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第 19 讲 椭圆及其标准方程 7 种常见考法归类
1.了解椭圆的实际背景．
2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程.
知识点1 椭圆的定义
平面内与两个定点F ，F 的距离的和等于常数(大于|FF|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆
1 2 1 2
的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题
(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
(2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．
F F
①若 ，M的轨迹为线段 ；
1 2
②若 ，M的轨迹无图形
知识点2 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图 形
焦点坐标 ( － c , 0) ， ( c , 0) (0 ，－ c ) ， (0 ， c )
a，b，c的关系 c2＝ a 2 － b 2
注：（1）椭圆标准方程的推导
以经过椭圆两焦点F ，F 的直线为x轴，线段FF 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图
1 2 1 2
所示，此时，椭圆的焦点分别为F(－c,0)和F(c,0)．
1 2根据椭圆的定义，设M与焦点F ，F 的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF |
1 2 1
＋|MF |＝2a}．因为|MF |＝，|MF |＝，
2 1 2
所以＋＝2a.①
为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得＝2a－.②
对方程②两边平方，得
(x＋c)2＋y2＝4a2 －4a＋(x－c)2＋y2，
整理，得a2－cx＝a，③
对方程③两边平方，得
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④
将方程④两边同除以a2(a2－c2)，
得＋＝1，⑤
由椭圆的定义可知2a>2c>0 ，即a>c>0，
所以a2－c2>0.
令b＝，那么方程⑤就是＋＝1(a>b>0)．⑥
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程．
如图，如果焦点F ，F 在y轴上，且F ，F 的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆
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的方程是什么？
答：＋＝1(a>b>0)．
（2）椭圆的标准方程的特征
①几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上．
②代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值．
③给出椭圆方程 ( ， , ),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的
焦点在 轴上⇔标准方程中 项的分母较大;椭圆的焦点在 轴上⇔标准方程中 项的分母较大,这是判断
椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.（ x 2 项和 y 2 项谁的分母大，焦
点就在谁的轴上．）
知识点3 椭圆的焦点三角形
椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正
弦定理、余弦定理．以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x ，y)(y≠0)和焦点F(－c,0)，F(c,0)为顶点的△PFF 中，若∠FPF ＝
0 0 0 1 2 1 2 1 2
θ，则
(1)椭圆的定义：|PF|＋|PF|＝2a.
1 2
(2)余弦定理：4c2＝|PF|2＋|PF|2－2|PF||PF|·cos θ.
1 2 1 2
(3)面积公式：S ＝|PF||PF|·sin θ，当|y|＝b，即P为短轴端点时，S 取最大值，为bc.
△PF1F2 1 2 0 △PF1F2
重要结论：S △PF1F2 =
推导过程：由余弦定理得|FF|2=|PF|2＋|PF|2－2|PF||PF|·cos θ得
1 2 1 2 1 2
由三角形的面积公式可得
S △PF1F2 =
=
注：S △PF1F2 = = = （ 是三角形内切圆的半径）
(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
(5)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)中,F ，F 是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端
1 2
点时， 最大.
1、确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以
判断方程的形式；
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
2、椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF |＋|MF |＝2a(2a>|FF|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上
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任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
(2)直线 过左焦点 与椭圆相交于A、B两点，则 的周长为4a，即
（直线过右焦点 亦同）.
（3）涉及焦点三角形面积时，可把|PF|·|PF|看作一个整体，运用|PF|2＋|PF|2＝(|PF|＋|PF|)2－2|PF|
1 2 1 2 1 2 1
·|PF|及余弦定理求出|PF|·|PF|，而无需单独求解．
2 1 2
3、解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法
(1)直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接
翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.
(2)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的
定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
(3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐
标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．
考点一：椭圆定义及辨析
例1．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）设定点 ， ，动点P
满足条件 ，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义可判断动点的轨迹.【详解】因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以点P的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆.
故选：A.
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知 ，动点C满足 ，则点C的轨迹是（
）
A．椭圆 B．直线
C．线段 D．点
【答案】C
【分析】由 ，作出判断即可．
【详解】因为 ，
所以 ，知点C的轨迹是线段AB．
故选：C.
变式2．（2023秋·高二课时练习）平面内有一个动点M及两定点A，B．设p： 为定值，q：点
M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么（ ）
A．p是q的充分不必要条件
B．p是q的必要不充分条件
C．p是q的充要条件
D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件
【答案】B
【分析】根据 为定值，且定值大于 时轨迹才是椭圆，从而得到答案.
【详解】当 为定值时，
若定值大于 时，点M轨迹是椭圆，若定值等于 ，点M轨迹是线段，若定值小于 ，则轨迹不
存在；
当点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆时， 必为定值；所以 ，但 ，故p为q的必要不充分条件．
故选：B
变式3．（2023·全国·高二专题练习）已知动点 满足 （ 为大
于零的常数）﹐则动点 的轨迹是（ ）
A．线段 B．圆 C．椭圆 D．直线
【答案】C
【分析】根据题意，结合椭圆的定义即可得到结果.
【详解】 的几何意义为点 与点 间的距离，
同理 的几何意义为点 与点 间的距离，
且
又由 为大于零的常数，可知 ，
当且仅当 ，即 时取等，
故 ，
即动点 到点 与到点 的距离之和为定值，且大于 ，
所以动点 的轨迹为椭圆，
故选：C.
考点二：椭圆定义的应用
例2．（2023·高二课时练习）设 表示的是椭圆； ，则p是 成立的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据椭圆方程的特征以及充分条件必要条件的概念可得结果.【详解】若 表示的是椭圆，则 且 ，即 成立；
反例：当 时， 表示的是圆，即 不成立；
即p是 成立的充分不必要条件，
故选：A.
变式1．（2023秋·江西吉安·高二吉安一中校考期中）已知条件 ： ，条件 ： 表示一个
椭圆，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据曲线方程，结合充分、必要性的定义判断题设条件间的关系.
【详解】由 ，若 ，则 表示一个圆，充分性不成立；
而 表示一个椭圆，则 成立，必要性成立.
所以 是 的必要不充分条件.
故选：B
变式2．（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）“ ”是方程“ 表示椭圆”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条
【答案】B
【分析】根据椭圆的标准方程可得 ，解不等式组得出 且 ，再利用必要不充分条
件定义即可求解.【详解】若方程表示椭圆，则有
因此 且 ，
故“ ”是“方程 表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：B
变式3．（2023春·四川遂宁·高二遂宁中学校考阶段练习）方程 表示椭圆的充要条件是
__________．
【答案】 答案不唯一
【分析】两个分母为不相等的正值时，所给方程表示椭圆.
【详解】方程 表示椭圆,
则必有 解之得 或
故答案为： ,（答案不唯一，其他等价情况也对）
变式4．（2023·全国·高二专题练习）已知曲线 ，则“ ”是“曲线C是椭圆”的
（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据已知曲线的方程和椭圆的方程特点，结合充分条件和必要条件的判定即可
【详解】若曲线 是椭圆，则有：解得： ，且
故“ ”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件
故选：C
变式5．（2023·高二单元测试）若方程 表示椭圆 ，则下面结论正确的是（ ）
A． B．椭圆 的焦距为
C．若椭圆 的焦点在 轴上，则 D．若椭圆 的焦点在 轴上，则
【答案】C
【分析】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答.
【详解】因方程表示椭圆，则有 ， ，且 ，即 ，A错误；
焦点在 轴上时， ，解得 ，D错误，C正确；
焦点在 轴上时，则 ，焦点在 轴上时， ，B错误.
故选：C
变式6．（2023春·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）方程 表示焦点在x轴上的椭圆，则
实数k的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据椭圆方程分析运算.
【详解】由题意可得 且 ，
若表示焦点在x轴上的椭圆，则 ，解得 ，
所以实数k的取值范围为 .
故答案为： .
变式7．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考期中）已知方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据椭圆标准方程的结构特征，结合焦点在 轴上可得.
【详解】因为方程 表示焦点在y轴上的椭圆，所以 ，得 .
故答案为：
考点三：求椭圆的标准方程
例3．（2023秋·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1) ， ，焦点在y轴上；
(2) ， .
(3)经过点 ， 两点；
(4)与椭圆 ＋ ＝1有相同的焦点且经过点 .
【答案】(1) ；
(2) 或
(3)
(4)
【分析】（1）（2）根据已知条件，结合 求出 和 ，再根据焦点位置写出椭圆标准方程；
（3）根据题意，分析可得所求椭圆的焦点在x轴上，以及可求得 的值，然后写出椭圆的标准方程；（4）求出椭圆 的两个焦点坐标，由焦点坐标以及椭圆过 可计算出 ，根据椭圆的
标准方程写出即可.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为： ；
（2）因为 ， ，所以 ，
因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为： 或 .
（3）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，
所以 ，
所以椭圆的标准方程为 .
（4）设椭圆 的两个焦点为F，F，且焦点在x轴上
1 2
因为 ，所以 ，
故设椭圆方程为
由题意得 ，解得 或 (舍去)
所以椭圆的标准方程为 .
变式1．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期中）若椭圆 过点，则椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】把已知两点坐标代入求出 后即得．
【详解】由已知 ，解得 ，所以椭圆方程为 ．
故选：A.
变式2．（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知椭圆
的左、右焦点为 ，且过点 则椭圆标准方程为___________．
【答案】
【分析】待定系数法求椭圆的标准方程.
【详解】由题知： ，①
又椭圆经过点 ，
所以 ，②
又 ，③
联立解得： ，故椭圆的标准方程为： .
故答案为： .
变式3．（2023秋·高二课时练习）过点 且与 有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知方程求出焦点即为所求椭圆焦点，设出所求椭圆方程，代入 ，解方程组即可.
【详解】由 知，焦点为 ， ，即 ， .
设所求椭圆方程为 ，则 ，解得 ，
故所求椭圆方程为 .
故选：A.
变式4．（2023春·陕西宝鸡·高二虢镇中学校考开学考试）已知椭圆C: ,四点 ,
, , 中恰有三点在椭圆 上,则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据椭圆的对称性可知 , 在椭圆上, 不在椭圆上, 在椭圆上,
代入椭圆方程求出 即可.
【详解】根据椭圆的对称性可知 , 在椭圆上, 不在椭圆上, 在椭圆上.
将 , 代入椭圆方程得:
,
解得 ,
椭圆C的标准方程为 .
故选:D.
变式5．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设椭圆 的左、右焦点分别为 ，上
顶点为B．若 ，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意和椭圆的几何性质，得到 ，进而求得 的值，即可求解.
【详解】由椭圆的几何性质，因为 ，可得 ，所以 ， ，则 ，所以椭圆的方程为 .
故选：A.
变式6．（2023春·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点
分别为 ，M为C上一点，若 的中点为 ，且 的周长为 ，则C的标准方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据 的周长可得 ，由 的中点坐标求得M坐标，代入椭圆方程可得
关系式，解方程可得 的值，即可求得答案
【详解】因为 的周长为 ，所以 ，则 ，
又 , 的中点为 ，所以M的坐标为 ，
故 ，则 ，
结合 ， ，解得 ，
所以椭圆C的标准方程为 ，
故选：A
变式7．（2023秋·高二课时练习）已知 分别为椭圆 的左、右焦点，点P在椭圆上， （O为坐标原点）是面积为 的正三角形，则此椭圆的方程为__________．
【答案】
【分析】不妨设点 位于第一象限，且 ，由题意得到 ，解得 ，结合椭圆的定义，求
得 ，得到 ，即可求得椭圆的方程.
【详解】不妨设点 位于第一象限，且 ，
因为 是面积为 的正三角形，可得 ，解得 ，
所以 ，
由椭圆的定义得 ，
所以 ，则 ，
所以椭圆的标准方程为 .
故答案为： .
变式8．（2023秋·高二课时练习）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成
个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为 ，则这个椭圆的方程为（ ）A． B． 或
C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】由短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形可得 ，由焦点到椭圆上点的最短距离为 ，
结合 可得.
【详解】
由题意，当椭圆焦点在 轴上，设椭圆方程为： ，
由题意 ， ，
所以 ， ， ， ，
所以椭圆方程为： ，
当椭圆焦点在 轴上时，同理可得： ，
故选：B
变式9．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆
的左､右焦点分别为 ，过坐标原点的直线交 于 两点，且 ，且 ，
则椭圆 的标准方程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义可求 ，结合三角形的面积可求 ，进而可得答案.
【详解】如图，连接 ，由椭圆的对称性得四边形 为平行四边形，
所以 ，得 .
又因为 ，所以四边形 为矩形，设 ，
则 ，所以 得 或 ；
则 ，则 ，
椭圆 的标准方程为 .
故选:C.
考点四：根据椭圆方程求相关量
例4．【多选】（2023秋·高二课时练习）椭圆 =1的焦距为4，则m的值可能是（ ）
A．12 B．10
C．6 D．4【答案】AD
【分析】由椭圆的标准方程中 即可求解.
【详解】因为椭圆的焦距为 ，则 ，
当焦点在 轴上时， ，
由 ，即 ，解得 ；
当焦点在 轴上时， ，
由 ，即 ，解得 .
故 或 .
故选：AD.
变式1．（2023春·北京·高二北京二中校考期末）椭圆 的焦距为4，则 的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】D
【分析】先把椭圆 化为标准形式，分焦点在 ， 轴上两种情况进行分类讨论，能求出 的值．
【详解】由椭圆 化为标准形式得：
，
且椭圆 的焦距 ，
当椭圆焦点在 轴上时， ， ，
则由 ，所以 ，
此时方程为： 不是椭圆，所以不满足题意，
当椭圆焦点在 轴上时， ， ，，解得 ，
此时方程为： ，满足题意
综上所述， 的值为 ．
故选：D．
变式2．（2023秋·天津和平·高二耀华中学校考期中）曲线 与 的关系
是（ ）
A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有不等的焦距，相同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点 D．有相等的焦距，不同的焦点
【答案】D
【分析】根据椭圆标准方程的特点及焦距的定义即可求解.
【详解】由题意可知，椭圆 的焦点在 轴上，且 ，
所以 ，焦距为 ，焦点坐标为 ，
椭圆 的焦点在 轴上，且 ，
所以 ，焦距为 ，焦点坐标为 ，
所以两椭圆有相等的焦距，不同的焦点.
故选：D.
考点五：求椭圆上点的坐标
例5．（2023·新疆·统考一模）已知F为椭圆 的右焦点，P为C上的一点，若 ，
则点P的坐标为___________.
【答案】
【分析】由椭圆方程知：椭圆上的点与 距离范围为 ，结合已知即可确定P的坐标.
【详解】由题设， ，则 ， ，所以椭圆上点与 距离范围为 ，又 ，
所以 是椭圆的右顶点，即P的坐标为 .
故答案为：
变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知 ， 是椭圆 的两个焦点，那么在C上满足
的点有________个．
【答案】2
【分析】根据题设及向量数量积的坐标表示求得 轨迹方程为圆 ，结合椭圆性质判断轨迹圆与
椭圆的交点个数.
【详解】不妨设 ， ， ，则 ，
所以 轨迹方程为 ，以原点为圆心， 为半径的圆，
而椭圆 中， ，故 轨迹与椭圆交于短轴顶点，
所以在C上满足 的点有2个.
故答案为：2
变式2．（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期中）已知椭圆 的焦点为F，F，第一
1 2
象限的点 为椭圆上的动点，当 为直角三角形时，点 的横坐标是_________ .
【答案】 或
【分析】分类讨论 与 两种情况，利用圆的性质可得点 的轨迹方程，联立椭圆方程解
之即可解.【详解】因为椭圆 ，所以 ，则 ，不妨设 ，如图，
因为 为椭圆上的动点，所以 ，
又因为 为直角三角形，点 在第一象限，
所以当 时，易知 ，即点 的横坐标是 ；
当 时，由圆的性质可知，点 落在以 为直径的圆在第一象限的弧上，此时圆心为 ，
半径为 ，
故点 的轨迹方程为 ，
联立 ，解得 或 （舍去），即点 的横坐标是 ；
综上：点 的横坐标是 或 ；
故答案为： 或 .
.
变式3．（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）已知椭圆的焦点为 ， ，
且该椭圆过点 ．
(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆上的点 满足 ，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两点间距离公式求得P到椭圆的左右焦点的距离，然后根据椭圆的定义得到a的值，结
合c的值，利用a,b,c的平方关系求得 的值，再结合焦点位置，写出椭圆的标准方程．
（2）利用向量的数量积 ，求得点 满足的条件，再结合椭圆的方程，解得 的值．
【详解】（1）设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
因为 ，
，
所以 ，即 ，
又因为c=2，所以 ，
又因为椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，
所以该椭圆的标准方程为 .
（2）设 ，
因为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，即 .
所以变式4．（2023秋·北京昌平·高二北京市昌平区第二中学校考期中）设 分别是椭圆 的左、
右焦点，点 为椭圆上任意一点，则使得 成立的点 的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设点 的坐标，利用数量积的坐标表示，整理轨迹方程，联立椭圆方程，可得答案.
【详解】设 ，由椭圆 ，则 ， ，即 ，故 ，
，
， ， ，整理可得 ，
联立可得 ，解得 ，故点 的坐标有 ， ，
， ，
故选：D.
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知 分别为椭圆 的左､右焦点，P为椭圆上一点，
且 垂直x轴，以 为圆心的圆与直线 相切于点T，则T的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出P点坐标，从而得到直线 的方程，根据垂直关系求出直线 的方程，联立后求出T的横
坐标.【详解】不妨设P为第一象限内一点，由题意得： ， ，
故P点横坐标为1，将 代入椭圆方程，得到 ，
所以 ，
直线 ，
根据相切可得： ，故直线 ，
联立 ，解得：
则T的横坐标为
故选：A
考点六：椭圆的焦点三角形问题
（一）求焦点三角形的内角或边长
例6．（2023春·广西南宁·高二校考阶段练习）椭圆 的左、右焦点分别为 ，点
在椭圆 上，已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由椭圆方程可得 ，由椭圆定义可求得结果.
【详解】由椭圆方程知： ；根据椭圆定义可得： ， .
故选：C.
变式1．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知椭圆 的左，右两焦点为 和 ，P为椭圆上一点，且 ，则 （ ）
A．8 B．12 C．16 D．64
【答案】A
【分析】根据题干数据先分析出 为直角三角形，然后根据椭圆定义和勾股定理计算.
【详解】
由题意得， ，于是 ，
即 为△ 的外心，以 为直径的圆经过 ，于是 ，
记 ，根据椭圆定义和勾股定理： ，
于是 .
故选：A
变式2．（2023秋·高二课时练习）椭圆 的焦点为 ，点P在此椭圆上，如果线段 的中点
在y轴上，那么 的值为（ ）
A． B．4 C．7 D．
【答案】C
【分析】根据线段PF 的中点M在y轴上，推出 轴，由此可设P(3，b)，代入椭圆方程求出 ，再
1
根据两点间的距离公式求出 和 可得解.【详解】由 ＝1可知 ， ，
所以 ，
所以F(－3,0)，F(3,0)，
1 2
∵线段PF 的中点M在y轴上，且原点 为线段 的中点，
1
所以 ，所以 轴，
∴可设P(3,m)，
把P(3,m)代入椭圆 ＝1，得 .
∴|PF|＝ ，|PF|＝ .
1 2
∴ .
故选：C
变式3．（2023秋·辽宁鞍山·高二鞍山一中校考期中）已知椭圆 的两焦点为 ， ， 为椭
圆 上一点且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】设 .利用椭圆的定义和勾股定理整体代换，求出 和 ，即可求解.
【详解】设 .
因为椭圆 的两焦点为 ， ， 为椭圆 上一点且 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
故选：B
变式4．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆方程求得 ，由椭圆的定义，得 ，求得 ，所以
，在 中，再由余弦定理列出方程，求得 ，即可求解．
【详解】解：由题意，椭圆方程 ，可得 ，
所以焦点 ，
又由椭圆的定义，可得 ，因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ,
所以 ，解得 ，
又由 ，所以 .
故选:C．变式5．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆上且在 轴的上方，
若线段 的中点在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则直线 的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 可得 ，联立椭圆方程可得点P坐标，即可求解.
【详解】设椭圆的右焦点为 ，则 ，
由题意可知 ，由中位线定理可得 ，
设 可得 ，联立方程 ，
可解得 （舍），点 在椭圆上且在 轴的上方，
求得 ， ，
所以 .
故选：C.
（二）求焦点三角形的周长例7．（2023秋·贵州·高二校联考阶段练习）已知点 为椭圆 上一点，椭圆的两个焦点
分别为 ， ，则 的周长是（ ）
A．20 B．36 C．64 D．100
【答案】B
【分析】根据给定的椭圆方程，求出长短半轴长、半焦距即可作答.
【详解】椭圆 的长半轴长 ，短半轴知 ，半焦距 ，
依题意， 的周长为 .
故选：B
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知 的顶点 在椭圆 上，顶点 是椭圆的一个
焦点，且椭圆的另外一个焦点在 边上，则 的周长是（ ）
A．12 B． C．16 D．10
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义求解即可.
【详解】设椭圆的另外一个焦点为 ，如图，
则 的周长为 ，
故选：C.变式2．（2023秋·高二课时练习）设 分别为椭圆 的左右焦点，过 的直线交椭圆于A、B
两点，则 的周长为（ ）
A．12 B．24 C． D．
【答案】D
【分析】将三角形周长 整理并结合椭圆的定义，即可求得答案.
【详解】由题意可得，对于椭圆 有长半轴长 ，
又过 的直线交椭圆于A、B两点，
故 的周长
，
故选：D
变式3．（2023春·河南开封·高二统考期末）直线 与椭圆 交于 两点，则
与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为（ ）
A．10 B．16 C．20 D．不能确定
【答案】C
【分析】由图形结合椭圆定义可得答案.
【详解】设椭圆两个焦点为 ，由题可得 ，则 与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为
.
故选：C变式4．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆 ，点 与 的焦点不重合，若 关于 的焦
点的对称点分别为 ， ，线段 的中点在 上，则 （ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【分析】根据题意，画出图像，结合条件可得 ， ，再结合椭圆的定义即可得到结
果.
【详解】
设 的中点为 ，椭圆的左右焦点分别为 ，则 为 的中点， 为 的中点，所以
，同理 ，
所以 .
故选:C
变式5．（2023秋·广东·高二统考期末）椭圆 的一个焦点是F，过原点O作直线(不经过焦点)与椭圆相交于A，B两点，则 的周长的最小值是（ ）
A．14 B．15 C．18 D．20
【答案】C
【分析】不妨取 为左焦点， 为右焦点，连接 ， ，则 为平行四边形， 的周长大于
等于 ，计算得到答案.
【详解】如图所示：不妨取 为左焦点， 为右焦点，连接 ， ，
则 为平行四边形，
的周长为 ，
当 ， 为椭圆上下顶点时等号成立.
故选：C
（三）求焦点三角形的面积
例8．（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，点
是椭圆上一点，且 是直角三角形， 的面积等于（ ）
A．3 B． C．3或 D．3或
【答案】C
【分析】根据椭圆定义和勾股定理，结合三角形面积公式即可求解．
【详解】由于 是椭圆上一点，∴ ，两边平方可得 ，即 ，
因为 是直角三角形，
当 时， ，∴根据勾股定理可得 ，
综上可解得 ，∴ 的面积等于 ；
当 时， ，∴根据勾股定理可得 ，结合
,计算可得 ,∴ 的面积等于 ；
当 时， ，∴根据勾股定理可得 ，结合
,计算可得 ,∴ 的面积等于 .
故选: .
变式1．（2023秋·广西玉林·高二校联考期中）已知椭圆的方程为 ，若点 在第二象限，且
，则 的面积（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 为椭圆的左焦点， 为椭圆的右焦点， ， ，由椭圆的定义可知
，在 中由余弦定理可得 ，从而可得 ，再利用
计算即可.
【详解】解：设 为椭圆的左焦点， 为椭圆的右焦点， ， ，由椭圆的定义可知 ，
又因为 ，
在 中由余弦定理可得： ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：B.
变式2．（2023春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）已知点 是椭圆 上一点，
椭圆的左、右焦点分别为 、 ，且 ，则 的面积为（ ）
A．6 B．12 C． D．
【答案】C
【分析】设 ， ，由椭圆定义得 ，由余弦定理求出 ，从而利用三角形面
积公式求出答案.
【详解】由椭圆 ，得 ， ， .设 ， ，
∴ ，在 中，由余弦定理可得： ，
可得 ，得 ，
故 .
故选：C.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知 是椭圆 的左､右焦点，点 在椭圆 上.当
最大时，求 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可得 时 最大，利用三角形的面积公式即得.
【详解】由椭圆 的方程可得 ， ， ，则 ，
所以，
当且仅当则 时等号成立，即 为椭圆短轴端点时 最大，
此时， .
故选：C.
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，P为椭圆C在
第一象限内的一点， ，直线 与C的另一个交点为Q，O为坐标原点，则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ， ，在 中，由余弦定理结合椭圆定义可得 ，根据 面积相等，
即可得P点纵坐标，进而得P点坐标，根据 点坐标即可得直线 方程，与椭圆联立可得 点纵坐标，
进而求得三角形面积.
【详解】解：因为 ，所以 ，
设 ， ，在 中，
由余弦定理得 ，
即 ，所以 ，
根据椭圆定义有： ，所以 ，所以 ，
因为 ，
因为P在第一象限，所以 ，代入椭圆 中，得 ，
因为 ，所以 ，
所以直线 ，
联立 ，可得 ，
显然 ，则 ，因为 ，所以 ，
所以
．
故选：C
【点睛】思路点睛：该题考查直线与椭圆的综合问题，属于中难题，关于焦点三角形问题的思路有：
（1）设出两个焦半径为 ，求得 ；
（2）先由余弦定理建立 等式；
（3）再由椭圆定义建立 ，两式联立可得 ；
（4）再根据等面积法 ，即可求得 点坐标.
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知 是椭圆 上的点， ､ 分别是椭圆的左､右焦点，若，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由条件根据向量夹角公式求 ，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.
【详解】设椭圆 的长半轴为 ，短半轴为 ，半焦距为 ，
则 ， ，
即 .
设 ，所以由椭圆的定义可得： ①.
因为 ，所以由数量积的公式可得：
，所以 .
在 中 ，
所以由余弦定理可得： ②，
由①②可得： ，所以 .
故选：A.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知 、 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆
上一点，且 .若 的面积为9，则实数 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A【分析】根据椭圆的性质、三角形面积公式以及勾股定理，利用完全平方公式，可得答案.
【详解】由题意， ， ，即 ， ，
整理可得 ， ，则 ，解得 .
故选：A.
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知 、 为椭圆 的左、右焦点，M为 上的点，则
面积的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【分析】由于 为定值，所以当点 到 的距离最大时， 面积取得最大值，即当 与短轴
的一个端点重合时， 面积的最大
【详解】由 ，得 ，
所以 ，
由椭圆的性质可知当 与短轴的一个端点重合时， 面积的最大，
所以 面积的最大值为
，
故选：A
（四）焦点三角形的内切圆问题
例9．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知一个离心率为 ，长轴长为4的椭圆，其两个
焦点为 ， ，在椭圆上存在一个点P，使得 ，设 的内切圆半径为r，则r的值为
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在 中，利用余弦定理求得 ，再由
求解.
【详解】解：因为椭圆的离心率为 ，长轴长为4，
所以 ，
在 中，由余弦定理得： ，
，
解得 ，
所以 ，
，
解得 ，
故选：D
变式1．（2023秋·安徽淮南·高二淮南第二中学校考阶段练习）已知 ， 是椭圆 的两个焦
点，P为椭圆上一点，且 ，则 的内切圆的半径 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C【分析】根据椭圆方程求出 、 、 的值，即可得到 、 、 的值，从而求出 的面积，
再利用等面积法求出内切圆的半径.
【详解】解：椭圆 中， ， ，则 ，∴ ， ，
∴ ．∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
解得 ．
故选：C．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆C： 上一点，点 ， 分别为椭圆C的
左､右焦点，若 ，则 的内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求 和 的值，再求 的面积，再利用三角形内切圆的半径表示面积，即可求解.
【详解】因为 ，且 ，所以 ， ，
， ，则等腰三角形 底边上的高 ，
所以 ,
设 的内切圆半径为 ，则 ，
所以 .
故选：B变式3．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆 的左右焦点分别为 ，直线l过 且与C交
于A，B两点，则 内切圆半径的最大值为( )
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据等面积法表示出内切圆半径r的表达式 ，在利用韦达定理求 的最大值即可.
【详解】由题知a＝2，c＝1，设 ， ，设△ 内切圆半径为r，
则 ，
∴ ，即 ，∴ .
设 的方程为： ，代入椭圆方程可得：( ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
设 则 ，
时，该表达式对应的函数是减函数，∴ 时，取得最大值3，∴ 最大值为 .
故选：C.
变式4．（2023·北京·高三强基计划）已知椭圆 上一点P与该椭圆的两个焦点所围成的三角形的
内切圆圆心为I，半径为1，则 （ ）A． B．2 C． D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】利用焦点三角形面积公式可求 ，故可求 的值.
【详解】设椭圆的两个焦点分别为 ，根据题意， 的周长为16，
而其内切圆半径为1，因此 的面积为8．
根据椭圆的焦点三角形面积公式，有 ，
因此 ．
故选：C.
变式5．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知 、 为椭圆 的左、右焦点，若 为椭圆上一
点，且 的内切圆的周长等于 ，则满足条件的点 的个数为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【分析】计算出 ， ，计算出 的内切圆的半径为 ，结合等面积法可求
得点 的坐标，即可得解.
【详解】由 得 ， ，所以 ， .
由椭圆的定义知， ， .
因为 的内切圆的周长等于 ，所以 内切圆的半径为 ，
，
设点 ，则 ，所以， ，将点 的坐标代入椭圆方程可得 ，解得 ，
所以，点 的坐标为 或 或 或 ，
因此，满足条件的点 的个数为 .
故选：B.
（五）与焦点三角形有关的最值问题
例10．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知椭圆 上的动点 到右焦点距离
的最大值为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的性质可得椭圆上的点到右焦点距离最大值为 ，即可求出 ，再根据 ，
即可得解；
【详解】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最大值为 ，
即 ，又 ，所以 ，
由 ，所以 ；
故选：A
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知点P为椭圆 上动点， 分别是椭圆C的焦点，则
的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】D【分析】由椭圆的定义可得 ，结合 ，即可求解.
【详解】由椭圆 ，可得 ，所以 ，
又由椭圆的定义可得 ，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最大值为 .
故选：D.
变式2．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知 是椭圆 的两个焦点，
点 在 上，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆定义得到 ，将 整理为 ，然后根据 范围求
得范围即可.
【详解】设 ， ，则 ， ，又
，所以当 时， ，当 时， .
故选：C.
（六）焦点三角形的综合问题
例11．【多选】（2023秋·湖北·高二校联考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，若椭圆上一点 满足 为直角三角形，且 ，则椭圆方程可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】分类讨论 为直角顶点、 为直角顶点与 为直角顶点三种情况，利用三角形面积公式或勾股定
理，结合椭圆的定义即可求得结果.
【详解】因为 为直角三角形，
所以当 为直角顶点时，则 ，
由 解得 ，所以 ；
由对称性可知当 为直角顶点时，结论相同，即 ；
当 为直角顶点，则 ，即 ，
由 ，得 ，即
，则 ；
对于A，由 得 ，则 ，所以 ，满足其中一种情况，
故A正确；
对于B，由 得 ，则 ，所以 ， ，两种情况都不满
足，故B错误；
对于C，由 得 ，则 ，满足 ，又 ， ，故 是方程 的两根，
由 可知方程有两个不等实根，即 存在，故C正确；
对于D，由 得 ，则 ，满足 ，
又 ， ，故 是方程 的两根，
由 可知方程无实根，即 不存在，故D错误.
故选：AC.
变式1．（2023·高二课时练习）若椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点P为椭圆C上一动
点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．当点P不在x轴上时， 的周长是6
B．当点P不在x轴上时， 面积的最大值为
C．存在点P，使
D． 的取值范围是
【答案】C
【分析】根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点 位于上下顶点时， 面积的最大即可判断选
项B；当点 为椭圆 短轴的一个端点时， 为最大与 比较即可判断选项C；当点 为椭圆 的
左右顶点时取得最值，即可判断选项D.
【详解】由椭圆方程可知 ， ，从而 ．
对于选项A；根据椭圆定义， ，又 ，所以 的周长是 ，
故选项A正确；对于选项B：设点 ，因为 ，则 ．
因为 ，则 面积的最大值为 ，故选项B正确；
对于选项C：由椭圆性质可知，当点 为椭圆 短轴的一个端点时， 为最大．
此时， ，又 ，
则 为正三角形， ，
所以不存在点 ，使 ，故选项C错误；
对于选项D：由椭圆的性质可知，当点 为椭圆 的右顶点时， 取最大值，此时 ；
当点 为椭圆 的左顶点时， 取最小值，此时 ，所以 ，故选项D正确．
故选：C.
【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论
以椭圆 上一点 和焦点 为顶点的 中，若
，则
（1）焦点三角形的周长为 ；
（2）当点 为椭圆短轴的一个端点时， 为最大；
（3） ，当 时，即点 为椭圆短轴的一个端点时 取最大值，为 ；
（4） .
变式2．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆
上且在 轴上方，若 的中点 在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则（ ）
A．点 在第一象限 B． 的面积为C． 的斜率为 D．直线 和圆 相切
【答案】BCD
【分析】对于A，设椭圆的上顶点为 ， ，即可解决；对于B，求得 为等腰三角形即
可解决；对于C，由 ，即可解决；对于D，过 作 于 ，求得
即可解决；
【详解】由题知，椭圆 ，焦点在 轴上， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，故B正确；
因为 的中点为 ，
所以 ，过 作 于 ， ，故D正确；
因为 ，
所以 为 中点， ，故C正确；
设椭圆的上顶点为 ， ，
所以点 在第二象限，故A错误；
故选：BCD变式3．【多选】（2023秋·江苏连云港·高二统考期末）已知椭圆 上一点 ，椭圆的左､右焦点
分别为 ，则（ ）
A．若点 的横坐标为2，则
B． 的最大值为9
C．若 为直角，则 的面积为9
D．若 为钝角，则点 的横坐标的取值范围为
【答案】BCD
【分析】对A，可直接解出点P坐标，求两点距离；
对B， 最大值为
对C，设 ，则 ，列勾股定理等式，可求面积；
对D，所求点 在以原点为圆心， 为半径的圆内，求出椭圆与该圆的交点横坐标即可判断.
【详解】椭圆的长半轴为 ，半焦距为 ，∴
对A， 时，代入椭圆方程得， ， ，A错；
对B， 的最大值为 ，B对；
对C， 为直角，设 ，则 ，则有 ，则 的面积为 ，C对；
对D，以原点为圆心， 为半径作圆，则 为圆的直径，则点P在圆内时， 为钝角，联立
，消y得 ，故点 的横坐标的取值范围为 ，D对.
故选：BCD
变式4．【多选】（2023春·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中）已知椭圆 的左、右
焦点分别为 ， ， 为椭圆C上一动点，则下列结论中正确的是（ ）
A． 的面积的最大值为
B．以线段 为直径的圆与直线 相切
C． 恒成立
D．若 ， ， 为一个直角三角形的三个顶点，则点P的纵坐标为
【答案】BCD
【分析】对A，根据面积表达式得到点 位于上下顶点时三角形面积最大，对B，利用几何法即可判断直
线与圆的关系，对C，设 ，写出向量数量积的表达式即可判断，对D，分类讨论即可.
【详解】对A， ，则 ，
由图得 ，显然当点 位于椭圆上下顶点时， 的面积的最大值，最大值为 ，故A错误；
对B，以线段 为直径的圆的圆心为 ，半径 ，
则圆心到直线的距离 ，故直线与圆相切，故B正确；
对C，设 ，则 ，且 ，则 ，
， ，
则
，故C正确；
对D，由C选项知 ，
则 ，则 ，
若 ，令 ，则有 ，解得 ，
同理若 ，令 ，则有 ，解得 ，故D正确.
故选：BCD.
考点七：与椭圆有关的轨迹问题
（一）直接法
例12．（2023春·山东菏泽·高二统考期末）点M与定点 的距离和它到定直线 的距离的比为 ，则点M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轨迹方程的求解方法列方程求解.
【详解】设 ，
因为点M与定点 的距离和它到定直线 的距离的比为 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，
故选:C.
变式1．（2023·高二单元测试）在平面直角坐标系中，已知定点 、 ，直线 与直线
的斜率之积为 ，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设动点P的坐标为 ，依题意得到方程 ，整理即得轨迹方程；
【详解】解：设动点P的坐标为 ，则由条件得 ．即 ．
所以动点P的轨迹C的方程为 ．
故选：B．
（二）定义法
例13．（2023春·上海崇明·高二统考期末）在平面直角坐标系中，点 到点 、 的距离之和为 ，则点 的轨迹方程是______.
【答案】
【分析】依题意可得点 为以点 、 为焦点的椭圆，即可求出 、 、 ，从而得到椭圆方程.
【详解】因为点 到点 、 的距离之和为 ，
即 ，所以点 的轨迹为以点 、 为焦点的椭圆，
且 ， ，所以 ，所以椭圆方程为 .
故答案为：
变式1．（2023·高二课时练习）已知 的周长为20，且顶点 ，则顶点 的轨迹方程是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件及椭圆定义求椭圆的标准方程.
【详解】错解：
∵△ABC的周长为20，顶点 ，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴椭圆的方程是故选：D.
错因：
忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件.
正解：
∵△ABC的周长为20，顶点 ，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴椭圆的方程是
故选：B.
变式2．（2023秋·青海西宁·高二期末）一个动圆与圆 外切，与圆 内
切，则这个动圆圆心的轨迹方程为__________．
【答案】
【分析】计算得到 ，故轨迹为椭圆，计算得到答案.
【详解】设动圆圆心为 ，半径为 ，根据题意知： ， ，
所以 ，所以圆心 的轨迹为椭圆.
其中 ， ，故 ，
因为焦点在 轴上，故圆心轨迹方程为： .
故答案为： .
变式3．（2023秋·福建泉州·高二统考期末）已知P是圆 上任一点， ，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为___________.
【答案】
【分析】根据给定条件，结合图形的几何性质探求点Q满足的关系等式，再借助椭圆的定义求出方程作答.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，点Q在线段PA的中垂线l上，如图，
有 ，则 ，
因此点Q的轨迹是以A，C为焦点，实轴长 的椭圆，则虚半轴长 ，
所以点Q的轨迹方程为 .
故答案为：
变式4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知 是椭圆 的左，右焦点，
是椭圆 上任意一点，过 作 的外角的角平分线的垂线，垂足为 ，求点 的轨迹方程.
【答案】【分析】延长 ，与 的延长线交于点 ，连接 ，由角平分线、中位线性质得 ，
，再根据椭圆定义得 ，即可得轨迹.
【详解】
延长 ，与 的延长线交于点 ，连接 ，
由 是 的外角的角平分线，且 ，
在 中， 且 为线段 的中点
又 为线段 的中点，由三角形的中位线： ，
根据椭圆的定义得： ，则 ，
点 的轨迹为以原点为圆心， 为半径的圆，点 的轨迹方程： .
变式5．（2023·高二课时练习）在 中，已知 ，若 ，且满足
，则顶点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先利用正弦定理化角为边，从而可得 ，再结合题意可得点 的轨迹是以
为焦点的椭圆的左半部分，即可得解.【详解】解：在 中，因为 ，
所以 ，
又 ，则 ，
所以 ，即 ，
由于 ，
所以点 的轨迹是以 为焦点的椭圆的左半部分，
由 ，
所以顶点 的轨迹方程是 .
故选：A.
（三）相关点法
例14．（2023秋·北京通州·高二统考期末）如图，在圆 上任取一点P，过点P作x轴的
垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设 ， , ，利用 为线段 的中点，得到 点坐标与动点 坐标之间的关系，将
点坐标用 点坐标表示，然后代入圆的方程即可得到动点 的轨迹方程；【详解】设 ， , ，则 , ．
为线段 的中点，
，即 ， ．
又点 在圆 上，
，即 ．
故点 的轨迹方程为 ．
故选：A
变式1．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知 ，A，B分别在y轴和x轴上
运动，O为原点， ，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】B
【分析】设出点 的坐标，利用 进行转化，利用 可得答案.
【详解】设 ，因为 ，所以 ；
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，整理得 ，其轨迹是椭圆.
故选：B.
变式2．（2023秋·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）设 为坐标原点，动点 在圆
上，过 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足 ，则点 的轨迹方程为
A． B． C． D．【答案】B
【详解】设 ，因为 轴，且 ，所以 ，又动点 在圆
上，所以 ，化简，得 ，即点 的轨迹方程为 ；故选B.
变式3．（2023秋·全国·高三专题练习）已知圆 ： ，从这个圆上任意一点 向 轴作垂线段
（ 在 轴上）， 在直线 上且 ，则动点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设 ，根据 得 ，再结合圆 的方程求解即可.
【详解】设 ,则由 得 ,因为 所以 ,即
.
故选：D.
一、单选题
1．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆 的焦点在 轴上，若椭圆的焦距为 ，则 的值为
（ ）A． B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】将椭圆方程化为标准式，即可得到 ， ，从而求出 ，即可得解.
【详解】椭圆 即 ，焦点在 轴上，
所以 ， ，所以 ，
又椭圆的焦距为 ，所以 ，解得 .
故选：A
2．（2023秋·高二课时练习）若已知椭圆 ，长轴在 轴上，若焦距为4，则 等于
（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据题意直接列式求解即可.
【详解】由题意可得： ，解得 .
故选：A.
3．（2023秋·高二课时练习）“ 是“方程 表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】把方程化为 ，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，方程 ，可化为标 ，
当 时，方程 表示焦点在 上的椭圆，即充分性成立；
若方程表示焦点在 上的椭圆，则满足 ，即必要性成立，
所以 时方程 表示焦点在 上的椭圆的充要条件.
故选：A.
4．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点 ， 是椭圆 上关于原点对称的两点，
， 分别是椭圆 的左、右焦点，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先证明四边形 是平行四边形，再利用椭圆的定义求出 即得解.
【详解】因为 ,
所以四边形 是平行四边形.
所以 .
由椭圆的定义得 .
所以 .
故选：C5．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，A是C上一点，
，则 的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义可得 ，利用 可求 的最大
值.
【详解】
设椭圆的半焦距为 ，则 ， ，
如图，连接 ，则 ，
而 ，当且仅当 共线且 在 中间时等号成立，
故 的最大值为 .
故选：A.
6．（2023秋·山西大同·高二统考期末）如果椭圆 上一点 到此椭圆一个焦点 的距离为2，
是 的中点， 是坐标原点，则 的长为（ ）
A．6 B．10 C．8 D．12
【答案】C
【分析】由椭圆定义可得 ，再利用中位线的性质即可求解．【详解】如图，连接 ， ， ，
由椭圆方程可得： ，则 ，
由椭圆定义可得 ，所以 ，
因为 是 的中点， 是 的中点，则由中位线可得： .
故答案为：C.
7．（2023·湖南·校联考二模）已知 分别为椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点，则
的最大值为（ ）
A．64 B．16 C．8 D．4
【答案】B
【分析】由 ，根据三角形的三边关系有 求解.
【详解】解： ，
因为椭圆上的点 满足 ，
当点 为 的延长线与 的交点时， 取得最大值，最大值为 ．
所以 的最大值为16．
故选：B．
8．（2023秋·高二课时练习）已知点F，F 是椭圆 的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，
1 2
那么 的最小值是（ ）A．0 B．1 C．2 D．2
【答案】C
【分析】设 ，由坐标表示 ，由向量模的平方结合椭圆的范围得最小值．
【详解】椭圆 的左右焦点 .
设 ，则 ， ，
∴ ，
又 ，则 .
∴
∵点P在椭圆上，∴ ，
∴当 时， 取最小值2．
故选：C．
二、多选题
9．（2023·云南·校联考二模）已知椭圆 ， 为C的左、右焦点，P为C上一点，且
，若 交C点于点Q，则（ ）
A． 周长为8 B．
C． 面积为 D．
【答案】AD
【分析】根据椭圆方程，求出对应的 ，利用几何性质即可得出正确的选项
【详解】由题意，在椭圆 中， ，不妨设 在 轴上方，则 ， ，
所以 ，故B错；
的周长为 ，A正确；
设 ，
在 中，
得 ，
所以 ，D正确；
，
所以 ，
故C不正确，
故选：AD．
10．（2023秋·辽宁沈阳·高二校联考期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，P为椭圆C
上的一个动点，点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的周长为6 B． 的面积的最大值为
C．存在点P，使得 D． 的最大值为7
【答案】BD【分析】由定义得出 的周长，从而判断A；当P为椭圆短轴顶点时， 的面积最大，从而判
断B；由余弦定理得出 的最大角为锐角，从而判断C；由椭圆的定义得出
，从而判断D.
【详解】对于A，由椭圆 ，得 的周长为 ，A错误；
对于B，当P为椭圆短轴顶点时， 的面积最大，且最大面积 ，B正确；
对于C，当P为椭圆短轴顶点时， 最大，
此时 ，
即 为锐角，故不存在点P使得 ，C错误；
对于D，由椭圆 ，所以 ．
又 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 三点共线时，取等号，
D正确．
故选：BD．
11．（2023·安徽黄山·统考二模）已知椭圆 分别为椭圆的左，右焦点， 分别是椭圆
的左，右顶点，点 是椭圆上的一个动点，则下列选项正确的是（ ）
A．存在点 ，使得
B．若 为直角三角形，则这样的点 有4个
C．直线 与直线 的斜率乘积为定值D．椭圆C内接矩形的周长取值范围是
【答案】CD
【分析】根据焦点三角形的性质以及余弦定理可得 在椭圆的上下顶点处， 最小， 最大，
进而可判断AB,由斜率公式可判断C，根据三角换元可判断D.
【详解】设椭圆上任意一点为 ， 则 ，
，
由余弦定理得
，当且仅当 等号成立，
此时 在椭圆的上下顶点处， 最小， 最大，
对于A,当 在椭圆的上下顶点时， ，故不存在点 ，使得
，故A错误，
对于B, 当 在椭圆的上下顶点时， 的最小值为 ，此时 为钝角，根据
椭圆的对称性可知：当 为直角时，此时有4个满足位置的点 ，当 为直角时，满足条件的 有2
个，同理 为直角时，也有2个满足条件的 ，故当 为直角三角形时，有8个满足满足条件的 ，
故B错误，对于C， ,所以 ,故C正确，
对于D，设不妨设 是椭圆在第一象限得的内接矩形的一顶点，根据椭圆的对称性可知椭
圆的内接矩形的四个顶点关于坐标轴对称，故矩形的周长为 ，故当
时， 在椭圆上，此时周长最大为8，当 时，此时 ，此时 在短轴上，不能
构成矩形，故周长大于4，故周长的范围为 ，故D正确，
故选：CD
12．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测） 为椭圆 的两个焦点，过 的直线l与
椭圆交于A，B两点，则 的内切圆半径的r值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据椭圆的定义可得， 的周长为 ，可推得 .设 ， ，设 ，
，进而由 .设直线 的方程为 ，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理得出坐标关系，进而推得 ，得出 ，即可得出 的范围.
【详解】由已知可得， ， ，
如图，根据椭圆的定义可得， 的周长为 ，
所以 .
设 ， ，设 ， ，
则 .
由已知可得，直线与 轴不重合， ，
设直线 的方程为 ，
联立直线与椭圆的方程 可得， .
，
且 ，
所以， .令 ，则 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以， ，所以 ，
所以， ，
所以， ，解得 .
故选：BCD.
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 的圆心为 ，点 是圆 上的动点，点
，线段 的垂直平分线交 于 点.则点 的轨迹 的方程为_______；
【答案】
【分析】由垂直平分线的性质结合椭圆的定义得出点 的轨迹 的方程.
【详解】由题意知，线段 的垂直平分线交 于 点，所以 ，
∴ ，
∴点 在以 、 为焦点，长轴长为4的椭圆上， ， ， ，
∴点 的轨迹 的方程为 ．
故答案为：14．（2023春·上海静安·高二校考期中）已知 为椭圆 上一动点，记原点为 ，若 ，
则点 的轨迹方程为______．
【答案】
【分析】先设点 ，再由 应用相关点法求轨迹方程即可.
【详解】设点 ，由 得点 ，而点 为椭圆 上的任意一点，
所以 ，整理得 ，
所以点 的轨迹方程是 .
故答案为：
15．（2023秋·高二课时练习） 的两个顶点坐标分别是 和 ，边 ， 所在直线的斜
率的乘积是 ，则顶点A的轨迹方程是________．
【答案】
【分析】根据 ， 所在直线斜率公式结合已知可求得A的轨迹方程.
【详解】设顶点A的坐标为 ，由题意得 ，化简整理，得 ，
又 是 的三个顶点，所以 三点不共线，因此y≠±6，
所以顶点A的轨迹方程为 ．
故答案为：
16．（2023春·陕西西安·高二西安建筑科技大学附属中学校考期中）设集合 ， ，则方程 表示焦点位于y轴上的椭圆有________个．
【答案】10
【分析】根据a
