 .
法二：
连结 交于 ，连结 ，则 为 的中点，如图，因为底面 为正方形， ，所以 ，
在 中， ，
则由余弦定理可得 ，故 ，
所以 ，则
，
不妨记 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
则 ，整理得 ①，
又在 中， ，即 ，则
②，
两式相加得 ，故 ，
故在 中， ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 的面积为 .
故选：C.
一、单选题
1．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图，在平行六面体 中， ，
， ， ，E为 中点，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】空间向量 ，平方求模长即可求解.
【详解】由 ，两边平方得：
.
所以 .
故选：A.2．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知单位向量 ， ， 中， ， ，则
（ ）
A． B．5 C．6 D．
【答案】D
【分析】根据题意，由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为 ， ，且 ， ， 为单位向量，
则
.
故选：D
3．（2023·山东·校联考模拟预测）定义两个向量 与 的向量积 是一个向量，它的模
，它的方向与 和 同时垂直，且以 的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2
的正四面体 中，则 （ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】根据题中条件确定 ，设底面△ABD的中心为O，则CO⊥平面ABD，可求得，又 的方向与 相同，代入计算可得答案．
【详解】 ，
，
设底面△ABD的中心为O，连接CO，AO，则OC⊥平面ABD，
又AO，AB，AD 平面ABD，故OC⊥AO， OC⊥AB，OC⊥AD，
， ，
在 中， ，
则 ，又 的方向与 相同，
所以 ．
故选：A．
4．（2023·全国·高三对口高考）在三棱锥 中， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【分析】根据题意得 ，利用空间向量的运算推导出 ，即可得出结果．
【详解】∵ ，∴ ，
∴ ，∴∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
则 与 的夹角为 ．
故选：B．
5．（2023·全国·高三对口高考）若 为非零向量， ，则 与 一
定（ ）
A．共线 B．相交 C．垂直 D．不共面
【答案】C
【分析】利用向量数量积公式，判断垂直关系.
【详解】因为 ，所以 ， ，
又因为
，所以 ，
又因为 ，所以 .
故选：C
6．（2023秋·高二课时练习）已知二面角 的大小为 ，点B、C在棱l上，
， ， ， ，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的数量积运算及二面角的概念求解.
【详解】如图所示，由题意知 ，
又二面角 的大小为 ，故 ，
，
又 ，
，
,
即AD的长为 ，
故选：D
7．（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）如图，在正四棱柱 中， ， ， ，
， 分别是所在棱的中点，则 （ ）A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【分析】结合向量投影的概念得 ，进而再求解即可.
【详解】解：由向量投影的概念， 表示向量 在 上的投影，
因为 垂直于平面 ,所以
因为 （其中 ），
所以 .
故选：D.
8．（2023春·高二课时练习）四棱锥 中， 底面 ，底面 是矩形，则 在向量
上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点 和点分别作直线的垂线，由垂足确定 在向量 上的投影向量.
【详解】四棱锥 如图所示，底面 是矩形，∴ ，
底面 ， 底面 ，∴ ，
过向量 的始点 作直线 的垂线，垂足为点 ，过向量 的终点 作直线 的垂线，垂足为点 ，
在向量 上的投影向量为 ，由底面 是矩形, ，
故选：B
9．（2021秋·北京·高二统考期中）设 、 、 是空间向量，则以下说法中错误的是（ ）
A． 、 一定共面 B． 、 、 一定不共面
C． D．
【答案】B
【分析】利用共面向量的定义可判断AB选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断CD选项.
【详解】对于A选项，任意两个空间向量都共面，A对；
对于B选项， 、 、 可能共面，也可能不共面，B错；
对于C选项， ，C对；
对于D选项， ，D对.
故选：B.
二、多选题
10．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考期中）在三棱柱 中， 分别是
上的点，且 .设 ，若，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．直线 与 所成的角为
【答案】BC
【分析】根据空间向量的线性运算法则，可判定A错误；求得 ，求得 可判定
B正确；根据向量的数量积的运算公式，求得 ，可判定C正确；利用向量的夹角公
式，可判定D错误.
【详解】由题意，在 中，因为 ，且 ，
，
对于A中，根据向量的运算法则，可得
，所以A不正确；
对于B中，因为 ，
可得 ，所以 ，所以B正确；
对于C中，由 ，
则 ，所以C正确；
对于D中，由 ，
可得
且 ，
则 ，所以D错误.
故选：BC.
11．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知平行六面体 如图所示，
其中 ， ， ，线段AC，BD交于点O，点E是线段 上靠近
的三等分点，则下列说法正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由向量的线性运算和数量积的定义，化简求值.
【详解】依题意， ，
， ，
，故A正确；
，故B错误；
，
则 ，故C错误；
，故D正确；
故选：AD.12．（2023春·山东菏泽·高二统考期末）如图，在平行六面体 中， 与 交于 点，
且 ， ， .则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】由向量的分解和向量数量积公式、向量的求模公式即可判断.
【详解】如图，
由题意得， ，
，
，
，
对于选项A，所以 ，即 .
故选项A正确.
对于选项B，
故选项B正确.
对于选项C，
所以 即
故选项C错误.
对于选项D，
故选项D错误.
故选：AB
13．（2023秋·浙江绍兴·高二统考期末）如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条
棱长均为6，且它们彼此的夹角都是 ，下列说法中正确的是（ ）A． 平面
B．
C．直线 与平面 所成的角的正弦值为
D．直线 与 所成角的余弦值为
【答案】ACD
【分析】由底面 为菱形，所以 ，再由 ，得到 ，结合线面垂直的判定
定理，证得 平面 ，可判定A正确；根据 ，可判定B不正确；证得平
面 平面 ，得到 为直线 与平面 所成的角，结合向量的夹角公式，可判定C
正确；结合 ，可判定D正确.
【详解】对于A中，由底面 为菱形，所以 ，
由题可知 ，
因为 ，所以 ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 ，所以A正确；
对于B中，因为 ，可得
，所以B不正确；
对于C中，因为 平面 ，且 平面 ，所以平面 平面 ，
所以 在平面 内的射影为 ，所以 为直线 与平面 所成的角，
又因为 ，
，
，
所以 ，所以 ，所以C正确；
对于D中，由B中知 且 ，
，
所以 ，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题
14．（2023·全国·高三对口高考）棱长均为a的四面体 中， 的值等于_________．
【答案】
【分析】根据空间向量的线性运算，结合数量积的运算求解即可.
【详解】.
故答案为：
15．（2023秋·高二课时练习）已知 ，则 __________．
【答案】
【分析】直接根据向量的夹角公式求解.
【详解】根据向量的夹角公式， ，由于向量夹角的范围是 ，故
故答案为：
16．（2023春·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期中）在空间中， 是一个定点， 给定的三
个不共面的向量，且它们两两之间的夹角都是锐角.若向量 满足 ， ，
，则满足题意的点 的个数为__________.
【答案】
【分析】确定点 在与 垂直，且到 的距离为 的平面上，在与 垂直，且到 的距离为 的平面上，
在与 垂直，且到 的距离为 的平面上，计算得到答案.【详解】 ，故 ， ， ，
故点 在与 垂直，且到 的距离为 的平面上，共两个平面；
同理得到：
故点 在与 垂直，且到 的距离为 的平面上，共两个平面；
故点 在与 垂直，且到 的距离为 的平面上，共两个平面.
个两两平行的平面共有 个交点，故满足条件的 共有 个.
故答案为：
17．（2023春·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）若三棱锥 的棱长都为 为 的中点，
为棱 上一点，且 ，则 的长为__________.
【答案】
【分析】利用空间向量的数量积求模长即可.
【详解】如图所示 ，由已知可得三棱锥 为正四面体，故
，
所以 ，
故 .
故答案为：18．（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，且
， 分别为 上的点，且 ，
__________.
【答案】
【分析】根据给定条件选定基底向量 ，并表示出 ，再利用向量运算即可得解.
【详解】在四棱锥 中，底面 为平行四边形，连接AC，如图， ， ，
则
，
又 ， ， ，
则 ， ，
因此，
.
故答案为： .19．（2023秋·湖北·高二统考期末）如图所示，在棱长均为 的平行六面体 中，
，点 为 与 的交点，则 的长为_____.
【答案】
【分析】设 ， ， 为基底， ， ，平方计
算得到答案.
【详解】设 ， ， 为基底， ，
则 ，
所以
，故 .
故答案为：
20．（2023秋·广东湛江·高二统考期末）若 、 、 为空间三个单位向量， ，且 与 、
所成的角均为60°，则 ______．
【答案】
【分析】根据向量的模长公式即可代入求解.
【详解】由题意可得 ，，
故答案为：
四、解答题
21．（2022·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体ABCD﹣ABC D 中，AB＝5，AD＝3，AA＝4，
1 1 1 1 1
∠DAB＝90°，∠BAA＝∠DAA ＝60°，设 ， ， ．
1 1
(1)用 ， ， 表示 ；
(2)求AC 的长．
1
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由空间向量加法法则得 ，由此能求出结果．
（2）由 即可求出AC 的长．
1
【详解】（1）在平行六面体ABCD﹣ABC D 中，
1 1 1 1
， ， ，
．
（2） AB＝5，AD＝3，AA＝4，∠DAB＝90°，∠BAA＝∠DAA ＝60°，
1 1 1
．.
AC 的长| | .
1
22．（2023春·高二课时练习）如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条边的长度
都为1，且两两夹角为60°.求 与 所成角的余弦值.
【答案】 .
【分析】记 ， ， ，根据 ， 可求得 ， 和
，由数量积的定义可求得夹角余弦值.
【详解】记 ， ， ，则 ， ，
，
， ，
， ，
， ，
又 ，，
即 与 夹角的余弦值为 .
23．（2023春·四川资阳·高二统考开学考试）如图，多面体 是将一个平行六面体
截去三棱锥 后剩下的几何体，点 为三角形 的重心．四边形 是边长
为 的正方形，且 ， .
(1)求证： ；
(2)求线段 的长；
(3)求异面直线 与 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）设 ， ， ，将 、 用 表示，计算出 ，即可证得结
论成立；
（2）利用空间向量数量积的运算性质可求得线段 的长；（3）设异面直线 与 所成的角为 ，计算出 、 ，利用空间向量的数量积可求得 的
值.
【详解】（1）设 ， ， ，则 ， ，
因为 ， ，
则 ， .
延长 交 于点 ，则 为 的中点，且 ，
，
所以， ，
所以， ，
所以， ， .
（2）
.
（3）设异面直线 与 所成的角为 ，
因为 ， ，所以， ，
，
所以， .
所以，异面直线 与 所成角的余弦值为 .
