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专题强化 3：空间向量与立体几何考点梳理
【知识网络】
【考点突破】
一、空间向量的概念及运算
1．已知向量 ， ，且 与 互相垂直，则 的值是（ ）
A．－1 B． C． D．
2．已知空间向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．3．如图所示，在空间四边形 中， ，点 在 上，且 ， 为 中
点，则 （ ）
A． B．
C． D．
4．已知空间三点 ， ， ，若向量 与 的夹角为60°，则实数 （ ）
A．1 B．2 C． D．
5．（多选）已知空间向量 ， ，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D． ，
6．已知向量 ， 满足 ， ，且 .则 在 上的投影向量的坐标为
_________.
7．如图所示，在平行六面体 中， ，若 ，则
___________.二、利用空间向量证明位置关系
1．如图所示，在直三棱柱 中， ， ， ， .
(1)求证： ；
(2)在 上是否存在点 ，使得 平面 ，若存在，确定 点位置并说明理由，若不存在，说明理
由．
2．如图所示，在长方体 中， ， ， 、 分别 、 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 .3．如图，在直三棱柱 中， ， ，M为AB的中点，N为 的中
点，P是 与 的交点．
(1)证明： ；
(2)在线段 上是否存在点Q，使得 ∥平面 ？若存在，请确定Q的位置；若不存在，请说明理
由．
三、利用空间向量计算距离
1．如图，在长方体 中， ， ， 为 的中点.(1)求点 到直线 的距离；
(2)求点 到平面 的距离.
2．如图，在正方体 中， 为 的中点．
(1)证明： 平面ADE；
1
(2)求直线 到平面 的距离．
四、利用空间向量求空间角
1．如图，在正三棱柱 中， ， 是 的中点．
(1)求异面直线 与 所成角的余弦值；(2)证明：平面 平面 ．
2．如图，平面五边形ABCDE中， 是边长为2的等边三角形， ，CD＝AE，
，将 沿AD翻折，使点E翻折到点P．
(1)证明：PC⊥BC；
(2)若PC＝3，求二面角P－AD－B的大小，以及直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【随堂演练】
1．平面 的一个法向量是 , , ，平面 的一个法向量是 ,6, ，则平面 与平面 的关系
是（ ）
A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直
2．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，则点 到直线
的距离为（ ）
A． B． C． D．4
3．设 、 ，向量 ， ， 且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．4．已知直线 过定点 ，且方向向量为 ，则点 到 的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．x=1，y=-1
6．已知O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，且 ，
则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是
60°，下列说法中不正确的是（ ）
A．
B．BD⊥平面ACC
₁
C．向量 与 的夹角是60°
D．直线BD 与AC所成角的余弦值为
₁8．已知矩形ABCD，AB＝1，BC ，沿对角线AC将 ABC折起，若平面ABC与平面ACD所成角的余
△
弦值为 ，则B与D之间距离为（ ）
A．1 B． C． D．
9．设直线 的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若直线 平面 ，则实数
的值为________．
10．如图，在棱长为2的正方体 中，M，N分别为棱 ， 的中点，则 的重心
到直线BN的距离为___________.
11．如图，在四棱锥 中，已知棱 ， ， 两两垂直且长度分别为1，2，2， ，
．（1）若 中点为 ，证明： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离．
12．如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ， ， ，
，平面 平面 ，且 ， 为 的中点，证明：平面 平面 .
13．如图，由直三棱柱 和四棱锥 构成的几何体中，
，平面 平面
（1）求证： ；
（2）若M为 中点，求证： 平面 ；14．在边长是2的正方体ABCD﹣ABC D 中，E，F分别为AB，AC的中点．应用空间向量方法求解下列
1 1 1 1 1
问题．
（1）求EF的长
（2）证明：EF∥平面AADD；
1 1
（3）证明：EF⊥平面ACD．
1
15．如图，已知长方体 ，直线 与平面 所成的角为 ， 垂直
于E，F为 的中点．
(1)求异面直线 与 所成的角的余弦值；
(2)求平面 与平面 所成的二面角（锐角）的余弦值；
(3)求点A到平面 的距离．16．如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将 沿EF翻折至
，得到四棱锥 ，P为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若平面 平面EFCB，求直线 与平面BFP所成的角的正弦值．
