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第 09 讲 空间向量及其运算的坐标表示 10 种常见考法归类
理解和掌握空间向量的坐标表示及意义，会用向量的坐标表达空间向量的相关运算.会求空间向量的夹
角、长度以及有关平行、垂直的证明.
知识点1 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k
的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们
就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称
为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
注意点：
(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.
(2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.
(3)建立的坐标系均为右手直角坐标系．在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x轴的正方向，食指指
向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．空间一点的坐标、向量的坐标
（1）空间点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量OA，且点A的位
置由向量OA唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使OA＝xi＋yj＋zk.在单
位正交基底{i，j，k}下与向量OA对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作
A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
注：空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标特点点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的形式 (x,0,0) (0，y,0) (0,0，z)
点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z)
（2）空间点的对称问题
①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求
解．
②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
（3）空间向量的坐标
向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作OA＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的
有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可
简记作a＝(x，y，z)．
知识点2 空间向量的坐标运算
1．空间向量的坐标运算法则
设向量a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)，λ∈R，那么
1 2 3 1 2 3
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b (a＋b，a＋b，a＋b)
1 1 2 2 3 3
减法 a－b (a－b，a－b，a－b)
1 1 2 2 3 3
数乘 λa (λa，λa，λa)
1 2 3
数量积 a·b ab＋ab＋ab
1 1 2 2 3 3
注意点：
(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．
(2)设A(x ，y ，z)，B(x ，y ，z)，则AB＝(x －x ，y －y ，z －z)．即一个空间向量的坐标等于表示此向
1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1
量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
(3)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(4)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量．
2．空间向量相关结论的坐标表示
设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)，则有
1 2 3 1 2 3
(1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a＝λb，a＝λb，a＝λb(λ∈R)；
1 1 2 2 3 3
(2)垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔ab＋ab＋ab＝0.
1 1 2 2 3 3
(3)|a|＝＝.
(4)cos〈a，b〉＝＝.
注意点：(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)．
(2)a＝(x，y，z)，b＝(x，y，z)，若a∥b，则＝＝成立的条件是xyz≠0.
1 1 1 2 2 2 2 2 2
3．空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设P(x，y，z)，P(x，y，z)．
1 1 1 1 2 2 2 2
(1)P1P2＝(x－x，y－y，z－z)．
2 1 2 1 2 1
(2)PP＝|P1P2|＝.
1 2
(3)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，则|OP|＝.
注：空间两点间的距离公式推导过程
如图，建立空间直角坐标系Oxyz，
设P(x，y，z)，P(x，y，z)是空间中任意两点，P1P2＝OP2－OP1＝(x－x，y－y，z－z)，
1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1
于是|P1P2|＝＝
所以PP＝|P1P2|＝ ，
1 2
因此，空间中已知两点A(x，y，z)，B(x，y，z)，则AB＝|AB|＝ .
1 1 1 2 2 2
1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的
点落在坐标轴上．充分利用几何图形的对称性．
2.求某点M的坐标的方法
作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再
求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．
3.空间向量坐标运算的规律及注意点
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定．
已知空间点的坐标、A(x ，y ，z)，B(x ，y ，z)向量AB的坐标等于终点坐标减起点坐标．即AB＝(x
1 1 1 2 2 2 2
－x，y－y，z－z)．
1 2 1 2 1
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．
4.解决空间向量垂直、平行问题的有关思路
(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如，设向量a＝(x，y，z)．
(2)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件，在有关平行的问题中，通常需
要引入参数．例如，已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解；已知两向量平行或垂直求
参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解．
(3)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利
用向量平行、垂直的充要条件证明．
5．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤
(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；
(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；
(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．
6．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出线段端点的坐标；
(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．
考点一：空间中点的坐标表示
例1．（2023秋·北京西城·高二北师大二附中校考期中）已知点 ， ，点
满足 ，则点 的坐标是______．
变式1．（2022·高二课时练习）若△ 顶点 ，且 ， ，则点C坐标
是___________.
变式2．（2022·全国·高二专题练习）平行六面体 中， ，则点 的
坐标为（ ）A． B． C． D．
变式3．（2023·全国·高二专题练习）已知点 ， ， ，则点 的坐标为______．
变式4．（2023春·高二课时练习）若 ､ ，点C在线段AB上，且 ，则点C的坐
标是___________.
变式5．（2023·高三课时练习）若ABCD为平行四边形，且已知点 、 、 ，
则顶点D的坐标为______．
考点二：空间点的对称问题
例2．（2023春·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点 关于 轴对称的点坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·全国·高二专题练习）已知点 ， 分别与点 关于 轴和 轴对称，则
（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）已知点 关于 平面的对称点为 ，而点 关
于 轴的对称点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．8
变式3．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第十七中学校考阶段练习）在空间直角坐标系Oxyz中，P是
坐标平面xOy内一动点， ， ，当 最小时P的坐标为___________.
考点三：空间向量的坐标表示
例3．（2023春·高二课时练习）已知点 ， ，则向量 的坐标为________．变式1．（2023春·高二课时练习）已知 是空间的一个单位正交基底，向量 用坐标形式
可表示为________．
变式2．（2022秋·广东广州·高二校联考期末）如图，正方体 的棱长为2， ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023·全国·高二专题练习）已知空间直角坐标系中，点 ， ，若 ， 与
同向，则向量 的坐标为______.
变式4．【多选】（2022秋·黑龙江大庆·高二大庆二中校考阶段练习）已知四边形 的顶点分别是
， ， ， ，那么以下说话中正确的是（ ）
A． B．
C． 的中点坐标为 D．四边形 是一个梯形
考点四：空间向量的坐标运算
例4．（2022秋·北京丰台·高二统考期末）已知 ， (2，1，1)，则 ________．变式1．（2023·全国·高二专题练习）向量 ， ， ， 中，共面的三
个向量是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023秋·湖北·高二统考期末）已知向量 ， ， ，若向量 ， ，
共面，则实数 的值为________．
变式3．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点
，若点C在平面 内，则点C的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
变式4．【多选】（2023秋·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知在空间直角坐标系中，O为坐标原点，且
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．若 ，则P，A，B，C四点共面
变式5．（2023春·重庆·高一重庆一中校考期中）下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（
）
A．
B．
C．
D．
变式6．（2022·高二课时练习）在 中，若 ， ，则 是（ ）
A．顶角为锐角的等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形考点五：空间向量的平行问题
例5．（2022·高二课时练习）若 ，且 与 共线，求x，y的值．
变式1．（2023春·高二课时练习）已知向量 ， ，且 ，则实数k的值
为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．【多选】（2023秋·湖南衡阳·高二衡阳市田家炳实验中学校考期中）与向量 共线的单位
向量是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023秋·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考阶段练习）已知空间两点 ，1， ， ，
2， ，下列选项中的 与 共线的是（ ）
A． ，0， B． ，1， C． ， ， D． ，2，
变式4．（2022秋·广东江门·高二江门市第二中学校考期中）已知空间直角坐标系中，点 ，
，若 ，且 与 反向共线，则 _____．
变式5．（2022秋·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考期末）在空间直角坐标系Oxyz中， ，
， ，若四边形 为平行四边形，则 ________.
考点六：利用坐标运算解决数量积问题
例 6．（2022·全国·高二专题练习）若 ， ， ，则（ ）
A．-11 B．3 C．4 D．15
变式1．（2022·高二单元测试）若向量 ， ，则 ______．
变式2．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知向量 ， ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022秋·江苏徐州·高二校考阶段练习）在 中， ．
(1)求顶点 的坐标；
(2)求 ．
考点七：空间向量的垂直问题
例7．（2023秋·高二课时练习）已知 ，单位向量 满足 ，则
_________．
变式1．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）已知向量 ，若
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知向量 ， ，
若 与 垂直，则 ＝_____.
变式3．（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）已知空间有三点 ， ， ，若直线
上存在一点M，满足 ，则点M的坐标为______.
变式4．（2022秋·山东济宁·高二统考期中）已知空间中三点 ， ， ，设 ， .
(1)求向量 与向量 的坐标；
(2)若 与 互相垂直，求实数 的值.
变式5．（2023·全国·高二专题练习）在空间直角坐标系中，若三点 ， ， 满足
，则实数a的值为（ ）．
A． B．1 C． D．
变式6．（2023秋·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知长方体 中， ，
， ， ，若 则 （ ）
A． B． C． D．
考点八：利用坐标运算解决夹角问题
例8．（2023·全国·高三对口高考）已知向量 ，若 ，
则 _________．
变式1．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知 ，
，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）若向量 ，且 与 夹
角的余弦值为 ，则 等于（ ）A． B． C． 或 D．2
例9．（2023春·高二课时练习）若 ，若 与 的夹角是锐角，则 的值的
取值范围为__________.
变式1．（2023秋·福建泉州·高二福建省泉州第一中学校考期中）点 ， ， ，
若 ， 的夹角为锐角，则 的取值范围为___________.
变式2．（2023春·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考阶段练习）已知向量 ，若向
量 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围______.
变式3．（2023春·高二课时练习）已知空间中的三点 ， ， .
(1)求 的面积；
(2)当 与 的夹角为钝角时，求k的范围．
变式4．（2023秋·高二单元测试）已知 ，则 的面积为__________．
变式5．（2023春·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）长方体 ， ，
， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
变式6．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方
形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
考点九：利用坐标运算解决距离问题
例10．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）在空间直角坐标系
中，点 ，则 ______
变式1．（2022·全国·高二专题练习）若 ， ，则 （ ）
A． B． C．5 D．10
变式2．（2022秋·上海徐汇·高二上海中学校考期中）设正四面体ABCD的棱长为1，点M、N满足
， ，则 ______.
变式3．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）在空间直角坐标系中， ，
，则 的最小值是________.
变式4．（2022·高二单元测试）若A ，B ，当 取最小值时，x的值等于
（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2022·全国·高三专题练习）在空间直角坐标系 中，已知 ， ，点 分
别在 轴， 轴上，且 ，那么 的最小值是______.
变式6．（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知 、 是空间互相垂直的单位向量，且 ，
，则 的最小值是______.考点十：利用坐标运算求投影或投影向量
例11．（2023春·高二课时练习）已知空间向量 ，则向量 在坐标平面 上的投影向
量是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023春·湖北孝感·高二校联考阶段练习）已知向量 ，则向量 在向量 上的
投影向量 （ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）已知向量 ， ，则向量 在向量 上的投影
向量为（ ）．
A． B． C． D．
变式3．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）已知点
，则 在 上的投影向量的长度为________.
1．已知向量 ，则下列向量中与 成 的是
A． B． C． D．
2．已知向量 ，且 ，则 ____________．
3．若向量 ＝(1，1，x)， ＝(1，2，1)， ＝(1，1，1)满足条件 ，则x＝________．4．记动点P是棱长为1的正方体 的对角线 上一点，记 ．当 为钝角时，
求 的取值范围．
5．如图，在正四棱柱 中， ，点 是 的中点，点 在 上，设二
面角 的大小为 ．
（1）当 时，求 的长；
（2）当 时，求 的长．
一、单选题
1．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知点 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．2．（2023·江苏·高二专题练习） 三个顶点的坐标分别为 ，则
的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．正三角形 D．直角三角形
3．（2023·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱 中， ， ，D为
AB的中点，点E在线段 上，点F在线段 上，则线段EF长的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2023·全国·高二专题练习）已知 ， ， ，若 ，则点B的坐标为
（ ）．
A．（－1，3，－3） B．（9，1，1）
C．（1，－3，3） D．（－9，－1，－1）
5．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知 的三个顶点分别为 ， ，
，则BC边上的高等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知 ， ， ，若 ， ， 三向
量共面，则实数 等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2023春·江苏常州·高二常州高级中学校考阶段练习）下列各组空间向量不能构成空间的一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023春·安徽合肥·高二合肥市第五中学校考期末）已知 ， ，则 等于
（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·全国·高二专题练习）已知向量 ， ，则 （ ）
A． B．40 C．6 D．36
10．（2023春·宁夏固原·高二校考阶段练习）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）若 ， ，且 与 的夹角为钝角，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023春·宁夏中卫·高二中卫中学校考阶段练习）已知向量 ， ， ，
若 ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．6
二、多选题
13．（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知向量 ， ， ，则下列结
论正确的是（ ）
A． B．C．记 与 的夹角为 ，则 D．若 ，则
14．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）已知空间向量
，则（ ）
A． B． 是共面向量
C． D．
15．（2023春·安徽合肥·高二统考开学考试）已知向量 ，则（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）已知 ， ，则（ ）
A． B．
C． D． ∥
17．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）已知向量 ， ，则下列结论正确
的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C． 的最小值为2 D． 的最大值为4
18．（2023春·广东东莞·高二校联考阶段练习）已知空间向量 ， ，则下列结论正确
的是（ ）
A． B．
C． D． 在 上的投影向量的长度为三、填空题
19．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习） ，若 ，则
_____________．
20．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）设空间向量 ， ，若
，则 ＝______．
21．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）在空间直角坐标系中， ， ，O为坐标
原点，直线AB上有一点M，且 ，则点M的坐标为______．
22．（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考期中）已知向量 ，且
与 互相垂直，则实数 __________.
23．（2023·上海·高三专题练习）已知空间向量 ， ， ，若 ，则
______．
24．（2023·全国·高三对口高考）已知 ，则 _________， _________，
_________， _________， _________．
四、解答题
25．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直四棱柱 中， ， ，
，E，F，G分别为棱 ， ， 的中点.
(1)求线段 的长度；(2)求 .
26．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量 ， .
(1)求 与 的夹角余弦值；
(2)若 ，求 的值.
27．（2023秋·高二课时练习）已知空间三点 ， ， ，设 ， ．
(1)设 ， ，求 ；
(2)求 与 的夹角；
(3)若 与 互相垂直，求k．
28．（2023春·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱 中，
， ， ， 分别是 ， 的中点．
(1)求 的距离；
(2)求 的值．
29．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知空间向量 ， ，
．
(1)若 ，求 ；(2)若 与 相互垂直，求 ．
30．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）已知向量
．
(1)求 ；
(2)当 时，若向量 与 垂直，求实数 和 的值；
(3)若向量 与向量 共面向量，求 的值．
31．（2023春·高二课时练习）已知点 、 、 ， ， ．
(1)若 ，且 ，求 ；
(2)求 ；
(3)若 与 垂直，求 ．
