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第 19 讲 椭圆及其标准方程 7 种常见考法归类
1.了解椭圆的实际背景．
2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程.
知识点1 椭圆的定义
平面内与两个定点F ，F 的距离的和等于常数(大于|FF|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆
1 2 1 2
的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题
(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
(2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．
F F
①若 ，M的轨迹为线段 ；
1 2
②若 ，M的轨迹无图形
知识点2 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图 形
焦点坐标 ( － c , 0) ， ( c , 0) (0 ，－ c ) ， (0 ， c )
a，b，c的关系 c2＝ a 2 － b 2
注：（1）椭圆标准方程的推导
以经过椭圆两焦点F ，F 的直线为x轴，线段FF 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图
1 2 1 2
所示，此时，椭圆的焦点分别为F(－c,0)和F(c,0)．
1 2根据椭圆的定义，设M与焦点F ，F 的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF |
1 2 1
＋|MF |＝2a}．因为|MF |＝，|MF |＝，
2 1 2
所以＋＝2a.①
为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得＝2a－.②
对方程②两边平方，得
(x＋c)2＋y2＝4a2 －4a＋(x－c)2＋y2，
整理，得a2－cx＝a，③
对方程③两边平方，得
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④
将方程④两边同除以a2(a2－c2)，
得＋＝1，⑤
由椭圆的定义可知2a>2c>0 ，即a>c>0，
所以a2－c2>0.
令b＝，那么方程⑤就是＋＝1(a>b>0)．⑥
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程．
如图，如果焦点F ，F 在y轴上，且F ，F 的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆
1 2 1 2
的方程是什么？
答：＋＝1(a>b>0)．
（2）椭圆的标准方程的特征
①几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上．
②代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值．
③给出椭圆方程 ( ， , ),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的
焦点在 轴上⇔标准方程中 项的分母较大;椭圆的焦点在 轴上⇔标准方程中 项的分母较大,这是判断
椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.（ x 2 项和 y 2 项谁的分母大，焦
点就在谁的轴上．）
知识点3 椭圆的焦点三角形
椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正
弦定理、余弦定理．以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x ，y)(y≠0)和焦点F(－c,0)，F(c,0)为顶点的△PFF 中，若∠FPF ＝
0 0 0 1 2 1 2 1 2
θ，则
(1)椭圆的定义：|PF|＋|PF|＝2a.
1 2
(2)余弦定理：4c2＝|PF|2＋|PF|2－2|PF||PF|·cos θ.
1 2 1 2
(3)面积公式：S ＝|PF||PF|·sin θ，当|y|＝b，即P为短轴端点时，S 取最大值，为bc.
△PF1F2 1 2 0 △PF1F2
重要结论：S △PF1F2 =
推导过程：由余弦定理得|FF|2=|PF|2＋|PF|2－2|PF||PF|·cos θ得
1 2 1 2 1 2
由三角形的面积公式可得
S △PF1F2 =
=
注：S △PF1F2 = = = （ 是三角形内切圆的半径）
(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
(5)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)中,F ，F 是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端
1 2
点时， 最大.
1、确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以
判断方程的形式；
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
2、椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF |＋|MF |＝2a(2a>|FF|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上
1 2 1 2
任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
(2)直线 过左焦点 与椭圆相交于A、B两点，则 的周长为4a，即
（直线过右焦点 亦同）.
（3）涉及焦点三角形面积时，可把|PF|·|PF|看作一个整体，运用|PF|2＋|PF|2＝(|PF|＋|PF|)2－2|PF|
1 2 1 2 1 2 1
·|PF|及余弦定理求出|PF|·|PF|，而无需单独求解．
2 1 2
3、解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法
(1)直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接
翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.
(2)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的
定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
(3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐
标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．
考点一：椭圆定义及辨析
例1．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）设定点 ， ，动点P
满足条件 ，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知 ，动点C满足 ，则点C的轨迹是（
）A．椭圆 B．直线
C．线段 D．点
变式2．（2023秋·高二课时练习）平面内有一个动点M及两定点A，B．设p： 为定值，q：点
M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么（ ）
A．p是q的充分不必要条件
B．p是q的必要不充分条件
C．p是q的充要条件
D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件
变式3．（2023·全国·高二专题练习）已知动点 满足 （ 为大
于零的常数）﹐则动点 的轨迹是（ ）
A．线段 B．圆 C．椭圆 D．直线
考点二：椭圆定义的应用
例2．（2023·高二课时练习）设 表示的是椭圆； ，则p是 成立的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
变式1．（2023秋·江西吉安·高二吉安一中校考期中）已知条件 ： ，条件 ： 表示一个
椭圆，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式2．（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）“ ”是方程“ 表示椭圆”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条变式3．（2023春·四川遂宁·高二遂宁中学校考阶段练习）方程 表示椭圆的充要条件是
__________．
变式4．（2023·全国·高二专题练习）已知曲线 ，则“ ”是“曲线C是椭圆”的
（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
变式5．（2023·高二单元测试）若方程 表示椭圆 ，则下面结论正确的是（ ）
A． B．椭圆 的焦距为
C．若椭圆 的焦点在 轴上，则 D．若椭圆 的焦点在 轴上，则
变式6．（2023春·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）方程 表示焦点在x轴上的椭圆，则
实数k的取值范围为______．
变式7．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考期中）已知方程 表示焦点在 轴上
的椭圆，则实数 的取值范围是__________.
考点三：求椭圆的标准方程
例3．（2023秋·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1) ， ，焦点在y轴上；
(2) ， .
(3)经过点 ， 两点；
(4)与椭圆 ＋ ＝1有相同的焦点且经过点 .变式1．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期中）若椭圆 过点
，则椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知椭圆
的左、右焦点为 ，且过点 则椭圆标准方程为___________．
变式3．（2023秋·高二课时练习）过点 且与 有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式4．（2023春·陕西宝鸡·高二虢镇中学校考开学考试）已知椭圆C: ,四点 ,
, , 中恰有三点在椭圆 上,则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．变式5．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设椭圆 的左、右焦点分别为 ，上
顶点为B．若 ，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
变式6．（2023春·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点
分别为 ，M为C上一点，若 的中点为 ，且 的周长为 ，则C的标准方程为
（ ）
A． B．
C． D．
变式7．（2023秋·高二课时练习）已知 分别为椭圆 的左、右焦点，点P在椭圆
上， （O为坐标原点）是面积为 的正三角形，则此椭圆的方程为__________．
变式8．（2023秋·高二课时练习）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成
个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为 ，则这个椭圆的方程为（ ）
A． B． 或
C． D．以上都不对
变式9．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为 ，过坐标原点的直线交 于 两点，且 ，且 ，
则椭圆 的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
考点四：根据椭圆方程求相关量
例4．【多选】（2023秋·高二课时练习）椭圆 =1的焦距为4，则m的值可能是（ ）
A．12 B．10
C．6 D．4
变式1．（2023春·北京·高二北京二中校考期末）椭圆 的焦距为4，则 的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
变式2．（2023秋·天津和平·高二耀华中学校考期中）曲线 与 的关系
是（ ）
A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有不等的焦距，相同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点 D．有相等的焦距，不同的焦点
考点五：求椭圆上点的坐标
例5．（2023·新疆·统考一模）已知F为椭圆 的右焦点，P为C上的一点，若 ，
则点P的坐标为___________.
变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知 ， 是椭圆 的两个焦点，那么在C上满足的点有________个．
变式2．（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期中）已知椭圆 的焦点为F，F，第一
1 2
象限的点 为椭圆上的动点，当 为直角三角形时，点 的横坐标是_________ .
变式3．（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）已知椭圆的焦点为 ， ，
且该椭圆过点 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上的点 满足 ，求点 的坐标．
变式4．（2023秋·北京昌平·高二北京市昌平区第二中学校考期中）设 分别是椭圆 的左、
右焦点，点 为椭圆上任意一点，则使得 成立的点 的个数为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知 分别为椭圆 的左､右焦点，P为椭圆上一点，
且 垂直x轴，以 为圆心的圆与直线 相切于点T，则T的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
考点六：椭圆的焦点三角形问题
（一）求焦点三角形的内角或边长
例6．（2023春·广西南宁·高二校考阶段练习）椭圆 的左、右焦点分别为 ，点在椭圆 上，已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知椭圆 的左，右两焦点为 和 ，P
为椭圆上一点，且 ，则 （ ）
A．8 B．12 C．16 D．64
变式2．（2023秋·高二课时练习）椭圆 的焦点为 ，点P在此椭圆上，如果线段 的中点
在y轴上，那么 的值为（ ）
A． B．4 C．7 D．
变式3．（2023秋·辽宁鞍山·高二鞍山一中校考期中）已知椭圆 的两焦点为 ， ， 为椭
圆 上一点且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
变式4．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
变式5．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆上且在 轴的上方，
若线段 的中点在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则直线 的斜率是（ ）A． B． C． D．
（二）求焦点三角形的周长
例7．（2023秋·贵州·高二校联考阶段练习）已知点 为椭圆 上一点，椭圆的两个焦点
分别为 ， ，则 的周长是（ ）
A．20 B．36 C．64 D．100
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知 的顶点 在椭圆 上，顶点 是椭圆的一个
焦点，且椭圆的另外一个焦点在 边上，则 的周长是（ ）
A．12 B． C．16 D．10
变式2．（2023秋·高二课时练习）设 分别为椭圆 的左右焦点，过 的直线交椭圆于A、B
两点，则 的周长为（ ）
A．12 B．24 C． D．
变式3．（2023春·河南开封·高二统考期末）直线 与椭圆 交于 两点，则
与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为（ ）
A．10 B．16 C．20 D．不能确定
变式4．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆 ，点 与 的焦点不重合，若 关于 的焦
点的对称点分别为 ， ，线段 的中点在 上，则 （ ）A．10 B．15 C．20 D．25
变式5．（2023秋·广东·高二统考期末）椭圆 的一个焦点是F，过原点O作直线(不经过焦点)与椭
圆相交于A，B两点，则 的周长的最小值是（ ）
A．14 B．15 C．18 D．20
（三）求焦点三角形的面积
例8．（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，点
是椭圆上一点，且 是直角三角形， 的面积等于（ ）
A．3 B． C．3或 D．3或
变式1．（2023秋·广西玉林·高二校联考期中）已知椭圆的方程为 ，若点 在第二象限，且
，则 的面积（ ）．
A． B． C． D．
变式2．（2023春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）已知点 是椭圆 上一点，
椭圆的左、右焦点分别为 、 ，且 ，则 的面积为（ ）
A．6 B．12 C． D．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知 是椭圆 的左､右焦点，点 在椭圆 上.当最大时，求 （ ）
A． B． C． D．
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，P为椭圆C在
第一象限内的一点， ，直线 与C的另一个交点为Q，O为坐标原点，则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知 是椭圆 上的点， ､ 分别是椭圆的左､右焦点，若
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知 、 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆
上一点，且 .若 的面积为9，则实数 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知 、 为椭圆 的左、右焦点，M为 上的点，则
面积的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4（四）焦点三角形的内切圆问题
例9．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知一个离心率为 ，长轴长为4的椭圆，其两个
焦点为 ， ，在椭圆上存在一个点P，使得 ，设 的内切圆半径为r，则r的值为
（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023秋·安徽淮南·高二淮南第二中学校考阶段练习）已知 ， 是椭圆 的两个焦
点，P为椭圆上一点，且 ，则 的内切圆的半径 （ ）
A．1 B． C． D．2
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆C： 上一点，点 ， 分别为椭圆C的
左､右焦点，若 ，则 的内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆 的左右焦点分别为 ，直线l过 且与C交
于A，B两点，则 内切圆半径的最大值为( )
A． B． C． D．1
变式4．（2023·北京·高三强基计划）已知椭圆 上一点P与该椭圆的两个焦点所围成的三角形的内切圆圆心为I，半径为1，则 （ ）
A． B．2 C． D．以上答案都不对
变式5．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知 、 为椭圆 的左、右焦点，若 为椭圆上一
点，且 的内切圆的周长等于 ，则满足条件的点 的个数为（ ）
A． B． C． D．不确定
（五）与焦点三角形有关的最值问题
例10．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知椭圆 上的动点 到右焦点距离
的最大值为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知点P为椭圆 上动点， 分别是椭圆C的焦点，则
的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
变式2．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知 是椭圆 的两个焦点，
点 在 上，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（六）焦点三角形的综合问题例11．【多选】（2023秋·湖北·高二校联考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦
点分别为 、 ，若椭圆上一点 满足 为直角三角形，且 ，则椭圆方程可能为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·高二课时练习）若椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点P为椭圆C上一动
点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．当点P不在x轴上时， 的周长是6
B．当点P不在x轴上时， 面积的最大值为
C．存在点P，使
D． 的取值范围是
变式2．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆
上且在 轴上方，若 的中点 在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则（ ）
A．点 在第一象限 B． 的面积为
C． 的斜率为 D．直线 和圆 相切
变式3．【多选】（2023秋·江苏连云港·高二统考期末）已知椭圆 上一点 ，椭圆的左､右焦点
分别为 ，则（ ）
A．若点 的横坐标为2，则B． 的最大值为9
C．若 为直角，则 的面积为9
D．若 为钝角，则点 的横坐标的取值范围为
变式4．【多选】（2023春·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中）已知椭圆 的左、右
焦点分别为 ， ， 为椭圆C上一动点，则下列结论中正确的是（ ）
A． 的面积的最大值为
B．以线段 为直径的圆与直线 相切
C． 恒成立
D．若 ， ， 为一个直角三角形的三个顶点，则点P的纵坐标为
考点七：与椭圆有关的轨迹问题
（一）直接法
例12．（2023春·山东菏泽·高二统考期末）点M与定点 的距离和它到定直线 的距离的
比为 ，则点M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·高二单元测试）在平面直角坐标系中，已知定点 、 ，直线 与直线
的斜率之积为 ，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．（二）定义法
例13．（2023春·上海崇明·高二统考期末）在平面直角坐标系中，点 到点 、 的
距离之和为 ，则点 的轨迹方程是______.
变式1．（2023·高二课时练习）已知 的周长为20，且顶点 ，则顶点 的轨迹方程是
（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2023秋·青海西宁·高二期末）一个动圆与圆 外切，与圆 内
切，则这个动圆圆心的轨迹方程为__________．
变式3．（2023秋·福建泉州·高二统考期末）已知P是圆 上任一点， ，线段PA
的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为___________.
变式4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知 是椭圆 的左，右焦点，
是椭圆 上任意一点，过 作 的外角的角平分线的垂线，垂足为 ，求点 的轨迹方程.
变式5．（2023·高二课时练习）在 中，已知 ，若 ，且满足
，则顶点 的轨迹方程是（ ）
A． B．C． D．
（三）相关点法
例14．（2023秋·北京通州·高二统考期末）如图，在圆 上任取一点P，过点P作x轴的
垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知 ，A，B分别在y轴和x轴上
运动，O为原点， ，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
变式2．（2023秋·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）设 为坐标原点，动点 在圆
上，过 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足 ，则点 的轨迹方程为
A． B． C． D．
变式3．（2023秋·全国·高三专题练习）已知圆 ： ，从这个圆上任意一点 向 轴作垂线段（ 在 轴上）， 在直线 上且 ，则动点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆 的焦点在 轴上，若椭圆的焦距为 ，则 的值为
（ ）
A． B． C．3 D．4
2．（2023秋·高二课时练习）若已知椭圆 ，长轴在 轴上，若焦距为4，则 等于
（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
3．（2023秋·高二课时练习）“ 是“方程 表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点 ， 是椭圆 上关于原点对称的两点，
， 分别是椭圆 的左、右焦点，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
5．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，A是C上一点，，则 的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
6．（2023秋·山西大同·高二统考期末）如果椭圆 上一点 到此椭圆一个焦点 的距离为2，
是 的中点， 是坐标原点，则 的长为（ ）
A．6 B．10 C．8 D．12
7．（2023·湖南·校联考二模）已知 分别为椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点，则
的最大值为（ ）
A．64 B．16 C．8 D．4
8．（2023秋·高二课时练习）已知点F，F 是椭圆 的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，
1 2
那么 的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．2
二、多选题
9．（2023·云南·校联考二模）已知椭圆 ， 为C的左、右焦点，P为C上一点，且
，若 交C点于点Q，则（ ）
A． 周长为8 B．
C． 面积为 D．
10．（2023秋·辽宁沈阳·高二校联考期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，P为椭圆C
上的一个动点，点 ，则下列结论正确的是（ ）A． 的周长为6 B． 的面积的最大值为
C．存在点P，使得 D． 的最大值为7
11．（2023·安徽黄山·统考二模）已知椭圆 分别为椭圆的左，右焦点， 分别是椭圆
的左，右顶点，点 是椭圆上的一个动点，则下列选项正确的是（ ）
A．存在点 ，使得
B．若 为直角三角形，则这样的点 有4个
C．直线 与直线 的斜率乘积为定值
D．椭圆C内接矩形的周长取值范围是
12．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测） 为椭圆 的两个焦点，过 的直线l与
椭圆交于A，B两点，则 的内切圆半径的r值可以为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 的圆心为 ，点 是圆 上的动点，点
，线段 的垂直平分线交 于 点.则点 的轨迹 的方程为_______；
14．（2023春·上海静安·高二校考期中）已知 为椭圆 上一动点，记原点为 ，若 ，
则点 的轨迹方程为______．15．（2023秋·高二课时练习） 的两个顶点坐标分别是 和 ，边 ， 所在直线的斜
率的乘积是 ，则顶点A的轨迹方程是________．
16．（2023春·陕西西安·高二西安建筑科技大学附属中学校考期中）设集合 ， ，则
方程 表示焦点位于y轴上的椭圆有________个．
17．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知 分别是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆 在
第一象限内的一点，若 ，则 ______．
18．（2023春·上海虹口·高二上外附中校考阶段练习）过点 与椭圆 有共同焦点的椭圆
的标准方程是__________．
19．（2023·安徽马鞍山·统考二模）已知椭圆 与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交
于点B，点F是椭圆的一个焦点，若 ABF是等腰三角形，则 的值为________.
△
20．（2023·广东深圳·统考模拟预测）椭圆 的左右两焦点分别为 ，点 在椭圆
上，正三角形 面积为 ，则椭圆的方程为______ ．
四、解答题
21．（2023秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知椭圆E： （ ）
的左、右焦点分别为 ， ，且过点 ．
(1)求椭圆E的标准方程；(2)过椭圆E的左焦点 且斜率为1的直线与椭圆E交于A，B两点，求 的面积．
22．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）已知点P是椭圆 上的一
点， 和 分别为左右焦点，焦距为6，且过 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动直线l过 与椭圆交于A、B两点，求 的周长.
23．（2023·全国·高三对口高考）P是椭圆 上一点， ， 是椭圆的左、右两个焦点，
且 ．
(1)求 的最大值和最小值；
(2)求 的面积．
24．（2023·全国·高三专题练习）设O为坐标原点，动点M在椭圆C 上，过M作x轴的垂线，
垂足为N，点P满足 .求点P的轨迹方程；
25．（2023秋·高二课时练习）设 分别是椭圆 的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为
.
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求 的最大值;
(2)若C为椭圆上异于B的一点，且 ＝λ ，求λ的值.
