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专题强化2：空间向量和立体几何考点精练
【基础巩固】
1．如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算即可.
【详解】G是CD的中点,所以
故选：A.
2．已知空间向量 ， ， 若， ， ， 共面，则实数 的值为（ ）
A． B．6 C． D．12
【答案】A
【分析】根据向量共面，建立方程组，解得答案.
【详解】由 ， ， 共面，可设 ，则 ，
由 ，解得 ，代入第三个方程可得： ，解得 .
故选：A.
3．已知向量 分别是直线 ， 的方向向量，若 ，则 （ ）A．8 B．20 C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解可得.
【详解】因为 ，则存在实数 使得 ，
所以 ，即 ，解得 ， ， ，
所以 .
故选： .
4．如图，设 为平行四边形 所在平面外任意一点， 为 的中点，若 ，
则 的值是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算的几何表示，得出 ，结合条件即可得出答案.
【详解】 为 的中点，
，
四边形 为平行四边形， ，
.
，， ，
，
故选：B.
5．在空间直角坐标系 中，点 关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数即可求解.
【详解】 关于 轴对称点的横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数，
对称点为 .
故选：C.
6．已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，若直线 与平面 平行，则实数
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意可得 ，即可得到 ，从而得到方程，解得即可.
【详解】因为直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，
若直线 与平面 平行，则 ，即 ，即 ，解得 .
故选：C．
7．二面角 的平面角为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内， ，
且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（ ）A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】利用二面角、空间向量的数量积运算、空间向量的模、夹角与距离求解问题
【详解】∵二面角 的平面角为60°，
是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内， ， ，
， ， ，
故选：D.
8．如图，在棱长为2的正方体 中， 分别为 的中点，则 与 所成
的角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，分别求得 ，再利用向量的夹角公式求解.
【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系：
，
则 ，
，
，
故选：C
9．（多选）已知向量 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则C．不存在实数 ，使得
D．若 ，则
【答案】ACD
【分析】运用空间向量的垂直、共线的表示及应用，以及空间向量的数量积的运算、模的运算，逐项判断
即可.
【详解】对于A项，由 可得 ，解得 ，故A项正确；
对于B项，由 可得 ，解得 ，故B项错误；
对于C项，假设存在实数 ，使得 ，则 ，所以不存在实数 ，使得 ，
故C项正确；
对于D项，由 可得 ，解得 ，所以 ，故D项正确.
故选：ACD.
10．（多选）已知直线 的方向向量为 ，两个不重合的平面 ， 的法向量分别为 ， ，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ACD
【分析】对于A：利用法向量的定义直接判断；对于B：判断出 或 在面 内；对于C：由垂直于同一
直线的两平面平行即可判断；对于D：由面面垂直的判定定理判断.
【详解】对于A：因为 ， 为平面 的法向量，所以 为平面 的一个法向量，所以 .故A正确；
对于B：因为 为平面 的法向量，直线 的方向向量为 ，且 ，所以 或 在面 内.故B错误；
对于C：因为两个不重合的平面 ， 的法向量分别为 ， ，且 ，由垂直于同一直线的两平面平行可知： .故C正确；
对于D：因为 ，所以 .
又因为两个不重合的平面 ， 的法向量分别为 ， ，
所以由面面垂直的判定定理可得： .故D正确.
故选：ACD
11．在空间直角坐标系中，点 与点 之间的距离__________．
【答案】
【分析】由空间中两点间距离公式即可求解.
【详解】由空间中两点间距离公式可得 ,
故答案为：
12．已知向量 ，且 与 互相垂直，则实数 __________.
【答案】
【分析】求出 ，根据向量模长公式列出方程，求出 .再分 与 两种情况，根据
向量垂直列出方程，求出实数k的值.
【详解】 ，
所以 ，解得 .
当 时，
，
，因为 与 互相垂直，
所以 ，解得 .
当 时， ，
因为 与 互相垂直，
所以 ，解得 ，
综上： .
故答案为：
13．在平行六面体 中，E，F分别是棱 ， 的中点，记 ， ， ，
则 等于__________（用 ， ， 表示）．
【答案】
【分析】连接 ，利用空间向量的线性运算求解.
【详解】连接 ， ，
故答案为：14．如图，在棱长为1的正方体 中，E为线段 的中点，则点C到平面 的距离等于
_____.
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
， ，设平面 的一个法向量为 ，
，即 ，取 ，又 ，
所以点 到面 的距离 ，故答案为： .
15．已知 ，若 夹角为钝角，则实数 的取值范围是________．
【答案】 且
【分析】根据题意得出 且 与 不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件即可求出答
案.
【详解】因为 与 的夹角为钝角，所以 且 与 不共线，
因为 ，所以 ，解得 ，
当 与 共线时， ，即 ，则 ，解得 ，
所以 且 .
故答案为： 且 .
16．正方体 中，E为线段 的中点，则直线 与平面 所成角的正弦值为
__________．
【答案】
【分析】建立空间坐标系，利用法向量求解线面角.
【详解】以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
如图，设正方体的棱长为2，则 ;
；设平面 的一个法向量为 ，则 ， ，
令 ，则 .
设直线 与平面 所成角为 ，则 .
故答案为： .
【综合运用】
17．（多选）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， ，
底面 ，则（ ）．
A． B． 与平面 所成角为
C．异面直线 与 所成角的余弦值为 D．二面角 的正弦值为
【答案】ABD
【分析】连接 ，由已知结合余弦定理与勾股定理逆定理可得 ，于是可建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算逐项判断即可.
【详解】连接 ，因为 ，设 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，则 ，
则 ，即 ，又 底面 ， 底面 ，
所以 ，
如图，以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则
对于A，所以 ， ，则 ，
所以 ，故A正确；
对于B，又 ，因为 底面 ，所以 是平面 的一个法向量，所以
，
则 与平面 所成角的正弦值为 ，即 与平面 所成角为 ，故B正确；
对于C， ，
则 ，
则异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故C错误；对于D，设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，
则 ，
所以 ，
令二面角 所成角为 ，则
则平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
18．在空间直角坐标系 中，已知 ， ， ，则三棱锥 的体积为
________．
【答案】
【分析】求出平面 的一个法向量 ，从而可求点 到平面 的距离，求出 即可得
棱锥的体积.
【详解】 ,设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ,可得 ,所以 .所以点 到平面 的距离为 .
又 ，
所以 ，
所以 .
故答案为: .
19．如图：正三棱锥 中， 分别在棱 上， ，且 ，则
的余弦值为___________.
【答案】
【分析】设 ,由 可得 ，又 ，得
，利用数量积的运算律可得 .
【详解】正三棱锥 中，设 , 且侧棱长相等，
因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，即 ，
解得 ，即 的余弦值为 .
故答案为：
20．在三棱锥P－ABC中， 底面ABC，底面ABC为正三角形，PA＝AB，则异面直线PB与AC所成角
的余弦值为______
【答案】
【分析】以 为基底，运用空间向量求解.
【详解】设 ，则 ，
；
故答案为： .
【拓广探究】
21．如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角
坐标系Oxyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，
点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．
【详解】依题意可得P，
设点Q(0,1，z)(0≤z≤1)，则|PQ|＝＝，
所以当z＝时，|PQ| ＝，
min
此时Q，Q恰为CD的中点．
所以|PQ|的最小值为.
22．如图，在四棱锥 中， 为等边三角形， 为 的中点， ， ，
， ，平面 平面 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）根据题意，由面面垂直的性质定理可得 平面 ，从而得到 ，再由线面垂
直的判定定理即可得到证明；
（2）根据题意，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，结合空间向
量的坐标运算即可得到结果.
【详解】（1）证明：因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，
平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又因为 为等边三角形， 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 .
（2）以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，建立如图空间直角坐标系，
则 ， ，
由（1）可知， 平面 的一个法向量，
设 是平面 的一个法向量， ，
所以 ， 即 ，
取 ，则 ，所以，
所以 ，
平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为
