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第 05 讲 统计与概率 14 种常见考法归类
1.了解简单随机抽样的含义，掌握两种简单的抽样方法：抽签法和随机数法；了解分层
随机抽样，掌握各层样本量比例分配的方法.在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，
设计恰当的抽样方法解决问题.
2.理解统计图表的含义，能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视
化描述，体会合理使用统计图表的重要性.
3.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数），理解集中
趋势参数的统计含义.
4.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程
度参数的统计含义.
5.结合实例，能用样本估计总体的取值规律.
6.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义.
7.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.了解随机事件的并、
交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.
8.理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.
9.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.
10.结合实例，会用频率估计概率.
11.在具体情境中，结合古典概型，了解两个事件相互独立的概念，能计算两个相互独立
事件的概率.
1.随机抽样
（1）简单随机抽样
①定义：一般地，设一个总体含有 N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取 n（1≤n＜
N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都
相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单
随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样；
②常用方法：抽签法和随机数法.
（2）分层随机抽样
①定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属
于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合
在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.在分层随机抽
样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配；
②分层随机抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层随
机抽样.
2.常用统计图表
（1）频率分布直方图
①纵轴表示 ，即小长方形的高＝ ；
②小长方形的面积＝组距× ＝频率；
③各小长方形的面积的总和等于1.
（2）频率分布表的画法
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝ ；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.
（3）条形图、折线图及扇形图
①条形图：建立直角坐标系，用横轴（横轴上的数字）表示样本数据类型，用纵轴上的
单位长度表示一定的数量，根据每个样本（或某个范围内的样本）的数量多少画出长短不同
的等宽矩形，然后把这些矩形按照一定的顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图
称为条形图；
②折线图：建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一
定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应各点，然后把各点用线段顺次连接，得到一条
折线，用这种折线表示出样本数据的情况，这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线图；
③扇形图：用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大
小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为扇
形图.
3.总体百分位数的估计（1）百分位数
定义 意义
百
一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据 反映该组数中小
分
中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100－p）% 于或等于该百分位
位
的数据大于或等于这个值 数的分布特点
数
（2）求一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步：按从小到大排列原始数据；
第2步：计算i＝n×p%；
第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是
整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数.
4.总体集中趋势的估计
（1）中位数：将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个
数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（2）众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x ，x ，…，x 的
1 2 n
平均数 .
提醒 （1）中位数是样本数据所占频率的等分线，不受少数极端值影响；（2）众数体
现了样本数据的最大集中点，一组数据可能有n个众数，也可能没有众数；（3）与中位数、
众数比较，平均数反映出样本数据的更多信息，对样本数据中的少数极端值更加敏感.
5.总体离散程度的估计
（1）假设一组数据x ，x ，x ，…，x 的平均数为x，则：
1 2 3 n
①标准差
√1
s＝ [(x -x)2+(x -x)2+…+(x -x)2]；
n 1 2 n
②方差
1
s2＝ [（x －x）2＋（x －x）2＋…＋（x －x）2].
n 1 2 n
（2）分层随机抽样的均值与方差
分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为w，样本方差为s2.
以分两层抽样的情况为例.假设第一层有m个数据分别为x ，x ，…，x ，平均数为x，方
1 2 m
1 m
差为s2；第二层有n个数据，分别为y ，y ，…，y ，平均数为y，方差为s2.则x＝ ∑x，s2
1 1 2 n 2 m i 1
i=11 m 1 n 1 n
＝ ∑（x－x）2，y＝ ∑y，s2＝ ∑（y－y）2.
m i n i 2 n i
i=1 i=1 i=1
m n
①则w＝ x＋ y；
m+n m+n
1
②s2＝ {m[s2＋（x－w）2]＋n[s2＋（y－w）2]}.
m+n 1 2
6.随机事件
（1）事件的相关概念
（2）概率和频率
①在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n 为
A
n
事件A出现的频数，称事件A出现的比例f（A）＝ A为事件A出现的频率；
n n
②对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f （A）随着试验次数的增加稳定于概率P（A），
n
因此可以用频率f（A）来估计概率P（A）.
n
7.事件的关系和运算
（1）两个事件的关系和运算
事件的关系和运算 含义 符号表示
包含关系 A发生导致B发生 A⊆B
相等关系 B⊇A且A⊇B A＝B
并事件（和事件） A与B至少有一个发生 A∪B或A＋B交事件（积事件） A与B同时发生 A∩B或AB
互斥事件 A与B不能同时发生 A∩B＝ ⌀
A∩B＝ ，
互为对立事件 A与B有且仅有一个发生
A∪B＝Ω
（2）概率的几个基本性质
①概率的取值范围：0≤P（A）≤1；
②必然事件的概率P（Ω）＝1；
③不可能事件的概率P（ ）＝0.
（3）互斥事件的概率加法公式：如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）＋P（B）；
（4）对立事件的概率：如果事件 A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝1－P（A）或P（A）＝1
－P（B）.
8.古典概型
（1）古典概型的特征
（2）古典概型的概率公式
事件A包含的样本点的个数
P（A）＝ .
有限样本空间中样本点的总数
9.相互独立事件
（1）事件相互独立：在一个随机试验中两个事件A，B是否发生互不影响，则称事件A与事件B相互
独立，当对于n个事件A ，A ，…，A ，如果其中任意一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响
1 2 n
则称n个事件A，A，…，A 相互独立；
1 2 n
（2）独立事件的概率公式
①若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）；
②若事件A，A，…，A 相互独立，则P（AA…A）＝P（A）P（A）…P（A）.
1 2 n 1 2 n 1 2 n
提醒 P（AB）＝P（A）P（B）只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，1.简单随机抽样需满足：（1）被抽取的样本总体的个体数有限；（2）逐个抽取；（3）
是不放回抽取；（4）是等可能抽取.
2.简单随机抽样常用抽签法（适用于总体中个体数较少的情况）、随机数法（适用于个
体数较多的情况）.
3.分层随机抽样问题的类型及解题思路
（1）求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算；
（2）已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层随机抽样就是按比例抽样，
列比例式进行计算；
（3）分层随机抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中，抽样比＝ ＝
.
（4）在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为x，第二层的样本量为n，
平均值为y，则样本的平均值为 .
4.频率分布直方图的相关结论
（1）频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1；
（2）频率分布直方图中纵轴表示 ，故每组样本的频率为组距× ，即矩形的面
积；
（3）频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数.
5.频率分布直方图中的常见结论
（1）众数的估计值为最高矩形底边的中点对应的横坐标；
（2）平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；
（3）中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的.
6.平均数、方差的公式推广
若数据x ，x ，…，x 的平均数为x，方差为s2，那么mx ＋a，mx ＋a，mx ＋a，…，mx ＋a的平均数
1 2 n 1 2 3 n
是mx＋a，方差为m2s2.
7.总体百分位数的估计需要注意的三个问题
（1）总体百分位数估计的基础是样本百分位数的计算，因此计算准确是关键；
（2）由于样本量比较少，因此对总体的估计可能存在误差，因此对总体百分位数的估计一般是估计值而非精确值.
（3）确定要求的p%分位数所在分组[A，B），由频率分布表或频率分布直方图可知，样本中小于A
p%-a
的频率为a，小于B的频率为b，所以p%分位数＝A＋组距× .
b-a
8.求众数、中位数、平均数的方法
（1）众数：由定义知，一组数据中出现次数最多的数，即为众数，若有两个或几个数据出现的次数
最多，且出现的次数一样，这些数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，
则认为这组数据没有众数；
（2）中位数：若一组数据为奇数个，按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于中间位置的数
据就是这组数据的中位数；若一组数据为偶数个，按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于中间位
置的两个数据的平均数就是这组数据的中位数；
1 n
（3）平均数：利用x＝ ∑x求解.
n i
i=1
9.标准差、方差的应用
（1）标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的情况.标准差、方差越大，数据的离
散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.
（2）用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.
10.计算分层随机抽样的方差的步骤
（1）确定x，y，s2，s2；
1 2
（2）确定ω；
m n
（3）应用公式s2＝ [s2＋（x－ω）2]＋ [s2＋（y－ω）2]，计算s2.
m+n 1 m+n 2
11.事件关系判断的策略
（1）判断事件的互斥、对立关系时一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个
事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.反之互斥事件是不可
能同时发生的事件，但也可以同时不发生；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都
不发生，即有且仅有一个发生；
（2）判断事件的交、并关系时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出
现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件.
12.用频率估计概率
（1）频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概
率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.
（2）利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某
一个常数，这个常数就是概率.
13.古典概型的概率求解步骤
（1）求出所有样本点的个数n；
（2）求出事件A包含的所有样本点的个数m；m
（3）代入公式P（A）＝ 求解.
n
14.求样本空间中样本点个数的方法
（1）枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题；
（2）树状图法：适用于需要分步完成的试验结果.树状图在解决求样本点总数和事件A包含的样本点
个数的问题时直观、方便，但画树状图时要注意按照一定的顺序确定分枝，避免造成遗漏或重复；
15.互斥事件概率的两种求法
（1）将所求事件转化成几个彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件概率的加法公式求解概率；
（2）若将一个较复杂的事件转化为几个彼此互斥事件的和事件时分类太多，而其对立面的分类较少，
可考虑先求其对立事件的概率，即运用“正难则反”的思想.常用此方法求“至少”“至多”型事件的概
率.
16.求相互独立事件同时发生的概率的策略
（1）列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示；
（2）厘清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立），列出关系式；
（3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
（4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合
条件的事件的概率.
考点一：简单随机抽样
例1．【多选】（2022秋·高一单元测试）对于简单随机抽样，下列说法正确的是（ ）
A．它要求被抽取样本的总体的个体数有限
B．它是从总体中逐个进行抽取的，在实践中操作起来也比较方便
C．它是一种有放回的抽样
D．它是一种等可能抽样，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会相等，从而保证了这种抽样方法的
公平性
【答案】ABD
【分析】由简单随机抽样的特点逐项分析判断.【详解】对于A：简单随机抽样要求样本的总体个数有项，这样才能保证样本能够很好地代表总体，所以
A正确；
对于B：由于总体数量是有限的，所以为了让数据具有代表性需要从总体中逐个地进行抽取，以便在抽取
实践中进行操作，所以B正确；
对于C：在抽样过程中，为了保证抽取的公平性，样本数据是一种不放回的抽样，所以C错误；
对于D：在随机抽样的出发点是使每个个体都有相同的机会被抽中，这是基于对样本数据代表性的考虑，
所以D正确．
故选：ABD.
变式1．（2023春·江西景德镇·高一统考期中）利用简单随机抽样的方法，从 个个体 中抽取14个
个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为 ，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可
能性为__________．
【答案】
【分析】根据第二次抽取时余下的每个个体被抽取到的概率为 求得 ，可得答案.
【详解】第二次抽取时，余下的每个个体被抽取到的概率为 ，则 ，
即 ，则 在整个抽样过程中，
每个个体被抽取到的概率为 .
故答案为： .
变式2．（2023·全国·高一专题练习）下列抽样中适合用抽签法的是（ ）
A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱50件）产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验
【答案】B
【分析】由抽签法适用于总体和样本容量少即可判断．
【详解】对于选项AD：由于总体的个体数较多，不适合抽签法，故选项AD错误；
对于选项C：由于甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，也不适合抽签法，故选项C错误；对于选项B：总体容量和样本容量都较小，适合抽签法，故选项B正确．
故选：B．
例2．（2023·高一单元测试）总体由编号为 的20个个体组成，利用下面的随机数表
选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左到右依次选取两个数字，则
选出来的第5个个体的编号为_________．
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
【答案】01
【分析】根据规则选出 个编号，再去掉不在编号范围内的编号以及重复的编号可得答案.
【详解】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左到右依次选取两个数字，得
，去掉不在编号范围内的 ，再去掉一个重复的
，得前 个个体的编号为 ，
故选出来的第5个个体的编号为 .
故答案为： .
变式1．（2023春·全国·高一专题练习）欲利用随机数表从00，01，02， ，59这些编号中抽取一个容量
为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，
则第4个被抽取的样本的编号为______.
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 19 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
【答案】
【分析】根据随机数表法的读取规则，读取第4个被抽取的样本的编号.
【详解】从随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位编号有：16，95，55，67，……，不大
于59的有16，55，19，19（重复划掉），50，……，第4个被抽取的样本的编号为50.
故答案为：50.
变式2．【多选】（2022秋·高一单元测试）已知下表为随机数表的一部分，将其按每5个数字编为一组：
08015 17727 45318 22374 21115 78253
77214 77402 43236 00210 45521 64237
29148 66252 36936 87203 76621 13990
68514 14225 46427 56788 96297 78822
已知甲班有60位同学，编号为01~60号，现在利用上面随机数表的某一个数为起点，以简单随机抽样的方法在甲班中抽取4位同学，由于样本容量小于99，所以只用随机数表中每组数字的后两位，得到下列四组
数据，则抽到的4位同学的编号可能是（ ）
A．15，27，18，53 B．27，02，25，52
C．14，25，27，22 D．15，27，18，74
【答案】ABC
【分析】结合随机数表法对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A中所得编号为第一行中四组数字的后两位数字，故A有可能；
B中所得编号为第二列中四组数字的后两位数字，故B有可能；
C中所得编号为第四行中四组数字的后两位数字，故C有可能；
D中编号74大于甲班60位同学的最大编号60，不满足题意.
故选:ABC.
考点二：分层随机抽样
例3．（2023·高一单元测试）简单随机抽样，分层抽样之间的共同点是（ ）
A．都是从总体中逐个抽取
B．将总体分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取
C．抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的
D．将总体分成几层，然后分层按照比例抽取
【答案】C
【分析】根据两种抽样方法的特点可知：抽样过程中每个个体被抽到的机会相同，即可找到答案.
【详解】选项A，只有简单随机抽样是从总体中逐个随机抽取，故A错误.
选项B，只有分层抽样是将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取，故B错误.
选项C，简单随机抽样、分层抽样之间的共同点是抽样过程中每个个体被抽到的机会相同，故C正确.
选项D，只有分层抽样是将总体分成几层，分层进行抽取，故D错误.
故选：C
变式1．【多选】（2023春·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）某公司生产甲、乙、丙三种型号的轿
车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，公司质监部门用按比例分配的分
层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，则（ ）
A．在每一种型号的轿车中可采用抽签法抽取
B．抽样比为
C．三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的
【答案】BCD
【分析】根据三种随机抽样方法的特点可判断ABD；然后根据分层抽样计算可判断C.
【详解】因每一种型号的轿车数量较多，不适合用抽签法，故A错误；
在按比例分配的分层随机抽样中，抽样比为 ，故B正确；
在按比例分配的分层随机抽样中，三种型号的轿车应依次抽取6辆、30辆、10辆，故C正确；
在按比例分配的分层随机抽样中，每一辆被抽到的概率是相等的，故D正确．
故选：BCD
变式2．【多选】（2023秋·江西南昌·高一统考期末）某市有大、中、小型商店共1500家，且这三种类型
的商店的数量之比为 ，现在要调查该市商店的每日零售额情况，从中随机抽取60家商店，则下列选
项正确的有（ ）
A．1500家商店是总体
B．样本容量为60
C．大、中、小型商店分别抽取4、20、36家
D．被抽取的60家商店的零售额情况是所抽取的一个样本
【答案】BCD
【分析】A.利用总体的定义判断；B.利用样本容量的定义判断；C.根据三种类型的商店的数量之比为
求解判断；D.由样本的定义判断.
【详解】A. 1500家商店的每日零售额是总体，故错误；
B. 从中随机抽取60家商店，则样本容量为60，故正确；
C. 因为三种类型的商店的数量之比为 ，所以大、中、小型商店分别抽取4、20、36家，故正确；
D.被抽取的60家商店的零售额情况是所抽取的一个样本，故正确，
故选：BCD
变式3．（2023春·陕西西安·高一西安市黄河中学校联考阶段练习）光明社区老年合唱队中， 岁的
有30人， 岁的有15人，76岁及以上的有10人.若用分层抽样的方法抽取 位老人参加某项活动，
已知从 岁的老人中抽取了3人，则 的值为__________.
【答案】
【分析】根据分层抽样的概念及计算方法，列出方程，即可求解.
【详解】根据分层抽样的概念及计算，可得 ，解得 .
故答案为： .变式4．（2023春·北京顺义·高一牛栏山一中校考阶段练习）当前，国家正分批修建经济适用房以解决低
收入家庭住房紧张的问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户．若第一
批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层随机抽样的
方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为_______.
【答案】
【分析】先求得每个个体被抽到的概率为 ，进而取得从乙社区中抽取低收入家庭的户数，得到答案.
【详解】根据抽样的定义，可得每个个体被抽到的概率为
所以从乙社区中抽取低收入家庭的户数为 户.
故答案为： .
变式5．（2023春·江西景德镇·高一统考期中）在新冠肺炎疫情期间，大多数学生都在家进行网上上课，
某校高一，高二，高三共有学生6000名，为了了解同学们对某授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法
从这6000名学生中抽取一个容量60的样本，若从高一，高二，高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连
续偶数，则该校高二年级的人数为（ ）
A．1000 B．1500 C．2000 D．1000
【答案】C
【分析】根据分层抽样的性质，结合样本容量进行求解即可.
【详解】因为从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，
所以设高三抽取的人数为 ，则高二抽取的人数为 ，高一抽取的人数为 ，
因为样本容量为60，所以 ，
设我校高二年级的人数为 ，
根据分层抽样得： ，
故选：C
变式6．（2023春·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）某学校高一、高二、高三三个年级共有
学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300，现在按 的
比例分配分层随机抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为________．
【答案】8
【分析】设出高一年级的人数，根据三个年级人数之间的关系，写出高二和高三的人数，根据学校共有的人数，得到关于高一人数的方程，解得高一人数，用人数乘以抽取的比例，得到结果．
【详解】若设高一学生人数为x，则高二学生人数为x＋300，高三学生人数为2x，所以有x＋x＋300＋2x
＝3500，解得x＝800.故高一学生人数为800，因此应抽取高一学生人数为800× ＝8.
故答案为：8
例4．（2022春·广东江门·高一江门市第一中学校考期中）高一某班级有男生35人，女生15人，
用分层抽样的方法从全班学生中抽取一个容量为10的样本，抽出的男生平均体重为70kg，抽出的女生平
均体重为50kg，估计该班的平均体重是（ ）
A．54kg B．60kg C．64kg D．65kg
【答案】C
【详解】根据分层抽样的定义建立比例关系，再求平均数即可．
【解答】根据分层抽样的定义可得抽取男生7人，女生3人，
男生平均体重为 ，女生平均体重为 ，
该班的平均体重是 ，
故选：C．
变式1．（2023春·江西南昌·高一南昌市外国语学校校考阶段练习）某学校高一年级有300名男生，200名
女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取总样本量为50，男生平均成绩为120分，女生平
均成绩为110分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为（ ）
A．110分 B．115分 C．116分 D．120分
【答案】C
【分析】根据分层抽样求出应抽取男生和女生的人数，求出平均数即可.
【详解】由题意，应抽取男生 （人），
应抽取女生 （人），
所以推测高一年级学生的数学平均成绩约为 （分）．
故选：C
变式2．（2023春·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习）某校有男教师160人，女教师140人，为了调
查教师的运动量的平均值(通过微信步数)，按性别比例分配进行分层随机抽样，通过对样本的计算，得出男教师平均微信步数为12500步，女教师平均微信步数为8600步，则该校教师平均微信步数为（ ）
A．12500 B．10680
C．8600 D．10550
【答案】B
【分析】根据分层抽样平均数的计算方法计算该校教师平均微信步数
【详解】因为分层随机抽样是按比例分配，所以根据公式得该校教师平均微信步数为
×12500＋ ×8600＝10680.
故选：B
考点三：扇形（饼状）图
例5．【多选】（2023春·陕西西安·高一西安市黄河中学校联考阶段练习）对某地区2023年的学生
人数进行了统计，并绘制成如图所示的扇形统计图.在初中生中，九年级学生人数最多，八年级学生人数最
少，七年级学生人数约为1.2万，则（ ）
A．该地区2023年的学生人数约为15万
B．该地区2023年高中生的人数比八年级学生人数的2倍还多
C．该地区2023年小学生的人数比初中生､高中生和大学生的人数之和还多
D．该地区2023年九年级的学生人数在初中生人数中的占比约为
【答案】AB
【分析】根据扇形统计图表中的数据，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】根据扇形统计图表，可得该地区2023年的学生人数约为 万，所以A正确；
该地区2023年高中生的人数比八年级学生人数的2倍还多，所以B正确；
该地区2023年小学生的人数少于初中生､高中生和大学生的人数之和，所以C不正确；
该地区2023年九年级的学生人数在初中生人数中的占比约为 ，所以D不正确.故选：AB.
变式1．（2022春·贵州黔东南·高一统考期末）独角兽企业被视为新经济发展的一个重要风向标，2021年
中国独角兽企业行业分布广泛，覆布图（图中的数字表示各行业独角兽企业的数量），其中“北上广”三
地的独角兽企业数量的总占比为70%．则下列说法正确的是（ ）
A．房产居家和消费行业的独角兽企业数量的总占比不足10%
B．人工智能，汽车交通以及智能硬件行业的独角兽企业数量的总占比超过50%
C．“北上广”三地的独角兽企业共有170家
D．电子商务行业的独角兽企业数量最多
【答案】D
【分析】根据给出的图中信息依次分析选项即可.
【详解】将图中各行业数量加和，可知2021年我国独角兽企业共有170家，且“北上广”三地的独角兽企
业数量的总占比为70%，则 家，故C错误;
对于A选项，由图表可知房产居家和消费行业共 家，占比 ,故A错误;
对于B选项，人工智能，汽车交通以及智能硬件行业的独角兽企业数量为 家，占比
，故B错误;
观察图表可知电子商务行业的独角兽企业数量最多，故D正确.
故选:D.
变式2．（2022春·云南昆明·高一统考期末）南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔
（Florence Nightingale 1820-1910）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．
某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图如下，根据此图，
下列说法错误的是（ ）A．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加
B．2016年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多
C．2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍
D．2016年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增
【答案】D
【分析】利用题中所给的南丁格尔玫瑰图逐一考查所给选项，即可得解.
【详解】对于A，由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A正确；
对于BD，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016年， ；
2017年， ；2018年， ；2019年， ；
2020年， ； 2021年， ；2022年， ，
可知知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，故B正确，D错误；
对于C，由 ，即2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故C正
确；
故选：D
变式3．（2022·高一单元测试）新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选
择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷
面分数，由高到低进行排序，评定为 五个等级.某试点高中 年参加“选择考”总人数
是 年参加“选择考”总人数的 倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校
年和 年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况， 年与 年
比较，下列说法正确的是（ ）A．获得 等级的人数减少了
B．获得 等级的人数增加了 倍
C．获得 等级的人数减少了一半
D．获得 等级的人数相同
【答案】B
【分析】直接把 、 两年参加选择考的人数设出来，再由所给图象把获得每个等级的人数列出来，
即可得到答案.
【详解】设 年参加考试 人，则 年参加考试 人，
根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：
年份
由图可知A、C、D选项错，B选项对.
故选:B.
考点四：条形图与折线图
例6．（2022春·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）某学校为了解高三年级学生在线学习情
况，统计了2021年2月18日﹣27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的
条形图与折线图的组合图．根据组合图判断，下列结论正确的是（ ）
A．前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差
B．前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差
C．这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大
D．这10天学生在线学习人数在逐日增加
【答案】D
【分析】对于A，由条形图可得前5天学习人数的方差小，由此得以判断；对于B，大约估算前5天与后5
天在线学习人数增长比例的极差，从而得以判断；对于C，观察到23日到24日在线学习人数的的增长比
例在下降，由此得以判断；对于D，易得学习人数在逐日增加，从而得以判断.
【详解】对于A，由条形图可得，前5天在线学习人数的变化幅度明显比后5天的小，故方差也小，故A
错误；
对于B，由折线图可得，前5天在线学习人数的增长比例的极差大约为 ，后5天在线学习
人数的增长比例的极差大约为 ，
所以前5天在线学习人数的增长比例的极差小于后5天在线学习人数的增长比例的极差，故B错误.
对于C，由折线图可以看到，23日到24日的在线学习人数增长比例在下降，故C错误；
对于D，由条形图可得，这10天学生在线学习人数在逐日增加，故D正确.
故选：D.
变式1．（2023春·江西吉安·高一江西省泰和中学校考期末）某家庭2020年收入的各种用途占比统计如图
1所示，2021年收入的各种用途占比统计如图2所示．已知2021年的“旅行”费用比2020年增加了500
元，则该家庭2021年的“衣食住”费用比2020年增加了（ ）A．2000元 B．2500元 C．3000元 D．3500元
【答案】C
【分析】设该家庭2020年的收入为x元，2021年的收入为y元，根据题意可得 ，然后结统计
图可求得答案.
【详解】设该家庭2020年的收入为x元，2021年的收入为y元．
由题意得， ，即 ，
所以2021年的“衣食住”费用比2020年增加了 （元）．
故选：C
变式2．（2022秋·北京丰台·高一统考期末）网上一家电子产品店，今年1﹣4月的电子产品销售总额如图
1，其中某一款平板电脑的销售额占当月电子产品销售总额的百分比如图2．根据图中信息，有以下四个结论，推断不合理的是（ ）
A．从1月到4月，电子产品销售总额为290万元
B．该款平板电脑4月份的销售额比3月份有所下降
C．今年1﹣4月中，该款平板电脑售额最低的是3月
D．该款平板电脑2至4月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与1月份相比都下降了
【答案】B
【分析】结合图1、图2即可计算出该款平板电脑1﹣4月份的销售额，即可出答案.
【详解】由图1可知从1月到4月，电子产品销售总额为 万元，A正确；
该款平板电脑3月份的销售额为 万元，
4月份的销售额为 万元，
则该款平板电脑4月份的销售额比3月份多了 万元，B错误；
该款平板电脑1月份的销售额为 万元，
2月份的销售额为 万元，
所以今年1﹣4月中，该款平板电脑售额最低的是3月10.8万元，C正确；
由图2可知该款平板电脑2至4月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与1月份相比都下降了，D
正确.
故选：B.
变式3．（2022春·广西河池·高一统考期末）某保险公司推出了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保
险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.现对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下
的统计图：用样本估计总体，以下四个选项错误的是（ ）
A．30~41周岁参保人数最多B．随着年龄的增长，人均参保费用越来越多
C．54周岁以下的参保人数约占总参保人数的8%
D．定期寿险最受参保人青睐
【答案】C
【分析】根据所给的统计表与统计图逐个选项分析即可
【详解】由扇形图可知，31~41周岁的参保人数最多，故选项A正确；
由折线图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越多，故选项B正确；
由扇形图可知，54周岁以下的参保人数约占总参保人数的92%，故选项C错误；
由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故选项D正确.
故选：C
考点五：频率分布直方图
例7．（2021秋·高一单元测试）某校对高一新生进行体能测试（满分100分），高一（1）班有40
名同学成绩恰在 内，绘成频率分布直方图（如图所示），从 中任抽2人的测试成绩，恰有
一人的成绩在 内的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据频率分布直方图得到 内有2人， 内有4人，然后列举出所有的基本事件，用古
典概型求概率的公式求概率即可.【详解】由频率分布直方图知 内有2人，不妨记为a，b；在 内有4人，不妨记为1，2，3，
4.从6人中任取2人的基本事件为 ，
共15个，事件“恰有一人的成绩在 内”的基本事件有8个，所以所求的概率为 .
故选：B.
变式1．（2021春·陕西渭南·高一校考期末）某教育机构为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出
了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在 元的同学有30人，则n的值为
（ ）
A．55 B．50 C．1000 D．100
【答案】D
【分析】利用频率分布直方图得到支出在 的同学的频率，再结合支出在 （单位：元）的同
学有30人，即可得解.
【详解】由题意，支出在 （单位：元）的同学有30人
由频率分布直方图可知，支出在 的同学的频率为 ,
故选：D
变式2．（2021秋·高一单元测试）为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的体质
健康水平，某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取100名男生，测试了立定跳远项目，依据测试数
据绘制了如图所示的频率直方图.已知立定跳远195cm及以上成绩为合格，255cm以上成绩为优秀，根据图中的数据估计全校1000名男生中立定跳远项目合格的男生有（ ）
A．660名 B．940名 C．970名 D．800名
【答案】B
【分析】在频率分布直方图中，根据频率之和为1求出a，然后直接计算合格率即可求解.
【详解】由频率分布直方图可知 ，所以实数 ，
所以可估计全校1000名男生中立定跳远项目合格的男生有 名.
故选：B.
变式3．（2023春·天津南开·高一天津二十五中校考阶段练习）某校举行知识竞赛，对全校参赛的1000名
学生的得分情况进行了统计，把得分数据按 ， ， ， ， 分成5组，得
到如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（ ）
A．图中的x值为0.020 B．得分在 的人数为400
C．这组数据的极差为50 D．这组数据的平均数的估计值为77
【答案】C
【分析】根据频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，以及极值、频数以及平均数的计算，对每个选
项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对于A，由 ，可解得 ，故选项A正确；
对于B，得分在80分及以上的人数的频率为 ，
故人数为 ，故选项B正确；
对于C，频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项C不正确；
对于D，这组数据的平均数的估计值为： ，故选项D正
确.
故选：C.
变式4．（2022春·天津和平·高一耀华中学校考期末）某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400
名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开
的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．直方图中x的值为0.035
B．在被抽取的学生中，成绩在区间 的学生数为30人
C．估计全校学生的平均成绩为83分
D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分
【答案】D
【分析】利用频率分布直方图的性质求解.
【详解】对于A：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得
10 (0.005+0.01+0.015+x+0.040)=1，解得x=0.03，故A错误；
对于B：在被抽取的学生中，成绩在区间 的学生数为10 0.015 400=60人，
故B错误；
对于C：估计全校学生的平均成绩为55 0.05+65 0.1+75 0.15+85 0.3+95 0.4=84分；故C错误.
对于D：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为 分.
故D正确.
故选：D.
考点六：总体百分位数的估计
例8．（2023春·河南·高一校联考期末）有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，66，68，
69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98，则其25%分位数与75%分位数的和为
（ ）
A．144 B．145 C．148 D．153
【答案】C
【分析】由百分位数的定义求解即可.
【详解】因为 ，所以样本数据的25%分位数为第六个数据即66；
因为 ，所以样本数据的75%分位数为第十七个数据即82.
所以25%分位数与75%分位数的和为 .
故选：C.
变式1．（2022春·云南·高一统考期末）棉花的纤维长度是衡量棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽
测20根棉花的纤维长度（单位：mm），按从小到大排序结果如下：
82 86 113 115 140 143 146 170 175 195
202 206 233 236 238 255 260 263 264 265
请你估计这批棉花的第5百分位数是（ ）
A．84 B．86 C．99.5 D．115
【答案】A
【详解】因为 ，所以第5百分位数为 .
故选：A
变式2．（2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考阶段练习）有一组样本数据如下：
56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98
则其25%分位数、中位数与75%分位数分别为（ ）
A．65，76，82 B．66，74，82 C．66，76，79 D．66，76，82
【答案】D【分析】由百分位数和中位数的定义求解即可.
【详解】因为 ，所以样本数据的25%分位数为第六个数据即66；
中位数为： ，
因为 ，所以样本数据的75%分位数为第十七个数据即82.
故选：D.
例9．（2023春·江苏苏州·高一校考阶段练习）下图是根据某班学生在一次体能素质测试中的成绩
画出的频率分布直方图，则由直方图得到的 分位数为（ ）
A．75 B．77.5 C．78 D．78.5
【答案】D
【分析】根据百分位数计算规则计算可得.
【详解】因为 ,
所以第 分位数位于 之间，设为 ，则 ，
解得 ，所以第 分位数为 .
故选：D
变式1．（2023春·山西太原·高一校联考阶段练习）少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青
少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，
某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图
所示，则下列结论正确的是（ ）A．样本的众数为65 B．样本的第80百分位数为72.5
C．样本的平均值为67.5 D．该校学生中低于 的学生大约为1000人
【答案】B
【分析】根据众数，百分位数，平均数的定义判断A，B，C，再求低于 的学生的频率，由此估计总
体中体重低于 的学生的人数，判断D.
【详解】由频率分布直方图可得众数为 ，A错误；
平均数为 ，C错误；
因为体重位于 的频率分别为 ，
因为 ，
所以第80百分位数位于区间 内，设第80百分位数为 ，
则 ，
所以 ，即样本的第80百分位数为72.5，B正确；
样本中低于 的学生的频率为 ，
所以该校学生中低于 的学生大约为 ，D错误；
故选：B.
例10．（2023春·江西南昌·高一校考期中）为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温
报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：
高三一班：36.1，36.2， ，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃），
高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7， ，37.1（单位：℃）
若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则 为（ ）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
【答案】C
【分析】根据题意结合百分位数的概念分析运算.
【详解】由 ，可得第25百分位数分别为 和 ，则 ；
由 ，可得第90百分位数分别为 和 ，
则 ，解得 ；
故 .
故选：C.
变式1．（2022春·广东潮州·高一统考期末）一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中
），若该组数据的中位数是众数 倍，则该组数据的方差和60%分位数分别是（ ）
A． ，5 B．5，5 C． ，6 D．5，6
【答案】C
【分析】先求出x的值，再根据定义分别求解.
【详解】中位数 ，众数为4，,由题意知 ，解得 ，
该组数据的平均数为 ，
该组数据的方差是 ，
因为 ，所以该组数据的60%分位数是6；
故选：C.
变式2．（2023秋·山东东营·高一统考期末）十名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是：15，17，
14，10，15，17，17，16，14，12，设其中位数为a，众数为b，第一四分位数为c，则a，b，c大小关系
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据中位数、众数、分位数的定义求解.
【详解】对生产件数由小到大排序可得：10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，所以中位数 众数为 17，
，所以第一四分位数为第三个数，即 14，
所以 ，
故选:B.
考点七：总体集中趋势的估计
例11．（2023春·四川广元·高一广元中学校考期中）某班有男生20名，女生30名．一次数学考试
（所有学生均参加了考试），男生数学成绩平均为92，女生数学成绩平均分为97，则该班数学成绩平均分
为（ ）
A．94 B．94.5 C．95 D．95.5
【答案】C
【分析】根据平均数的计算公式即可得到答案.
【详解】设该班数学成绩平均分为 ，
根据平均数定义得 分，
故选：C.
变式1．（2023秋·广西桂林·高一统考期末）《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种
算法.某研究学习小组共7人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间分别为83，84，80，
69，82，81，81（单位:min）.则这组时间数据的（ ）
A．极差为14 B．方差为22 C．平均数为80 D．中位数为80
【答案】C
【分析】根据极差，平均数，方差公式计算即可判断A、B、C选项，根据中位数定义即可判断D选项.
【详解】极差为样本最大值与最小值之差： ，A错误；
平均数为： ，C正确；
方差为： ，B
错误；
样本由大到小排列：69，80，81，81，82，83，84，中位数为81，D错误.
故选：C.例12．（2022·高一单元测试）某滑冰馆统计了2021年11月1日到30日某小区居民在该滑冰馆的
锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（ ）
A．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间 内的最少
B．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16
C．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值大于14
D．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.456
【答案】C
【分析】由频率分布直方图比较各区间的频率大小，由此确定各区间的频数大小，由此判断A，再计算样
本数据的中位数和平均数，判断B，C，再求锻炼天数超过15天的频率，由此估计概率，判断D.
【详解】频率分布直方图中，面积最小的矩形条所在的区间为 ，即样本中区间 内的数据频
率最小，频数也最小，故选项 错误，
由频率分布直方图可得，前三个小矩形的面积之和为 ，所以估计该小区
居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数小于15，故选项 错误；
由频率分布直方图可得，
，故
选项C正确；
由频率分布直方图可得，该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的频率为
，故锻炼天数超过15天的概率为 ，
故选项 错误.故选：C.
变式1．（2023·高一单元测试）某校举办了迎新年知识竞赛，随机选取了100人的成绩整理后画出的频率
分布直方图如下，则根据此频率分布直方图，下列结论不正确的是（ ）
A．该校约有一半学生成绩高于70分 B．该校不及格人数比例估计为25%
C．估计该校学生成绩的中位数为70分 D．估计该校学生的平均成绩超过了70分
【答案】D
【分析】由频率分布直方图求得分数在 和 的频率，然后确定分数高于70分的频率，低于60
分的频率，从而可判断ABC，由频率分布直方图计算均值判断D．
【详解】由频率分布直方图知分数在 和 的频率为 ,
因此成绩高于70分的频率为 ，A正确；
不及格人数即分数低于60分的频率为 ，B正确；
由选项A的计算知C正确；
平均成绩为 ，D错误，
故选：D．
变式2．（2022秋·辽宁铁岭·高一昌图县第一高级中学校考阶段练习）为了调查某市市民对出行的满意程
度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如图所示的频率分布直
方图，其中 ．
(1)求 、 的值；(2)求被调查的市民的满意程度的平均数、众数、中位数；
(3)若按照分层抽样从 ， 中随机抽取8人，应如何抽取？
【答案】(1) ，
(2)平均数为74.9，众数为75，中位数为75.14
(3)从 应抽取2人，从 应抽取6人
【分析】（1）根据频率分布直方图的长方形的总面积为1，再结合 即可求解；
（2）根据平均数、众数、中位数的定义即可求解；
（3）按照分层抽样的定义抽取即可.
【详解】（1）由题意得 ，所以 ，
又 ，所以 ， .
（2）平均数为 ，
众数为 ，
中位数为 .
（3）根据频率分布直方图可知 的频数有 ，
的频数有 ，
所以按照分层抽样从 应抽取 人，
从 应抽取 人.
变式3．（2023春·福建三明·高一永安市第九中学校考阶段练习）2021年3月18日，位于孝感市孝南区长
兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生
产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业．在加大生产的同
时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，
将其质量指标值分成以下六组： ， ， ，…， ，得到如下频率分布直方图．(1)求出直方图中m的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据
用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；
(3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的
方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个．
【答案】(1)
(2)平均数为71，中位数为73.33
(3)一等品有3个和二等品有2个．
【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1即可求解；
（2）根据频率分布直方图中平均数和中位数计算公式即可求解；
（3）由分层抽样规则求解即可.
【详解】（1）由 ，得 ．
（2）平均数为 ，
因为 ， ，
所以中位数在第4组，设中位数为n，则 ，解得 ，
所以可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33．
（3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品有60个，二等品有40个，
由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有 个，二等品有 个，
所以抽取的5个口罩中一等品有3个和二等品有2个．
例13．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）某班级有50名学生，其中有30名男生
和20名女生随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，
94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93下列说法一定正确的是（ ）
A．这种抽样方法是一种分层随机抽样B．这五名男生成绩的中位数大于这五名女生成绩的中位数
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
【答案】C
【分析】根据题目条件，结合分层抽样的定义，以及中位数，平均数，方差的公式即可求解.
【详解】对于A，若抽样方法为分层随机抽样，则男生，女生分别抽取6人，4人，故选项A错误；
对于B，这5名男生成绩的中位数是90，这5名女生成绩的中位数为93，因为90<93，故选项B错误；
对于C，这5名男生成绩的平均数是 ，这5名女生成绩的平均数是
，这5名男生成绩的方差是
，这5名女生成绩的方差是
，所以这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差，故选项C正
确；
对于D，这5名男生成绩的平均数小于这5名女生成绩的平均数，不能得出该班男生成绩的平均数小于该
班女生成绩的平均数，故选项D错误；
故选：C.
变式1．（2023·高一单元测试）某公司为了解用户对其产品的满意度,从使用该产品的用户中随机调查了
100个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意
度评分的中位数、众数、平均数分别为a,b,c,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据众数,平均数,中位数的概念和公式,带入数字,求出后比较大小即可.【详解】解:由频率分布直方图可知众数为65,即 ,
由表可知,组距为10,
所以平均数为: ,
故 ,记中位数为 ,
则有: ,
解得: ,即 ,
所以 .
故选：B.
变式2．（2021春·吉林白山·高一统考期末）某校举行校园歌手大赛，6位评委对某选手的评分分别为
9.2，9.5，8.8，9.9，8.9，9.5，设该选手得分的平均数为x，中位数为y，众数为z，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平均数，中位数，众数的概念，分别求出 ，即可求出结果.
【详解】由题意可得， ， ， ，
则 ．
故选：A.
考点八：总体离散程度的估计
例14．（2021秋·高一单元测试）某公司生产的饮水机过滤器滤芯在2020年12月份的第一周的日
生产量（单位：万件）如下表：
日期 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7
日生产量/万件 1.10 0.80 1.20 1.10 0.80 1.10 0.90
则该公司这一周的日生产量的方差为（精确到0.01）（ ）
A．0.02 B．0.01 C．0.03 D．0.04
【答案】A
【分析】先利用平均数公式求解平均数，再利用方差公式求解即可.
【详解】设这一周的日生产量为x，
则 ，
所以方差，
故选：A.
变式1．（2023春·湖北武汉·高一武汉市第十一中学校考阶段练习）在高三某次模拟考试中，甲、乙两个
班级的数学成绩统计如下表，则两个班所有学生的数学成绩的方差为（ ）．
平均分
班级 人数 方差
数
甲 40 70 5
乙 60 80 8
A．6.5 B．13
C．30.8 D．31.8
【答案】C
【分析】由表格的数据求出两个班所有学生的数学平均分数，再根据方差公式计算两个班所有学生的数学
成绩的方差．
【详解】因为甲班平均分数为 ，乙班平均分数为 ，
所以两个班所有学生的数学平均分数为 ，
所以两个班所有学生的数学成绩的方差为：
.
故选：C.
变式2．（2023春·安徽·高一安徽省颍上第一中学校联考阶段练习）小明在整理数据时得到了该组数据的
平均数为20，方差为28，后来发现有两个数据记录有误，一个错将11记录为21，另一个错将29记录为
19.在对错误的数据进行更正后，重新求得该组数据的平均数为 ，方差为 ，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D【分析】不妨记更正前该组数据为： ，然后根据平均数和方差公式先求出
，再利用公式即可求得更正后的平均数和方差.
【详解】不妨记更正前该组数据为： ，
则更正后的数据为： .
由题可知， ，
整理得 .
所以 ，
.
故选：D
例15．（2023春·辽宁大连·高一大连市一0三中学校考阶段练习）经过简单随机抽样获得的样本数
据为 ，且数据 的平均数为 ，方差为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若数据 ，方差 ，则所有的数据 都为0
B．若数据 ，的平均数为 ，则 的平均数为6
C．若数据 ，的方差为 ，则 的方差为12
D．若数据 ，的 分位数为90，则可以估计总体中有至少有 的数据不大于90
【答案】C
【分析】根据数据的平均数，方差，百分位数的性质逐项进行检验即可判断.【详解】对于 ，数据 的方差 时，说明所有的数据 都相等，但不一定为 ，故
选项 错误；
对于 ，数据 ，的平均数为 ，数据 的平均数为 ，故选项
错误；
对于 ，数据 的方差为 ，数据 的方差为 ，故选项 正确；
对于 ，数据 ，的 分位数为90，则可以估计总体中有至少有 的数据大于或等于90，
故选项 错误，
故选： .
变式1．（2023春·陕西西安·高一西安市黄河中学校联考阶段练习）已知一组数据 的平均数为 ，
标准差为 ，则数据 的平均数和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平均数和方差公式计算可得答案.
【详解】平均数为 ，
方差为
，
故选：C.
变式2．（2022春·陕西渭南·高一统考期末）已知甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、
中位数、众数均为16，方差为0.8，则三年后，下列判断错误的是（ ）
A．这五位同学年龄的平均数变为19 B．这五位同学年龄的方差变为3.8
C．这五位同学年龄的众数变为19 D．这五位同学年龄的中位数变为19
【答案】B
【分析】利用平均数、中位数、方差的定义及性质注意判断即可．
【详解】解：甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数、众数均为16，方差位0.8，
三年后，
这五位同学年龄的平均数变为 ，故A正确；
这五位同学的方差不变，仍为0.8，故B错误．
这五位同学年龄的众数变为 ，故C正确；
这五位同学年龄的中位数变为 ，故D正确；
故选：B．
考点九：随机事件关系的判断
例16．（2023春·河南洛阳·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）某饮料生产企业推出了一种有一
定几率中奖的新饮料．甲､乙两名同学都购买了这种饮料，设事件 为“甲､乙都中奖”，则与 互为对立
事件的是（ ）
A．甲､乙恰有一人中奖 B．甲､乙都没中奖
C．甲､乙至少有一人中奖 D．甲､乙至多有一人中奖
【答案】D
【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断即可.
【详解】“甲、乙恰有一人中奖”与 互斥但不对立，故A错误；
“甲、乙都没中奖”与 互斥但不对立，故B错误；
“甲、乙至少有一人中奖”与 不互斥，故C错误；
“甲、乙至多有一人中奖”与 互斥且对立，故D正确．
故选：D.
变式1．（2022春·河南省直辖县级单位·高一济源高中校考期末）袋内分别有红､白､黑球 个，从中任
取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球 D．至少有一个白球；红､黑球各一个
【答案】D
【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解
【详解】对于A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，
而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，故A中事件不是互斥的；
对于B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；
对于C，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，即可能是一个白球和一个黑球，这与“一个白球一个黑球”不互斥；
对于D，“至少一个白球”发生时，“红､黑球各一个”不会发生，故二者互斥，
从袋中任取2个也可能是两个红球，即二者可能都不发生，故二者不对立，
故选：D
变式2．（2021春·陕西渭南·高一统考期末）从一批产品（既有正品也有次品）中随机抽取三件产品，设
事件A=“三件产品全不是次品”，事件B=“三件产品全是次品”，事件C=“三件产品有次品，但不全是次
品”，则下列结论中不正确的是（ ）
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．A、B、C两两互斥 D．A与B对立
【答案】D
【分析】随机抽取三件产品，得出总事件，再分别得出事件A，事件B，事件C包含的事件，再由互斥事
件及对立事件的定义即可判断出结果.
【详解】随机抽取三件产品，总事件中包含“0件次品，3件正品”，“1件次品，2件正品”，“2件次
品，1件正品” ，“3件次品，0件正品”
事件A=“三件产品全不是次品”即“0件次品，3件正品”，
事件B=“三件产品全是次品”即“3件次品，0件正品”，
事件C=“三件产品有次品，但不全是次品” 即“1件次品，2件正品”，“2件次品，1件正品”
由互斥事件的定义知：A、B、C两两互斥，故ABC正确；
由互斥事件的定义知：A与B互斥，但是A与B的和事件不是总事件，故A与B对立不是对立事件，故D
错误.
故选：D.
变式3．（2023·高一单元测试）某人射击一次，成绩记录环数均为整数．设事件 ：“中靶”；事件 ：
“击中环数大于5”；事件 ：“击中环数大于1且小于6”；事件 ：“击中环数大于0且小于6”．则正确
的关系是（ ）
A． 与 为对立事件B． 与 为互斥事件C． 与 为对立事件 D． 与 为互斥事件
【答案】D
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念逐项分析可得答案.
【详解】当击中环数大于0且小于6时， 与 同时发生了，不是互斥事件，更不是对立事件，故选项A
B错误；
与 显然为互斥事件，当击中环数为 时， 与 都不发生，故 与 不是对立事件，故选项C错误；选项D正确.
故选：D
变式4．（2023秋·辽宁·高一校联考期末）从高一（男、女生人数相同,人数很多）抽三名学生参加数学竞
赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一
名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是（ ）
A． B．
C．事件A与事件B互斥 D．事件A与事件C对立
【答案】B
【分析】由独立乘法公式求 ，根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B、C、D即可.
【详解】由所抽学生为女生的概率均为 ，则 ，A正确；
两事件不可能同时发生，为互斥事件，C正确；
事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，
其对立事件为 ，D正确；
事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，
与 事件含义相同，故 ，B错误；
故选：B.
考点十：用频率估计概率
例17．（2023·高一单元测试）将一枚硬币掷10次，正面向上出现了6次，若用 表示正面向上这
一事件，则 （ ）
A．发生的概率为 B．发生的概率接近
C．在这十次试验中发生的频率为 D．在这十次试验中发生的频率为6
【答案】C
【分析】根据概率与频率的关系以及频率公式可得答案.
【详解】概率是频率的稳定值， 发生的概率等于 ，故AB错误；在这十次试验中发生的频率为 ，故C正确，D错误.
故选：C
变式1．（2023·高一单元测试）某人从水库中打了一网鱼共1000条，作上记号再放回水库中，数日后又从
水库中打了一网鱼共 条，其中 条有记号，由此估计水库中共有鱼的条数为（ ）
A． B． C． D．无法估计
【答案】B
【分析】估计水库中共有鱼的条数为 ，解方程 即得解.
【详解】估计水库中共有鱼的条数为 ，则 .
故选：B
变式2．（2023·高一单元测试）一批瓶装纯净水，每瓶标注的净含量是 ，现从中随机抽取10瓶，测
得各瓶的净含量为（单位： ）：
542 548 549 551 549 550 551 555 550 557
若用频率分布估计总体分布，则该批纯净水每瓶净含量在 之间的概率估计为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【答案】D
【分析】抽取10瓶水中净含量在 之间的瓶数，借助于频率与频数的关系计算频率，用频
率估计概率，即可求解.
【详解】从数据可知，在随机抽取的10瓶水中，净含量在 之间的瓶数为7，频率为
，
由频率分布估计总体分布，可知该批纯净水中，净含量在 之间的概率为 .
故选：D
考点十一：古典概型
例18．（2023春·湖北武汉·高一武汉市第十一中学校考阶段练习）甲、乙两校各有3名教师报名支
教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，则选出的2名教师性别
相同的概率是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】从甲校和乙校报名的教师中各任选 名，列出基本事件的总数，利用古典概型求解即可.
【详解】设甲校2男1女的编号分别为1，2，A，乙校1男2女编号分别为B，3，4，
若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，
写出所有可能的结果有： ， ， ， ， ， ， ，
， 共计9个，
选出的2名教师性别相同的结果有 ， ， ， 共计4个，
故选出的2名教师性别相同的概率为 ．
故选：B.
变式1．（2023春·高一单元测试）从1，2，3，4，5，6中随机选取2个不同的数字组成 （ ，
且 ），则恰好能使得 的概率是______.
【答案】 /
【分析】利用列举法结合古典概型运算求解.
【详解】用 表示随机选取的2个不同的数字，则试验的样本空间是
，
共包含25个样本点，
记能使得 （ ，且 ）为事件A，则
，
共包含15个样本点，
故所求概率 .故答案为： .
变式2．（2023春·河南安阳·高一安阳一中校考阶段练习）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完
全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上， 则这个人站起来； 若硬币正面朝下， 则
这个人继续坐着.那么， 没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出基本事件的总数，再由列举法可求随机事件中含有的基本事件的总数，由概率公式可求相
应的概率.
【详解】四个人的坐着或站起来的情形共有 种.
没有相邻的两个人站起来，即硬币的正面不能相邻，有以下几种情况：
正反正反，反正反正，反反反正，反反正反，反正反反，正反反反，反反反反，
共有7种方法.
由古典概型概率公式可得，没有相邻的两个人站起来的概率为 .
故选：C.
变式3．（2023春·江西景德镇·高一统考期中）在确保新型冠状病毒肺炎疫情防空到位的前提下，我市中
小学陆续分阶段复学.某高中在复学之后，为了帮助学生调整心理状态，理性面对疫情，科学合理有效安排
学习生活，成立了由5名男教师和2名女教师组成的心理咨询团队.现从这个团队中随机抽取3人专门负责
高一年级的心理咨询工作，则至少选中1名女教师的概率是__________．
【答案】
【分析】利用列举法得到从心理咨询团队中选择3人总的基本事件总数，及其中没有女教师的基本事件的
件数，从而利用古典概型求解即可.
【详解】因为心理咨询团队由5名男教师和2名女教师组成，
记5名男教师为 ，2名女教师为 ，
则从中选择3人的基本事件有： ，
， ， 共 件，其中没有女教师的基本事件有 共 件，
所以至少选中1名女教师的概率是 ．
故答案为： ．
变式4．（2023春·北京通州·高一统考期中）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中红球3个，白球2
个．
(1)从中有放回地依次随机摸出2个球，求第一次摸到白球的概率；
(2)从中无放回地依次随机摸出2个球，求第二次摸到白球的概率；
(3)若同时随机摸出2个球，求至少摸到一个白球的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用有放回的抽取求出基本事件总数，事件A包含的基本事件数，再利用古典概型的概率
计算公式求解即可．
（2）利用无放回的抽取求出基本事件总数，事件B包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式
求解即可．
（3）求出一次抽取2个球的基本事件总数，事件C包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式
求解即可．
【详解】（1）记三个红球编号为1，2，3，两个白球分别为4，5，则在有放回情况下，
第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，
第二次摸球时都有5种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成25种等可能的结果.
如表1所示．
表1
第二
次
1 2 3 4 5
第一
次
1
23
4
5
第一次摸到白球的可能结果有10种，见表中后两行．
记 “第一次摸到白球”，则 ．
（2）在无放回情况下，第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，
第二次摸球时都有4种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，如表2所示．
表2
第二次
1 2 3 4 5
第一次
1 ×
2 ×
3 ×
4 ×
5 ×
第二次摸到白球的可能结果有8种，见表中后两列.
记 “第二次摸到白球”，则 ．
（3）“同时摸出两个球”的基本事件有 ，共10件，
其中至少摸到一个白球的基本事件有 ，共7件，
记 “至少摸到一个白球”，则 .
变式5．（2022春·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有 道不同
的题目，其中选择题 道，判断题 道，甲、乙两人各抽一道（不重复）．
(1)甲抽到选择题且乙抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？【答案】(1)
(2)
【分析】（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件 ，列举所有的基本事件，并确定事件 所包
含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得事件 发生的概率；
（2）记事件 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题，确定事件 所包含的基本事件，利用古典概型的概
率公式可计算出事件 发生的概率.
【详解】（1）解：记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件 ，
记两道选择题分别为 、 ，两道判断题分别为 、 ，
所有的基本事件有： 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 ，共 种，
其中事件 包含的基本事件有： 、 、 、 ，共 种，
由古典概型的概率公式可得 .
（2）解：记事件 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题，
则事件 包含的基本事件有： 、 、 、 、 、
、 、 、 、 ，共 种，
由古典概型的概率公式可得 .
考点十二：互斥事件与对立事件的概率
例19．（2023春·高一单元测试）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现
奇数点”，事件B为“出现2点”，已知 ， ，则“出现奇数点或2点”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据互斥事件概率公式求解.【详解】因为“出现奇数点”与“出现2点”两事件互斥，所以“出现奇数点或2点”的概率为
；
故选：D.
变式1．【多选】（2023春·江西景德镇·高一统考期中）袋子中装有6个大小质地完全相同的球，其中2个
红球，4个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，下列结论正确的有（ ）
A．第一次摸到红球的概率是
B．第二次摸到红球的概率是
C．两次都摸到红球的概率是
D．两次都摸到黄球的概率是
【答案】AC
【分析】根据古典概型的概率公式或互斥事件的概率计算，一一计算各选项中的概率，即可判断出答案.
【详解】袋子中装有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球，4个黄球，从中不放回地依次随机摸出2
个球，
故第一次摸到红球的概率是 ，A正确；
若第一次摸到红球，则第二次摸到红球的概率为 ，
若第一次摸到黄球，则第二次摸到红球的概率为 ，
则第二次摸到红球的概率是 ，B错误；
两次都摸到红球的概率是 ，C正确；
两次都摸到黄球的概率是 ，D错误，
故选：AC
变式2．【多选】（2023春·高一单元测试）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
投篮次
投中两分球的次数 投中三分球的次数
数100 55 18
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估
计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】求出事件A，B的频率即得对应概率，再用互斥事件的加法公式计算，然后逐一判断得解.
【详解】依题意， ， ，
显然事件A，B互斥， ，
事件B，C互斥，则 ，
于是得选项A，B，C都正确，选项D不正确.
故选：ABC.
变式3．【多选】（2023春·福建三明·高一永安市第九中学校考阶段练习）设A，B为两个随机事件，以下
命题正确的为（ ）
A．若A，B是互斥事件， ，则
B．若A，B是对立事件，则
C．若A，B是独立事件， ，则
D．若 ，且 ，则A，B是独立事件
【答案】BC
【分析】利用互斥事件与相互独立事件的性质逐一判断即可
【详解】对于A：若 ， 是互斥事件， ， ，则 ，故A错误；
对于B：若 ， 是对立事件，则 ，故B正确；
对于C：若 ， 是独立事件， ， ，则 ， 也是独立事件 ，则，故C正确；
对于D：若 ，则 且 ，则 ， 不是独立事件，
故 ， 也不是独立事件，故D错误；
故选：BC
考点十三：独立事件的判断及概率
例20．（2023·高一单元测试）下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（ ）
A．甲､乙两运动员各射击一次，事件 “甲射中10环”，事件 “乙射中9环”
B．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名学生参加演讲比赛，事
件 “从甲组中选出1名男生”，事件 “从乙组中选出1名女生”
C．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件 “第一次摸到白球”，事件
"第二次摸到白球”
D．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件 “第一次摸到白球”，事件
“第二次摸到黑球”
【答案】D
【分析】根据事件的特点结合独立事件的定义对选项一一验证即可.
【详解】对于选项A：甲、乙两运动员各射击一次，甲的成绩与乙的成绩互不影响，故事件 与事件 为
相互独立事件；
对于选项B：从甲､乙两组中各选1名学生参加演讲比赛，甲的选择与乙的选择互不影响，故事件 与事
件 为相互独立事件；
对于选项C：依次有放回地摸两球，则第一次的结果与第二次的结果互不影响，故事件 与事件 为相互
独立事件；
对于选项D：依次不放回地摸两球，则第一次的结果会影响第二次的结果，故事件 与事件 不为相互独
立事件；
故选：D.
变式1．【多选】（2023·高一单元测试）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先
从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以 表示由甲罐中取出的球是红球､白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以 表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（ ）
A．事件 互斥 B．事件 与事件 相互独立
C． D．
【答案】ACD
【分析】先画出树状图，由 ， 不可能同时发生可判断A；求得 ， ， ， 的值，
可判断C、D；利用 可判断B．
【详解】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数，
不可能同时发生，故彼此互斥，故A正确；
， ， ， ，故C正确，D正确；
因为 ， ，则 ，则事件 与事件 不独立，故B错
误，
故选：ACD．
变式2．【多选】（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）连续抛掷一枚质地均匀
的骰子两次，记录每次的点数，设事件 “第一次出现3点”， “第二次的点数小于5点”，
“两次点数之和为奇数”， “两次点数之和为10”，则下列说法正确的有（ ）
A．A与B不互斥且相互独立 B．A与D互斥且不相互独立
C．B与C不互斥且相互独立 D．B与D互斥且不相互独立
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，求出事件A，B，C，D的概率，再利用互斥事件、相互独立事件的定义判断作答.
【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次的试验结果有： ，，
，
，共36个不同结果，
事件A所含的结果有： ，共6个，
事件B所含的结果有24个，事件C所含的结果有18个，事件D所含的结果有： ，共3
个，
因此 ，
对于A，事件A与B都含有 ，共4个结果，即事件A与B可以同时发生，
而 ，A与B不互斥且相互独立，A正确；
对于B，事件A与D不能同时发生， ，A与D互斥且不相互独立，B正确；
对于C，事件B与C都含有 ，共12个结果，
即事件B与C可以同时发生， ，B与C不互斥且相互独立，C正确；
对于D，事件B与D都含有 ，即B与D可以同时发生， ，
因此B与D不互斥且不相互独立，D错误.
故选：ABC
例21．（2023春·福建厦门·高一福建省厦门第二中学校考阶段练习）已知事件 与 相互独立，且
，则 （ ）
A．0.3 B．0.6 C．0.8 D．0.9
【答案】C
【分析】根据题意，结合 ，即可求解.【详解】由题意，事件 与事件 相互独立，且 ，
则 .
故选：C.
变式1．【多选】（2022春·广西玉林·高一统考期末）已知事件A，B，且 ，则（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果A与B相互独立，那么
D．如果A与B相互独立，那么
【答案】ABD
【分析】根据事件关系及运算有 、 ，由事件的相互独立知 ，
结合事件的运算求 、 .
【详解】A：由 ，则 ，正确；
B：由 ，则 ，正确；
C：如果A与B相互独立，则 ，
，错误；
D：由C分析及事件关系知： ，正确.
故选：ABD.
变式2．（2023春·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考阶段练习）已知甲、乙、丙参加某项测试时，
通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响．
(1)求甲、乙、丙都通过测试的概率；
(2)求甲未通过且乙、丙通过测试的概率；(3)求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）利用独立事件的乘方公式及对立事件概率求法求各对应事件的概率.
【详解】（1）甲、乙、丙都通过测试的概率为 .
（2）甲未通过且乙、丙通过测试的概率为 .
（3）甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率为 .
变式3．（2023春·江西景德镇·高一统考期中）溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会
的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问
题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的
概率均为 ，乙队每人回答问题正确的概㘶分别为 ， ， ，且两队各人回答问题正确与否相互之间没
有影响.
(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；
(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.
【答案】(1)甲队得3分、1分的概率分别为
(2)
【分析】（1）根据独立事件同时发生的概率公式求解；
（2）由题意分析相互独立事件同时发生的概率公式分别求解即可.
【详解】（1）记“甲队总得分为3分”为事件A，记“甲队总得分为1分”为事件B，
甲队得3分，即三人都回答正确，则概率 .
甲队得1分，即三人中只有一人回答正确，其余两人都答错，则其概率
.
（2）记“甲队总得分为2分”为事件C，记“乙队总得分为1分”为事件D，
事件C即甲队三人中只有2人答对，其余1人答错，则其概率.
事件D即乙队3人中只有1人答对，其余两人都答错，则其概率
.
由题意可知，事件C和事件D相互独立，故甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为
.
考点十四：统计和概率的综合
例22．（2023春·江苏无锡·高一锡东高中校考阶段练习）本学期初，某校为检验高三学生网络学习
的效果，对全校高三学生进行期初数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为
样本，分成 ， ， ， ， 五组，得到如图所示频率分布直方图．
(1)求图中 的值；
(2)估计该校高三学生期初数学成绩的平均数和85%分位数；
(3)为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，
求此2人分数都在 的概率．
【答案】(1)
(2)平均数为 ，85%分位数为
(3)
【分析】（1）根据频率之和为 求得 .（2）根据平均数、百分位数的求法求得正确答案.
（3）根据分层抽样、古典概型的知识求得正确答案.
【详解】（1）由 ，
解得 .
（2）该校高三学生期初数学成绩的平均数为 .
前 组的频率和为 ，
所以85%分位数为 .
（3）分层抽样抽取的 人中， 的有 人，记为 .
的有 人，记为 ，
从6人中任取2人，基本事件有 ，共 种，
其中2人分数都在 的有 共 种，
所以从6人中任取2人，分数都在 的概率为 .
变式1．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）某校组织了所有学生参加党史知识测试，该校一数学兴趣
小组从所有成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了200名参与者的测试成绩，将他们的成绩按
， ， ， ， 分组，并绘制出了部分频率分布直方图如图所示．
(1)请将频率分布直方图补充完整；
(2)估计该校所有学生成绩的第60百分位数；
(3)从成绩在 ， 内的学生中用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人开座谈
会，求这2人来自不同分组的概率．【答案】(1)频率分布直方图见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和等于1求出成绩在 的频率，进而补全
频率分布直方图即可；
（2）根据频率分布直方图先求出第60百分位数一定在 内，然后再计算即可求解；
（3）由分层抽样的方法可知，抽取的7人中，成绩在 内的有3人，分别记为 ， ， ；成绩在
内的有4人，分别记为 ， ， ， ，用列举法写出从这7人中随机抽取2人开座谈会的所有
基本事件，并得出这2人来自不同分组的基本事件，代入古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】（1）成绩在 的频率为 ．
补充完整的频率分布直方图如下图所示：
（2）由频率分布直方图可知成绩小于80分的学生所占
比例为 ，
成绩小于90分的学生所占比例为 ，
所以第60百分位数一定在 内，
因为 ，
所以估计该校所有学生成绩的第60百分位数约为83.75分．
（3）由分层抽样的方法可知，抽取的7人中，成绩在 内的有3人，分别记为 ， ， ；成绩在内的有4人，分别记为 ， ， ， ．
则从这7人中随机抽取2人的所有基本事件为 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，共21种；
记这2人来自不同分组为事件A，其基本事件有 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，共12种，
故这2人来自不同分组的概率为 ．
变式2．（2023·高一单元测试）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了
解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．
请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表
组别 分组 频数 频率
第1组 8
第2组 a
第3组 20
第4组
第5组 2 b
合计
频率分布直方图(1)写出a，b，x，y的值；
(2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识
的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率．
【答案】(1) ， ， ，
(2)
【分析】（1）根据频率分布表和频率分布直方图计算可得结果；
（2）利用列举法和古典概型的概率公式计算可得结果.
【详解】（1）样本容量 ，所以第 组的频数为 ， ，
所以 ，
所以第 组的频率为 ，所以 ， ，
， .
（2）由（1）可知，第4组共有4人，记为 ，第5组共有2人，记为 ．
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有
，共15种情况．
设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件 ，
有 ,共9种情况．
所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是 ．变式3．（2023春·安徽·高一安徽省颍上第一中学校联考阶段练习）某学校需要从甲、乙两名学生中选一
人参加全国高中数学竞赛，现整理了近期两人5次模拟考试的成绩，结果如下表：
第一 第四
第二次 第三次 第五次
次 次
甲的成绩（分） 78 80 65 85 92
乙的成绩（分） 75 86 70 95 74
(1)如果根据甲、乙两人近5次的考试成绩，你认为选谁参加较合适？并说明理由；
(2)如果按照如下方案推荐参加全国高中数学竞赛：
方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加全国高中数学竞赛，否则被淘汰；
方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加全国高中数学竞赛，否则被
淘汰.
已知学生甲只会5道备选题中的3道，那么学生甲选择哪种答题方案可参加全国高中数学竞赛的可能性更
大？并说明理由.
【答案】(1)选派甲参加数学竞赛较合适，理由见解析
(2)选择方案二，理由见解析
【分析】（1）计算并比较甲、乙两人近5次的考试成绩的平均分与方差即可；
（2）计算并比较学生甲采用方案一与方案二可参加全国高中数学竞赛的概率即可.
【详解】（1）选派甲参加数学竞赛较合适．
由题意得 ，
，
，
，
由 ，可知甲、乙的平均分相同，但甲的成绩比乙稳定，故选派甲参加数学竞赛较合适；
（2）5道备选题中学生甲会的3道分别记为a，b，c，不会的2道分别记为E，F，
方案一：学生甲从5道备选题中任意抽出1道的结果有：a，b，c，E，F，共5种，
抽中会的备选题的结果有a，b，c，共3种，
所以此方案学生甲可参加全国高中数学竞赛的概率 ．方案二：学生甲从5道备选题中任意抽出3道的结果有：
，共10种，
抽中至少2道会的备选题的结果有： ，共7种，
所以此方案学生甲可参加全国高中数学竞赛的概率 ，
因为 ，所以学生甲选择方案二可参加全国高中数学竞赛的可能性更大．
1．【多选】（2023·全国·统考高考真题）有一组样本数据 ，其中 是最小值， 是最大值，则
（ ）
A． 的平均数等于 的平均数
B． 的中位数等于 的中位数
C． 的标准差不小于 的标准差
D． 的极差不大于 的极差
【答案】BD
【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.
【详解】对于选项A：设 的平均数为 ， 的平均数为 ，
则 ，
因为没有确定 的大小关系，所以无法判断 的大小，
例如： ，可得 ；例如 ，可得 ；
例如 ，可得 ；故A错误；
对于选项B：不妨设 ，
可知 的中位数等于 的中位数均为 ，故B正确；
对于选项C：因为 是最小值， 是最大值，
则 的波动性不大于 的波动性，即 的标准差不大于 的标准差，
例如： ，则平均数 ，
标准差 ，
，则平均数 ，
标准差 ，
显然 ，即 ；故C错误；
对于选项D：不妨设 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；
故选：BD.
2．（2023·全国·统考高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题
准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古
典概率求解作答.【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：
乙
1 2 3 4 5 6
甲
1
2
3
4
5
6
共有36个不同结果，它们等可能，
其中甲乙抽到相同结果有 ，共6个，
因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率 .
故选：A
3．（2023·天津·统考高考真题）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 ．这
三个盒子中黑球占总数的比例分别为 ．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑
球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．
【答案】 /
【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；
根据古典概型的概率公式可求出第二个空．
【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为 ，所以总数为 ，
所以甲盒中黑球个数为 ，白球个数为 ；
甲盒中黑球个数为 ，白球个数为 ；
甲盒中黑球个数为 ，白球个数为 ；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件 ，所以，
；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件 ，
黑球总共有 个，白球共有 个，所以， ．
故答案为： ； ．
4．【多选】（2023·全国·统考高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收
到1的概率为 ，收到0的概率为 ；发送1时，收到0的概率为 ，收到1的概率
为 . 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每
个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传
输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概
率
【答案】ABD
【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；
求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.
【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接
收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为 ，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为 ，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件
和，它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为 ，C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率 ，
单次传输发送0，则译码为0的概率 ，而 ，
因此 ，即 ，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，
相互独立事件的积是解题的关键.
一、单选题
1．（2023春·全国·高一专题练习）某校为了解高一年级学生的生涯规划情况，在高一年级的6个班级中任
选2个班级，并在所选班级中按男女比例抽取样本，则应采用的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样 B．分层抽样
C．先用分层抽样，再用随机数表法 D．先用抽签法，再用分层抽样
【答案】D
【分析】根据题意以及简单随机抽样、分层抽样的特征进行判断.
【详解】先从6个班级中任选2个班级，因为总体容量、样本容量都比较小，
所以用抽签法更合理，再在所选班级中按男女比例抽取样本，因为男、女差异明显，
所以用分层抽样更合理，故A，B，C错误.
故选：D.
2．（2023·全国·高一专题练习）已知一个总体中有n个个体，用抽签法从中抽取一个容量为20的样本.若
每个个体被抽到的可能性是 ，则n等于（ ）
A．10 B．50 C．100 D．不确定
【答案】C
【分析】根据抽签法的等可能性，得出比例可得选项.
【详解】 ，解得n=100.
故选：C.【点睛】本题考查抽签法的抽样比，属于基础题.
3．（2023·全国·高一专题练习）已知某班共有学生46人，该班语文老师为了了解学生每天阅读课外书籍
的时长情况，决定利用随机数表法从全班学生中抽取10人进行调查．将46名学生按01，02，…，46进行
编号．现提供随机数表的第7行至第9行：
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 57 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
若从表中第7行第41列开始向右依次读取2个数据，每行结束后，下一行依然向右读数，则得到的第8个
样本编号是（ ）
A．07 B．12 C．39 D．44
【答案】D
【分析】根据读数要求，利用随机数依次读数即可得出结果.
【详解】由题意可知得到的样本编号依次为12，06，01，16，19，10，07，44，39，38，则得到的第8个
样本编号是44．
故选：D.
4．（2023春·全国·高一专题练习）近年来，随着双碳目标、空调新国标的制定，节能变频空调的需求不断
增多，下图为2017-2022中国节能变频空调产量，根据该图，下列说法错误的是（ ）
A．2017-2022中国节能变频空调年产量逐年增加
B．2017-2022中国节能变频空调年产量的中位数6833.2万台
C．2022年中国节能变频空调产量比上一年增长超过14%
D．2017-2022中国节能变频空调年平均产量超过7500台
【答案】B
【分析】根据图表，中位数的计算，增长率以及平均数的计算，即可逐一判断.
【详解】根据图表显然看出，2017-2022中国节能变频空调年产量逐年增加，A正确；
因2017-2022共六年，
则2017-2022中国节能变频空调年产量的中位数为 ，B错；
因 ，解得 ，
则2022年中国节能变频空调产量比上一年增长超过14%，C正确；
2017-2022中国节能变频空调年平均产量为： .D正
确.
故选：B
5．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）在统计学中，月度同比是指本月和上一年同月相比较的增长
率，月度环比是指本月和上一个月相比较的增长率，如图是我国2022年1月至2022年12月居民消费价格
月度涨跌幅度统计图，则以下说法正确的是（ ）
A．在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据的众数为0.9%
B．在这12个月中，我国居民消费价格月度环比数据的众数为0.4%
C．在这12个月中，我国居民消费价格最低是5月
D．在这12个月中，我国居民消费价格最高是10月
【答案】D
【分析】根据统计图分别求出消费同比数据，求出月度环比数据的众数，即可得答案．
【详解】在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据的众数为2.1%，A错；
我国居民消费价格月度环比数据的众数为0.0%，B错；
根据环比数据知：我国居民消费价格最低是1月，我国居民消费价格最高是10月，C错，D对.
故选:D.
6．（2023·全国·高一专题练习）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在 三组内的学生中，用分层抽样的方法
选取18人参加一项活动，则从身高在 内的学生中选取的人数应为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】利用小矩形的面积之和为 ，求出 ，再求出三组内的学生总数，根据抽样比即可求解.
【详解】 直方图中各个小矩形的面积之和为 ，
，解得 ，
由直方图可知 三个区域内的学生总数为
，
其中身高在[140，150]内的学生人数为 .
故选：A
7．（2023·高一课时练习）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规
模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地
新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）
A．甲地：均值为3，中位数为4 B．乙地：均值为1，方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：均值为2，方差为3
【答案】D
【分析】利用平均数、中位数、众数、方差的计算公式以及含义，对四个选项逐一分析判断即可．
【详解】对于选项A：因为均值和中位数不能限制某一天的病例超过7人，如0，0，0，0，4，4，4，4，
6，8，所以A不正确；
对于选项B：因为均值和方差不能限制某一天的病例超过7人，如0，0，0，0，0，0，0，0，0，10，所以B不正确；
对于选项C：因为中位数和众数不能限制某一天的病例超过7人，如0，0，0，0，2，2，3，3，3，8，所
以C不正确；
对于选项D：假设过去10天新增疑似病例数据存在一个数据x， ，而均值为2，
则方差 ，
与方差为3矛盾，所以假设不成立，故符合没有发生大规模群体感染的标志，所以D正确，
故选：D.
8．（2023春·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知数据 ， ，…， 的平均数、中位数、方差分别
为 ， ， （其中 ），数据 ， ，…， 的平均数、中位数、方差分别为 ， ，
，则 （ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】由平均数、中位数和方差的定义可得 ， ， ，代入 化简即可
得出答案.
【详解】因为数据 ， ，…， 的平均数、中位数、方差分别为 ， ， ，
所以 ，
数据 ， ，…， 的中位数 ，所以
故选：B．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.分数不低于X即为优秀，已知优秀学生有80人，则（
）
A．
B．
C．70分以下的人数约为6人
D．本次考试的平均分约为93.6
【答案】AD
【分析】根据频率分布图的求解频率、频数、平均数即可求解.
【详解】对于A， ，A正确；
对于B，因为第六组有40人，第五组有160人，
所以 ，B错误；
对于C，70分以下的人数为 人，C错误；
对于D，平均成绩 ，D正确，
故选:AD.10．（2023·全国·高一专题练习）利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时
各做5组试验，得到事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”.发生的频数和频率表如下：
序
号 频 频
频数 频数 频率 频率
率 数
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.55 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
根据以上信息，下面说法正确的有（ ）
A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性
B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越少越好；
C．随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近
D．我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率
【答案】AC
【分析】根据频率和概率的关系判断
【详解】A选项，验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性，故正确；
试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越多越好；B错误；
随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近,此固定值就是概率，C正确；
我们要得到某事件发生的概率时，需要进行多次试验才能得到概率的估计值，故D错误.
故选：AC
11．（2023春·高一课时练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件： “向上的点数为 ”，
其中 ，2，3，4，5，6， “向上的点数为偶数”，样本空间为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． 与B互斥 D． 与 对立
【答案】AC
【分析】根据事件包含的基本事件判断即可.
【详解】对于A， ， ，∴ ，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C， 与 不能同时发生，是互斥事件，故C正确；
对于D，因为 ， ，所以 与 是互斥事件但不是对立事件，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
12．（2023·江西赣州·统考模拟预测）从A，B等5处水样监测点中随机选3处进行水样检测，则A，B不
同时入选的概率为______．
【答案】 /0.7
【分析】对另外3处水样监测点编号，利用列举法结合古典概率求解作答.
【详解】设5处水样监测点分别为 , , , , ，从中随机选择3处的结果有：
，共10种情况，
其中 , 同时入选的有 ，共3种情况，
所以 , 不同时入选的概率 .
故答案为：
13．（2022·高二课时练习）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到
有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每次投篮投中的概率为 ，且
各次投篮互不影响，则乙获胜的概率为___________.
【答案】
【分析】根据规则先投中者获胜，则乙要先投进才获胜，分情况讨论，求各个情况下概率和即可.
【详解】记“乙获胜”为事件C，记甲第 次投篮投进为事件 ，乙第 次投篮投进为事件 ，
由互斥事件仅有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知，.
故答案：
四、解答题
14．（2023春·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习）学校对高一年级生物学科水平测试模拟考试的成
绩进行了统计，随机抽取了80名学生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方
图如下：
频
分组 频率
数
16 0.2
50
10
4 0.05
合计 80
(1)求表中 ， 的值和频率分布直方图中 的值；
(2)若要使20%的学生达到优秀等次，请预测优秀等次的分数线．
【答案】(1) ， ，
(2)79.6
【分析】（1）根据所给数据直接求解；
（2）利用频率分布直方图求解，即可预测.【详解】（1） , , ,
（2）设优秀等次的分数线为x，由 知 在 内
则 ，∴ ,
∴优秀等次的分数线为79.6
15．（2023·全国·高一专题练习）某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定
合理的帮扶方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示．
(1)求a的值；
(2)求所有受灾居民的经济损失的平均值；
(3)现按照分层抽样的方法从经济损失在[4000,8000)的居民中随机抽取8人，则在[4000,6000)的居民有多少
人．
【答案】(1)
(2)3360元
(3)6
【分析】（1）根据直方图中频率和为1列方程求参数；
（2）根据直方图计算平均值；
（3）根据分层抽样的等比例性质求在[4000,6000)的居民数量.
【详解】（1）依题意， ，解得 ．
（2）所有受灾居民经济损失的平均值为
元．
（3）由（1）得经济损失在 和在 的人数比例为 ，
由分层抽样知，经济损失在 的居民有 人.
