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第 07 讲 空间向量的数量积运算 9 种常见考法归类
掌握空间向量的数量积，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
知识点1 空间向量的夹角
如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向
量a，b的夹角，记作〈a，b〉
定义
范围 0≤〈a，b〉≤π
向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b
知识点2 空间向量的数量积运算
1．(1)空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，
b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)运算律
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R
交换律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
2.投影向量及直线与平面所成的角
(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平
面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a
在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)．
(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为
A′，B′，得到向量A′B′，向量A′B′称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，A′B′的夹角就是向量
a所在直线与平面β所成的角．注意点：
(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定．
①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.
②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.
(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．
知识点3 空间向量数量积的性质
设 ， 是非零向量， 是单位向量，则
① ； ② ；
③ 或 ； ④ ；
⑤ (当且仅当 共线时等号成立)
1、求空间向量数量积的步骤
(1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清；
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积；
(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
注：在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹
角的向量的组合形式;其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积;最后利
用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或特殊角.
2、求两个向量的夹角有两种方法：
①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝ 求出cos〈a，b〉的值，最后确定〈a，b〉的值．
3、利用数量积求夹角或其余弦值的步骤
注：求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角．
4、利用空间向量解决垂直问题的方法
(1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为 0
来判断两直线是否垂直．
(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解
向量m，n的数量积并判断是否为0.
5、求两点间的距离或线段长的方法
（1）将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．
（2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
（3）因为a·a＝|a|2，所以|a|＝ ，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以
推广为|a±b|＝ ，
.
（4）可用|a·e|＝|a||cosθ|(e为单位向量，θ为a，e的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投
影．考点一：空间向量数量积的概念辨析
（一）空间向量的夹角
例1．（2023春·高二课时练习）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量 分别与向量 ，
， ， ， 的夹角．
变式1．（2023春·高二课时练习）在正四面体ABCD中， 与 的夹角等于（ ）
A．30° B．60° C．150° D．120°
变式2．（2022·高二课时练习）如图，在长方体 中：
(1)哪些棱所在直线与直线 互为异面直线且互相垂直？
(2)若 ，分别求向量 与 ， ， 的夹角.
（二）空间向量的运算律
例2．【多选】（2023春·高二课时练习）设 ， 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确
的有（ ）
A． B．C． D．
变式1．（2023春·高二课时练习）对于任意空间向量 ， ， ，下列说法正确的是（ ）
A．若 且 ，则 B．
C．若 ，且 ，则 D．
变式2．（2022秋·湖北襄阳·高二校考阶段练习）设 ， ， 都是非零空间向量，则下列等式不一定正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二：空间向量数量积的运算
例3．（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）已知向量 ，向量 与
的夹角都是 ，且 ，试求
(1) ；
(2) ．
变式1．（2023秋·广东揭阳·高二统考期末）在空间四边形 中， 等于
（ ）
A． B．0 C．1 D．不确定
变式2．【多选】（2023春·高二课时练习）正方体 的棱长为1，体对角线 与 ，相交于点 ，则（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023春·江苏常州·高二江苏省溧阳中学校考阶段练习）在棱长为1的正方体 中，
为棱 上任意一点，则 =_______.
变式4．（2023·全国·高三专题练习）如图， 面 ， 为矩形，连接 ､ ､ ､ ､ ，
下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
变式5．（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）如图，各棱长都为 的四面体 中
， ，则向量 （ ）
A． B． C． D．
变式6．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体
中，E，F分别为棱 ，CD的中点，记 ， ， ，满足， ， ， .
(1)用 ， ， 表示 ；
(2)计算 .
变式7．（2023春·高二课时练习）如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC
的中点．求下列向量的数量积：
(1)
(2)
(3)
变式8．（2023·全国·高三对口高考）已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分
别是 、 的中点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
变式9．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）平行六面体 中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 ，求 的值是__________．
变式10．（2023春·高二课时练习）如图, 在直三棱柱 (即 平面 ),
, , 求
考点三：空间向量数量积的最值问题
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知点P在棱长为2的正方体 的表面上运
动，则 的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
变式1．（2023春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB
是该正方体外接球的一条直径，则 的最大值为（ ）
A． 2 B． 3 C． 1 D．0
变式2．（2023春·四川资阳·高二统考开学考试）如图，已知正方体 的棱长为 ，点 是
四边形 的内切圆上一点， 为四边形 的中心，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
变式3．（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条
直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则 的取值范围为_______________.
考点四：利用空间向量的数量积求夹角
例5．（2023秋·高二课时练习）如图，已知正方体 的棱长为a，设
，则 （ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体 中，
， ， ， ， ，则 与 所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
变式2．（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）如图，在三棱柱 中，底面边
长和侧棱长均相等， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023·河北·统考模拟预测）点 、 分别是正四面体ABCD棱 、 的中点，则
______．
变式4．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体 中，
，且 ，则 的余弦值是________.
变式5．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图：正三棱锥 中， 分别在棱 上，
，且 ，则 的余弦值为___________.变式6．（2023春·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考阶段练习）已知空间向量
，则使向量 与 的夹角为钝角的实数 的取值范围是____________．
考点五：利用空间向量的数量积解决垂直问题
例6．（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）在空间，已知 ，
为单位向量，且 ，若 ， ， ，则实数k的值为（ ）
A．－6 B．6
C．3 D．－3
变式1．（2023·江苏·高二专题练习）已知空间向量 ， ， ， ，且 与 垂直，则 与
的夹角为（ ）
A． B． C． D．
例7．（2023春·高二课时练习）已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足， ，A为垂足，
，且 ．求证： ．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，四边形 为矩形，且
， ， ．(1)求线段 的长度；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(3)若 为 的中点，证明： ．
考点六：利用空间向量的数量积求距离(即线段长度)
例8．（2023春·安徽·高二校联考开学考试）已知 均为空间单位向量，且它们的夹角为 ，则
______．
变式1．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知 ， ， 均为空间单位向量，
它们之间的夹角均为 ，那么 （ ）
A．2 B．
C． D．6
例9．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知正四面体 的棱长
为 ，若 、 分别是 、 的中点，则线段 的长为（ ）
A．2 B．
C． D．
变式1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图，平行六面体 中，， ， ， ，则线段 的长为______.
变式2．（2023秋·天津·高二统考期末）在平行六面体 中， ， ， ，
，则 的长为_______．
变式3．（2023秋·辽宁丹东·高二统考期末）平行六面体 的底面是菱形， ，
， ，线段 的长度为 ，则 ______．
变式4．（2023秋·吉林长春·高二校考期末）如图，在平行六面体 中， ， ，
， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2023·高一课时练习）如图，二面角 的平面角为 ， ， ， ，
， ， ，若 ，则 长为（ ）A． B． C．2 D．
变式6．（2023春·高二课时练习）如图所示，在120°的二面角 中，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，
BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．
变式7．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角 的大小为 ，四边形 、
都是边长为 的正方形，则 、 两点间的距离是（ ）
A． B． C． D．
变式8．（2023秋·福建三明·高二统考期末）如图，在四面体ABCD中， ，
， ， .
(1)求 的值；
(2)已知F是线段CD中点，点E满足 ，求线段EF的长.
考点七：利用空间向量的数量积求投影
例10．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知空间向量 ， ，且 与 夹角的余弦值为 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023春·高二课时练习）已知 ， 为空间单位向量， ，则 在 方向上投影的
模为_______．
变式2．（2023春·高二课时练习）如图，已知正方体 的棱长为1，E为 的中点.
（1）求 ， 的大小；
（2）求向量 在向量 方向上的投影的数量.
变式3．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥 中， 平面 ， ，
， ．
(1)确定 在平面 上的投影向量，并求 ；
(2)确定 在 上的投影向量，并求 ．
变式4．（2023春·高二课时练习）如图，已知正方体 的棱长为1， 为棱 上的动点，则向量 在向量 方向上的投影数量的取值范围为______．
考点八：利用空间向量的数量积判断图形的形状
例11．（2023·高三课时练习）已知四边形 满足 ， ，
， ，则该四边形为（ ）．
A．平行四边形 B．梯形
C．长方形 D．空间四边形
变式1．（2023春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考开学考试）设A、B、C、D是空间不共面的四
点，且满足， ， ，点M为BC的中点，则 是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
变式2．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）在三维空间中，三个非零向量 满足
，则 是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或锐角三角形
变式3．（2022秋·浙江·高二校联考阶段练习）如图，在四面体 中，设 .(1)若 是 的中点，用 表示 ；
(2)若 两两垂直，证明： 为锐角三角形.
考点九：新定义问题
例12．【多选】（2022秋·广西玉林·高二校考阶段练习）定义空间两个非零向量的一种运算：
，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．
变式1．【多选】（2023·全国·高三专题练习）在三维空间中，定义向量的外积： 叫做向量 与 的外
积，它是一个向量，满足下列两个条件：
① ， ，且 ， 和 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中
指的指向一致，如图所示）；
② 的模 ( 表示向量 ， 的夹角)．在正方体ABCD-ABC D 中，有以下四个结论，正确的有（ ）
1 1 1 1
A． B． 与 共线
C． D． 与正方体表面积的数值相等
变式2．（2022秋·广东广州·高二广州市真光中学校考阶段练习）给定两个不共线的空间向量 与 ，定义
叉乘运算： .规定：
（i） 为同时与 ， 垂直的向量；
（ii） ， ， 三个向量构成右手系（如图1）；
（iii） .
如图2，在长方体 中， ， .给出下列四个结论：
① ；
② ；
③ ；
④ .其中，正确结论的序号是______________.1．（2023春·高一课时练习）已知 ， 均为空间单位向量，它们的夹角为
60°，那么 等于（ ）
A． B． C． D．4
2．（2023·全国·统考高考真题）已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形，
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图，在平行六面体 中， ，
， ， ，E为 中点，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知单位向量 ， ， 中， ， ，则
（ ）
A． B．5 C．6 D．3．（2023·山东·校联考模拟预测）定义两个向量 与 的向量积 是一个向量，它的模
，它的方向与 和 同时垂直，且以 的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2
的正四面体 中，则 （ ）
A． B．4 C． D．
4．（2023·全国·高三对口高考）在三棱锥 中， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．不确定
5．（2023·全国·高三对口高考）若 为非零向量， ，则 与 一
定（ ）
A．共线 B．相交 C．垂直 D．不共面
6．（2023秋·高二课时练习）已知二面角 的大小为 ，点B、C在棱l上，
， ， ， ，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）如图，在正四棱柱 中， ， ， ，
， 分别是所在棱的中点，则 （ ）A．4 B．8 C．12 D．16
8．（2023春·高二课时练习）四棱锥 中， 底面 ，底面 是矩形，则 在向量
上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021秋·北京·高二统考期中）设 、 、 是空间向量，则以下说法中错误的是（ ）
A． 、 一定共面 B． 、 、 一定不共面
C． D．
二、多选题
10．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考期中）在三棱柱 中， 分别是
上的点，且 .设 ，若
，则下列说法中正确的是（ ）A． B．
C． D．直线 与 所成的角为
11．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知平行六面体 如图所示，
其中 ， ， ，线段AC，BD交于点O，点E是线段 上靠近
的三等分点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023春·山东菏泽·高二统考期末）如图，在平行六面体 中， 与 交于 点，
且 ， ， .则下列结论正确的有（ ）A． B．
C． D．
13．（2023秋·浙江绍兴·高二统考期末）如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条
棱长均为6，且它们彼此的夹角都是 ，下列说法中正确的是（ ）
A． 平面
B．
C．直线 与平面 所成的角的正弦值为
D．直线 与 所成角的余弦值为
三、填空题
14．（2023·全国·高三对口高考）棱长均为a的四面体 中， 的值等于_________．
15．（2023秋·高二课时练习）已知 ，则 __________．16．（2023春·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期中）在空间中， 是一个定点， 给定的三
个不共面的向量，且它们两两之间的夹角都是锐角.若向量 满足 ， ，
，则满足题意的点 的个数为__________.
17．（2023春·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）若三棱锥 的棱长都为 为 的中点，
为棱 上一点，且 ，则 的长为__________.
18．（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，且
， 分别为 上的点，且 ，
__________.
19．（2023秋·湖北·高二统考期末）如图所示，在棱长均为 的平行六面体 中，
，点 为 与 的交点，则 的长为_____.
20．（2023秋·广东湛江·高二统考期末）若 、 、 为空间三个单位向量， ，且 与 、
所成的角均为60°，则 ______．四、解答题
21．（2022·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体ABCD﹣ABC D 中，AB＝5，AD＝3，AA＝4，
1 1 1 1 1
∠DAB＝90°，∠BAA＝∠DAA ＝60°，设 ， ， ．
1 1
(1)用 ， ， 表示 ；
(2)求AC 的长．
1
22．（2023春·高二课时练习）如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条边的长度
都为1，且两两夹角为60°.求 与 所成角的余弦值.
23．（2023春·四川资阳·高二统考开学考试）如图，多面体 是将一个平行六面体
截去三棱锥 后剩下的几何体，点 为三角形 的重心．四边形 是边长
为 的正方形，且 ， .(1)求证： ；
(2)求线段 的长；
(3)求异面直线 与 所成角的余弦值．
