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第 15 讲 直线的交点坐标与距离公式 6 种常见考法归类
1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．
2.探索并掌握两点间的距离公式.
3.探索并掌握点到直线的距离公式.
4.会求两条平行直线间的距离.
知识点1 两直线的交点坐标
1、已知两条直线的方程是l ：Ax＋By＋C ＝0, l ：Ax＋By＋C ＝0，设这两条直线的交点为P，则
1 1 1 1 2 2 2 2
点P既在直线l 上，也在直线l 上．所以点P的坐标既满足直线l 的方程Ax＋By＋C ＝0，也满足直线l
1 2 1 1 1 1 2
的方程Ax＋By＋C ＝0，即点P的坐标就是方程组的解．
2 2 2
2、直线l：Ax＋By＋C ＝0和直线l：Ax＋By＋C ＝0的位置关系如表所示：
1 1 1 1 2 2 2 2
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l 与l 的公共点个数 一个 无数个 零个
1 2
直线l 与l 的位置关系 相交 重合 平行
1 2
注：(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
有唯一解的等价条件是AB－AB≠0，即两条直线相交的等价条件是AB－AB≠0.
1 2 2 1 1 2 2 1
(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．
知识点2 两点间的距离公式
1．公式：点P(x，y)，P(x，y)间的距离公式|PP|＝ .
1 1 1 2 2 2 1 2
原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
注：（1）两点间的距离公式与两点的先后顺序无关．
（2）①当直线PP 平行于x轴时，|PP|＝|x－x|.
1 2 1 2 2 1②当直线PP 平行于y轴时，|PP|＝|y－y|.
1 2 1 2 2 1
③当点P，P 中有一个是原点时，|PP|＝.
1 2 1 2
④当PP 与坐标轴不平行时，如图，在Rt △PQP 中，|PP|2＝|PQ|2＋|QP|2，
1 2 1 2 1 2 1 2
所以|PP|＝.
1 2
即两点P(x，y)，P(x，y)间的距离|PP|＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
⑤已知斜率为k的直线上的两点P(x，y)，P(x，y)，由两点间的距离公式可得
1 1 1 2 2 2
|PP|＝＝|x－x|，或|PP|＝|y－y|.
1 2 2 1 1 2 2 1
知识点3 点到直线的距离与两条平行线间的距离
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长度
点P(x ，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0 两条平行直线 l ：Ax＋By＋C ＝0 与
0 0 0 1 1
公式 的距离 l：Ax＋By＋C ＝0(C ≠C )之间的距离
2 2 1 2
d＝ d＝
注：（1）应用点到直线距离公式的前提是直线方程为一般式．
（2）在使用两平行线间距离公式时，两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同．
（3）若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标
轴垂直)，故也可用数形结合求解．
（4）已知点P(x，y)及直线l上任意一点M，那么点P到直线l的距离|PQ|等于两点间距离|PM|的最小
0 0
值．
（5）点到直线距离的向量表示
如图，设n为过点P且垂直于l的单位向量，PQ就是PM在n上的投影向量，点P到直线l的距离|PQ|＝|
PM·n|.
（6）点到直线距离公式的推导
如图，平面直角坐标系中，已知点 P(x ，y)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到
0 0
直线l的距离呢？方法一：根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，设点P到直线l的垂线为
l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为，
∴l′的方程为y－y＝(x－x)，与l联立方程组，
0 0
解得交点Q，
∴|PQ|＝.
方法二：向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，怎样用向量方法求点到直线的距离呢？
提示 PQ可以看作PM在直线l的垂线上的投影向量，直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的斜率为－，
所以m＝(B，－A)是它的一个方向向量．
(1) 由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个单位向量n＝(A，B)．
(2) 在直线l上任取点M(x，y)，可得向量PM＝(x－x，y－y)．
0 0
(3) |PQ|＝|PQ|＝|PM·n|＝.
（7）怎样求两条平行直线Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0间的距离？
1 2
在直线Ax＋By＋C ＝0上任取一点P(x ，y)，点P(x ，y)到直线Ax＋By＋C ＝0的距离，就是这两条平行
1 0 0 0 0 2
直线间的距离即d＝，
因为点P(x，y)在直线Ax＋By＋C ＝0上，
0 0 1
所以Ax＋By＋C ＝0，
0 0 1
即Ax＋By＝－C ，
0 0 1
因此d＝＝＝.
1．两条直线相交的判定方法
方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．
方法二：两直线斜率都存在且斜率不等．2．过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)特殊解法(直线系法)：运用过两直线交点的直线系方程：若两直线 l ：Ax＋By＋C ＝0，l ：Ax＋
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By＋C ＝0有交点，则过l 与l 交点的直线系方程为Ax＋By＋C ＋λ(Ax＋By＋C )＝0(λ为待定常数，不
2 2 1 2 1 1 1 2 2 2
包括直线l)，设出方程后再利用其他条件求解．
2
3．计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P(x，y)和P(x，y)，则|PP|＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
4．应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故
也可用数形结合求解．
5．求两条平行直线间距离的两种方法
(1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线
距来求．
(2)公式法：设直线l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0，则两条平行直线间的距离d＝.
1 1 2 2
注：利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，
同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造
几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题．
6．直线的对称问题
关于中心对称问题的处理方法：①若点M(x ，y)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得②
1 1
求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于
已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式
得到所求直线方程，当然，斜率必须存在.
关于轴对称问题的处理方法：①点关于直线的对称. 若两点P(x ，y)与P(x ，y)关于直线l：Ax＋By
1 1 1 2 2 2
＋C＝0对称，则线段PP 的中点在l上，且连接PP 的直线垂直于l，由方程组可得到点P 关于l对称的
1 2 1 2 1
点P 的坐标(x ，y)(其中B≠0，x≠x). ②直线关于直线的对称. 此类问题一般转化为点关于直线的对称问
2 2 2 1 2
题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.
考点一：两条直线的交点问题例1．（2023秋·高二课时练习）分别判断下列直线 与 是否相交．如果相交，求出交点的坐标．
(1) ， ；
(2) ， ；
(3) ， ．
【答案】(1)相交，交点坐标为
(2)不相交
(3)不相交
【分析】分别联立方程组，解方程求解即可判断.
【详解】（1）解方程组 ，得 ，
所以 与 相交，交点坐标为 ．
（2）解方程组 ，方程组无解，
所以 与 无公共点，即 与 不相交．
（3）解方程组 ，
因为方程 可化为 ，
所以方程组有无数组解，
所以 与 有无数个公共点，即 与 不相交．
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知 的顶点 ，其垂心为 ，求顶点A的坐标．
【答案】 ．【分析】根据给定条件，求出直线 的方程，再解方程组即可作答.
【详解】依题意，直线 的斜率 ，而 ，则直线 的方程为 ，即
，
直线 的斜率 ，而 ，则直线 的方程为 ，即 ，
由 ，解得 ，
所以顶点A的坐标是 .
变式2．（2023秋·高二课时练习）直线 与直线 相交，则m的取值范围为__________．
【答案】
【分析】根据两直线相交的条件即可求解.
【详解】因为直线 与直线 ，即 相交，
所以 ，解得 .
所以m的取值范围为 .
故答案为：
变式3．（2023秋·高二课时练习）若直线 与直线 的交点在第四象限，则m的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】联立方程组求得两直线的交点为 ，根据题意列出不等式组，即可求解.
【详解】由方程组 ，解得 ，即两直线的交点坐标为 ，
因为两直线的交点位于第四象限，可得 且 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
故选：D.
变式4．（2023秋·高二课时练习）若直线 与 互相垂直，垂足为 ，则
的值为（ ）
A．20 B．-4 C．12 D．4
【答案】A
【分析】根据两直线垂直，列出方程求得 的值，再由两种的交点为 ，列出方程组求得 的值，即
可求解.
【详解】由两直线 与 垂直，可得 ，即 ，
又由两直线的交点坐标是 ，可得 ，解得 ，
所以 .
故选：A.
变式5．（2023秋·高二课时练习）已知直线 过直线 和直线 的交点，且在两坐标
轴上的截距互为相反数，则直线 的方程为（ ）
A．
B． 或
C． 或
D． 或
【答案】C
【分析】先求得两直线的交点坐标 ，根据题意，分直线 与两坐标轴的截距不为 和直线 在两坐标轴的截距等于 ，两种情况讨论，即可求解.
【详解】由方程组 ，解得 ，所以两直线的交点坐标为 ，
因为直线 在两坐标轴上的截距互为相反数，
当直线 与两坐标轴的截距不为 时，可设直线 的方程为 ，
因为直线 过两直线的交点 ，代入可得 ，
所以直线 的方程为 ；
当直线 在两坐标轴的截距等于 时，设直线 的方程为 ，
因为直线 过两直线的交点 ，代入可得 ，即直线 的方程为 ，
综上可得，直线 的方程为 或 .
故选：C.
变式6．（2023秋·高二课时练习）若点 是直线 和 的公共点，则相异
两点 和 所确定的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据点与直线的位置关系即可求解.
【详解】因为 是直线 和 的公共点，
所以 ，且 ，
所以两点 和 都在同一条直线 上，
故两点 和 所确定的直线方程是 ，
故选:A.
变式7．【多选】（2023秋·高二课时练习）已知平面上三条直线 ， ， ，若这三条直线将平面分为六部分，则 的可能取值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】ABC
【分析】根据题意，分为三条直线中有两条平行，另外一条与这两条相交和三条直线相交于一点，两种情
况讨论，结合两直线的位置关系，即可求解.
【详解】（1）当三条直线中有两条平行，另外一条与这两条相交，此时符合题意，
若直线 与直线 平行，可得 ，此时满足题意；
若直线 与直线 平行，可得 ，此时满足题意，
（2）若三条直线相交于一点，也符合题意，
由 ，解得 ，即两直线的交点为 ，
将 代入直线 ，可得 ，
综上可得，实数 的值为 或 或 .
故选：ABC.
变式8．（福建省连江第一中学2022-2023学年高二上学期11月期中联考数学试题）已知直线 的方程为
，若直线 在 轴上的截距为 ，且 ．
(1)求直线 和 的交点坐标；
(2)已知直线 经过 与 的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为 ，求直线 的方程．
【答案】(1) ；
(2) 或 .
【分析】（1）由 ，可得直线 的斜率 ，从而可得 ，联立方程组即可求得交点；
（2）由题意知 的斜率k存在，设 ，求得与坐标轴的交点坐标，再结合面积公式即可求
解.
【详解】（1）（1）因为 ，又直线 的斜率 ,所以直线 的斜率 ,则 .
由
所以直线 和 的交点坐标为 .
（2）由题意知 的斜率k存在，设
令 得 ，令 得 ，
因为直线 与两坐标轴的正半轴相交，所以 ，解得 ，
，解得 或 ，
即 或 .
考点二：两点间的距离公式
（一）求两点间的距离
例2．（2023秋·高二课时练习）已知 三顶点坐标 ，试求 边上的中
线 的长．
【答案】
【分析】设点 的坐标为 ，由 为 的中点，可求出点 的坐标，再利用两点间的距离公式可求
出 的长．
【详解】设点 的坐标为 ，
因为点 为 的中点，
所以 ，即点 的坐标为 ．
由两点间的距离公式得 ，所以 边上的中线 的长为 ．
变式1．（2023秋·高二课时练习）点 关于点 对称，则 ________．
【答案】
【分析】由中点坐标公式得出 ，再有距离公式求解即可.
【详解】由已知得 ，解得 ，即 ，
故答案为：
变式2．（2023秋·高二课时练习）直线 和直线 分别过定点 和 ，
则 |________．
【答案】
【分析】求出直线 、 所过定点的坐标，再利用平面内两点间的距离公式可求得 的值.
【详解】将直线 的方程变形为 ，由 ，可得 ，即点 ，
将直线 的方程变形为 ，
由 ，可得 ，即点 ，
所以， .
故答案为： .
变式3．（2023秋·高二课时练习）设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是 ，则A与B坐标分别为________， ________．
【答案】 ，
【分析】设 ， ，利用中点坐标公式得到 ，进而得到A，B的坐标，再利用两点间的
距离公式求解即可.
【详解】设 ， ，
因为AB中点 ，
所以 ，即 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
故答案为： ， ； .
变式4．（2023秋·高二课时练习）已知点 与点 间的距离为 ，则 ________．
【答案】9或
【分析】根据两点间的距离公式列方程求解即可.
【详解】由 ，
得 ，
即 ，解得 或 ．
故答案为：9或 .
变式5．（2023秋·高二课时练习）在直线 上求一点P，使它到点 的距离为5，并求直线
PM的方程.【答案】 或 ，对应直线PM的方程为 或 .
【分析】利用点在直线上和两点距离建立方程组求解点的坐标，求出斜率，代入点斜式求解直线方程.
【详解】设 ，由题意 ，解得 或 ，
所以 或 ，
当 时，直线PM的斜率 ，
因此直线PM方程为 ，即 ；
当 时，直线PM的斜率 ，
因此直线PM方程为 ，即 .
例3．（江西省八所重点中学2023届高三下学期3月联考数学（理）试题）在平面直角坐标系
中，已知点 ，点 为直线 上一动点，则 的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】求点 关于直线 的对称点 的坐标，由此可得 ，结合
结论两点之间线段最短可求 的最小值.
【详解】设点 关于直线 的对称点为 ，则 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当点 为线段 与直线 的交点时等号成立，
所以 的最小值是4，
故选：B.
变式1．（2023秋·高二课时练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事
实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： 可以转化为点 到点
的距离，则 的最小值为（ ）．
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】把目标式进行转化，看作动点到两个定点距离和的最值，利用对称性可得答案.
【详解】 ,
可以看作点 到点 的距离之和，作点 关于 轴的对称点 ，显然当 三点共线时，取到最小值，
最小值为 间的距离 .
故选：D.
变式2．（四川省德阳市第五中学2022-2023学年高二下学期5月月考理科数学试题）设 ，过定点
的动直线 与过定点 的动直线 交于点 ，则 的最大值是______．
【答案】10
【分析】根据直线过定点可得 的坐标，进而利用两直线垂直可得勾股定理，结合不等式即可求解最值.
【详解】由 得 ，故 ,由 得 ,
由于直线 与直线 互相垂直，所以 ,
故 所以 ,当且仅当 时取等号，
故 的最大值是10
故答案为：10
变式3．（山东省临沂市平邑县第一中学2022-2023学年高二10月月考数学试题）已知两点 ，
动点 在线段AB上运动，则 的范围是________， 的范围是________.
【答案】
【分析】画出图象，结合斜率以及两点间的距离公式、点到直线的距离公式求得正确答案.
【详解】 ，表示线段 上的点 与点 连线的斜率（ ），
，结合图象知： 的取值范围是 .
表示线段 上的点 与点 连线的距离的平方，，
直线 的方程为 则 ，
到直线 的距离为
所以 的范围是 .
故答案为： ；
（二）判断三角形、四边形的形状
例4．（江苏省镇江市2022-2023学年高二下学期4月期中数学试题）已知 ， ，
，则 是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【分析】根据两点间的距离公式计算出 ， ， 的长度即可判断
【详解】 ， ， ，
，
， ，，
是直角三角形．
故选：A．
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知点 ，判断 的类型.
【答案】等腰三角形
【分析】根据两点间距离公式求出 ，再求出 可得答案.
【详解】∵ ，
，
，
∴ ，且三边不满足勾股定理，
∵ ，
∴ ，∴ 三点不共线，
∴ 是等腰三角形．
变式2．（2023秋·高二课时练习）已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-1，2），B（3，4），
C（3，2），D（1，1），则四边形ABCD是（ ）
A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形
【答案】A
【分析】利用斜率判断直线是否平行，利用两点间距离公式判断线段是否相等.
【详解】由A（-1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），
有 ， ，则 ，
， ， ，
所以四边形ABCD是梯形.
故选：A.（三）求三角形、四边形的周长、面积
例5．（重庆实验外国语学校2022-2023学年高二上学期期末数学试题）在平面直角坐标系xoy中，
．
(1)求 的面积；
(2)判断 四点是否在同一个圆上？并说明理由．
【答案】(1)
(2) 四点不在同一圆上，理由详见解析
【分析】（1）根据三角形的面积公式求得 的面积.
（2）先判断过 三点的圆的直径，再根据 的大小确定正确答案.
【详解】（1） ，
所以 ，所以 ，
所以 的面积为 .
（2） 四点不在同一圆上，理由如下：
由于 ，所以过 三点的圆（设为圆 ）的直径是 ，
由（1）知 是等腰直角三角形，且 ，
所以 不是圆 的圆周角，所以 四点不在同一圆上.
变式1．（辽宁省协作校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题）已知正方形 的中心为坐标
原点， 点 的坐标为（2，1）， 点 在第四象限.
(1)求正方形 的面积;
(2)求直线 和 的方程.
【答案】(1)
(2)直线AB的方程为 ，直线 的方程为【分析】（1）由两点间距离公式与正方形面积公式求解，
（2）由垂直关系与待定系数法得 点坐标，再求解点斜式方程，
【详解】（1）由题意知 ，
所以正方形ABCD的边长为 ，
所以正方形ABCD的面积 ．
（2）因为AC所在直线的方程为 ，且 ，
所以BD所在直线的方程为 ．设点B的坐标为 ， ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以点B的坐标为 ，
所以直线AB的方程为 ，即 ，
因为 ，所以直线 的方程为 ，即 ．
变式2．（2023秋·高二课时练习）已知直线l过点 ，且分别与x，y轴正半轴交于A，B两点.O为坐
标原点.
(1)当 面积最小时，求直线l的方程；
(2)当 值最小时，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设直线l ，分别令 得出 坐标，然后得到面积表达式，利用基
本不等式求得最值，即可得到此时斜率，即得到直线方程.
（2）计算出 ，得到 表达式，利用基本不等式得到最值，即可得到此时斜率，即得到直线方程.
【详解】（1）由题意得斜率
设l ，令 ，则 ，令 ， ，
则 ，
所以
当且仅当 ，即 （因 故正值舍去）时等号成立.
故直线l的方程为 ，即 .
（2） ，
因为
当且仅当 ，即 1时等号成立.又 ，故
故直线l的方程为
即
考点三：点到直线的距离
例6．（上海市青浦区2022-2023学年高二下学期期末数学试题）点 到直线 的距
离为__________．
【答案】
【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由点到直线的距离公式，可得点 到直线 的距离为 .
故答案为： .
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知 到直线 的距离等于4，则a的值为__________．
【答案】10或
【分析】利用点到直线距离公式可直接构造方程求得a的值．
【详解】由 到直线 的距离等于4，
则 ，解得 或 ．
故答案为：10或 ．
变式2．（2023秋·高二课时练习）过点 且和 的距离相等的直线方程是_________．
【答案】 或
【分析】当斜率不存在时，验证不满足条件；当若斜率存在时，设直线方程为 ，利用点到直线
的距离公式，列出方程求得 的值，即可求解.
【详解】若斜率不存在时，过点 的直线为 ，此时不满足条件；
若斜率存在时，设过点 的直线 ，即 ．
根据题意，可得 ，解得 或 ，
当 时，直线方程为 ，
当 时，直线方程为
综上可得，直线方程为 或 ．
故答案为： 或
例7．（2023秋·高二课时练习）若点 在直线 上， 为坐标原点，则 的最小
值是（ ）A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】求出点O到直线的距离即得解.
【详解】∵点 在直线 上，O为坐标原点，
的最小值是点O到直线的距离 ．
故选：B．
变式1．（福建省石狮市永宁中学2022-2023学年高二上学期第一次阶段考数学试题）已知 ，
则 的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出原点到已知直线的距离作答.
【详解】 表示原点与直线 上的点的两点间距离，
所以 的最小值是原点到直线 的距离 .
故选：D
变式2．（2023秋·高二课时练习）直线 过定点___________，原点到直线l的距
离的最大值为___________.
【答案】
【分析】将 化为 可得直线所过定点；
由第一空答案结合图形，可得原点到直线l的距离的最大值.
【详解】由 可得 ，则 ，得 ，故l过定点 ；如图，设定点为A，当 时，原点到直线l的距离的最大.理由如下：
设 为过A点的除l外的一条直线，其到原点距离如图为 ，
因 为直角三角形，则 .故当且仅当 时，原点到直线l的距离的最大.此时最大距离
为 .
故答案为： ； .
变式3．（2023秋·高二课时练习）已知点 ，点B在直线 上运动，当线段AB最短时，点B
的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设点 的坐标是 ，则线段AB垂直直线 时，线段AB最短，根据两直线垂直的斜率
关系即可求解.
【详解】因为点 在直线 上运动，
所以可设点 的坐标是 ，
当线段AB垂直直线 时，线段AB最短，
由直线 得其斜率为-1，则 ，得 ，
所以 的坐标是 .
故选：A
变式4．（重庆市第十一中学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题）已知直线 ： 过定
点 ，则点 到直线 ： 距离的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题首先求出 ，然后发现直线 ： 恒过定点 ，由图可得点 到直线 ：
距离的最大值可转化为点 与点 的距离.
【详解】由题意知，直线 ： 恒过定点 ，
直线 ： 恒过定点 ，如图所示，
过 作 的垂线段 ，垂足为 ，
那么必有 ，当且仅当 与 重合时取等号，
从而 的最大值为 ，
即点 到直线 ： 距离的最大值是 .
故选：D.考点四：两平行线间的距离
例8．（2023秋·高二课时练习）已知直线 与直线 平行，则它们之间
的距离是（ ）．
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】根据两直线平行求出参数 的值，再将直线方程化为 、 对应系数一致，最后利用距离公式计
算可得.
【详解】因为直线 与直线 平行，
所以 ，解得 ，
所以直线 ，即 ，即 ，
所以两平行线之间的距离 .
故选：B
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知直线 ，且 ∥ ．
(1)求 的值；
(2)求两平行线 与 之间的距离．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）由两直线平行，可得 ，从而可求出 的值；
（2）先将直线 变形后，再利用两平行线间的距离公式可求得结果.
【详解】（1）因为直线 ，且 ∥ ，
所以 ，解得（2）由（1）知 的方程为 ，即 ，
所以 与 之间的距离为 ．
变式2．（2023秋·高二课时练习）已知两条直线 ，
，且 ，当两平行线距离最大时， （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】求出 恒过的定点 ，故 ， 距离的最大值为 ，所以 ，
求解即得出答案.
【详解】 ，由 ，
解得 ，故 过定点 ．
，由 ，
解得 ，故 过定点 ，
故 ， 距离的最大值为 ．
此时， ，则 ， ，
解得 ，故 ．
故选：C．
变式3．（2023秋·高二课时练习）已知直线l到两条平行直线 与 的距离相等，则
直线l的方程为__________．【答案】
【分析】由平行直线系设直线 的方程，由平行线间的距离公式列式求解即可．
【详解】解：依题意设直线 的方程为 ， ，
则 ，即 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ．
故答案为：
变式4．（2023秋·高二课时练习）若两条平行直线 与 之间的距离是
，则 __________．
【答案】3
【分析】由两直线平行列方程求出 ，再由两平行线间的距离公式列方程可求出 的值，从而可求出结果.
【详解】因为直线 与 平行，
所以 ，解得 且 ，
所以直线 为 ，
直线 化为 ，
因为两平行线间的距离为 ，
所以 ，得 ，
因为
所以 ，得 ，
所以 ，
故答案为：3
变式5．【多选】（2023秋·高二课时练习）与直线 平行且到 的距离等于 的直线方程为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】利用平行线间的距离公式即可求解.
【详解】设所求直线方程为 ，
由题意得 ，解得： 或 ，
故所求直线方程为： 或 .
故选：AB.
变式6．（2023秋·高二课时练习）已知直线l经过点 ，且被两平行直线 和
截得的线段之长为5．则直线l的方程为_________．
【答案】 或
【分析】设出直线 与直线 的交点坐标，根据给定条件列式探求两个交点坐标间的关系，求出直线方程
作答.
【详解】设直线 与直线 分别交于点 ，
则 ，两式相减得： ，而 ，
即 ，解得 或 ，
由 ，即 ， 轴，得直线 方程为 ，经验证符合题意，
由 ，即 ， 轴，得直线 方程为 ，经验证符合题意，
所以直线l的方程为 或 .
故答案为： 或变式7．（上海财经大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）若直线 被两平行线
与 所截得的线段的长为2，则直线 的倾斜角为______．
【答案】 或
【分析】根据两平行线间的距离与2的比较可得直线 和两平行线的夹角为60°，再根据倾斜角的关系求
解即可．
【详解】设直线 与两平行线 的交点分别为 ，过 点作 的垂线，垂足为 ，如图，
两平行线间的距离 ，则 ，又 ，
所以直线 与两平行线的夹角 满足 ，则 ，
因为两平行线斜率为 ，所以倾斜角为 ，
所以直线 的倾斜角为 或 ．
故答案为： 或 ．
变式8．（2023秋·高二课时练习）若动点 ， 分别在直线 和直线 上移动，
求线段 的中点 到原点的距离的最小值为________．
【答案】【分析】由题意线段 的中点 的集合为与直线 和直线 距离相等的直线，
记为 ，则 到原点距离最小值为原点到 的距离，结合点到直线的距离公式可求．
【详解】由题意线段 的中点 的集合为与直线 和直线 距离相等的直线，
记为 ，
则 到原点距离最小值为原点到 的距离，
设直线 ，
则 ，
解得 ，
所以 ，
根据点到直线的距离公式可得， 到原点的距离的最小值为 ．
故答案为： ．
考点五：距离的综合应用
例9．（上海市上海中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）过点 作一条直线 ，它夹
在两条直线 ： 和 ： 之间的线段恰被点 平分，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为 ，进而得出交点，
根据点 为两交点的中点建立等式，求出 的值，从而即可解决问题.
【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为： ，不符合题意；
所以直线斜率存在设为 ，
则直线 方程为 ，联立直线 得： ，
联立直线 得：， ，
所以直线 与直线 ，直线 的交点为：
，
又直线 夹在两条直线 和 之间的线段恰被点 平分，
所以 ，
解得： ，
所以直线 的方程为： ，
故选：B.
变式1．（上海师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期3月第二次月考数学试题）已知点 分别在
直线 与直线 上，且 ，点 ， ，则 的最小
值为______.
【答案】
【分析】作出图象，易知 ，则然后易求得当 时，此时可过 作直线 与 垂直，易知得 的方
程，然后在 上，直线 ， 之间找点 ，使得 到 的距离等于 点到 的距离，此时最小距离和即为
，由此求解．
【详解】易知 ，作出图象如下，过 点作直线 ，则 ，直线 ，过 作直线 ，与直线 交于点 ，易知四边形 为平行四边形，
故 ，且 到直线 的距离等于 到 的距离，
设 ，则 ，解得 或 （舍 ，所以 ，
而 ，且 （定值），
故只需求出 的最小值即可，显然 ，
故 的最小值为 ．
故答案为： ．
变式2．（山东省菏泽市郓城县郓城第一中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题）已知三条直线；
， ， ： ，且原点到直线 的距离是 ．
(1)求a的值；
(2)若 ，能否找到一点 ，使 同时满足下列三个条件：①点 在第一象限；②点 到 的距离是点
到 的距离的2倍；③点 到 的距离与点 到 的距离之比是 ，若能，求点 的坐标；若不能，
说明理由．
【答案】(1)
(2)存在 理由见详解.【分析】（1）利用原点到直线 的距离是 求解即可；（2）假设存在满足三个条件的点 ，然后根据
三个条件联立解出即可.
【详解】（1）因为原点到直线 的距离是 ，即
所以
（2）若 ，由（1）得 ，所以
设存在点 满足题意，则：
点 到 的距离是点 到 的距离的2倍有
即 ①
点 到 的距离与点 到 的距离之比是
②
③
联立①②③解的：
故存在满足上述三个条件的点
变式3．（上海市青浦区2023届高三上学期9月月考数学试题）在平面直角坐标系 中，若动点到两直线 和 的距离之和为 ，则 的最大值为___________.
【答案】8
【分析】由已知可知两直线 ，取 在 的右侧时，分别过 作两直线的垂线，结合几何性质确定
点轨迹，即可求得 的最大值,其他位置同理可得．
【详解】若动点 到两直线 和 的距离之和为 ，
交点为 的斜率分别为 ，则 ，
在 的右侧时，过 分别向 引垂线，
垂足分别为 ，那么 ，
过 作 轴的平行线，与 交点为 如图，
则 ，所以 ，
其它位置同理，那么点 轨迹为正方形 ，
当 在 时， 取得最大值 ，即 取得最大值8.
故答案为：8．
变式4．（河北省邢台市第二中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题）过定点A的直线
与过定点 的直线 交于点 与 不重合），则 面积的最
大值为（ ）A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.
【详解】动直线 化为 ，可知定点 ，
动直线 化为 ，可知定点 ，
又
所以直线 与直线 垂直， 为交点，
.
则 ，当且仅当 时，等号成立.
即 面积的最大值为2.
故选：C.
考点六：直线的对称问题
例10．（2023秋·高二课时练习）设点 关于直线 的对称点为 ，则点 的坐标为
_____________，过点 且与直线 垂直的直线方程为_______________.
【答案】
【分析】先利用对称的性质得到关于 的坐标的方程组，解之即可求得点 的坐标；再利用直线垂直的性
质，结合待定系数法即可得解.
【详解】依题意，设 ，则 ，解得 ，
即点Q的坐标为 ，
设与直线 垂直的直线方程为 ，将 代入该式，得 ，故 ，
所以所求直线方程为 .
故答案为： ； .
变式1．（2023秋·高二课时练习）若点 关于直线 对称，则
_________； __________．
【答案】 4 2
【分析】根据给定条件，利用轴对称的性质列出方程组，解方程组即可作答.
【详解】依题意，直线 的斜率为 ，线段 的中点 ，
于是 ，整理得 ，解得 ，
所以 .
故答案为：4；2
变式2．（上海财经大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）直线 关于点
对称的直线的一般式方程为______．
【答案】
【分析】由直线 关于点 对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点
到两条直线的距离相等可解出答案.
【详解】设对称直线为 ，
根据点 到两条直线的距离相等，则有 ，即 ，解得 （舍）或 .
所以对称直线的方程为 .
故答案为： .
变式3．（2023秋·高二课时练习）试求直线 关于直线 对称的直线l的方程．
【答案】 .
【分析】求出直线 的交点坐标，再在直线 取点 ，并求出该点关于直线 对称点坐标即可求解作
答.
【详解】由 ，解得 ，即直线 交于点 ，显然点 在直线 上，
在直线 上取点 ，设该点关于直线 对称点 ，则 ，解得 ，
点 在直线 上，因此直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
变式4．（2023秋·高二课时练习）已知 中， ， 边上的高线 方程为 ，角A平分线方程为 ，求 ， 边所在直线方程．
【答案】 ： ， ：
【分析】由 的斜率求出 的斜率，利用点斜式求出 的方程，依题意 与 关于 轴对称，设
，又点A在直线 上，代入求出 ，即可求出直线 的方程，从而求出直线 的方程．
【详解】因为 边上的高线 所在直线的方程为 ，
则 ， ． 边所在直线方程为 ．
即 ．
的平分线所在直线方程为 ，则 与 关于 轴对称， 设 ．
又点 在直线 上， ， ． ，
点 的坐标为 ．
直线 方程为： ．即 ，
又 与 关于 轴对称，
所以直线 的方程为 ，
所以直线 的方程为： ，直线 的方程为： ．
变式5．（2023秋·高二课时练习）已知直线 的方程为 .
（1）若直线 和直线 关于点 对称，求直线 的方程__________；
（2）若直线 和直线 关于直线 对称，求直线 的方程__________.
【答案】 .【分析】根据题意，由点 关于点 对称的点 在直线 上，列出方程即可得到结果；由
题意可得直线 与直线 的交点，求出 关于直线 对称的点为 ，即可得到直线方程.
【详解】因为直线 和直线 关于点 对称，
在直线 上任取一点 ，则 关于点 对称的点 在直线 上，
将点 代入直线 可得 ，
所以直线 的方程为 ；
设直线 与直线 的交点为 ，
所以 ，解得 ，则 ，
在直线 上取点 ，设 关于直线 对称的点为 ，
则 ①
因为 与 的中点坐标为 ，
所以 ②
由①②可得 ，所以
因为直线 和直线 关于直线 对称，
所以直线 经过点 和点 ，
所以直线 的两点式方程为 ，
整理得直线 的一般式方程为 .故答案为: ; .
变式6．（2023秋·高二课时练习）一条光线从点 发出，经过 轴反射，反射光线经过点 .
(1)求反射光线所在的直线方程；
(2)求反射光线所在直线与坐标轴所围成的三角形面积的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得反射线所在直线经过点 关于 轴的对称点 ，结合题意由两点即可求
解方程；
（2）分别求出直线 与坐标轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1） 光线的反射线是 轴，
反射线所在直线经过点 关于 轴的对称点 ，
而直线 的斜率 ，
可得直线 的方程为 ，化简得 .
（2）在直线 中令 ，得 ，可得直线 交 轴于点 ，
在直线 中，令 ，得 ，可得直线 交 轴于点 ，
所以反射光线所在直线与坐标轴所围成的三角形面积的大小 .
变式7．（2023秋·高二课时练习）已知点 ，在直线 和 轴上各找一点 和 ，使
的周长最小，并求出 和 两点的坐标．
【答案】 ，【分析】求出点 关于直线 的对称点 ， 轴的对称点 点坐标，求出直线 的方程，分别求出
直线 与直线 、 轴的交点坐标即为 、 点坐标.
【详解】由题可得，设点 关于直线 的对称点 ，
则 ，解得 ，即 ，
点 关于 轴的对称点 ，则直线 的方程为 ，即 .
当 、 分别为直线 与直线 、 轴的交点时， 的周长最小.
令 ，得到直线 与 轴的交点 .
由 ，解得 ，所以直线 与直线 的交点为 .
故点 ， 即为所求.
1．原点到直线 的距离为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用点到直线的距离公式，求得所求的距离.
【详解】由点到直线距离可知所求距离 .
故选：D
【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.
2．若直线m被两平行线 与 所截得的线段的长为 ，则m的倾斜角可以是①
15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是_____(写出所有正确答案的序号)．
【答案】①⑤
【分析】先求两平行线间的距离为 ，结合题意直线m被两平行线所截得的线段的长为 得到直线m
与两平行线的夹角为30°，再根据已知直线的倾斜角进行求解．
【详解】因为 ，所以直线 ， 间的距离 ．
设直线m与直线 ， 分别相交于点B，A，
则 ，
过点A作直线l垂直于直线 ，垂足为C，
则 ，
则在 中， ，
所以 ，
又直线 的倾斜角为45°，
所以直线m的倾斜角为 或 ．
故答案为：①⑤．3.直线 关于x轴对称的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设点，求出对称点，得出关系.
【详解】设 为直线 关于x轴对称的直线方程上任意一点，则
关于x轴对称的点 在直线 上，
即有， 满足直线 方程，
即， 化简得， .
故选：C.
4.如果直线 与直线 关于直线 对称，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意在 上任取一点 ，其关于直线 的对称点在 上，代入可求出 ，
然后在 上任取一点，其关于直线 的对称点在 上，代入可求出 .
【详解】在 上取一点 ，
则由题意可得其关于直线 的对称点 在 上，
所以 ，得 ，
在 上取一点 ，则其关于直线 的对称点 在 上，
所以 ，得 ，
综上 ，
故选：A
5.直线 关于点 对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为 ,则其关于点 对称的点的坐标为 ，
代入已知直线即可求得结果.
【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为 ，
则其关于点 对称的点的坐标为 ，
因为点 在直线 上，
所以 即 .
故选：D.
1．（2023秋·高二课时练习）已知点 ， ，则A，B两点的距离为（ ）
A．25 B．5
C．4 D．
【答案】B【分析】由两点间的距离公式求解即可.
【详解】由两点间的距离公式得 ．
故选：B.
2．（2023秋·高二课时练习）点（1，-1）到直线x-y+1=0的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断点（1，-1）不在直线上，再利用点到直线的距离求解即可.
【详解】由题意得点（1，-1）不在直线上，
所以点（1，-1）到直线的距离为 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查点到直线的距离的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
3．（2023秋·高二课时练习）直线 与直线 的交点坐标是（ ）
A．(2,0) B．(2,1)
C．(0,2) D．(1,2)
【答案】C
【分析】解方程组 即可得解.
【详解】解方程组 得 ，
即直线 与直线 的交点坐标是(0,2)．
故选：C.
4．（2023秋·高二课时练习）若直线 与直线 的交点位于第一象限，则直线l的
倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】求出两直线的交点坐标，根据交点位于第一象限列式求出 的范围，可得倾斜角的取值范围.
【详解】当 时，两直线平行，无交点，不合题意，故 ，
由 ，得 ，则两直线的交点为 ，
依题意得 ，解得 ，所以直线l的倾斜角的取值范围是 .
故选：B
5．（广东省深圳市福田区红岭中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题）已知点 到直线
的距离为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.
【详解】解：由题意得 ．
解得 或 ． ， ．
故选：C.
6．（河南省南阳市六校2022-2023学年高二下学期第二次联考数学试题）若平面内两条平行线 ：
， ： 间的距离为 ，则实数 （ ）A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2
【答案】A
【分析】根据直线平行，求得 的值，结合两平行线的距离公式，即可求解.
【详解】因为两直线 ： ， ： 平行，
可得 且 ，解得 或 ，
当 时， ， ，即 ，
可两平行线间的距离为 ，符合题意；
当 时， ， ，即 ，
可两平行线间的距离为 ，不符合题意，舍去.
故选：A.
7．（广西壮族自治区河池市2022-2023学年高二上学期2月期末数学试题）已知直线 ，
相互平行，则 、 之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两直线平行得到关于a的方程，求出 的值，再由两平行线之间的距离公式计算即可.
【详解】因为直线 ， 相互平行，
所以 ，解得 ，
所以 ，即 ，
所以 、 之间的距离 .
故选：A.8．（2023秋·高二课时练习）已知 到直线 的距离等于3，则a的值为（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】C
【分析】由距离公式，解方程得出a的值.
【详解】由距离公式可得， ，即 解得 或 .
故选：C
9．（2023秋·高二课时练习）已知 ，点C在x轴上，且 ，则点C的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，因为 ，由两点间的距离公式求解即可.
【详解】因为点C在x轴上，设点 ，则 ，
所以 ，
化简可得： ，所以 .
故选：D.
10．（2023秋·高二课时练习）若直线 与直线 的交点位于第一象限，则实数a的取
值范围是（ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得两直线的交点坐标，再根据题意列出不等式组，求解即可.
【详解】联立 得 ，因为直线 与直线 的交点位于第一象限，
所以 ，解得 .
故选：D
11．（2023秋·高二课时练习）使三条直线 不能围成三角形的实数m
的值最多有几个（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足
题设，即可得答案.
【详解】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，
若 平行，则 ，即 ；
若 平行，则 ，即无解；
若 平行，则 ，即 ；
若三条直线交于一点， ，可得 或 ；
经检验知： 均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个.
故选：B
12．（2022秋·高二单元测试）若直线 与直线 的交点在第一象限，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】联立两直线方程，求出交点坐标，再依题意得到不等式组，解得即可.【详解】联立方程组 ，解得 ，
因为直线 与直线 的交点在第一象限，
所以 ，解得 ，所以 ，即实数 的取值范围是 .
故选：A
二、多选题
12．（安徽省池州市第一中学等2校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题）已知直线
，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 与直线l相互平行 B．直线 与直线l相互垂直
C．直线 与直线l相交 D．点 到直线l的距离为
【答案】ACD
【分析】对于选项ABC，根据直线与直线位置关系的判断方法，逐一对各个选项分析判断即可判断出选项
ABC的正误；对于选项D，直接利用点到线的距离公式即可得到结果.
【详解】因为直线 ，斜率 ，纵截距为 ，
选项A，因为直线 ，斜率为 ，纵截距为 ，所以 ， ，故直线 相互平行，
故A正确；
选项B，因为直线 ，斜率为 ，所以 ，故直线 相交但不垂直，
故B错误；
选项C，由 ，解得 ，所以直线 的交点为 ，故C正确；
选项D，根据点到直线的距离的公式知， 到直线l的距离 ，故D正确；
故选：ACD.13．（吉林省辽源市田家炳高级中学校2022-2023学年高二上学期期末数学试题）下列四个命题中真命题
有（ ）
A．直线 在 轴上的截距为
B．经过定点 的直线都可以用方程 表示
C．直线 必过定点
D．已知直线 与直线 平行，则平行线间的距离是
【答案】CD
【分析】利用截距的定义可判断A选项；取垂直于 轴的直线的方程可判断B选项；求出直线所过定点的
坐标可判断C选项；利用两直线平行求出 的值，再利用平行线间的距离公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，直线 在 轴上的截距为 ，A错；
对于B选项，经过定点 且垂直于 轴的直线的方程为 ，B错；
对于C选项，对于直线方程 ，由 可得 ，
所以，直线 必过定点 ，C对；
对于D选项，若直线 与直线 平行，
则 ，解得 ，
故两直线方程分别为 、 ，
这两平行直线间的距离为 ，D对.
故选：CD.
14．（安徽省滁州市实验中学等2校2022-2023学年高二上学期1月期末联考数学试题）已知直线 ：
， ： （ ），则（ ）A．直线 过定点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，两直线 ， 之间的距离为3
【答案】ABD
【分析】将直线变形为 ，即可求解定点坐标，进而可判断A，根据两直线垂直和
平行满足的系数关系即可代入 值求解BC,根据两平行线间距离公式可判断D.
【详解】 ： （ ）变形为 ，
由 则 因此直线 过定点 ，故A正确；
当 时， ： ， ： ，
所以 ，故两直线平行，故B正确；
当 时， ： ， ： ，
因为 ，故两直线不垂直，故C错误；
当 时，则满足 ，解得 ，此时 ： ， ： ，
即 ，则两直线间的距离为 ，故D正确．
故选：ABD．
15．（辽宁省丹东市2022-2023学年高二上学期期末数学试题）已知直线 ，则下列表
述正确的是（ ）
A．当 时，直线的倾斜角为
B．当实数 变化时，直线 恒过点C．当直线 与直线 平行时，则两条直线的距离为1
D．直线 与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4
【答案】ABD
【分析】A选项，可求出直线斜率，即可判断选项正误；
B选项，将直线方程整理为 ，由此可得直线所过定点；
C选项，由题可得 ，后由平行直线距离公式可判断选项；
D选项，分别令 ，可得直线与 轴，x轴交点为 ， .
则围成三角形面积为 ，后由基本不等式可判断选项.
【详解】A选项，当 时，直线方程为 ，可得直线斜率为1，则倾斜角为 ，故A正确；
B选项，由题可得 ，则直线过定点 ，故B正确；
C选项，因直线 与直线 平行，则 ，则直线方程为： ，
即 .则 与直线 之间的距离为
，故C错误；
D选项，分别令 ，可得直线与 轴，x轴交点为 ， .
又交点在两坐标轴正半轴，则 .故围成三角形面积为
，当且仅当，即 时取等号.即面积最小值为4，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
16．（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）直线 与直线 平行，
则 __________.
【答案】2
【分析】根据两直线平行的充要条件即可求解.
【详解】法一：两直线平行，则 ；
法二：两直线平行， ，则 ,
故答案为： .
17．（2023秋·高二课时练习）直线 关于点 对称的直线方程为__________．
【答案】
【分析】根据点关于点对称的坐标关系，即可将 关于点 对称的点 代入已知直线
中求解.
【详解】在对称直线上任取一点 ,设 关于点 对称的点为 ，由于
在直线 上，所以 ，即 ，
故答案为：
18．（2023秋·高二课时练习）与直线 平行且到l的距离为2的直线的方程为__________．
【答案】 或 .
【分析】设直线方程为5x－12y＋b＝0，求出两平行线之间的距离，列方程求解即可.
【详解】设与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，
根据两平行直线间的距离公式得 ，
解得b＝32或b＝－20.∴所求直线方程为 或 .
故答案为： 或 .
19．（2022秋·高二校考课时练习）已知 的顶点 ，AC边上的高BC所在的直线方程为
，则顶点C的坐标为______.
【答案】
【分析】根据BC与AC垂直可得 ，求出直线AC的方程与 联立可得答案.
【详解】由题意知BC与AC垂直， ， ，
∴直线AC的方程为 ，即 ，
解方程组 ，
得点C的坐标为 .
故答案为： .
20．（2023春·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）直线 与直线 间的距离为
__________
【答案】 /
【分析】利用两条直线平行的条件及两条平行直线间的距离公式即可求解.
【详解】由直线 ，得 ，
所以 ，由直线 ，得 ，
所以 ，
所以 .
所以直线 与直线 平行，
所以直线 与直线 间的距离为
.
故答案为： .
四、解答题
21．（2022秋·甘肃兰州·高二校考期末）已知直线l经过两条直线 和 的交点．
(1)若直线l与直线 平行，求直线l的方程；
(2)若直线l与直线 垂直，求直线l的方程．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）先求两条直线的交点得 ，再利用直线平行设 的方程为 ，把
代入方程即得；
（2）由直线垂直设直线 的方程为 ，把 代入方程即得.
【详解】（1）（1）由 ，可得 ，
即直线 和 的交点为 ，因为直线 平行于直线 ，
可设直线 的方程为 ，
把点 代入方程得 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ；
（2）设直线 的方程为 ，
把点 代入方程得 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
22．（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）已知 的三个顶点 ， ，
.
(1)求直线 的方程；
(2)求 的面积.
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）首先求出 的斜率，再由点斜式求出直线方程；
（2）求出点 到直线 的距离，再求出 的长度，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，所以 ，化简可得 .
（2）点 到直线 的距离 ，
，则 .
23．（2022秋·江苏常州·高二常州高级中学校考阶段练习）已知直线 的方程为 ，若直线 过
点 ，且 .
(1)求直线 和直线 的交点坐标；
(2)已知直线 经过直线 与直线 的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2) 或 .
【分析】（1）求出直线 的方程与 方程联立求解交点坐标即可；
（2）分类讨论，截距都为0与截距都不为0两种情况求解 的方程即可.
【详解】（1）因为直线 过点 ，且 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
联立 ，解得 ， ，
所以直线 和直线 的交点坐标为 ；
（2）当直线 在两坐标轴上的截距都为0时，此时直线方程为 ，
当直线 在两坐标轴上的截距都不为0时，此时可设直线方程为 ，
因为直线 过 ，所以 ，
所以 ，此时直线方程为 ，即 ，
综上直线 的方程为 或 .
24．（2023·高二课时练习）已知点A（-3，5）和B（2，15），在直线 上找一点P，使
最小，并求这个最小值．
【答案】 ，最小值
【分析】求得 关于直线 的对称点，结合两点间的距离公式求得 的最小值.
【详解】设 关于直线 的对称点为 ，
线段 的中点为 ，
所以 ，
解得 ，即 ，
所以 的最小值为 ，
此时直线 的方程为 ，
由 解得 ，所以 .
25．（2022秋·湖南怀化·高二校联考期末）已知直线 和直线 ，其中为常数．
(1)当 时，求直线 与 的距离；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2) 或 ．
【分析】（1）将 代入得两直线方程，再利用平行线之间距离公式即可；
（2）根据两直线垂直得到关于 的方程 ，解出即可.
【详解】（1）当 时，直线 和直线 ，
则直线 平行， 直线 与 的距离 ．
（2） 直线 ，直线 ，其中 为常数，
， ，解得 或 ．
26．（2022·高二课时练习）已知直线 .
(1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B， 的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时
直线l的方程.
【答案】(1)
(2)4；
【分析】（1）根据题意可得 ，由此求得k的范围．
（2）由题意可得 ，利用基本不等式求得它的最小值，可得此时直线l的方
程.【详解】（1）直线 可化为 ，
要使直线不经过第四象限，则 ,
解得 ，
∴k的取值范围为 ；
（2）由题意可得 中取 得 ,
取 得 ,
故 ，
当且仅当 时，即 时取“=”，
此时S的最小值为4，直线l的方程为 ﹒
27．（2023·全国·高三对口高考）已知三条直线 、 和 且
与 的距离是 ．
(1)求 的值；
(2)已知 点到直线 的距离与 点到直线 的距离之比是 ，试求出点 的轨迹方程．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）将直线 化为 ，利用两平行线之间的距离公式得到方程，解得即可；
（2）设点 ，利用点到直线的距离公式得到方程，整理即可得解.
【详解】（1）将直线 的方程化为 ，两条平行线 与 间的距离 ，
解得 或 ，又 ，所以 ．
（2）因为直线 ，直线 ，
设点 ，依题意有 ，
即 ，所以 或 ，
即 的轨迹方程 或 ．
