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第 17 讲 直线与圆的位置关系 8 种常见考法归类
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想.
知识点1 直线与圆的三种位置关系
位置关系 交点个数 图示
相交 有两个公共点
相切 只有一个公共点
相离 没有公共点
注：直线与圆的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r
代数法：
判定方法
由 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
消元得到一元二次方程的判别式Δ
知识点2 直线与圆相交
1．解决圆的弦长问题的方法
几何法
（常用）如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的
距离为d，则有关系式：|AB|＝2
若斜率为k的直线与圆相交于A(x ，y )，B(x ，y )两点，则|AB|＝·＝·|y
A A B B A
－y |(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|x －x |；当斜率不存在时，|
B A B
AB|＝|y －y |
A B
注：直线 ： ；圆
代数法
联立 消去“ ”得到关于“ ”的一元二次函
数 ，结合韦达定理可得到
2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注
意把它和点到直线的距离公式结合起来使用．
知识点3 直线与圆相切
1．求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切
点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．
（注：过圆内一点，不能作圆的切线）
2．求过圆上的一点(x，y)的切线方程的方法
0 0
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y ；若k＝0，则结
0
合图形可直接写出切线方程为x＝x ；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写
0
出切线方程．
3．求过圆外一点(x，y)的圆的切线方程的方法
0 0
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y＝k(x－x)，即kx－y＋y－kx＝0.
0 0 0 0
几何法
由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y＝k(x－x)，即y＝kx－kx＋y，代
0 0 0 0
代数法 入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即
可求出
4.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为(x－a)(x－a)＋(y－b)(y－b)＝r2.
0 0 0 0
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x，y)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
5.切线长公式
记圆 : ；过圆外一点 做圆 的切线，切点为 ,利用勾股定理求 ；知识点4 圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为 ，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为 ，最小距离为 ；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为 ，最小距离为 ；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为 ，最小距离为 ；
1、判断直线与圆位置关系的方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
2、过圆上一点(x，y)的圆的切线方程的求法
0 0
先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率
为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y 或x＝x.
0 0
3、过圆外一点(x，y)的切线方程的求法
0 0
设切线方程为y－y＝k(x－x)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．
0 0
当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆
0
外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
4、求切线长(最值)的两种方法
(1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
(2)(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．
5、求弦长的两种方法
(1)由半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋2＝r2求解，这是常用
解法．
(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐
标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用．
6、坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”考点一：直线与圆位置关系的判断
（一）判断直线与圆的位置关系
例1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知圆 ，直线 ，则圆
C与直线l（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆C的圆心
【答案】B
【分析】根据题意只需判断圆心到直线的距离与半径比较大小即可判断．
【详解】由 可得 ，
故圆心 ，半径 ，
则圆心到直线 的距离 ，
故直线与圆C相切．
故选：B
变式1．（2023·四川成都·成都七中校考一模）圆 ： 与直线 ： 的位置关系为
（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
【答案】A
【分析】求出圆心坐标与半径，再将直线方程化为一般式，根据圆心到直线的距离即可判断.
【详解】圆 ： 的圆心为 ，半径 ，直线 ： 即 ，则圆心到直线的距离 ，
所以直线 与圆 相切.
故选：A
变式2．（2023春·北京海淀·高二北理工附中校考期中）直线 与圆 的位置
关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】C
【分析】求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系.
【详解】由题知，圆心坐标 ，半径 ，
将直线 化为点斜式得 ，
知该直线过定点 ，
又 ，故该定点在圆内，
所以该直线与圆 必相交.
故选：C
变式3．（2023秋·高二课时练习） 为圆 内异于圆心的一点，则直线 与该圆
的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
【答案】C
【分析】由题意可得 ，结合圆心到直线 的距离判断与半径的大小关系，即得答案.
【详解】由题意知 为圆 内异于圆心的一点，
则 ，
而圆： 的圆心到直线 的距离为 ，故直线 与该圆的位置关系为相离，
故选：C
（二）由直线与圆的位置关系求参数
例2．（2023·辽宁·校联考二模）已知圆 ，直线l： ，若l与圆O相交，则
（ ）．
A．点 在l上 B．点 在圆O上
C．点 在圆O内 D．点 在圆O外
【答案】D
【分析】根据l与圆O相交，可知圆心到直线的距离小于半径，列出不等式，再判断点与直线和圆的关系.
【详解】由已知l与圆O相交，,可知圆心到直线的距离小于半径，
则有 ，故 ，
把 代入 ，所以点不在直线l上，故A错误；
又 ，则点 在圆O外，故D正确.
故选：D．
变式1．（2023春·浙江·高二期中）已知圆 关于直线 对称，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据题意分析可得 表示直线 上任一点 到坐标原点 的距离，结合
点到直线的距离运算求解.
【详解】已知圆 的圆心为 ，半径 ，
由题意可知：直线 过圆心 ，即 ，表示直线 上任一点 到坐标原点 的距离，
故 的最小值即为 到直线 的距离 .
故选：B.
变式2．（2023秋·高一单元测试）若直线 与曲线 恰有两个公共点，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得： 为恒过定点 的直线，曲线表示圆心为 ，半径为 的上半圆，由
此利用数形结合思想能求出 的取值范围．
【详解】根据题意得 为恒过定点 的直线，
由曲线 ，可得 ，
所以曲线表示圆心为 ，半径为 的上半圆，如图所示，
当直线与圆 相切时，有 ，解得 （舍去）或 ，
把 代入 得 ，解得 ，
因为直线 与曲线 恰有两个公共点，
由图可得 ，即 的取值范围是 ．故选：B．
变式3．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）直线 与曲线 恰有两个不同的公共
点，则实数b的取值范围是（ ）
A． B．
C． ， D．
【答案】B
【分析】 是斜率为 的直线，曲线 是以原点为圆心 为半径的圆的右半圆，利用点到直
线距离公式，结合图形可得答案.
【详解】 是斜率为 的直线，
曲线 是以原点为圆心 为半径的圆的右半圆，
画出它们的图象如图，
当直线与圆相切时， （舍去），
当直线过 时， ,
由图可以看出：
当 时，直线与半圆有两个公共点，
故选：
变式4．（2023·新疆阿克苏·校考一模）已知两点 ，点 是圆
上任意一点， 是锐角，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出点P的坐标，利用向量建立不等式，再借助几何意义求出圆上点到原点距离最小值即可.
【详解】设点 ，显然圆 与x轴相离，即点 不共线，于是 是锐角
当且仅当 ，
而 ，依题意， ，即 恒成立，
表示点 到原点的距离，又点 是圆 上任意一点，其圆心为 ，半径为1，
因此 ，从而 ，又 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
故选：B
变式5．（2023春·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）圆 上到直线
距离为 的点有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
【答案】B
【分析】求出圆心到直线的距离，再结合图象分析可得结果.
【详解】因为 化为标准方程为 ，
所以圆心 ，圆的半径 ，
又因为圆心C到直线 的距离为 ，
所以 ，
所以过圆心平行于直线 的直线与圆有2个交点，另一条与直线 的距离为 的平行
线与圆相切，只有1个交点，如图所示，所以圆C上到直线 的距离为 的点共有3个.
故选：B.
变式6．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）若圆 上有四个点到直线
的距离为 ，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题意得，圆心到直线 的距离 ，列式求解即可．
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为圆 上有四个点到直线 的距离为 ，
所以圆心到直线 的距离 ，
所以 ，解得 ．
故答案为： ．
变式7．【多选】（2023春·贵州遵义·高二遵义市南白中学校考阶段练习）已知直线 ，圆
，则下列说法正确的是（ ）
A．圆 上恰有1个点到直线 的距离为1，则B．圆 上恰有2个点到直线 的距离为1，则
C．圆 上恰有3个点到直线 的距离为1，则
D．圆 上恰有4个点到直线 的距离为1，则
【答案】ACD
【分析】根据圆 上点的个数到直线 的距离为1，数形结合得到圆心到直线 的距离或距离范围，得到方
程或不等式，求出答案.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为2，
A选项，要想圆 上恰有1个点到直线 的距离为1，则圆心到直线 的距离为3，
即 ，解得 ，A正确；
B选项，要想圆 上恰有2个点到直线 的距离为1，则圆心到直线 的距离大于1，小于3，
即 ，解得 ，B错误；
C选项，圆 上恰有3个点到直线 的距离为1，则圆心到直线 的距离等于1，
即 ，解得 ，C正确；
D选项，圆 上恰有4个点到直线 的距离为1，则圆心到直线 的距离小于1，
即 ，解得 ，D正确.
故选：ACD
（三）由直线与圆的位置关系求距离最值
例3．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知直线 与圆
，则圆 上的点到直线 的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．【答案】B
【分析】确定圆心和半径，计算圆心到直线的距离，再计算最小值得到答案.
【详解】圆 ，圆心为 ，半径 ，
圆心到直线的距离为 ，直线和圆相离，
故圆 上的点到直线 的距离的最小值为 .
故选：B
变式1．（2023·广西·校联考模拟预测）已知直线 和圆 ，则圆
心O到直线l的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把直线方程化为 ，求得直线 过定点 ，结合圆的几何性质，即可求解.
【详解】由题意，直线 可化为 ，
联立方程组 ，解得 ，即直线 过定点 ，
又由 ，可得定点 在圆内，
由圆的几何性质知，圆心到直线的距离 ．
故选：B.
变式2．（2023秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）直线 分别与 轴， 轴交于
A，B两点，点P在圆 上，则 面积的取值范围是___________.
【答案】【分析】先求出A，B两点的坐标，则可求出 ，然后求出圆心到直线的距离 ，从而可求出点P到直
线的距离的最大值 和最小值 ，进而可求出 面积的最大值和最小值，即可求得结果.
【详解】对于 ，当 时， ，当 时， ，
所以 ，
所以 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以点P到直线的距离的最大值 ，
点P到直线的距离的最小值 ，
所以 面积的最大值为 ，
面积的最小值为 ，
所以 面积的取值范围是 ，
故答案为：变式3．【多选】（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知 ，过
点 作直线 的垂线，垂足为 ，则（ ）
A．直线 过定点 B．点 到直线 的最大距离为
C． 的最大值为3 D． 的最小值为2
【答案】AC
【分析】由点斜式确定定点，由点 在以原点为圆心，直径为 的圆上，结合圆的性质判断即可.
【详解】 可化为 ，则直线 过定点 ，故A正确；
因为直线 的斜率存在，所以点 与点 不重合，
因为 ，所以点 在以原点为圆心，直径为 的圆上（去掉点B），
点 到直线 的距离为 ，由图可知， ，故B错误；
由图可知， ，即 ，故C正确，D错误；
故选：AC
变式4．（2023春·河北石家庄·高三校联考阶段练习）如图，正方形 的边长为4， 是边 上的一
动点， 交 于点 ，且直线 平分正方形 的周长，当线段 的长度最小时，点 到直
线 的距离为______.【答案】
【分析】利用平面几何知识可得出 点的轨迹是圆.适当建系，写出 点的轨迹方程.再利用圆的性质得出当
最小时， ， ， 三点共线，进而求解即可.
【详解】根据题意 平分正方形 周长，可得 恒过正方形 的中心，设 的中心为点 ，
由 可知， 点的轨迹是以 为直径的圆，
以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴建立直角坐标系，
则 ， ， ， ，
以 为直径的圆的方程为 ，
设 为圆心，可知坐标为 ，当 最小时， ， ， 三点共线，
可知此时直线 的方程为 ，
则点 到直线 的距离为 .
故答案为： .考点二：直线与圆的交点问题
例4．（2023秋·江苏宿迁·高二统考期中）直线 与曲线 的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】联立方程后考虑方程组的解，从而可得交点的个数.
【详解】联立直线方程和曲线方程可得 可得 ，
即 ，解得 或 ，故方程组的解为 或 .
故选：C
变式1．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）直线 与曲线 的交点个数
为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据题意，由曲线表示一条直线与一个圆，然后分别联立方程，即可得到交点个数.
【详解】因为曲线 就是 或 ，表示一条直线与一个圆，
联立 ，解得 ，即直线 与直线 有一个交点 ；此时，
没有意义.
联立 ，解得 或 ，所以直线 与 有两个交点.
所以直线 与曲线 的交点个数为2个.
故选：B
变式2．（2023春·浙江·高二期中）设圆 ： ，若直线 在 轴上的截距为 ，则 与 的交点个数为（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
【答案】C
【分析】利用直线过定点，判断定点在圆内即可．
【详解】解： 直线 在 轴上的截距为 ，
直线 过定点 ，
，
点 在圆内，
直线 与 的交点个数为 个．
故选： ．
变式3．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）已知点 是圆 与
轴的交点， 为直线 上的动点，直线 与圆 的另一个交点分别为 ，则直线 恒过
定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由圆的方程，求得 的坐标，设出 坐标，写出两直线的方程，分别联立圆与直线，求得
的坐标，求特殊位置解得定点，用一般情况的方程进行验证，可得答案.
【详解】由 ，令 ，解得 ，不妨设 ， ，
设 ，则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立 ，消去 可得： ，
设 ， ，则 ，即 ， ，联立 ，消去 可得： ，
则 ，即 ， ，
当直线 的斜率不存在时， ，解得 ，此时 ，故直线方程为 ；
当直线 的斜率为 时，则直线 方程 ，
联立 ，可得定点为 ，下面验证此为真：
当直线 的斜率存在且不为零时，则斜率 ，
则方程为 ，将 代入上式，
则 ，即 ，等式成立，
故直线 过定点 ，
故选：B.
考点三：圆的切线问题
（一）过圆上一点的切线方程
例4．（2023春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）过点 作圆
的切线 ，则切线 的方程为__________.
【答案】【分析】根据题意可知点 在圆 上，结合切线性质结合直线的点斜式运算求解.
【详解】圆 的圆心 ，
∵ ，则点 在圆 上，即点 为切点，
则圆心到切点连线的斜率 ，可得切线 的斜率 ，
故切线 的方程 ，即 .
故答案为： .
变式1．（2023·全国·高三专题练习）经过点 且与圆 相切的直线方程为
__________．
【答案】
【分析】根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离相等，分直线的斜率不存在和存在讨论求解.
【详解】解：圆 的标准方程为： ，
当直线的斜率不存在时，直线方程为 ，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为 ，即 ，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离相等，即 ，
化简得 ，
解得 ， ，
综上：直线方程为： ，故答案为：
变式2．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知点 在圆 上，过 作圆 的切线 ，则
的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据点在圆上，求出 ，考虑 的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离列出方程，
求出斜率和倾斜角.
【详解】由题意得 ，
当 的斜率不存在时，此时直线方程为 ，与圆 相交，不合题意，
当 的斜率存在时，设切线 的方程为 ，
则 ，解得 ，
设 的倾斜角为 ，
故 的倾斜角为 .
故选：D
变式3．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知点 ， ，经过点 作
圆 的切线与 轴交于点 ，则 ________．
【答案】
【分析】由直线与圆的位置关系作出切线，求得 ，即可得解.
【详解】如图所示，设圆心为 点，则 ，
，则点 在圆上，且 ，
由 与圆相切可得 ，所以切线方程为 ，令 ，解得 ，故 ，
所以
故答案为： .
变式4．（2023·河南开封·统考三模）已知点 ， ，经过B作圆 的切线与y
轴交于点P，则 ______．
【答案】
【分析】由直线与圆的位置关系作出切线，求得 ，再用两角和与差的正切公式即可得结果.
【详解】如图所示，设圆心为C点，则 ，
，则点 在圆上，且 ，
由 与圆相切可得： ，则 ， ，
则 ，故 ，则 ，
从而可得 ,
故答案为： .变式5．（2023秋·高二课时练习）从圆 外一点 向这个圆作两条切线，则两切
线夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】根据锐角三角函数，结合二倍角公式即可求解.
【详解】由 得 ，所以圆心为 ，半径为 ，设切点分别为
,连接 ,则 为两切线的夹角，
由于 ,所以 ,
由二倍角公式可得 ，
故选:B
变式6．（2023秋·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知圆 ， 为过
的圆的切线，A为 上任一点，过A作圆 的切线AP，AQ，切点分别是P和Q，则四边形
APNQ的面积最小值是__________．
【答案】 /
【分析】求出直线 的方程，再根据圆的切线长定理求出四边形面积的函数关系，借助点到直线距离求出最小值作答.
【详解】依题意，直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，即 ，圆 的圆心 ，半径 ，
因为 为圆 的切线，则 ，四边形 的面积：
又 到 的距离 ，于是 ，
因此 ，
所以四边形APNQ的面积最小值为 .
故答案为：
（二）过圆外一点的切线方程
例5．（2023秋·福建莆田·高二校联考期末）求圆 在点 处的切线方程.
【答案】【分析】根据点 在圆 上，求得可得 ，得到切线斜率 ，结合直线的点斜式方程，
即可求解.
【详解】由圆的方程 ，又由点 在圆 上，
可得 ，所以切线斜率 ，
所以切线方程为 ，即 .
变式1．（2023秋·北京·高二北京一七一中校考阶段练习）过点 的圆 的切线方程
为 _________________．
【答案】 或
【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解．
【详解】当切线的斜率不存在时，
切线的方程为 ，圆心 到该直线的距离等于半径1，符合题意，
当切线的斜率存在时，
设过点 的切线方程为 ，即 ，
∵圆心到直线 的距离等于半径，
∴ ，解得 ，
∴切线方程为 ，
综上所述，切线方程为 或 ．
故答案为： 或 ．
变式2．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）在平面直角坐标系中，圆 过点 ， ，
且圆心 在 上．
(1)求圆 的方程；(2)若已知点 ，过点 作圆 的切线，求切线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，求出 的中垂线方程，与直线 联立，可得圆心 的坐标，求出圆
的半径，即可得答案；
（2）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案．
【详解】（1）因为圆 过 ，则 的中垂线过圆心 ，
设 的中点为 ，则 ，
因为 ，所以 的中垂线方程为 ，即 ，
又圆心在 ，
联立 ，解得 ，
因此圆心 ，半径 ，
所以圆 的方程为 .
.
（2）因为 ，所以 在圆 外，
过 作圆 的切线，
若切线斜率不存在时，则切线方程为 ，满足与圆 相切，
若切线斜率存在时，设切线方程 ，即 ，则 ，解得 ，
所以切线方程为 ，即 .
综上：切线方程为 或 .
变式3．（2023秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知点 ，圆O： ，则
过点P与圆O相切的直线有 _____条；切线方程为 _____.
【答案】 2 或
【分析】根据给定条件，确定点P与圆O的位置关系即可作答.
【详解】依题意， ，即点P在圆O外，所以过点P与圆O相切的直线有2条；
显然圆心 到直线 的距离为圆O的半径2，即直线 为圆O的一条切线，
过点P的圆O的切线斜率存在时，设方程为 ，即 ，
由 ，解得 ，则切线方程为 ，
所以所求切线方程为 或 .
故答案为：2； 或
变式4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆 和圆 ，则过点且与 都相切的直线方程为__________.（写出一条即可）
【答案】 或 （写出一条即可）
【分析】由直线与圆的位置关系通过几何法计算即可.
【详解】若过M的切线斜率不存在，即为 ，此时显然与两圆都相切；
若过M的切线斜率存在，不妨设为 ，则 到 的距离分别为
，
即 .
综上过M与两圆都相切的直线为： 或
故答案为： 或 （写出一个即可）
变式5．（2023秋·高二单元测试）若 在圆 上运动，则 的最大值为___.
【答案】
【分析】 表示 两点所在直线的斜率，则当直线与圆相切时，斜率取得最值，求出过点
的切线的斜率，即可得解.
【详解】 表示 两点所在直线的斜率，
设 两点所在直线的方程为 ，即 ，
如图，当直线与圆相切时，斜率取得最值，圆 的圆心为 ，半径为 ，
当圆 与直线 相切时，
圆心 到直线 的距离 ，解得 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知 为圆C： 上任意一点，且点
．
（1）求 的最大值和最小值．
（2）求 的最大值和最小值．
（3）求 的最大值和最小值．
【答案】【小问1】最大值为 ，最小值为
【小问2】最大值为 ，最小值为
【小问3】最大值为9，最小值为1
【分析】（1）利用图形及点与圆的关系即可得结果；
（2）利用图形将问题转化为斜率最值即可；（3）利用图形将问题转化为直线与圆的位置关系；
【详解】（1）圆C： ，如图所示，连接QC交圆C于AB两点，
当M与A重合时 取得最小值，
即 ，
与B重合时 取得最大值即 ，故最大值为 ，最小值为 ；
（2）易知 ，由图形知当 与圆C相切时取得最值，如图所示.
可设 ，则C到其距离为 ，解得 ，
故最大值为 ，最小值为
（3）设 ，如图所示， 即过点M的直线 的截距，如图所示，当该直线与圆相切时截距取
得最值.圆心C到该直线的距离为 ，所以 或9，故最大值为9，最小值为1.变式7．（2023春·河北·高二校联考期末）过直线 上一点向圆O： 作两条切线，设两
切线所成的最大角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 是直线 的动点，由题意可得 是圆心 到直线的距离时，两切线所成的角 最
大，计算可得 ．
【详解】由圆 ，可得圆心为 ，半径为 ，
设 是直线 的动点，自 向圆作切线，
当 长最短时，两切线所成的角 最大，
即 是圆心 到直线的距离时，两切线所成的角 最大，
由点到直线的距离公式可得 ，
， ， ，
．
故选：C．
变式8．（2023·北京大兴·校考三模）若点 是圆 上的动点，直线 与 轴、
轴分别相交于 ， 两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】作出图形，分析可知当直线 与圆 相切，且切点位于 轴下方时， 取最小值，求出
、 的大小，可求得 的最小值．
【详解】如下图所示：
直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，故 ，
圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
易知直线 交 轴于点 ，所以 ，
由图可知，当直线 与圆 相切，且切点位于 轴下方时， 取最小值，
由圆的几何性质可知 ，且 ，则 ，
故 ．
故选：A
（三）与切线长有关的问题
例6．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）由直线 上的点向圆
引切线，则切线长的最小值为______.
【答案】
【分析】切点与圆心的连线垂直切线，利用勾股定理，切线段长转化为直线上点与圆心连线和半径关系，
求圆心与直线上点距离的最小值，即可求解.
【详解】圆 的圆心为 ，在直线 上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接 ．
在 中， ．要使 最小，则 应最小．
又当PC与直线垂直时， 最小，其最小值为 ．
故 的最小值为 ．
故答案为： .
变式1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）由直线 上一点 向圆
引切线，则切线长的最小值为______．
【答案】
【分析】设过点 的切线与圆 相切于点 ，分析可知当 与直线 垂直时， 取最小值，
再利用勾股定理可求得切线长的最小值.
【详解】设过点 的切线与圆 相切于点 ，连接 ，则 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，则 ，当 与直线 垂直时， 取最小值，且最小值为 ，
所以， ，即切线长的最小值为 .
故答案为： .
变式2．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知圆 ，直线 上动点 ，过点
作圆 的一条切线，切点为 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】首先得出切线长 的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可.
【详解】圆 ： 中，圆心 ，半径
设 ，则 ，
则 ,
当 时， ，
故选：C
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知 是直线 上的动点， ， 是圆
的两条切线， ， 是切点．求四边形 面积的最小值.
【答案】
【分析】连接 ，设 点坐标为 ，则 ，问题转化为求 的最小值，
再由勾股定理得到当 最小时， 取最小值，利用距离公式及二次函数的性质计算可得.【详解】圆 即圆 ，所以圆心 ，半径 ，
连接 ，由 点在直线 上，可设 点坐标为 ，
所以 ，
因为 ，所以当 最小时， 取最小值．
因为 ．
所以当 时， ．所以 ，
即四边形 面积的最小值为 ．
（四）切线的应用
例7．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）若直线 ，与
相切，则 最大值为（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【分析】由条件可得 ，然后设 ，由三角函数的知识可得答案.
【详解】 的圆心为 ，半径为 ，因为直线 ，与 相切，
所以 ，即 ，
所以可设 ，
所以 ，其中 ，
故选：B
变式1．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）若点 是圆 上的任一点，直线
与 轴、 轴分别相交于 、 两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出图形，分析可知当直线 与圆 相切，且切点位于 轴下方时， 取最小值，求出
、 的大小，可求得 的最小值.
【详解】如下图所示：
直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，故 ，
圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
易知直线 交 轴于点 ，所以， ，
由图可知，当直线 与圆 相切，且切点位于 轴下方时， 取最小值，
由圆的几何性质可知 ，且 ，则 ，故 .
故选：A.
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C： ，若直线 上总存在点P，使
得过点P的圆C的两条切线夹角为 ，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】C
【分析】根据切线夹角分析出 ，由圆心到直线的距离不大于4列出不等式求解可得．
【详解】设两切点为 ，则 ， ，所以 ,
因此只要直线 上存在点 ，使得 即可满足题意．
圆心 ，所以圆心到直线的距离 ，解得 或 ．
故选：C．
变式3．（2023春·江西·高二临川一中校联考阶段练习）已知圆 ，直线 的方程为
，若在直线 上存在点 ，过点 作圆 的切线 ，切点分别为点 ，使得 为直
角，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由圆的对称性及切线的性质进行转化，将问题转化为点到直线的距离求解.
【详解】连接 ，如图，则由圆的对称性及切线的性质，可得四边形 为正方形，
又 ，
所以点 到直线 的距离必须小于或等于 ，
即 ，所以 ，
故选：D.
考点四：圆的弦长问题
（一）求圆的弦长问题
例8．（2023秋·高二课时练习）过三点 的圆交于 轴于 两点，则
＝（ ）
A． B．8 C． D．10
【答案】C
【分析】由题意可得 ，则 为直角三角形，所以可得圆心为 的中点，半径为 ，从
而可求出圆的方程，则可求出圆与 轴的交点，进而可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 为直角三角形，
所以过三点 的圆的圆心 ，半径为 ，
所以过三点 的圆的方程为 ，
令 ，则 ，得 ，
所以 ，
故选：C.
变式1．（2023春·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末）已知直线 ：与圆
交于 两点，则 ____________.
【答案】
【分析】根据题意，利用圆的弦长公式，准确计算，即可求解.
【详解】由圆 ，可得圆心坐标为 ，半径为 ，
又由圆心 到直线 的距离为 ，
根据圆的弦长公式，可得 .
故答案为： .
变式2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）直线 与圆
交于两点 ，则弦长 的最小值是___________.
【答案】
【分析】先把圆 的方程化成标准形式，从而得出圆心坐标和半径，再通过直线方程得出直线过定点，发
现定点在圆的内部，从而根据圆的有关知识知：当定点是弦的中点时，弦长最短，从而求出弦长的最小值.【详解】圆 化成标准形式为圆 ，
圆心 ，半径 ，
直线 过定点 ，并在圆 内，
最短时，点 为弦 的中点，即 时，
所以 .
故答案为： .
变式3．（2023秋·福建宁德·高二统考期中）已知 ，圆 ，圆 ，
若直线 过点 且与圆 相切，则直线 被圆 所截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解即可.
【详解】设直线 的方程为 ，
由直线与圆 相切，则 ，
解得 ，即 ，
即直线 的方程为 ，
又圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆 圆心到直线距离为 ，
则直线 被圆 所截弦长为 .
故选：A（二）已知圆的弦长求参数
例9．（2023春·上海黄浦·高二统考期末）设直线 与圆 相交所得弦长为 ，
则 ______；
【答案】
【分析】利用点线距离公式与圆的弦长公式即可得解.
【详解】因为圆 的圆心为 ，半径为 ，
则圆心 到直线 ，即 的距离 ，
由圆的弦长公式 ，即 ，得 ，
所以 ，解得 ，
经检验， 满足题意，所以 .
故答案为： .
变式1．（2023秋·高一单元测试）在平面直角坐标系 中，已知圆 的圆心在直线 上，且圆
与直线 相切于点 .
(1)求圆 的方程；
(2)过坐标原点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程.
【答案】(1) ；
(2) 或 .
【分析】（1）求出过点 且与直线 垂直的直线方程，与 联立求出圆心 ，根据
两点间的距离求出半径，即可得圆 的方程；（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过原点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的
方程.
【详解】（1）过点 且与直线 垂直的直线方程为 ，
联立 ，解得 ，所以 ,
所以圆 的半径为 ,
所以圆 的方程为 .
（2）由（1）可知圆 的方程为 ，
因为直线 被圆 截得的弦长为 ，
所以 到直线 的距离为 ，
若直线 的斜率不存在，则方程为 ，此时圆心到直线的距离为 ，不符合题意；
若直线 的斜率存在，设方程为 ，
则 ,即 ,解得 或 ,
所以直线 的方程为 或 .变式2．（2023秋·高一单元测试）已知直线l： 被圆C： 所截得的弦长为
整数，则满足条件的直线l有______条.
【答案】9
【分析】根据题意可知直线l恒过定点 ，分别求得直线被圆截得弦长的最大值和最小值，利用对称性
即可求得满足条件的直线l共有9条.
【详解】将直线l的方程整理可得 ，易知直线恒过定点 ；
圆心 ，半径 ；
所以当直线过圆心时弦长取最大值，此时弦长为直径 ；
易知，当圆心 与 的连线与直线l垂直时，弦长最小，如下图所示；
此时弦长为 ，所以截得的弦长为整数可取 ；
由对称性可知，当弦长为 时，各对应两条，共8条，
当弦长为8时，只有直径1条，
所以满足条件的直线l共有9条.
故答案为：9变式3．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若直线 与圆 ： 相交
于 ， 两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出直线过的定点并判断与圆的位置关系，再求出垂直于经过该定点的圆的直径的弦长作答.
【详解】直线 ，即 恒过定点 ，
而 ，即点 在圆 内，
因此当且仅当 时， 最小，
而圆 的圆心 ，半径 ， ，
所以 .
故选：B
变式4．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）设 、 为正数，若直线 被
圆 截得弦长为 ，则 的最小值为__________.
【答案】
【分析】分析可知，直线 过圆心，可得出 ，再将代数式 与 相乘，展开
后利用基本不等式可求得 的最小值.【详解】由 可得 ，故圆 的直径是 ，
所以直线 过圆心 ，即 ，
又 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立.
因此， 的最小值为 .
故答案为： .
变式5．（2023秋·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期末）已知过点 的直线 与圆心为 的圆
相交于 ， 两点，当 面积最大时，直线 的方程为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】A
【分析】由三角形面积公式结合正弦函数的性质得出当 时 面积最大，设出直线 的方程，
确定圆心到直线 的距离，列出方程，求解得出直线 的方程.
【详解】 的面积 ，当仅当 时“ ”成立，此时点 到
直线 的距离为 .
当直线 的斜率不存在时，即 ： ，此时圆心到直线 的距离为 ，不满足题意；
当直线 的斜率存在时，设 ： ，则 ，解得 ，所以方程为 .
故选：A
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由三角形面积公式得出当 时 面积最大，进而由距
离公式得出方程.（三）圆的中点弦问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）若点 为圆 的弦 的中点，则直线
的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出直线CM的斜率 ，由垂径定理得到直线AB的斜率 ，进而利用点斜式求出直
线 的方程，化为一般式，得到答案.
【详解】 的圆心 ，则直线CM的斜率 ，
由垂径定理可得：直线 与 垂直，
故直线AB的斜率 ，
则直线 的方程为 ，
即 .
故选：C
变式1．（2023秋·辽宁锦州·高二校考期中）若 为圆 的弦 的中点，则直线 的
方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据垂径定理得到 ，根据两直线垂直时斜率的关系得到 ，然后利用点斜式写直线
方程，最后整理为一般式即可.
【详解】 可整理为 ，所以圆心为 ，根据垂径定理可得 ，
，所以 ，直线AB的方程为：y-1=x+2整理得x-y+3=0.故选：C.
变式2．（2023秋·北京·高二人大附中校考阶段练习）圆 的一条弦以点 为中点，
则该弦的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】配方法将一般式方程整理成标准方程，确定圆心和半径之后根据弦长公式可求.
【详解】将 配方得 ,
圆心为 ，
所以弦长为 .
故选：B.
变式3．（2023秋·天津河东·高二统考期中）已知圆 ，直线 过点 且与圆 交于
两点，若 为线段 的中点， 为坐标原点，则 的面积为__________．
【答案】6
【分析】根据题意可得直线 的方程为 ，根据垂径定理可求 ，再求点 到直线
的距离 ，计算 面积．
【详解】由已知点 ，所以 ．
因为 为线段 的中点，所以 ，
所以 ，所以直线 的方程为 ，即 ．
设点 到直线 的距离为 ，则 ，所以 ．
设点 到直线 的距离为 ，则 ，
则 的面积
故答案为：6．
考点五：直线与圆的综合问题
例11．【多选】（2023·湖北武汉·统考三模）已知圆 ： ，直线 ： ，则（ ）
A．直线 在y轴上的截距为1
B．直线 的倾斜角为
C．直线 与圆 有2个交点
D．圆 上的点到直线 的最大距离为
【答案】ABC
【分析】根据截距，倾斜角的定义，判断AB；根据直线与圆的位置关系，即可判断CD.
【详解】A.当 时， ，直线 在y轴上的截距为1，故A正确；
B.直线 的斜率为1，设直线 的倾斜角为 ， ， ，所以直线 的倾斜角为 ，故B正确；
C.圆心到直线的距离 ，所以直线与圆相交，所以直线 与圆 有2个交点，故C正确；
D.根据C可知，圆 上的点到直线 的最大距离为 ，故D错误.
故选：ABC
变式1．【多选】（2023春·广西河池·高二校联考阶段练习）已知直线 与圆
，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 恒过定点B．圆 的圆心坐标为
C．存在实数 ，使得直线 与圆 相切
D．若 ，直线 被圆 截得的弦长为4
【答案】ABD
【分析】A选项，将直线方程变形后得到 ，求出恒过的定点；B选项，将圆的一般式化为标准
式方程，得到圆心坐标；C选项，令圆心到直线l的距离等于半径，列出方程，结合根的判别式判断出结
论；D选项，当 时，求出圆心在直线l上，故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D正确.
【详解】 变形为 ，故恒过定点 正确；
变形为 ，圆心坐标为 ，B正确；
令圆心 到直线 的距离 ，
整理得： ，由 可得，方程无解，
故不存在实数 ，使得直线 与圆 相切，C错误；
若 ，直线方程为 ，圆心 在直线 上，
故直线 被圆 截得的弦长为直径4，D正确．
故选：ABD．
变式2．【多选】（2023春·湖北孝感·高二校联考阶段练习）已知圆 ，直线
，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l过定点
B．当 时，直线l与圆C相切
C．当 时，过直线l上一点P向圆C作切线，切点为Q，则 的最小值为
D．若圆C上只有一个点到直线l的距离为1，则【答案】BC
【分析】由已知可得直线 过定点 ,可判断A；当 时，求得圆心到直线的距离可判断 B；先求|
PC|的最小值，再利用勾股定理可求|PQ|的最小值判断C；由圆心到直线的距离为3可求得 判断D.
【详解】对于A，由直线 ，得 ，
直线过定点 ，故A错误；
对于B，当 时，直线 的方程为 ，
圆 的圆心 ，半径为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
直线 与圆 相切，故B正确；
对于C，当 时，直线 的方程为 ，
因为 ，
又 ，
的最小值为 ，故C正确；
对于D， 若圆 上只有一个点到直线 的距离为1，
圆心 到直线 的距离为 ，
，解得 ，故D错误.
故选：BC
变式3．【多选】（2023秋·广东揭阳·高二统考期末）已知圆 ，直线 ，
P为直线 上的动点，过点P作圆M的切线 、 ，切点为A、B，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形 面积的最小值为4 B．四边形 面积的最大值为8C．当 最大时， D．当 最大时，直线AB的方程为
【答案】AD
【分析】分析可知当 时，四边形 面积最小，且 最大，利用三角形的面积公式可判断
A、B选项，分析出四边形 为正方形，利用正方形的几何性质可判断C、D选项.
【详解】如下图所示：
由圆的几何性质可得 ， ，圆 ，半径为2，
对于A，由切线长定理可得 ，又因为 ， ，所以， ，
所以四边形 的面积 ，
因为 ，当 时， 取最小值，
且 ，所以，四边形 的面积的最小值为 ，故A正确；
对于B，因为 无最大值，即 无最大值，故四边形 面积无最大值，故B错误；
对于C，因为 为锐角， ，且 ，
故当 最小时， 最大，此时 最大，此时 ，故C错误；
对于D，由上可知，当 最大时， 且 ，
故四边形 为正方形，且有 ，直线 ， ，则 的方程为 ，联立 ，可得 ，即点 ，
由正方形的几何性质可知，直线 过线段 的中点 ，此时直线 的方程为 ，故D正确．
故选：AD．
变式4．【多选】（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）圆 ： ，直线
，点 在圆 上，点 在直线l上，则下列结论正确的有（ ）
A．直线 与圆 相交
B． 的最小值是1
C．若 到直线 的距离为2，则点 有2个
D．从 点向圆 引切线，则切线段的最小值是
【答案】BCD
【分析】确定圆心与半径，求圆心到直线的距离，根据直线与圆位置关系即可判断A；由圆心到直线的距
离，即可得圆上的点到直线距离的最大和最小值，可判断B；设直线m与l平行，且m到l的距离为2，判
断此时符合的直线与圆的位置关系，即可判断C；根据切线长的几何性质即可判断D.
【详解】对于A，由圆 ： ，得圆 的标准方程为 ，圆心为
，半径 ，
又圆心 到直线 的距离 ，所以直线与圆相离，故A错误；
对于B，圆心 到直线 的距离 ，所以 的最小值为 ，故B正确；
对于C，设直线m与l平行，且m到l的距离为2.则可设 ，由 ，解得：
或 .当 时，直线 ，圆心 到直线 的距离 ，所以
直线m与圆C相交，有两个交点，且这两个点到直线l的距离为2；
当 时，直线 ，圆心 到直线 的距离 ，
所以直线 与圆 相离，不合题意.
综上所述，圆上到直线 的距离为2的点有且只有2个，故C正确
对于D，过 作 与圆 相切于 ，连结 .
则切线长 要使切线长最小，只需 最小.
又点 到圆心 的最小值为圆心到直线的距离 ，由勾股定理得切线长的最小值为 ，故D
正确.
故选：BCD.
变式5．【多选】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知直线 ： 与圆 ：
．则下列说法正确的是（ ）
A．直线 过定点
B．直线 与圆 相离
C．圆心 到直线 距离的最大值是
D．直线 被圆 截得的弦长最小值为
【答案】AD【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可.
【详解】对于A，因为 ： ，即 ，
令 ，即 ，得 ，所以直线 过定点 ，故A正确；
对于B，因为 ，
所以定点 在圆 ： 内部，所以直线 与圆 相交，故B错误；
对于C，因为圆 ： ，可化为 ，圆心 ，
当圆心 与定点 的连线垂直于直线 时，圆心 到直线 距离取得最大值，
此时其值为 ，故C错误；
对于D，由弦长公式 可知，当圆心 到直线 距离最大时，弦长取得最小值，
所以直线 被圆 截得的弦长的最小值为 ，故D正确.
故选：AD.
考点六：直线与圆方程的应用
例12．（2023春·广东广州·高二统考开学考试）如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB
为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．早季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到
_________米．【答案】8
【分析】画出圆拱图示意图，构建直角坐标系，列出雨季和旱季时水位方程即可求出圆的半径，旱季时水
面跨度.
【详解】
画出圆拱图示意图，设圆半径为 ,雨季时水位方程 ，解得 ；
旱季时水位方程 ，解得 ，所以此时水面跨度为 .
所以答案为 8.
变式1．（2023春·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该
圆弧拱跨度 米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱 米.
(1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程;
(2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）．
【答案】(1)
(2)3.11米．
【分析】（1）建立如图所示的直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为
，进而待定系数法求解即可；（2）点 的横坐标 代入这个圆的方程并解方程即可得答案.
【详解】（1）解：建立如图所示的坐标系，
设该圆拱所在圆的方程为 ，
由于圆心在 轴上，所以 ，那么方程即为 .
因为 都在圆上，
所以它们的坐标 都是这个圆的方程的解，
于是有方程组 ，解得
所以，这个圆的方程是 ．
（2）解：由题知 点的横坐标为 .
所以，把点 的横坐标 代入这个圆的方程，得 ，
所以 ，
因为 的纵坐标 ，故应取正值，
所以， （米）．
所以，支柱 的高度约为3.11米.
变式2．（2023秋·山西晋中·高二统考期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、
宽分别为 、 ）和圆弧构成，截面总高度为 ，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧
道顶部在坚直方向上高度之差至少要有 米，已知行车道总宽度 .(1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；
(2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？
【答案】(1)答案见解析
(2) 米
【分析】（1）以抛物线的顶点 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向建立平面直角坐标系，分析可知
点 在圆上，求出 的等式，解之即可；
（2）将 的方程代入圆的方程，求出 值，结合题意可求得车辆通过隧道的限制高度.
【详解】（1）解：以抛物线的顶点 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向建立如下图所示的平面直角
坐标系，
故圆心在 轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为
易知，点 在圆上，将 的坐标代入圆的一般方程得 ，
则该圆弧所在圆的一般方程为 .
（2）解：令 代入圆的方程得 ，得 或 （舍），
由于隧道的总高度为 米，且 （米），
因此，车辆通过隧道的限制高度为 米.考点七：韦达定理及其应用
例13．（2023春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考开学考试）已知圆 经过点 ，
及 .经过坐标原点 的斜率为 的直线 与圆 交于 ， 两点.
(1)求圆 的标准方程；
(2)已知点 ，若 的面积为 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设圆 的方程为： ，由圆 过 ， 及 列方程可得
，解方程即可得出答案.
（2）设 ， ，直线 为 ，与圆 ： 联立,结合韦达定理表示出
的面积，解方程即可求出 的值.
【详解】（1）设圆 的方程为： ，由圆 过 ， 及 .
∴ ，可得 ，
∴圆 的方程为： ，其标准方程为 ；
（2）设 ， ，直线 为 ，
与圆 ： 联立得： ，
∴ ，则 ， .∴ .
整理得 ，解得 ，所以 .
变式1．（2023秋·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习）已知点 ， ，曲线C任
意一点P满足 ．
(1)求曲线C的方程；
(2)设直线 与圆C交于A、B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，
求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【分析】(1)设 ，代入 即可得到曲线C的方程.
(2)由以AB为直径的圆过原点可以得到 ，利用韦达定理法即可求解.
【详解】（1）设 ，因为 ，故 ，
即 ，整理可得
所以曲线C的方程为 .
（2）设
联立 整理得
得 ①
根据韦达定理得：由以AB为直径的圆过原点，得到
所以
解得 满足①式
所以存在实数 ，使得以AB为直径的圆过原点.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
变式2．（2023秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）已知圆 经过 ， 两点，且圆心 在直线
上．
(1)求圆 的方程；
(2)若直线 与圆 交于点 ， ，且以线段 为直径的圆经过坐标原点，求直线 的方程．
【答案】(1) ；
(2) 或 ．
【分析】（1）先求得线段 的垂直平分线方程，与直线 联立，求得圆心即可；
（2）将 的方程 代入圆 的方程，结合韦达定理，由 求解.
【详解】（1）解： ， ，线段 的中点 ，斜率 ，
则 的垂直平分线方程为 ，即 ．
解方程组 得
圆心 ，半径 ．
故圆 的方程为 ．
（2）将 的方程 代入圆 的方程，得 ．
设 ， ，
则 ， ．
故 ，
依题意知 ，则 ，即 ，
于是 ，即 ．
或 ，经检验，满足 ．
故直线 的方程为 或 ．
变式3．（2023秋·高二单元测试）已知方程 ， ．
(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
(2)若（1）中的圆与直线 相交于M，N两点，且 （O为坐标原点），求
m的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用配方法，结合圆的标准方程特征进行求解即可；
（2）根据平面向量数量积的运算性质和坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数进行求解即可.
【详解】（1） ，
因为该方程表示圆，所以有 ，
因此m的取值范围为 ；
（2） 代入方程 中，
化简，得 ，
则有 ，
设 ，
则有 ，
，
，
所以m的值
变式4．（2023秋·辽宁大连·高三校联考阶段练习）圆 ．
(1)求证：不论 为何值，圆 必过两定点；
(2)已知 ，圆 与 轴相交于两点 ， （点 在点 的左侧）．过点 任作一条与 轴不重合的直
线与圆 相交于两点 ， ，问：是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出实数
的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)存在； .
【分析】（1）将圆 的方程整理为 ，解方程组 即可得圆 必过
两定点；
（2）令 可得 ， ，设 ， ，直线 的方程为 代入圆
可得 ， ，由 求得 的值即可求解.
(1)
由圆 可得 ，
联立方程组： 可得： ， 或 ，
则圆恒过定点 和 ．
(2)
因为圆
将 代入，可得 ，
变形得 ，所以 或 ，
因为 ，点 在点 的左侧，所以 ， ，
因为直线 的倾斜角不为 ，所以可设直线 的方程为 ，
代入圆 的方程可得 ，整理为： ，
因为直线上点 在圆 内部，所以该直线与圆必然有两个交点，
并设两交点坐标为 ， ，
由韦达定理可得 ， ，因为直线 的方程为 ，
所以 ， ，若 ，
则直线 与直线 关于 轴对称，所以 ，
所以 ，整理得： ，
将 ， ，代入，可得 ，
即 对任意 恒成立，所以 ，
所以存在 ，使得 ．
考点八：与圆有关的定点、定值问题
例14．（2023秋·广西桂林·高二广西师范大学附属中学校考阶段练习）过点 的直线 与圆
交于 两点， 为圆 与 轴正半轴的交点．
(1)若 ，求直线 的方程；
(2)证明：直线 的斜率之和为定值．
【答案】(1) 或
(2)证明见解析
【分析】(1)首先考虑斜率不存在是否满足题意，再考虑斜率存在时，假设直线方程，结合垂径定理列方程
求解斜率即可；
(2)由题设得到点 坐标,假设直线方程并联立圆的方程，结合韦达定理写出 的表达式，化简即可.
【详解】（1）①直线 垂直于 轴时，可得出直线 为 ，
此时直线 与圆 的两交点距离 为 ，满足题意；
②当直线 不垂直 轴时，设直线方程为 ，
因为 ，所以半弦长为 ，由勾股定理得弦心距 ，又有点到直线的距离公式可得弦心距 ，解得 ，
此时直线方程为 ，
所以满足题设条件的直线 的方程为 或
（2）由题设容易得到点 坐标 ，
设直线方程为 ，联立圆的方程，可得关于 的一元二次方程：
，
设点 ， ，由根与系数的关系（韦达定理）可得 ， ，
的斜率 ，
的斜率 ，
则
，
所以 与 的斜率之和为定值，从而结论得证．
变式1．（2023秋·福建宁德·高二统考期中）已知圆 过点 ，且与直线 相切于点
．
(1)求圆 的标准方程；
(2)若 ，点 在圆 上运动，证明： 为定值．【答案】(1)
(2)证明过程见详解
【分析】（1）设圆心 ，半径为 ，根据题意列出方程，求出圆心和半径，进而求出圆的方程；
（2）先将圆的标准方程化为一般方程，设点 ，再根据题意分别求出 ， ，进而即可证明结
论．
【详解】（1）设圆心 ，半径为 ，
因为点 ， ，所以直线 的中垂线方程是 ，
过点 且与直线 垂直的直线方程是 ，
由 ，解得 ，
圆心 ， ，
圆 的标准方程是 ．
（2）证明：由（1）知圆的标准方程为 ，
则其一般方程为 ，即 ，
设点 ，且点 在圆 上运动，
则 ，
，
于是 ，
为定值．变式2．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知过点 的直线l与圆 交于
A，B两点，M为 的中点，直线l与直线 相交于点N．
(1)当 时，求直线l的方程；
(2)证明： 为定值．
【答案】(1) 或
(2)证明见解析
【分析】（1）由弦长公式结合距离公式得出直线l的方程；
（2）分别联立直线 和圆、直线 的方程，利用韦达定理结合向量的运算求解即可.
【详解】（1）圆的方程可化为 ，
因为 ，所以点P在圆外．
当 轴时， ，不满足 ，即 的斜率存在.
设直线l的方程为 ，圆心 到直线 的距离为 .
因为 ，所以 ，即 .
整理得 ，解得 或 .
故直线l的方程为 或 ．
（2）证明：当直线l的斜率不存在时，直线 ，
联立 得出 ，不妨设
则 ，联立 ，可得 .则 ， .
则 .
当直线l的斜率存在时，设为 .
联立 ，得 ．
设 ，则 ,
，即 ，
，
．
设 ，则 ，整理得 .
因为 ， ，
所以
故 为定值.
例15．（2023秋·江苏连云港·高二统考期中）已知圆 ，直线 与圆O交于
A，B两点．
(1)求 ；
(2)设过点 的直线交圆O于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点S满足．证明：直线SN过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点为
【分析】（1）先求圆心到直线的距离，再根据勾股定理即可求得弦长；
（2）分直线 的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合根与系数的关系，表示出直线SN的方程，从而
确定定点.
【详解】（1）易知圆心 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离 ，
所以弦长 .
（2）当直线 的斜率 不存在，即 轴时，
直线 的方程为 ，代入圆方程得： 或 ，
设 ， ，则直线 方程为 ，
代入直线 得： ，
故 ，因为 ，
所以 是 的中点，得 ，
所以 ，
所以直线 的方程为： ，
即 ，直线过点 .
当直线 的斜率 存在时，如图所示：设直线 方程为： ，即 ，
设 ，
联立 得： ，
，解得 或 ，
由韦达定理得： ，
所以 ③，
④，且 ⑤，
将 代入直线 得： ，
所以 ， 是 的中点，得 ，
所以 ，
所以直线 的方程为： ，
将点 的坐标代入并整理，化简得： ，
将①③④⑤代入上式得：
，
显然成立.
综上可得：直线 过定点 .
【点睛】(1)解答直线与圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借
助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
变式1．（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知圆M方程为 ，直线 的方
程为 ，点 在直线 上，过P作圆M的切线 、 ，切点为A、B．
(1)若P点坐标为 ，求
(2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点 的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是，
【分析】（1）利用特殊角的三角函数和对称性即可得到答案；
（2）设 ，计算出 中点坐标，写出圆的方程，整理，利用方程恒成立得到方程组，解出即可.
【详解】（1）因为点 坐标为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ,故 .
（2）设 的中点 ，因为 为圆 的切线，
所以经过 三点的圆是以 为圆心， 为半径的圆，故其方程为
化简得 ，
由 ，解得 （舍）或
所以经过 三点的圆经过异于点 的定点 .
变式2．（2023春·四川广安·高二广安二中校考阶段练习）已知在平面直角坐标系xOy中， ，
，平面内动点P满足 ．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)点P轨迹记为曲线 ，若C，D是曲线 与x轴的交点，E为直线l：x＝4上的动点，直线CE，DE与曲
线 的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求点Q的坐标．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】(1) 设点 为曲线上任意一点，利用两点间距离公式表示条件关系，化简等式可得轨迹方程；
(2) 设 ，联立直线 的方程和曲线 的方程求点 的坐标，联立直线 的方程和曲线 的
方程求点 的坐标，求直线 的方程，确定其与 轴的交点坐标即可.
【详解】（1）设点 为曲线上任意一点，因为 ， ， ，
则 ，
化简得 ．
（2）由题意得 ， ，
设 ，则直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
联立 得 ，
则 ，
即 ， ，
所以
联立 得 ，
则 ，即 ， ，
所以
当 时，直线 的斜率 ，
则直线 的方程为 ，
即 ，所以 ，当 时，直线 垂直于 轴，方程为 ，也过定点 ．
综上，直线 恒过定点 ．
【点睛】本题为直线与圆的综合问题，解决的关键在于联立方程组求出交点坐标，对学生的运算能力要求
较高.
1．（2023·全国·统考高考真题）已知实数 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【分析】法一：令 ，利用判别式法即可；法二：通过整理得 ，利用三角换元法
即可，法三：整理出圆的方程，设 ，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【详解】法一：令 ，则 ，
代入原式化简得 ，
因为存在实数 ，则 ，即 ，
化简得 ，解得 ，故 的最大值是 ，
法二： ，整理得 ，
令 ， ，其中 ，
则 ，
，所以 ，则 ，即 时， 取得最大值 ，
法三：由 可得 ，
设 ，则圆心到直线 的距离 ，
解得
故选：C.
2．（2023·全国·统考高考真题）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则
（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，
结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得 ，利用韦达定理结
合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为 ，即 ，可得圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，
因为 ，则 ，可得 ，
则 ，
，
即 为钝角，
所以 ；
法二：圆 的圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，连接 ，
可得 ，则 ，
因为
且 ，则 ，
即 ，解得 ，
即 为钝角，则 ，
且 为锐角，所以 ；
方法三：圆 的圆心 ，半径 ，
若切线斜率不存在，则切线方程为 ，则圆心到切点的距离 ，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为 ，即 ，
则 ，整理得 ，且设两切线斜率分别为 ，则 ，
可得 ，
所以 ，即 ，可得 ，
则 ，
且 ，则 ，解得 .
故选：B.
3．【多选】（2021·全国·统考高考真题）已知直线 与圆 ，点 ，则下
列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为 的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位
置关系即可得解.
【详解】圆心 到直线l的距离 ，
若点 在圆C上，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相切，故A正确；若点 在圆C内，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点 在圆C外，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点 在直线l上，则 即 ，
所以 ，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
4．（2023·全国·统考高考真题）已知直线 与 交于A，B两点，写出满足
“ 面积为 ”的m的一个值______．
【答案】 （ 中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长 ，以及点 到直线 的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点 到直线 的距离为 ，由弦长公式得 ，
所以 ，解得： 或 ，
由 ，所以 或 ，解得： 或 ．
故答案为： （ 中任意一个皆可以）．
5．（2021·天津·统考高考真题）若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则
____________．【答案】
【分析】设直线 的方程为 ，则点 ，利用直线 与圆 相切求出 的值，
求出 ，利用勾股定理可求得 .
【详解】设直线 的方程为 ，则点 ，
由于直线 与圆 相切，且圆心为 ，半径为 ，
则 ，解得 或 ，所以 ，
因为 ，故 .
故答案为： .
6．（2022·天津·统考高考真题）若直线 与圆 相交所得的弦长为 ，
则 _____．
【答案】
【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于 的等式，即可解得 的值.
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离为 ，
由勾股定理可得 ，因为 ，解得 .
故答案为： .
7．（2022·全国·统考高考真题）设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆
有公共点，则a的取值范围是________．【答案】
【分析】首先求出点 关于 对称点 的坐标，即可得到直线 的方程，根据圆心到直线的距离小于等
于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解： 关于 对称的点的坐标为 ， 在直线 上，
所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ；
圆 ，圆心 ，半径 ，
依题意圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，即 ；
故答案为：
一、单选题
1．（2023春·广西·高三统考阶段练习）若直线 是圆 的一条对称轴，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直线过圆心代入求解即可.
【详解】由题意得，圆心为 ，
因为直线 是圆 的一条对称轴，
所以直线过圆心，即 ，解得 .
故选：D2．（2023春·福建厦门·高二厦门双十中学校考阶段练习）过直线 上的一点 作圆
的两条切线 ， ，切点分别为 ，当直线 ， 关于 对称时，线段 的长为（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点 的连线垂直于直线 ，利用这一关系即可得到切
线的长.
【详解】如图所示，圆心为 ，连接 ，
因为直线 ， 关于 对称，所以 垂直于直线 ，
故 ，而 ，
所以 .
故选：C
3．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）坐标轴与圆 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先求出圆心和半径，再分别求出圆心到两坐标轴的距离与半径比较可得结论.
【详解】圆 ，即圆 ，
所以圆 ，半径 ，因为圆心 到 轴的距离为1，且 ，
所以圆与 轴相交，即与 轴有两个交点，
因为圆心 到 轴的距离为2，且等于半径，
所以圆与 轴相切于点 ，即与 轴有一个交点，
综上坐标轴与圆 有3个交点，
故选：C
4．（广东省江门市2023-2023学年高二下学期期末数学试题）若直线 与圆
相切，则 （ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【分析】求出圆的圆心和半径，再利用圆的切线性质求解作答.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
依题意， ，解得 ，
所以 .
故选：A
5．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，用数量积的坐标运算. ，转化为直线
与圆 有公共点求参数最值问题.【详解】因为 ，又 ，所以 ，所以 ，
以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系：
则 ， ，设 ，则 ，
， ，
所以 ，
设 ，即 ，
依题意直线 与圆有公共点，
所以 ，得 ，
所以 的最小值为 .
故选：A
6．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知直线 与圆 ，
过直线 上的任意一点 向圆 引切线，设切点为 ，若线段 长度的最小值为 ，则实数 的值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，则 ，可得 ，而 的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m的值.
【详解】圆 ，设 ，
则 ，则 ， ，
则 ，所以圆心 到直线 的距离是 ，
，得 ， ．
故选：A．
7．（2023春·江西九江·高二德安县第一中学校考期中）设直线 被圆 ： 所截得弦
的中点为 ，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出圆心坐标，根据圆的性质得到 ，利用垂直求出直线 的斜率，再根据点斜式可得结果.
【详解】圆 的圆心为 ，
设直线 的斜率为 ，
由已知直线 与 垂直，又 ，
所以 ，解得： ，
所以 的方程为 ，即 .
故选：D.
8．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）已知直线 与圆 相交于 ， 两点，
当 面积最大时，实数 的值为（ ）A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意作出图形，利用三角形的面积公式及点到直线的距离公式即可求解.
【详解】依题意，如图所示
则 ，
，
∴ 即 时， 面积最大，
此时圆心 到直线的距离为 ,
,解得 ，
又 ，
故选：B.
9．（2023·高二课时练习）已知从点 发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：
的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】设 是x轴上一点，根据反射光线的性质得 ，解出 值即可计算出直线斜率，
再写出点斜式方程即可.
【详解】设点 的坐标为 ，圆 的圆心坐标为 ，
设 是x轴上一点，因为反射光线恰好平分圆 的圆周，
所以反射光线经过点 ，
由反射的性质可知： ，
于是 ，所以反射光线所在的直线方程为：
，
故选：A.
二、多选题
10．（2023秋·高二单元测试）设直线 过点 ，且与圆 相切，则 的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】设斜率为 ，则直线方程为 ，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可.
【详解】依题意直线的斜率存在，设斜率为 ，则直线方程为 ，
即 ，
则圆心到直线的距离 ，解得 .
故选：BC
11．（2023秋·福建宁德·高二统考期中）已知点 在圆 上，点 分别为直线
与 轴， 轴的交点，则下列结论正确的是 （ ）A．直线 与圆 相切 B．圆 截 轴所得的弦长为
C． 的最大值为 D． 的面积的最小值为
【答案】ACD
【分析】求得圆 的圆心 ，半径 ，以及 ，根据 ，可判定A正确；由圆
的弦长公式，可判定B不正确；求得 ，得到 的最大值为 ，可判定C正确；求得圆心
到直线 的距离为 ，求得最小距离，结合面积公式，可判定D正确.
【详解】由圆 ，可得 ，可得圆心 ，半径为 ，
因为点 分别为直线 与 轴、 轴的交点，可得 ，
对于A中，因为圆心 到直线 的距离为 ，所以A正确；
对于B中，由圆 截 轴的弦长为 ，所以B不正确；
对于C中，点 在圆 上，且 ，其中 ，所以 的最大值为 ，所以C正确；
对于D中，因为圆心 到直线 的距离为 ，
则圆 上点 到直线 的最小距离为 ，
因为 ，所以 的面积的最小值为 ，所以D正确.
故选：ACD.
12．（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知圆 ，直线
，则（ ）
A．直线 与圆C相交
B．直线 过定点（2，1）
C．圆C被y轴截得的弦长为
D．圆C被直线 截得的弦长最短时，直线 的方程为x=1【答案】ACD
【分析】先考虑直线过定点，再判断该点在圆的内部，故可判断AB，利用弦长公式结合圆心到直线的距
离可判断D的正误，在圆的方程中令 后可求圆C被y轴截得的弦长，故可判断B的正误.
【详解】 可整理为 ，
令 ，则 ，故直线 过定点 ，故B错误.
因为 ，故定点 在圆的内部，故直线 与圆C相交，
故A正确.
在圆的方程中令 ，则 即 ，
故圆C被y轴截得的弦长为 ，故C正确.
因为直线 过定点 ，该定点与圆心的距离为 ，
故圆心到直线 的距离 ，
故圆C被直线 截得的弦长为 ，
当且仅当 时等号成立，此时定点与圆心连线的斜率为0，
该连线垂直于直线 ，故直线 的方程为 ，故D正确.
故选：ACD.
13．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知圆 的圆心在直线 上，且与
相切于点 ，过点 作圆 的两条互相垂直的弦 ，记线段 的中点分别为 ，
则下列结论正确的是（ ）
A．圆 的方程为 B．四边形 面积的最大值为
C．弦 的长度的取值范围为 D．直线 恒过定点【答案】ACD
【分析】利用待定系数法求出圆E的方程，判断A；根据圆的几何性质表示出四边形 面积，结合二
次函数知识求得其最大值，判断B；利用圆的几何性质可求得弦 的长度的取值范围，判断C；结合四边
形 为矩形，可判断D.
【详解】由题意可设圆心为 ，半径为 ，
故 ，解得 ，则 ，
故圆的方程为 ，A正确；
连接 ,则 ,
设 ,则 ,则 ，
故 ，
所以 ，
当 时，四边形 面积取到最大值 ，B错误；
当弦 过圆心时最长，最大值为4；
当弦 时最短，最小值为 ，
即弦 的长度的取值范围为 ，C正确；
由题意知 ， ，故四边形 为矩形，则 为矩形的对角线，二者互相平分，
而 ，故 过 的中点 ，D正确，
故选：ACD
14．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知直线l与圆 相切于点M，且分别与x轴的
正半轴、y轴的正半轴交于A，B点，则下列各选项正确的是（ ）
A． 为定值 B． 的最小值为2
C． 面积的最小值为2 D． 的最小值为
【答案】AB
【分析】由直角三角形的性质可判断A；设 ， ，利用原点到l的距离为1得
，再由基本不等式可判断C；由 ， 可得
可判断B；利用 ， 特殊值可判断D．
【详解】由直角三角形的性质得 ，故A正确；
设 ， ，则直线l的方程为 ，
原点 到l的距离为1，即 ，则 ，
又 ，则 ，
故 ，当且仅当 时取等号，故C错误；
，而 ，则 ，则 ，故 ，当且仅当 时，等号成立，故B正确；
， 显然是满足 的一组值， ， ，
则 ，故D错误．
故选：AB．
三、填空题
15．（2023秋·福建·高二校联考期中）平行于直线 且与圆 相切的直线的方程是
__________．
【答案】 或
【分析】根据平行设出直线方程，利用与圆相切可得方程.
【详解】因为切线与 平行，所以设切线为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以 ，解得 .
故答案为： 或 .
16．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）若 圆 被直线 平分，则圆 的
半径为__________.【答案】
【分析】首先根据条件确定圆心在直线上，代入求 后，即可求圆的半径.
【详解】若圆 被直线 平分，则直线过圆心，
圆 的圆心为 ，即 ，
解得： ，
则圆 ，则圆 的半径为 .
故答案为：
17．（2023春·浙江·高二校联考期末）若直线 截圆 所得弦长 ，则
的值为______.
【答案】 或
【分析】根据直线截圆的弦长公式计算.
【详解】圆心 到直线 的距离为 ，
由 得 ，解得 或 ，
故答案为： 或
18．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知点 在直线 上运动，点 是圆
上的动点，点 是圆 上的动点，则 的最大值为________．
【答案】
【分析】根据圆的性质可得 ，若求 的最大值，转化为求 的最
大值，再根据点关于线对称的性质，数形结合从而得解.
【详解】如图所示，圆 的圆心为 ，半径为3，
圆 的圆心为 ，半径为1，
可知 ，
所以 ，
若求 的最大值，转化为求 的最大值，
设 关于直线 的对称点为B，设B坐标为 ，
则 ，解得 ，故B ，
因为 ，可得 ，
当P，B，A三点共线，即P点为 时，等号成立，
所以 的最大值为 .
故答案为： .19．（2023春·湖南岳阳·高二统考期末）已知圆 ，过点 的直线被该圆所截的弦长的最小
值为______.
【答案】
【分析】设圆心为 ，直线过点 ，当直线与 所在的直线垂直时 最大，弦长最小，求解即可.
【详解】将圆的一般方程化为
设圆心为 ，直线过点 ，与圆交于 ， 两点，则 ，半径 ，
设圆心到直线的距离为 ，则弦长 ，
当直线与 所在的直线垂直时 最大，此时 最小，
这时 ，
所以最小的弦长 ，
故答案为： .
20．（2023秋·福建·高二校联考期中）设点 ，若在圆 上存在点 ，使得 ，
则 的最大值是__________．
【答案】
【分析】依题意可得圆心 到直线 的距离小于等于 ，作 ，垂足为 ，即可得到 ，从而求出 的取值范围，即可得解.
【详解】由题意知直线 与圆 有公共点，即圆心 到直线 的距离小于等于 ，如图，
作 ，垂足为 ，在直角 中，因为 ，
所以 ，
解得 ，因为点 ，所以 ，解得 ，
故 的取值范围是 ，所以 的最大值是 .
故答案为：
四、解答题
21．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）圆 经过点 ，和直线 相切，且圆心在直线
上．
(1)求圆 的方程；
(2)求圆 在 轴截得的弦长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出圆心坐标，用几何法求解圆的方程即可；
（2）利用直线与圆相交的弦长公式求解即可.【详解】（1）设圆心的坐标为 ,
则 .
化简得 ，解得 ,
所以 点坐标为 ，
半径 ，
故圆 的方程为 .
（2）圆心 到 轴的距离为 ，
所以圆 在 轴截得的弦长为 .
22．（2023秋·四川南充·高二统考期末）已知圆 ，点 ．
(1)设 ，求过点 且与 相切的直线方程；
(2)已知直线 与 相交于M、N两点，过点 作 ，垂足为 ．若
恒成立，问是否存在定点 ，使得 为定值．若存在，求出点 的坐标及 的值；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1) 和 ；
(2)存在；定点 ， 为定值 .
【分析】（1）由题可知过点 作 的切线有两条，然后分斜率存在和不存在讨论结合点到直线的距离公
式即得；
（2）联立直线 与圆的方程，利用韦达定理法结合 可得 恒过定点，进而可得Q的轨迹是以 为直径的圆，结合条件即得.
【详解】（1）因为圆 ，圆心为 ，半径为2， ，
由题知点 在圆 外，故过点 作 的切线有两条，
当切线斜率不存在时， ，显然是 的切线；
当切线斜率存在时，可设切线方程为 ，即 ，
由点到直线的距离公式可得： ，
解得 ，即 ，
综上，可得切线方程为： 和 ；
（2）因为直线 与 相交于M、N两点，
可设 ， ，
联立 得： ，
由 得 ，
所以 ， ，
由 得： ，
∴ 整理得 ，
将 代入 得： ，
所以 ，
∴ ，又∵ ，∴ 即 ，
故直线 过定点 ，设为 ，
又∵ 于 ，即 ，又 ，
∴Q的轨迹是以 为直径的圆 （不含 点）；
故存在定点 ，使得 为定值 ．
23．（2023·高二课时练习）已知过点 ，且斜率为 的直线 与圆 ： 相交于M、
N两点．
(1)求实数k的取值范围；
(2)求证： 定值；
(3)若O为坐标原点，且 ，求k的值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据直线与圆相交，由圆心到直线距离 可构造不等式求得 的范围；
（2）将 方程代入圆的方程，可得到韦达定理的形式，利用向量数量积的坐标运算可表示出 ，代
入韦达定理可化简得定值；（3）利用向量数量积的坐标运算结合韦达定理即可求得 .
【详解】（1）∵直线 过点 ，且斜率为 ，
∴直线 的方程为 ，即 ，
圆 的圆心 ，半径 ，直线 与圆 相交，
圆心到直线 的距离 ，解得 ．
（2）设 ， ，
由 得： ，
， ，
， ，
，
为定值 .
（3） ，
，解得： ，满足 ，∴ ．
24．（2023秋·高二课时练习）在直角坐标系 中，以原点O为圆心的圆与直线 相切
(1)求圆O的方程；
(2)若已知点 ，过点P作圆O的切线，求切线的方程．
【答案】(1)(2) 或 ．
【分析】（1）根据圆与直线 相切，可得圆心到直线的距离为半径，即可求得半径，可得答
案；
（2）判断切线斜率存在，设切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径可求得切线斜率，即得答案.
【详解】（1）由题意知以原点O为圆心的圆与直线 相切，
故圆的半径为 ，
故圆的方程为 .
（2）当过点 的直线斜率不存在时，为 与圆 不相切；
故过点 作圆O的切线，斜率一定存在，设方程为 ，
即 ，则 ，解得 或 ，
故切线方程为 或 ．
25．（2023秋·北京·高二北京一七一中校考阶段练习）已知圆 的圆心在直线 上，且与y轴相切
于点 ．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C直线 交于A，B两点，_____，求m的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①： ；
条件②： ．
【答案】(1)
(2)选择见解析， 或【分析】（1）设圆心 ，易知 ，由圆 与 轴相切于点 ，可求 以及 ，写出圆 的方
程即可.
（2）所给的两个条件，均可得 到直线 的距离 ，结合点线距离公式即可求 的值.
【详解】（1）设圆心坐标为 ，半径为 .
由圆 的圆心在直线 上，知： .
又∵圆 与 轴相切于点 ，
∴ ， ，则 .
∴圆 的圆心坐标为 ，则圆 的方程为 .
（2）如果选择条件①： ，而 ，
∴圆心 到直线 的距离 ，则 ，解得 或 .
如果选择条件②： ，而 ，
∴圆心 到直线 的距离 ，则 ，解得 或 .
26．（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）在平面直角坐标系 中，圆C的方程为
， ．
(1)当 时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(2)对于 ，若圆C上存在点M，使 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）分直线l的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合点到直线得距离公式即可得解；（2）要使得 ，则M在线段 的中垂线上，从而可得线段 的中垂线与圆C有公共点，则有
圆心到直线得距离小于等于半径，从而可得出答案.
【详解】（1）当 时，圆C的方程为 ，
圆心 ，半径 ，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 ，满足条件；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ，
由直线l与圆C相切，则 ，解得 ，
所以l的方程为 ，即 ，
综上得，直线l的方程为 或 ；
（2）圆心 ， ，
则线段 的中垂线的方程为 ，即 ，
要使得 ，则M在线段 的中垂线上，
所以存在点M既要在 上，又要在圆C上，
所以直线 与圆C有公共点，
所以 ，解得 ，
所以 ．27．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知圆 的圆心在直线 上，且与 轴相切于点
．
(1)求圆 的方程；
(2)已知过点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）分析可知圆心 在直线 上，将直线 与直线 的方程联立，可求得圆心
的坐标，进而可求得圆 的半径，由此可得出圆 的方程；
（2）求出圆心到直线 的距离，对直线 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线 的斜率不存在的情况下，
直接检验即可；在直线 的斜率存在时，设出直线 的方程，根据圆心到直线 的距离求出直线 的斜率，综
合可得出直线 的方程.
【详解】（1）解：因为圆 与 轴相切于点 ，所以圆心 在直线 上，
又因为圆 的圆心在直线 上，
由 ，解得 ，即 ，圆 的半径 ，
所以，圆 的方程为 ．
（2）解：设圆心 到直线 的距离为 ，则 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时 ，满足条件；当直线 的斜率存在时，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
即 ．
因为圆心为 ，所以圆心 到直线 的距离为 ，
整理可得 ，解得 ，
所以，直线 的方程为 ．
综上所述，直线 的方程为 或 .
28．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）已知圆 经过点 ， ，且________.从下列3个条件中
选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①过直线 与直线 的交点 ；②圆 恒
被直线 平分；③与 轴相切.
(1)求圆 的方程；
(2)求过点 的圆 的切线方程.
【答案】(1)选择见解析，
(2) 或
【分析】（1）根据题意设出圆的一般方程或标准方程，对①②③逐个分析，求出圆的标准方程即可；
（2）先判断点P在圆外，知切线有两条，分情况讨论求解即可.
【详解】（1）选择①：联立 ，解得 ，所以 ，
设圆 的方程为 ，
因为 ， ， 三点均在圆上，所以 ，解得 ，
所以圆 的方程为 ，即 ；
选择②：直线 的方程可化为 ，
因为 上式恒成立，所以 ，解得 ，
所以直线 恒过定点 ，且 为圆心 ，
所以 ，
所以圆 的方程为 ；
选择③：设圆 的方程为 ，
由题可得 ，解得 ，
故圆 的方程为 ；
（2）因为 ，所以点P在圆E外，
①若直线斜率不存在，直线方程为 ，圆心 到直线 的距离为5，满足题意；
②当直线斜率存在时，设切线的斜率为 ，则切线方程为 ，
即 ，
因为直线与圆 相切，所以圆心 到直线的距离 ，
所以 ，所以直线的方程为 ，
综上可得：过点 的圆 的切线方程为 或 .29．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知圆 过两点 ， ，且圆心P在直线 上．
(1)求圆P的方程；
(2)过点 的直线交圆 于 两点，当 时，求直线 的方程．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）依题意可设圆P的方程为 ，圆P过两点 ， ，可
列方程组求解未知数，从而可得圆P的方程；
（2）由弦长 ，可得圆心 到直线 的距离为1，当直线 的斜率不存在时验证即可，当
直线 的斜率存在时，设出直线 的方程，由点到直线的距离公式列出方程可求解.
【详解】（1）依题意圆心P在直线 上，可设圆P的方程为 ，
因为圆P过两点 ， ，
所以 ，解得 ，
所以圆P的方程为 .
（2）由（1）可知，圆心 ，半径 ，
当直线 的斜率不存在时，其方程为 ，圆心 到直线 的距离为1，此时 满足题意；
当直线 的斜率存在时，
设直线 的方程为 ，即 ，
当 时，圆心 到直线 的距离 ，
即有 ，解得 ，
此时直线 的方程为 ，即为 .
综上，直线 的方程为 或 .
30．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知圆 过点 ， ， .
(1)求圆 的标准方程；
(2)若过点 且与 轴平行的直线与圆 交于点 ， ，点 为直线 上的动点，直线 ， 与圆
的另一个交点分别为 ， （ 与 不重合），证明：直线 过定点.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求得圆一般方程，再将其转化为标准方程；
（2）求出点 ， 的坐标，设 ，根据 ，得出 ， 的坐标，当直线 斜率存在时，
设直线 方程为 ，与圆 方差联立方程组，利用根与系数关系化简得出 与 的关系，进而得出
直线 恒过的定点坐标，再验证斜率不存在时仍成立.
【详解】（1）设圆 的一般方程为 ，
又圆 过点 ， ， ，
则 ，解得 ，
所以圆 的一般方程为 ，
即其标准方程为 ；
（2）由题意得 ，所以直线 ，点 ，点 ，
设点 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
又 ， ，
，
又 ， 在圆 上，
所以 ， ，
，
即 ，
所以 ，
整理得： ，
当直线 斜率存在时，设直线 的方程为 ，代入 ，
得 ，
则 ， ，
所以 ，
即 ，
即 ，
得 或 ，
当 时，直线 的方程为 ，过点 ，
当 时，直线 的方程为 ，过点 ，在直线 上，不成立，
当直线 斜率不存在时， ，即 ，解得 或 （舍），所以直线 过
成立，
综上所述，直线 恒过点 .
