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第 09 讲 空间向量及其运算的坐标表示 10 种常见考法归类
理解和掌握空间向量的坐标表示及意义，会用向量的坐标表达空间向量的相关运算.会求空间向量的夹
角、长度以及有关平行、垂直的证明.
知识点1 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k
的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们
就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称
为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
注意点：
(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.
(2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.
(3)建立的坐标系均为右手直角坐标系．在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x轴的正方向，食指指
向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．空间一点的坐标、向量的坐标
（1）空间点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量OA，且点A的位
置由向量OA唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使OA＝xi＋yj＋zk.在单
位正交基底{i，j，k}下与向量OA对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作
A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
注：空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标特点
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的形式 (x,0,0) (0，y,0) (0,0，z)
点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z)
（2）空间点的对称问题
①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求
解．
②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
（3）空间向量的坐标
向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作OA＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的
有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可
简记作a＝(x，y，z)．
知识点2 空间向量的坐标运算
1．空间向量的坐标运算法则
设向量a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)，λ∈R，那么
1 2 3 1 2 3
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b (a＋b，a＋b，a＋b)
1 1 2 2 3 3
减法 a－b (a－b，a－b，a－b)
1 1 2 2 3 3
数乘 λa (λa，λa，λa)
1 2 3
数量积 a·b ab＋ab＋ab
1 1 2 2 3 3
注意点：
(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．
(2)设A(x ，y ，z)，B(x ，y ，z)，则AB＝(x －x ，y －y ，z －z)．即一个空间向量的坐标等于表示此向
1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1
量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
(3)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(4)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量．
2．空间向量相关结论的坐标表示
设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)，则有
1 2 3 1 2 3
(1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a＝λb，a＝λb，a＝λb(λ∈R)；
1 1 2 2 3 3
(2)垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔ab＋ab＋ab＝0.
1 1 2 2 3 3
(3)|a|＝＝.
(4)cos〈a，b〉＝＝.
注意点：
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)．
(2)a＝(x，y，z)，b＝(x，y，z)，若a∥b，则＝＝成立的条件是xyz≠0.
1 1 1 2 2 2 2 2 2
3．空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设P(x，y，z)，P(x，y，z)．
1 1 1 1 2 2 2 2
(1)P1P2＝(x－x，y－y，z－z)．
2 1 2 1 2 1
(2)PP＝|P1P2|＝.
1 2
(3)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，则|OP|＝.
注：空间两点间的距离公式推导过程
如图，建立空间直角坐标系Oxyz，
设P(x，y，z)，P(x，y，z)是空间中任意两点，P1P2＝OP2－OP1＝(x－x，y－y，z－z)，
1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1
于是|P1P2|＝＝
所以PP＝|P1P2|＝ ，
1 2
因此，空间中已知两点A(x，y，z)，B(x，y，z)，则AB＝|AB|＝ .
1 1 1 2 2 2
1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的
点落在坐标轴上．充分利用几何图形的对称性．
2.求某点M的坐标的方法
作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再
求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．
3.空间向量坐标运算的规律及注意点
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定．
已知空间点的坐标、A(x ，y ，z)，B(x ，y ，z)向量AB的坐标等于终点坐标减起点坐标．即AB＝(x
1 1 1 2 2 2 2
－x，y－y，z－z)．
1 2 1 2 1
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．
4.解决空间向量垂直、平行问题的有关思路
(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如，设向量a＝(x，y，z)．
(2)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件，在有关平行的问题中，通常需
要引入参数．例如，已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解；已知两向量平行或垂直求
参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解．
(3)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利
用向量平行、垂直的充要条件证明．
5．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤
(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；
(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；
(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．
6．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出线段端点的坐标；
(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．
考点一：空间中点的坐标表示
例1．（2023秋·北京西城·高二北师大二附中校考期中）已知点 ， ，点
满足 ，则点 的坐标是______．
【答案】
【分析】直接代入空间向量的坐标公式列方程计算即可.
【详解】设 ，
则 ，
由题可得
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即点 的坐标是 .
故答案为： .
变式1．（2022·高二课时练习）若△ 顶点 ，且 ， ，则点C坐标
是___________.
【答案】
【分析】根据向量的坐标表示有 、 ，即可求C
坐标.
【详解】由 ， ，可得： ，
又 ，同理可得： .
故答案为：
变式2．（2022·全国·高二专题练习）平行六面体 中， ，则点 的
坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用空间向量的坐标表示，即得.
【详解】设 ，
∵ ，又 ，
∴ ，
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故选：B.
变式3．（2023·全国·高二专题练习）已知点 ， ， ，则点 的坐标为______．
【答案】 /
【分析】先求出向量 的坐标，设点 ，得出 的坐标，根据条件得出方程组可得答案.
【详解】点 ， ，则
设点 ，则
x=0
{
1
由 ，则 ，即 y= ，
2
z=1
所以点 的坐标为
故答案为：
变式4．（2023春·高二课时练习）若 ､ ，点C在线段AB上，且 ，则点C的坐
标是___________.
【答案】
【分析】设点 的坐标为 ，由题意可得 ，即可得到方程组，解得即可求得 的坐标．
【详解】解： 点 ､ ， 为线段 上一点，且 ，
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设点 的坐标为 ，则 ，
则 ，即 ，
解得 ，即 ；
故答案为： ．
变式5．（2023·高三课时练习）若ABCD为平行四边形，且已知点 、 、 ，
则顶点D的坐标为______．
【答案】
【分析】设 ，然后利用 求解即可.
【详解】设 ，因为四边形 为平行四边形，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 .
故答案为： .
考点二：空间点的对称问题
例2．（2023春·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点 关于 轴对称的点坐标是（ ）
A． B． C． D．
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【答案】C
【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.
【详解】在空间直角坐标系中，点 关于 轴对称的点坐标为 .
故选：C.
变式1．（2023·全国·高二专题练习）已知点 ， 分别与点 关于 轴和 轴对称，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在空间直角坐标系中，求出点 关于 轴和 轴对称的坐标，再利用向量的坐标表示即可
得解.
【详解】依题意，点 关于 轴对称点 ，关于 轴对称点 ，
所以 .
故选：A
变式2．（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）已知点 关于 平面的对称点为 ，而点 关
于 轴的对称点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【分析】由对称性分别求出B、C，则有 ，即可求得
【详解】由题意 ，则 ，
故 ， .
故选：B
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等变式3．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第十七中学校考阶段练习）在空间直角坐标系Oxyz中，P是
坐标平面xOy内一动点， ， ，当 最小时P的坐标为___________.
【答案】
【分析】先利用对称找出 的位置，再结合三角形相似以及空间向量的运算即可求解
【详解】过点 作平面xOy垂线 ，垂足为 ，延长 到 ，使得 ，
过点 作平面xOy垂线 ，垂足为 ，
则 ， ， ，
因为 与 关于平面xOy对称，
所以 ，
所以当 最小时点P是连接 与平面xOy的交点，
连接 ，易知 共面，且 与 相似，
所以 ，
所以 ，
设 ，则 ，
所以 ，解得 ，
所以P的坐标为 ，
故答案为：
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例3．（2023春·高二课时练习）已知点 ， ，则向量 的坐标为________．
【答案】
【分析】利用向量的坐标运算求解.
【详解】 ．
故答案为：
变式1．（2023春·高二课时练习）已知 是空间的一个单位正交基底，向量 用坐标形式
可表示为________．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标表示直接写出作答.
【详解】因为 是空间的一个单位正交基底，则有 .
所以向量 用坐标形式表示为 .
故答案为：
变式2．（2022秋·广东广州·高二校联考期末）如图，正方体 的棱长为2， ，且
，则 （ ）
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件求得 .
【详解】依题意， ，所以 ，
所以 .
故选：D
变式3．（2023·全国·高二专题练习）已知空间直角坐标系中，点 ， ，若 ， 与
同向，则向量 的坐标为______.
【答案】
【分析】求出 坐标，根据给条件表示出 坐标，利用向量模的坐标表示计算作答.
【详解】因 ， ，则 ，
因 与 同向，则设 ，因此， ，
于是得 ，解得 ，则 ，
所以向量 的坐标为 .
故答案为：
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， ， ， ，那么以下说话中正确的是（ ）
A． B．
C． 的中点坐标为 D．四边形 是一个梯形
【答案】AD
【分析】根据向量的坐标运算判断A，B，C，通过判断 ， 的关系，判断四边形 的形状，由此
判断D.
【详解】设点 为坐标原点，因为 ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
所以 ，A正确；
所以 ，B错误；
设 的中点为点 ，则 ，
所以点 的坐标为 ，C错误；
因为 ， ，所以 ，所以 ， ，所以四边形
是一个梯形，D正确；
故选：AD.
考点四：空间向量的坐标运算
例4．（2022秋·北京丰台·高二统考期末）已知 ， (2，1，1)，则 ________．
【答案】
【分析】以向量的代数运算律解之即可.
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可得
故答案为：
变式1．（2023·全国·高二专题练习）向量 ， ， ， 中，共面的三
个向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量共面满足的坐标关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】A：若 共面，则 ，即 ，
即 ，显然不存在 满足题意，故 不共面；
同理，B，C中的三个向量也不共面；
D：若 共面，则 ，即 ，
即 ，故存在 满足题意，则 共面.
故选：D.
变式2．（2023秋·湖北·高二统考期末）已知向量 ， ， ，若向量 ， ，
共面，则实数 的值为________．
【答案】1
【分析】依题意可得存在实数 ， 使得 ，从得到方程组，解得即可.
【详解】解：因为向量 ， ， 共面，所以存在实数 ， 使得 ，
即 ，所以 ，解得 ．
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变式3．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点
，若点C在平面 内，则点C的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的运算可得 ， ，由 ， 不共线，结合向量基本定理可得
，求得C点坐标为 ，代入验算即可得解.
【详解】由 ， ，
显然 ， 不共线，
根据向量基本定理可得 ，
故C点坐标为 ，
经验算只有B选项符合条件，
此时 ，
故选：B
变式4．【多选】（2023秋·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知在空间直角坐标系中，O为坐标原点，且
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．若 ，则P，A，B，C四点共面
【答案】BD
【分析】由条件求 ，根据向量的模的个数，数量积运算公式，数量积的性质，向量共面定理依
次判断各选项.
【详解】因为 ，
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所以 ，A错误；
，B正确；
，所以 不垂直，C错误；
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 共面，
所以P，A，B，C四点共面，D正确；
故选：BD.
变式5．（2023春·重庆·高一重庆一中校考期中）下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可.
【详解】对于A，设 ，无解，即 不共面，故可以作为空间向量一个基底，
故A错误；
对于B，设 ，无解，即 不共面，故可以作为空间向量一个基底，故B错误；
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等对于C，设 ，无解，即 不共面，故可以作为空间向量一个基底，故C错误；
对于D，设 ，解得 ，所以 共面，故不可以作为空间向量一个基底，
故D正确.
故选：D
变式6．（2022·高二课时练习）在 中，若 ， ，则 是（ ）
A．顶角为锐角的等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形
【答案】A
【分析】利用空间向量的坐标运算计算 的坐标，由模长公式分别计算 ， ， 的值，可得
，再计算 可判断 为锐角，进而可得正确答案.
【详解】 ，
， ， ，
所以 ，
因为 ， ，
因为 ，
所以 为锐角，
所以 是顶角为锐角的等腰三角形，
故选：A.
考点五：空间向量的平行问题
例5．（2022·高二课时练习）若 ，且 与 共线，求x，y的值．
【答案】
【分析】先判断 ，然后根据题意可得到比例式，求得答案.
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【详解】 ，且 与 共 线，
当 时，显然 不共线，
故 ，则由题意得： ，
即 .
变式1．（2023春·高二课时练习）已知向量 ， ，且 ，则实数k的值
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算的坐标表示，结合向量共线条件列式计算作答.
【详解】向量 ， ，则 ，
因为 ，则 ，解得 ，
所以实数k的值为 .
故选：C
变式2．【多选】（2023秋·湖南衡阳·高二衡阳市田家炳实验中学校考期中）与向量 共线的单位
向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据单位向量的概念，求出与向量 共线的单位向量 即可
【详解】因为向量 ，所以 ，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等所以与向量 共线的单位向量为
，
即 和 ，
故选：AC
变式3．（2023秋·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考阶段练习）已知空间两点 ，1， ， ，
2， ，下列选项中的 与 共线的是（ ）
A． ，0， B． ，1， C． ， ， D． ，2，
【答案】D
【分析】由题得 ，1， ，再利用空间向量共线定理判断得解.
【详解】解：由点 ，1， ， ，2， ，
所以 ，1， ，
对于A， ，0， ，不满足 ，所以 与 不共线；
对于B， ，1， ，不满足 ，所以 与 不共线；
对于C， ， ， ，不满足 ，所以 与 不共线；
对于D， ，2， ，满足 ，所以 与 共线．
故选：D
变式4．（2022秋·广东江门·高二江门市第二中学校考期中）已知空间直角坐标系中，点 ，
，若 ，且 与 反向共线，则 _____．
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【分析】根据向量 与 反向共线，设 ，利用 列方程求得 ，即得答案.
【详解】由 ， ，可得 ，
由于 与 反向共线，设 ，
由 可得 ，解得 ， （舍去），
故 ，
故答案为：
变式5．（2022秋·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考期末）在空间直角坐标系Oxyz中， ，
， ，若四边形 为平行四边形，则 ________.
【答案】1
【分析】由四边形 为平行四边形，可得 ，再根据向量的坐标运算求解即可.
【详解】解： ， ，
因为四边形 为平行四边形，
所以 ，
所以 ， ，
则 .
故答案为：1.
考点六：利用坐标运算解决数量积问题
例6．（2022·全国·高二专题练习）若 ， ， ，则 （ ）
A．-11 B．3 C．4 D．15
【答案】C
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【详解】由已知， ，
，
∴ .
故选：C．
变式1．（2022·高二单元测试）若向量 ， ，则 ______．
【答案】19
【分析】根据空间向量的坐标运算，求得 的坐标，再根据向量的数量积的坐标表示求得答案.
【详解】∵ ， ，∴ ，
∴ ,
故答案为：19
变式2．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知向量 ， ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的坐标运算可得 ，结合空间向量数量积的坐标表示计算即可求解.
【详解】由题意知，
由 ，得 ，
解得 .
故选：B.
变式3．（2022秋·江苏徐州·高二校考阶段练习）在 中， ．
(1)求顶点 的坐标；
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【答案】(1) ,
(2)
【分析】根据向量的坐标表示求出 的坐标，利用向量数量积的坐标运算可求得 .
【详解】（1）设 , ,
, .
设 , ,
, .
（2） ，
.
考点七：空间向量的垂直问题
例7．（2023秋·高二课时练习）已知 ，单位向量 满足 ，则
_________．
【答案】 或
【分析】设向量 ，其中 ，由 ，得到方程组 ，进而求得
的值，即可求解.
【详解】设向量 ，其中 ，
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将 代入 ，
可得 或 ，
所以向量 的坐标为 或 .
故答案为： 或 .
变式1．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）已知向量 ，若
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题中条件，求出 的坐标，再由向量垂直的坐标表示列出方程求解，即可得出结果.
【详解】因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，解得 .
故选：D.
变式2．（2022秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知向量 ， ，
若 与 垂直，则 ＝_____.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用向量垂直关系求出x，再结合向量的坐标运算及模的运算计算作答.
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【详解】向量 与 垂直，则有 ，解得 ，
于是 ，
所以 .
故答案为：
变式3．（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）已知空间有三点 ， ， ，若直线
上存在一点M，满足 ，则点M的坐标为______.
【答案】
【分析】设 ，根据空间向量的坐标表示求得点 的坐标，再根据 ，可得数量积为0，
从而可求出 ，即可得解.
【详解】解：设 ，
由 ，得 ，
故 ，则 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
变式4．（2022秋·山东济宁·高二统考期中）已知空间中三点 ， ， ，
设 ， .
(1)求向量 与向量 的坐标；
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等(2)若 与 互相垂直，求实数 的值.
【答案】(1) ， ；
(2) 或 .
【分析】（1）根据空间向量坐标表示公式进行求解即可；
（2）根据空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】（1） ， ；
（2）∵ ， ，
且 与 互相垂直，
∴
解得 或 .
变式5．（2023·全国·高二专题练习）在空间直角坐标系中，若三点 ， ， 满足
，则实数a的值为（ ）．
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】先求出 的坐标，再由 ，得 ，解方程可求出实数a
的值
【详解】因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
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故选：C
变式6．（2023秋·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知长方体 中， ，
， ， ，若 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】解：根据题意，如图，建立空间直角坐标系，因为 ， ， ，
， ， ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 .
故选：C.
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等考点八：利用坐标运算解决夹角问题
例8．（2023·全国·高三对口高考）已知向量 ，若 ，
则 _________．
【答案】
【分析】设 ，依题意可得 ，再根据向量夹角公式即可求解.
【详解】设 向量 ，
， ，设 与 的夹角为 ， ，
， .
故答案为： .
变式1．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知 ，
，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的平行、垂直关系求 ，再根据空间向量的坐标运算求夹角.
【详解】∵ ，∴ ，解得 ，即 .
又∵ ，注意到 ，则 ，使得 ，
∴ ，解得 ，故 .
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等∴ ，
∴ ，又 ，
∴ .
故选：B.
变式2．（2023春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）若向量 ，且 与 夹
角的余弦值为 ，则 等于（ ）
A． B． C． 或 D．2
【答案】A
【分析】利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.
【详解】因为 ，
所以 ， ，
又 与 夹角的余弦值为 ， ，
所以 ，解得 ，
注意到 ，即 ，所以 .
故选：A.
例9．（2023春·高二课时练习）若 ，若 与 的夹角是锐角，则 的值的
取值范围为__________.
【答案】
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【分析】根据空间向量 与 的夹角是锐角可得 且 与 不同向共线，结合数量积的坐标表示计算
即可求解.
【详解】因为 与 的夹角是锐角，所以 ，
即 ，解得 ，
若 与 的夹角为 ，则存在 ，使 ，
即 ，所以 ，解得 .
故t的取值范围是 .
故答案为： .
变式1．（2023秋·福建泉州·高二福建省泉州第一中学校考期中）点 ， ， ，
若 ， 的夹角为锐角，则 的取值范围为___________.
【答案】
【分析】根据题意可求出 和 ，因为 ， 的夹角为锐角，可得 ，且不能是同向共线，
列出不等式求解即可.
【详解】根据题意有 ， ，
若 ，则 ，解得
若 ，则 ，即 同向
∵ ， 的夹角为锐角，则 ，且 不能同向
即 ，解得 ，且 ，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等则 的取值范围为 .
故答案为： .
变式2．（2023春·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考阶段练习）已知向量 ，若向
量 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围______.
【答案】
【分析】根据已知条件及向量的线性运算的坐标表示，再利用向量的数量积的坐标运算及向量平行的坐标
表示即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ， ，
因为向量 与 的夹角为锐角，
所以 ，解得 ，
而当 时， ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
变式3．（2023春·高二课时练习）已知空间中的三点 ， ， .
(1)求 的面积；
(2)当 与 的夹角为钝角时，求k的范围．
【答案】(1) ；
(2) .
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【分析】（1）应用向量坐标表示有 ， ，由向量夹角的坐标运算可得
，再求其正弦值，应用三角形面积公式求面积；
（2）向量坐标表示得 ， ，它们的夹角 为钝角，即 ，即可
求参数范围，注意排除向量反向共线的情况.
【详解】（1）由题设 ， ，则 ，
所以 ，故在 中 ，
故 的面积为 .
（2）由（1）知： ， ，且它们夹角 为钝角，
所以 ，即 ，
所以 ，可得 ，
当它们反向共线，即 且 时，有 ，无解，
综上， .
变式4．（2023秋·高二单元测试）已知 ，则 的面积为__________．
【答案】
【分析】根据题意，求得 ， 的坐标及其夹角的余弦值和正弦值，利用三角形面积公式即可求得结果.
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【详解】因为 ，故可得 ，
不妨设 ， 的夹角为 ，故可得 ，
因为 ，所以 ，
则 .
故答案为： .
变式5．（2023春·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）长方体 ， ，
， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面
直线 与 所成角的余弦值.
【详解】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
可得 ， ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 .
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：D.
变式6．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方
形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 与 交于点 ，连接 ，以 点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得向量 和
的坐标，结合向量的夹角公式，即可得解.
【详解】连接 与 交于点 ，连接 ，
由题意得， ，且 平面 ，
以 点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等设四棱锥 各棱长均为2，则 ， ，
可得 ，
则 ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 ．
故选：A．
考点九：利用坐标运算解决距离问题
例10．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）在空间直角坐标系
中，点 ，则 ______
【答案】
【分析】写出对应的向量，利用向量模求解.
【详解】由题意，可得 ，
故 .
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等故答案为： .
变式1．（2022·全国·高二专题练习）若 ， ，则 （ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】A
【分析】先求出 ,再利用向量的模长计算公式即可
【详解】因为
所以
故选:A
变式2．（2022秋·上海徐汇·高二上海中学校考期中）设正四面体ABCD的棱长为1，点M、N满足
， ，则 ______.
【答案】
【分析】利用空间向量的坐标运算求两点间的距离.
【详解】
如图,将正四面体ABCD放在正方体中,则正方体的边长为 ,
因为 ， ,
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等所以 ,
所以 ,所以 .
故答案为： .
变式3．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）在空间直角坐标系中， ，
，则 的最小值是________.
【答案】
【分析】根据空间向量的坐标表示，以及向量模的计算公式，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，向量 ， ，可得 ，
所以 ，
所以当 时， 取得最小值 .
故答案为： .
变式4．（2022·高二单元测试）若A ，B ，当 取最小值时，x的值等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的坐标公式求得 的坐标，再利用向量模的坐标公式求解.
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【详解】因为A ，B ，
所以 ，
则 ，
，
当 时， 取最小值，
故选：C
变式5．（2022·全国·高三专题练习）在空间直角坐标系 中，已知 ， ，点 分
别在 轴， 轴上，且 ，那么 的最小值是______.
【答案】
【解析】设 ，0， ， ， ， ，则 ， ，由 ，知
．所以 ，由此能求出其最小值．
【详解】设 ，0， ， ， ， ，
，0， ， ，1，- ，
， ，
，
，
即 ．
，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等．（当 时取最小值）
故答案为：
【点睛】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不
等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
变式6．（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知 、 是空间互相垂直的单位向量，且 ，
，则 的最小值是______.
【答案】4
【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解．
【详解】 是空间相互垂直的单位向量，
设 ， ，设 ，
又 ， ，
又 ，
，
，其中 ，
，
，
当且仅当 时取得等号，
的最小值是4．
故答案为：4．
考点十：利用坐标运算求投影或投影向量
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等例11．（2023春·高二课时练习）已知空间向量 ，则向量 在坐标平面 上的投影向
量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据投影向量的定义即可得出正确的答案.
【详解】根据空间中点的坐标确定方法知，
空间中点 在坐标平面 上的投影坐标，
横坐标为0，纵坐标与竖坐标不变．
所以空间向量 在坐标平面 上的投影向量是：
故选：B.
变式1．（2023春·湖北孝感·高二校联考阶段练习）已知向量 ，则向量 在向量 上的
投影向量 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用投影向量的定义求解作答.
【详解】向量 ， ， ，
所以向量 在向量 上的投影向量 .
故选：B
变式2．（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）已知向量 ， ，则向量 在向量 上的投影
向量为（ ）．
A． B． C． D．
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【答案】C
【分析】根据投影向量的计算公式求解即可.
【详解】向量 在向量 上的投影向量为 .
故选:C.
变式3．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）已知点
，则 在 上的投影向量的长度为________.
【答案】
【分析】计算 ， ，根据投影公式得到答案.
【详解】由已知得 ，
∴ ，又 ，
所以 在 上的投影向量的长度为 .
故答案为： .
1．已知向量 ，则下列向量中与 成 的是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：对于A选项中的向量 ， ，则 ；
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等对于B选项中的向量 ， ，则 ；
对于C选项中的向量 ， ，则 ；
对于D选项中的向量 ，此时 ，两向量的夹角为 .故选B.
【考点定位】本题考查空间向量数量积与空间向量的坐标运算，属于中等题.
2．已知向量 ，且 ，则 ____________．
【答案】3
【分析】利用向量的坐标运算求得求出 ，根据空间向量模的公式列方程求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
可得 ，
因为 ，解得 ，故答案为3.
3．若向量 ＝(1，1，x)， ＝(1，2，1)， ＝(1，1，1)满足条件 ，则x＝________．
【答案】
【分析】利用空间向量的坐标运算和数量积表示求解.
【详解】解：
，解得
故答案为：
4．记动点P是棱长为1的正方体 的对角线 上一点，记 ．当 为钝角时，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等求 的取值范围．
【答案】
【详解】建构如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则相关点的坐标分别为： ､
､ ､ ，则 .
由 ，得 ，
而 ；
又 .
由 ，
化简得 ，解得 .
5．如图，在正四棱柱 中， ，点 是 的中点，点 在 上，设二
面角 的大小为 ．
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等（1）当 时，求 的长；
（2）当 时，求 的长．
【答案】（1） （2）
【分析】以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD 为z轴正半轴，建立空间直角坐标系
1
，设点 ，计算出平面 的法向量 ．
（1）计算出平面 的法向量，将二面角 为直二面角转化为 ，求出 的值，再利用
空间中两点间的距离公式求出 ；
（2）由已知条件得出 ，计算 的值，则利用空间两点见的距离公式可得出 的值．
【详解】以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD 为z轴正半轴，
1
建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),A (1,0,2),N( ,1,0),C(0,1,0) )，设M(0，1,z),
1
面MDN的法向量 ，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等设面ADN的法向量为 ，则 ，即 ，
1
取 ，则 ， ，则 ．
（1）由题意： ，则 ，
取 ，
；
（2）由题意： ，即 ，
取 ，则 ， ， ， .
【点睛】本题考查平面与平面垂直、空间中两点间的距离以及二面角的求法，对于二面角的求解，关键是
要找到合适的位置建立空间直角坐标系，并求出相应的法向量，考查空间想象能力与运算能力，属于中等
题．
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等一、单选题
1．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知点 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量坐标运算法则进行计算.
【详解】 .
故选：A
2．（2023·江苏·高二专题练习） 三个顶点的坐标分别为 ，则
的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．正三角形 D．直角三角形
【答案】D
【分析】利用空间向量模长的坐标表示求出 的边长即可求解.
【详解】由题得 ，
则 ， ， ，
因为 ，所以 为直角三角形，
故选：D
3．（2023·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱 中， ， ，D为
AB的中点，点E在线段 上，点F在线段 上，则线段EF长的最小值为（ ）
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【答案】B
【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，令 ，用 表示出点E，F坐标，再由两点
间距离公式计算作答.
【详解】依题意， 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ，
设 ，则 ，设 ，有 ，
线段EF长最短，必满足 ，则有 ，解得 ，即 ，
因此， ，当且仅当 时取“=”，
所以线段EF长的最小值为 .
故选：B
4．（2023·全国·高二专题练习）已知 ， ， ，若 ，则点B的坐标为
（ ）．
A．（－1，3，－3） B．（9，1，1）
C．（1，－3，3） D．（－9，－1，－1）
【答案】B
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【分析】由 ，设 结合空间向量的坐标，得(5,－1,2)＝(x－4,y－2,z＋1)，即可求B的坐标.
【详解】设 ，由 得：(5,－1,2)＝(x－4,y－2,z＋1)，
∴ ,可得 ，所以点B的坐标为（9，1，1）.
故选：B
5．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知 的三个顶点分别为 ， ，
，则BC边上的高等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量运算以及向量的夹角公式进行求解.
【详解】由题意 ， ， ，
可得 ， ，
，即角B为锐角，所以 ，
所以 边上的高 .
故选：B
6．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知 ， ， ，若 ， ， 三向
量共面，则实数 等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】根据题意，设 ，列出方程组即可得到结果.
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【详解】因为 ， ， ，且 ， ， 三向量共面，
设 ，则 ，
即 ，解得 .
故选：D
7．（2023春·江苏常州·高二常州高级中学校考阶段练习）下列各组空间向量不能构成空间的一组基底的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可.
【详解】对于A，设 ，无解，即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，
故A错误；
对于B，设 ，所以三个向量共面，故不可以作为空间向量一个基底，故B正确.
对于C，设 ，无解，即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故C错误；
对于D，设 ，无解, 即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故D错误.
故选：B.
8．（2023春·安徽合肥·高二合肥市第五中学校考期末）已知 ， ，则 等于
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【分析】根据向量坐标运算即可.
【详解】 .
故选：B.
9．（2023·全国·高二专题练习）已知向量 ， ，则 （ ）
A． B．40 C．6 D．36
【答案】C
【分析】利用向量线性关系的坐标运算求 ，再利用向量模长的坐标公式求模长.
【详解】由题意，
∵ ， ，
∴ ，
∴ .
故选：C.
10．（2023春·宁夏固原·高二校考阶段练习）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量数量积的坐标表示计算可得.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：B
11．（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）若 ， ，且 与 的夹角为钝角，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【答案】C
【分析】令 与 共线，求出 的值，依题意 且 与 不反向共线，根据数量积的坐标表示得到不
等式组求解即可.
【详解】因为 ， ，
令 与 共线，则 ，即 ，即 ，解得 ，
此时 ， ，即 ， 与 反向，
又 与 的夹角为钝角，
所以 且 与 不反向共线，
即 且 ，
解得 且 ，
故选：C
12．（2023春·宁夏中卫·高二中卫中学校考阶段练习）已知向量 ， ， ，
若 ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】A
【分析】根据题中条件，求出 的坐标，再由向量垂直的坐标表示列出方程求解，即可得出结果.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，解得 .
故选：A.
二、多选题
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等13．（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知向量 ， ， ，则下列结
论正确的是（ ）
A． B．
C．记 与 的夹角为 ，则 D．若 ，则
【答案】ABD
【分析】根据空间向量线性坐标运算、数量积的坐标运算以及垂直的坐标表示即可求解.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
选项A： ，正确；
选项B： ，正确；
选项C： ，错误；
选项D：因为 ， ，
所以 ，由 得 ，
所以 ，
所以 ，正确；
故选：ABD
14．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）已知空间向量
，则（ ）
A． B． 是共面向量
C． D．
【答案】ABC
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【详解】 ，A项正确；
设 ，即 ，解得 ， ，
即 ，所以 ， ， 共面，B项正确；
，所以 ，C项正确；
，D项错误.
故选：ABC.
15．（2023春·安徽合肥·高二统考开学考试）已知向量 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根据空间向量的模长、数量积的坐标运算，以及平行、垂直的坐标表示即可求解.
【详解】对于A, ，
，故A错误；
对于B， ，
则 ，故B错误；
对于C, ，
则 ，
则 ，故C正确；
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等对于D， ，故D正确.
故选:CD.
16．（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）已知 ， ，则（ ）
A． B．
C． D． ∥
【答案】AD
【分析】根据向量的坐标模长公式、线性运算、数量积的坐标表示、共线向量定理逐项判断即可.
【详解】对A，因为 ，所以 ，故A正确；
对B， ，故B不正确；
对C， ，所以 不垂直，故C不正确；
对D， ，所以 ∥ ，故D正确.
故选：AD.
17．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）已知向量 ， ，则下列结论正确
的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C． 的最小值为2 D． 的最大值为4
【答案】ABC
【分析】根据空间向量共线定理即可判断A；根据空间向量垂直的坐标表示即可判断B；根据向量的模的
坐标表示结合二次函数的性质即可判断CD.
【详解】对于A，若 ，且 ， ，
则存在唯一实数 使得 ，即 ，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等则 ，解得 ，故A正确；
对于B，若 ，则 ，
即 ，解得 ，故B正确；
，
故当 时， 取得最小值 ，无最大值，故C正确，D错误.
故选：ABC.
18．（2023春·广东东莞·高二校联考阶段练习）已知空间向量 ， ，则下列结论正确
的是（ ）
A． B．
C． D． 在 上的投影向量的长度为
【答案】BD
【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行垂直，向量的模，向量的投影向量的长度即可解决.
【详解】对于A，由题得 ，而 ，故A不正确；
对于B，因为 ，所以 ，故B正确；
对于C，因为 ，故C不正确；
对于D，因为 在 上的投影向量的长度为 ，故D正确；
故选：BD.
三、填空题
19．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习） ，若 ，则
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等_____________．
【答案】-4
【分析】由空间向量共线定理求解.
【详解】解：因为 ，且 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：-4
20．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）设空间向量 ， ，若
，则 ＝______．
【答案】3
【分析】根据空间向量共线得 ，再利用空间向量的坐标运算和向量模的定义即可得到答案.
【详解】 ，则显然 ， ，解得 ，
则 ， ，
故答案为：3.
21．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）在空间直角坐标系中， ， ，O为坐标
原点，直线AB上有一点M，且 ，则点M的坐标为______．
【答案】
【分析】运用空间向量求解.
【详解】设 ， ， ， ，
则 ， ，又 ，
即 ，解得 ，故M点的坐标为 ；
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22．（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考期中）已知向量 ，且
与 互相垂直，则实数 __________.
【答案】 /
【分析】求出 ，根据向量模长公式列出方程，求出 .再分 与 两种情况，根据
向量垂直列出方程，求出实数k的值.
【详解】 ，
所以 ，解得 .
当 时，
，
，
因为 与 互相垂直，
所以 ，解得 .
当 时， ，
因为 与 互相垂直，
所以 ，解得 ，
综上： .
故答案为：
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等23．（2023·上海·高三专题练习）已知空间向量 ， ， ，若 ，则
______．
【答案】
【详解】 ，
， ， ，
解得 ，
故答案为： .
24．（2023·全国·高三对口高考）已知 ，则 _________， _________，
_________， _________， _________．
【答案】
【分析】由空间向量的模长公式，数量积的运算法则，夹角公式计算即可.
【详解】已知 ，则 ，
， ，
，
.
故答案为： ； ； ； ； .
四、解答题
25．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直四棱柱 中， ， ，
，E，F，G分别为棱 ， ， 的中点.
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等(1)求线段 的长度；
(2)求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以点 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出 即可；
（2）根据空间向量数量积的坐标表示即可得解.
【详解】（1）如图，以点 为坐标原点建立空间直角坐标系，
则 ，故 ，
所以 ，
即线段 的长度为 ；
（2） ，
则 ，
所以 .
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等26．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量 ， .
(1)求 与 的夹角余弦值；
(2)若 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量坐标夹角公式计算可得答案；
（2）利用向量垂直的坐标运算可得答案.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，
， ，
所以 ；
（2） ，
因为 ，所以 ，
解得 .
27．（2023秋·高二课时练习）已知空间三点 ， ， ，设 ， ．
(1)设 ， ，求 ；
(2)求 与 的夹角；
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等(3)若 与 互相垂直，求k．
【答案】(1) 或
(2)
(3) 或
【分析】（1）由空间向量平行，得出 ，设 ，再利用 列方程，进而求得 ；
（2）先求得 ， ，再利用公式即可求得 的值，根据反三角函数即可求得向
量夹角；
（3）利用空间向量垂直充要条件列出关于 的方程，解之即可求得 的值．
【详解】（1）由题可知， ，
由 ，得 ，设 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 或 ．
（2）因为 、 、 ， ， ，
所以 ， ，
则 ，
所以 与 的夹角为 ．
（3）因为 ， ，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等又 与 垂直，
所以 ，
解得 或 ．
28．（2023春·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱 中，
， ， ， 分别是 ， 的中点．
(1)求 的距离；
(2)求 的值．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）以点C作为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，利用向
量的模长公式计算即可；
（2）利用向量夹角运算公式计算 的值；
【详解】（1）如图，以 为原点，分别以 为 轴，建立空间直角坐标系 ，依题意
得 ， ， ， ．
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等，∴
∴ ．
所以 的距离为 .
（2）依题意得 ， ， ， ，
∴ ， ，
， ， ，
∴ ．
29．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知空间向量 ， ，
．
(1)若 ，求 ；
(2)若 与 相互垂直，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量共线公式列式求参即可；
（2）根据空间向量垂直数量积为0列式求参即可.
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【详解】（1） ，
， ，
即 ，且 ， ，解得 ；
（2） ， ，
又 ，解得 ．
30．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）已知向量
．
(1)求 ；
(2)当 时，若向量 与 垂直，求实数 和 的值；
(3)若向量 与向量 共面向量，求 的值．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【分析】（1）根据空间向量的模长公式求解即可.
（2）根据空间向量的加法和数乘运算，可得坐标表示，根据空间向量垂直的坐标计算公式，求解即可.
（3）根据向量共面定理，建立向量 与向量 之间的表示，可得方程组，求解即可.
【详解】（1） ， ，
，
．
（2）因为 ，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等所以 ，解得 ，
因为 ，且向量 与 垂直，
所以 ，
即 ，
．
所以实数 和 的值分别为 和 ；
（3）解：设 ，
则
解得，
即 ，
所以向量 与向量 ， 共面．
31．（2023春·高二课时练习）已知点 、 、 ， ， ．
(1)若 ，且 ，求 ；
(2)求 ；
(3)若 与 垂直，求 ．
【答案】(1) 或 ；
(2)
(3) 或
【分析】（1）利用空间向量平行充要条件设出 ，再利用 列方程，进而求得 ；
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等（2）先求得 ， ，再利用公式即可求得 的值；
（3）利用空间向量垂直充要条件列出关于 的方程，解之即可求得 的值．
【详解】（1） 、 ， ， ，且 ，
设 ，且 ，
解得 ， 或 ；
（2） 、 、 ， ， ，
， ，
；
（3） ， ，
又 与 垂直，
，
解得 或 ．
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