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第 16 讲 圆的方程 7 种常见考法归类
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.
知识点1 圆的标准方程
1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2．圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示．
3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
注：（1）圆的方程的推导：
设圆上任一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，得＝r，
化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆．
(3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．
(4)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上．
知识点2 点与圆的位置关系
(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断：d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在
圆内．
(2)根据点M(x，y)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系判断：
0 0
(x－a)2＋(y－b)2＞r2⇔点在圆外；
0 0(x－a)2＋(y－b)2＝r2⇔点在圆上；
0 0
(x－a)2＋(y－b)2＜r2⇔点在圆内．
0 0
知识点3 圆的一般方程
1．圆的一般方程的概念
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
注：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得2＋2＝，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F
＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点.
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为 .
注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需
要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：
(1)x2，y2项的系数均为1；
(2)没有xy项；
(3)D2＋E2－4F＞0.
3．常见圆的方程的设法
标准方程的设法 一般方程的设法
圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0
过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0
与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0
4. 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则
5. 以A(x，y)，B(x，y)为直径端点的圆的方程为(x－x)(x－x)＋(y－y)(y－y)＝0.
1 1 2 2 1 2 1 2
知识点4 圆的轨迹问题
轨迹和轨迹方程区别：轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等．轨迹方程是点的坐标
满足的关系式．
1、求圆的标准方程的方法
确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于
a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．常用到中点坐
标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
2、判断点与圆的位置关系的方法
(1)确定圆的方程：化为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)将点的坐标代入代数式(x－a)2＋(y－b)2，比较代数式的值与r2的大小关系．
(3)下结论：若(x－a)2＋(y－b)2＝r2，表示点在圆上；若(x－a)2＋(y－b)2＞r2，表示点在圆外；若(x－a)2
＋(y－b)2＜r2，表示点在圆内．
此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，
点在圆上；当d0 表示以为圆心，以为半径的圆
5、利用待定系数法求圆的方程的解题策略
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方
程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数 D，
E，F.
6、求与圆有关的轨迹问题的方程
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
7、用代入法求轨迹方程的一般方法8、圆上的点到定点的最大、最小距离
设 的方程 ，圆心 ，点 是 上的动点，点 为平面内一点；
记 ;
①若点 在 外，则 ;
②若点 在 上，则 ;
③若点 在 内，则 ;
9、与圆有关的最值问题常见的几种类型
(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
考点一：求圆的标准方程
（一）由圆的标准方程求圆心、半径
例1．（2023秋·高二课时练习）已知圆 的标准方程为 ，则此圆的圆心及半径长分
别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据圆的标准方程直接求解即可.
【详解】由标准方程 可得：圆 的圆心为 ，半径为 ，
故选：B.
变式1．（2023秋·高二单元测试）圆 的圆心和半径分别是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】根据圆的标准方程的定义即可得圆心坐标和半径.
【详解】由圆的标准方程 可得，
圆心坐标为 ,半径 .
故选：B
变式2．（2023·江苏·高二假期作业）已知圆C的标准方程为 ，则圆心C的坐标为
________，圆的面积为________．
【答案】
【分析】由圆的标准方程直接得出圆心和半径，进而得圆的面积.
【详解】圆C的标准方程为 ,
则圆心 ，半径 ，故圆的面积 ．
故答案为： ， ．
（二）求圆的标准方程
例2．（2023春·河北邯郸·高二统考期末）已知圆 的圆心为点 ，且经过原点，则圆 的标
准方程为__________.
【答案】
【分析】先求出圆 的半径，再写出圆 的标准方程.
【详解】由已知得圆 的半径 ，
所以圆 的标准方程为 .
故答案为： .
变式1．（广东省广州市培正中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题）求圆心在y轴上，半径为1，且过点 的圆的标准方程.
【答案】
【分析】设圆的方程为 ，将点 代入圆的方程，求得 的值，即可求解.
【详解】由题意，可设圆的方程为 ，
因为点 在圆上，可得 ，解得 ，
所以所求圆的方程为 .
变式2．（福建省泉州外国语中学2022-2023学年高二上学期期中质量监测数学试题）与x轴相切，且圆心
坐标为 的圆的标准方程为_______________
【答案】
【分析】根据圆的圆心坐标结合与y轴相切可得到该圆的半径可得答案.
【详解】∵圆心坐标为 ，又与y轴相切，
∴圆的半径为2，
∴圆的标准方程为 .
故答案为： .
变式3．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）在平面直角坐标系 中，已知 、
两点，若圆 以 为直径，则圆 的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出圆心 坐标以及圆 的半径，即可得出圆 的标准方程.【详解】由题意可知，圆心 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即点 ，
圆 的半径为 ，
因此，圆 的标准方程为 .
故选：A.
变式4．（2023·江苏·高二假期作业）求经过点 和坐标原点，并且圆心在直线 上的圆的
方程．
【答案】
【分析】利用待定系数法或几何法求解.
【详解】法一（待定系数法）：
设圆的标准方程为 ，
则有 ，解得 ，
∴圆的标准方程是 ．
法二（几何法）：
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为 ．
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由 ，得 ，
即圆心坐标为 ，半径r＝ ＝5．
∴圆的标准方程是 ．
变式5．（广东省肇庆市百花中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题）直线 与直线相交于点 ，直线 过点 且与直线 平行.
(1)求直线 的方程；
(2)求圆心在直线 上且过点 的圆的方程.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由题可得 ，然后根据直线的位置关系可设 ，进而即得；
（2）根据圆的几何性质可得圆心和半径，即得.
【详解】（1）由 ，可得 ，即 ，
由题可设直线 ，又直线 过点 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ；
（2）因为圆心在直线 上且过点 ，
由 ，可得线段 的中垂线方程为 ，
由 ，可得 ，
所以圆心坐标为 ，半径为 ，
所以圆心在直线 上且过点 的圆的方程为 .
考点二：圆的一般方程
（一）圆的一般方程辨析
例3．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）方程 表示一个圆，则
的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可.
【详解】由 ，得 ，
解得 .
故选：B
变式1．（2023秋·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）方程 表示圆，
则实数a的可能取值为（ ）
A． B．2 C．0 D．
【答案】D
【分析】先把 整理成圆的标准形式，满足右边关于 的表达式大于零.
【详解】由 ，可得 ，
所以 ，
解得 或 ，
选项中只有 符合题意.
故选：D.
（二）由圆的一般方程求圆心、半径
例4．（上海市第三女子中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）圆 的圆
心坐标是________.
【答案】
【分析】化圆的一般方程为标准方程，即可求得圆心坐标．
【详解】由 ，得 ，可得圆心坐标为 ．
故答案为： ．
变式1．（2023春·湖北武汉·高二武汉市新洲区第一中学校考开学考试）已知圆C： ，则
圆C的圆心和半径为（ ）
A．圆心 ，半径 B．圆心 ，半径
C．圆心 ，半径 D．圆心 ，半径
【答案】A
【分析】将圆的方程化为标准方程，从而可得圆心与半径.
【详解】由 化为标准方程可得 ，
故圆心 ，半径 .
故选:A.
变式2．（2023秋·高二课时练习）圆C： 的圆心是_____，半径是_____．
【答案】
【分析】将圆的方程化为标准方程，即可得出答案.
【详解】将圆方程化为标准方程可得， .
所以，圆心 ，半径 .
故答案为： ； .
（三）求圆的一般方程
例5．（2023秋·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）求适合下列条件的圆的方程：
(1)圆心在直线 上，且过点 的圆；
(2)过三点 的圆.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先设圆的标准方程为 ，根据题意得到 ，再
解方程组即可.
（2）首先设圆的一般方程为： ， ，根据题意得到
，再解方程组即可.
【详解】（1）设圆的标准方程为 ，由题知：
，解得 .
所以圆的标准方程为： .
（2）设圆的一般方程为： ， ，
由题知： ，
所以圆的方程为： .
变式1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知圆 经过抛物线 与 轴的交点，且过点 ，则
圆 的方程为______.【答案】
【分析】首先设圆的一般方程，结合条件，利用待定系数法，即可求解.
【详解】设圆 的方程为 ，令 ， ，
则由圆 经过抛物线 与 轴的交点可知方程 与 同解，
所以 ， ，所以圆 的方程为 ，
又因为圆 过点 ，所以 ，所以 ，
所以圆 的方程为 .
故答案为：
变式2．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点 四点共圆，则点D到坐标原点
O的距离为______．
【答案】3
【分析】待定系数法求得过 的圆的方程为 ，从而可得 ，解得 ，
再根据两点距离公式即可求解.
【详解】设过 的圆的方程为： ， ，
则 ，解得 ，
所以过 的圆的方程为： .
又因为点 在此圆上，所以 ，解得 ，
所以点D到坐标原点O的距离为 .
故答案为：
变式3．（2023·江苏·高二假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程.
【详解】设圆的方程为 ，
由题意知,圆过点 ， 和 ，
所以 ，解得 ，
所以所求圆的方程为 .
故选：A
变式4．（2023秋·高二校考课时练习）已知圆经过点 和 ，该圆与两坐标轴的四个截距之和为
，求圆的方程.
【答案】 .
【分析】利用待定系数法设出圆的方程，然后利用圆与两坐标轴的四个截距之和为 ，即可求解.
【详解】设圆的一般方程为 ，由圆经过点 和 ，
代入圆的一般方程，得 (*)
设圆在 轴上的截距为 、 ，则它们是方程 的两个根，得 .
设圆在 轴上的截距为 、 ，则它们是方程 的两个根，得 .
由已知，得 ，即 . ③
由(*)③联立解得 .故所求圆的方程为 .
考点三：根据对称性求圆的方程
例6．（2023秋·重庆荣昌·高二重庆市荣昌永荣中学校校考期中）圆 关于直线
对称的圆的标准方程为______.
【答案】
【分析】两圆关于直线对称等价于圆心关于直线对称，半径不变，根据题意运算求解.
【详解】∵圆 的圆心 ，半径为 ，
则 关于直线 对称的点为 ，
∴对称圆的圆心为 ，半径为 ，
故对称圆的方程为： .
故答案为： .
变式1．（2023秋·高二单元测试）圆 关于直线 对称的圆是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出圆心关于直线对称的点的坐标，即可得到对称圆的方程.
【详解】圆 圆心为 ，半径为 ，
设点 关于直线 对称的点为 ，
则 ，解得 ，所以点 关于直线 对称的点为 ，
所以圆 关于直线 对称的圆是 .
故选：D.
变式2．（2023·全国·高三专题练习）与圆 关于直线 对称的圆的标准方程是
______.
【答案】
【分析】先求得所求圆的圆心坐标，进而得到该圆的标准方程.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
点 关于直线 对称的点坐标为
则所求圆的标准方程为
故答案为：
变式3．（2023秋·高二课时练习）已知圆 ，圆 与圆 关于直线 对称，
则圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求得圆 的圆心坐标 和半径 ，再求得 关于 的对称点 ，得到圆 的圆心坐标，进而求得圆 的方程.
【详解】由题意知,圆 的圆心与 关于直线 对称，且两圆半径相等，
因为圆 ，即 ，
所以圆心 ，半径为 ，
设圆 关于直线 对称点为 ，
则 ，解得 ，即 ，
所以圆 的方程为 ，即 .
故选：A.
变式4．（2023春·河南开封·高二统考期末）已知圆 与圆 关于直线 对称，则
圆 的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，求得圆心 关于直线 的对称点，即可得到结果.
【详解】由题意可得，圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，设圆心 关于直线 的对称
点为 ，则 ，解得 ，
所以圆 的标准方程为 .故选：A
变式5．（2023秋·高二课时练习）求圆 关于直线 的对称圆方程.
【答案】
【分析】求出已知圆的半径和圆心坐标，再求出其圆心关于直线 对称的点的坐标，则可求对
称圆的方程.
【详解】由 可得 ，
故圆心坐标为 ，半径为1，
设点P关于直线 的对称点为 ，
则有 ，解得 ，故 ，
所以圆 关于直线 的对称圆的方程为： .
考点四：点与圆的位置关系
例7．【多选】（2023秋·高二课时练习）(多选)下列各点中，不在圆 的外部的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用给定的圆方程，把各选项中的点的坐标代入判断作答.
【详解】对于A， ，点 在圆内；
对于B， ，点 在圆外；对于C， ， 在圆上；
对于D， ， 在圆内.
故选：ACD
变式1．（2023·江苏·高二假期作业）写出圆心为 ,半径为5的圆的标准方程,并判断点
是否在这个圆上．若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内？
【答案】答案见解析
【分析】将点的坐标代入圆的方程，验证是否在这个圆上．根据点到圆心的距离判断该点在圆外还是在圆
内.
【详解】圆心为 ,半径为5的圆的标准方程是 ．
把点 的坐标代入方程 的左边,
得 ,左右两边相等,
点 的坐标满足圆的方程,所以点 在这个圆上．
把点 的坐标代入方程 的左边,
得 ,左右两边不相等,
点 的坐标不满足圆的方程,所以点 不在这个圆上．
又因为点 到圆心A的距离 ．
故点 在圆内．变式2．（2023秋·高二校考课时练习）若点 在圆 的内部，则a的取值范围
是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程计算，即可得到结果.
【详解】由题可知，半径 ，所以 ，把点 代入方程，
则 ，解得 ，所以故a的取值范围是 .
故选：D
变式3．（2023秋·高二课时练习）点 与圆 的位置关系是（ ）
A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不确定
【答案】C
【分析】点到圆心的距离大于半径，点在圆外.
【详解】因为 ，所以点在圆外，
故选：C
考点五：圆过定点问题
例8．（2023秋·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期中）若圆
过坐标原点，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1
【答案】A
【分析】把坐标 代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆．【详解】将 代入圆方程，得 ，解得 或0，
当 时， ，满足题意；
当 时， ，不满足题意.
故选：C．
变式1．（2023·高二课时练习）点 是直线 上任意一点， 是坐标原点，则以 为直
径的圆经过定点（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】D
【分析】设点 ，求出以 为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.
【详解】设点 ，则线段 的中点为 ，
圆 的半径为 ，
所以，以 为直径为圆的方程为 ，
即 ，即 ，
由 ，解得 或 ，
因此，以 为直径的圆经过定点坐标为 、 .
故选：D.
变式2．（2023·全国·高三专题练习）若抛物线 与坐标轴分别交于三个不同的点 、 、 ，
则 的外接圆恒过的定点坐标为_______
【答案】【分析】设抛物线 交 轴于点 ，交 轴于点 、 ，根据题意设圆心为
，求出 ，写出圆 的方程，可得出关于 、 的方程组，即可得出圆 所过定点的坐标.
【详解】设抛物线 交 轴于点 ，交 轴于点 、 ，
由题意可知 ，由韦达定理可得 ， ，
所以，线段 的中点为 ，设圆心为 ，
由 可得 ，解得 ，
，则 ，则 ，
所以，圆 的方程为 ，
整理可得 ，
方程组 的解为 .
因此， 的外接圆恒过的定点坐标为 .
故答案为： .
变式3．（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）对任意实数 ，圆 恒
过定点，则定点坐标为__．
【答案】 或【分析】由已知得 ，从而 ，由此能求出定点的坐标．
【详解】解： ，即 ，
令 ，解得 ， ，或 ， ，
所以定点的坐标是 或 ．
故答案为： 或 .
变式4．（2023秋·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知曲线 ：
．
（1）当 取何值时，方程表示圆？
（2）求证：不论 为何值，曲线 必过两定点．
（3）当曲线 表示圆时，求圆面积最小时 的值．
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） ．
【分析】（1）当 时，可知方程表示直线；当 时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程；
（2）将已知方程整理为 ，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论
可证得；
（3）根据（2）的结论，可知以 为直径的圆面积最小，从而得到圆的方程，与已知方程对应相等可构
造方程组，解方程组求得结果．
【详解】解：（1）当 时，方程为 表示一条直线．
当 时， ，
整理得 ，
由于 ，所以 时方程表示圆．
（2）证明：方程变形为 ．
由于 取任何值，上式都成立，则有 ．
解得 或
所以曲线 必过定点 ， ，
即无论 为何值，曲线 必过两定点.
（3）由（2）知曲线 过定点A， ，在这些圆中，以 为直径的圆的面积最小（其余不以 为直径的
圆的直径大于 的长，圆的面积也大），
从而以 为直径的圆的方程为 ，
所以 ，解得 ．
考点六：与圆有关的轨迹问题
例9．（上海市上海中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）点 与两个定点 ，
的距离的比为 ，则点 的轨迹方程为______．
【答案】
【分析】设出动点 ，利用条件得到 ，再化简即可得到结果.
【详解】设点 ，由题知 ，两边平方化简得 ，即，
所以点 的轨迹方程为 .
故答案为： .
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知圆 ： ，过点 的直线与圆 交于点
， ，线段 的中点为 ，则点 的轨迹方程为___________.
【答案】
【分析】先判断点 在圆内，连接 ，设出点 的坐标 ，在利用垂径定理得到 ，写出
和 坐标，利用 ，得到 ， 的关系，即可得出结果.
【详解】由圆 ： 方程变形为标准式 ，
进而得出 ，所以点 在圆 内部，
又因为 为线段 的中点，连接 ，由垂径定理得 ，
设点 的坐标 ，得 ， ，
所以 ，得 ，整理得 ，
所以点 的轨迹方程为 ，
故答案为：变式2．（2023秋·安徽阜阳·高二校联考阶段练习）已知圆 经过点 ，且被直线
平分.
(1)求圆 的一般方程；
(2)设 是圆 上的动点，求线段 的中点 的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线方程求定点，结合圆的性质，可得圆心，利用两点之间距离公式，可得答案；
（2）设动点坐标，根据题意，建立等量关系，代入圆的方程，可得答案.
【详解】（1）直线 恒过点 .
因为圆 恒被直线 平分，
所以 恒过圆心，
所以圆心坐标为 ，又圆 经过点 ，所以圆的半径 ，
所以圆 的方程为 ，即 .
（2）设 .因为 为线段 的中点，所以 ，
因为点 是圆 上的动点，所以 ，
即 ，所以 的轨迹方程为 .变式3．（2023秋·山东日照·高二校考阶段练习）已知圆C经过点 且圆心C在直线
上.
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点 ，求线段EF的中点M的轨迹方程.
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）利用待定系数法即得；
（2）根据相关点法，设出点M的坐标，利用中点公式结合圆的方程即得.
【详解】（1）由题可设圆C的标准方程为 ，则
，
解之得 ，
所以圆C的标准方程为 ；
（2）设M（x，y）， ，由 及M为线段EF的中点得 ，
解得 ,
又点E在圆C： 上，所以有 ，
化简得： ,
故所求的轨迹方程为 ．
变式4．（2023秋·高二课时练习）正方形 与点 在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且
，则 的取值范围为___________.
【答案】
【分析】以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出点 的轨迹方程为圆，再求出 的取值范围即可.
【详解】如图，以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则 ，
设点 ，则由 ，
得 ，
整理得 ，
即点 的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆，
圆心M到点D的距离为 ，所以 ，
所以 的取值范围是 .故答案为： .
变式5．【多选】（2023秋·高一单元测试）已知点 ， 动点 满足 ，则下面结论正
确的为（ ）
A．点 的轨迹方程为 B．点 到原点 的距离的最大值为5
C． 面积的最大值为4 D． 的最大值为18
【答案】ABD
【分析】设动点 ，根据两点之间的距离公式结合条件化简即可判断A选项，再由圆外一点到圆上
一点的距离范围判断B和C选项，利用向量的数量积公式和代入消元法即可判断D选项.
【详解】设动点 ，则由 得： ，
即 ，
化简得： ，即 ，所以A选项正确；
所以点 轨迹是圆心为 ，半径为 的圆，
则点 到原点 的距离最大值为 ，所以B选项正确；
又 ， 和点 轨迹的圆心都在 轴上，且 ，
所以当圆的半径垂直于 轴时， 面积取得最大值 ，所以C选项错误；
又 ，因为 （ ），
所以 （ ），
则 ，所以D选项正确；
故选：ABD.
考点七：与圆有关的最值问题
例10．（2023秋·四川巴中·高二统考期末）已知圆C过点 ，当圆C到原点O的距
离最小时，圆C的标准方程为______．
【答案】
【分析】根据圆的几何性质可知圆C到原点O的距离最小时，则 ，进而联立直线方程可得圆心坐
标，即可求解.
【详解】由 可得线段 中点坐标为 ，又 ，
所以 垂直平分线的方程为 ，所以圆心C在线段 垂直平分线上，
当圆C到原点O的距离最小时，则 ,所以直线 方程为 ，
联立 ，所以圆心 ,
又半径 ,故圆的方程为：
故答案为：
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知圆 经过点 ，且圆心在直线 上运动，求当半径最小
时的圆的标准方程为_______________
【答案】
【分析】设出圆心，表达出半径，配方求出最小值，从而得到圆心和圆的标准方程.【详解】设圆心 ，
则半径为 ，
故当 时， 取得最小值为 ，此时圆心为 ，
故当半径最小时的圆的方程为 .
故答案为：
变式2．（2023秋·高二课时练习）圆过点 ，求面积最小的圆的方程为_________
【答案】
【分析】根据题意知所求圆为以 为直径的圆，再利用条件即可求出结果.
【详解】当 为直径时，过 的圆的半径最小，从而面积最小，又 ，
所以，所求圆的圆心为 中点 ，半径为 ，则所求圆的方程为：
.
故答案为： .
变式3．（2023秋·高二课时练习）如果圆的方程为 ，那么当圆面积最大时，该圆
的方程为________，最大面积为________．
【答案】
【分析】设圆的半径为 ，将圆的方程化为标准方程，可得 .即可得出半径的最大值，以及
的取值，代入圆的方程以及根据圆的面积公式，即可得出答案.
【详解】设圆的半径为 ，将圆的方程化为标准方程可得， .
因为 ，
当 最大时，圆的面积最大.
所以，当 时，半径 最大为1，
此时圆的方程为 ，面积为 .
故答案为： ； .
变式4．（2023春·山东青岛·高二校联考期中）圆 上的点到直线 的最大
距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将圆的一般方程化为标准方程得圆心及半径，圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半
径.
【详解】圆 化为标准方程得 ，
圆心坐标为 ，半径为 ，圆心到直线 的距离为
所以圆上的点到直线 的最大距离为 .
故选:C.
1．（2020·山东·统考高考真题）已知圆心为 的圆与 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】圆的圆心为 ，半径为 ，得到圆方程.
【详解】根据题意知圆心为 ，半径为 ，故圆方程为： .
故选：B.
2．（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线 上，点 和 均在 上，则 的方
程为______________．
【答案】
【分析】设出点M的坐标，利用 和 均在 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线 上，
∴设点M为 ，又因为点 和 均在 上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴ ，
，解得 ，
∴ ， ，
的方程为 .
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线 的交点(1,-1).
, 的方程为 .故答案为：
3．（2022·全国·统考高考真题）过四点 中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】 或 或 或 ．
【分析】方法一：设圆的方程为 ，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为 ，
（1）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（2）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（3）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；（4）若过 ， ， ，则 ，解得 ，所以圆的方程为
，即 ；
故答案为： 或 或 或
．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过 三点，圆心在直线 ，设圆心坐标为 ，
则 ，所以圆的方程为 ；
（2）若圆过 三点， 设圆心坐标为 ，则 ，所以圆
的方程为 ；
（3）若圆过 三点，则线段 的中垂线方程为 ，线段 的中垂线方程 为 ，
联立得 ，所以圆的方程为 ；
（4）若圆过 三点，则线段 的中垂线方程为 ， 线段 中垂线方程为 ，联立得
，所以圆的方程为 ．故答案为： 或 或 或
．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
4．（2022·北京·统考高考真题）若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为 ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即 ，解得 ．
故选：A．
一、单选题
1．（2023·江苏·高二假期作业）将圆 平分的直线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知所求的直线过圆心，所以先求出圆的圆心，然后将圆心坐标代入各直线方程验证即可.
【详解】要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，
由 ，得 ，所以圆心坐标为 ，
对于A，因为 ，所以直线 不过圆心，所以A错误，
对于B，因为 ，所以直线 不过圆心，所以B错误，
对于C，因为 ，所以直线 过圆心，所以C正确，
对于D，因为 ，所以直线 不过圆心，所以D错误，
故选：C
2．（2022秋·高二课时练习）若点 是圆 的弦 的中点，则弦 所在的
直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出圆心坐标，由题意可得 ，从而可求出直线 的斜率，进而可求出直线 的方
程.
【详解】因为圆心 ， ，所以圆心 ，
因为 是圆 的弦 的中点，
所以 ，
所以 ，则直线 的方程为 ，即 ，
故选：C.
3．（2022秋·高二课时练习）过三点 的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设出圆的一般方程，代入点坐标，计算得到答案.【详解】设圆的方程为 ，将A，B，C三点的坐标代入方程，
整理可得 ，解得 ，
故所求的圆的一般方程为 ，
故选：D．
4．（2021秋·高二课时练习）已知圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的方程是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设所求圆的圆心 ，根据点关于直线的对称得到关于 的方程，解出即可.
【详解】将圆 化成标准形式得 ，
所以已知圆的圆心为 ，半径 ，
因为圆 与圆 关于直线 对称，
所以圆 的圆心 与点 关于直线 对称，半径也为1，
设 可得 ，解得 ，
所以 ，圆 的方程是 ，
故选：B
5．（2023·重庆·高二统考学业考试）已知圆C的一条直径的两个端点是分别是 和 ，则圆的标
准方程是（ ）A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件求出圆心与半径写出圆的方程.
【详解】因为圆C的一条直径的两个端点是分别是 和 ，
所以圆心为 ，直径为 ，
所以圆的标准方程是 .
故选：C.
6．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知圆C： ，过点 的两条直线 ， 互相垂直，
圆心C到直线 ， 的距离分别为 ， ，则 的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】B
【分析】由四边形 是矩形，应用勾股定理可求 ，再利用基本不等式可得答案.
【详解】过圆心C分别作直线 ， 的垂线，垂足分别为 ， ．
， 互相垂直，所以四边形 为矩形．
由圆C： ，可得 ，又 ，
，所以 ，当且仅当 时取等号，即 的最大值为1，
故选：B.
7．（2021秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）过定点A的动直线 和过定点B的动直线
交于点M，则 的最大值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】求出A，B的坐标，并判断两直线垂直，推出点M在以 为直径的圆上，求得 ，即
，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意知 过定点 ,
动直线 即 过定点 ，
对于直线 和动直线 满足 ，
故两直线垂直，
因此点M在以 为直径的圆上， ，
则 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
故 的最大值为 ，
故选：C
8．（2023春·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中）已知A，B，P是直径为4的圆上的三个动点，且
，则 最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出圆心和AB中点，结合圆的性质，利用向量的运算及数量积的运算即可.
【详解】设圆心为O，AB的中点为D，如图：
因为A，B，P是直径为4的圆上的三个动点，且 ，
所以 ，且|PD|的最小值为2-1=1，
又 ， ，
所以 ，
故选：C
二、多选题
9．（2023·江苏·高二假期作业）若直线 始终平分圆 的周长，则
的取值可能是( )
A． B．-C． D．2
【答案】ABC
【分析】由题可知直线 过圆心 ，有 ，代入 利用二次函数的性质求出范围即
可判断.
【详解】由题可知直线 过圆心 ，有 ，即 ，
则 ，故ABC符合题意．
故选：ABC．
10．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）过四点 中的三点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】可以把点代入圆的方程，验证点是否在圆上，再判断各选项.
【详解】对于A，点 在圆 上，故A正确；
对于B，点 在圆 上，故B正确；
对于C，点 都不在圆 上，故C错误；
对于D，点 都不在圆 上，故D错误；
故选：AB.
11．（2022·高二课时练习）设有一组圆 ： ，下列命题正确的是（ ）
A．不论 如何变化，圆心 始终在一条直线上
B．所有圆 均不经过点
C．经过点 的圆 有且只有一个
D．所有圆的面积均为
【答案】ABD【分析】对A根据圆心横纵坐标关系即可判断，对B和C代入，再利用判别式即可判断，对D由圆的半径
不变即可判断.
【详解】A选项，圆心为 ，一定在直线 上，A正确；
B选项，将 代入得： ，其中 ，方程无解，即所有圆 均不经过点 ，B
正确；
C选项，将 代入得： ，其中 ，
故经过点 的圆 有两个，故C错误；
D选项，所有圆的半径为2，面积为4，故D正确.
故选：ABD.
12．（2023·江苏·高二假期作业）已知曲线 （ ）
A．若 ，则C是圆
B．若 ， ，则C是圆
C．若 ， ，则C是直线
D．若 ， ，则C是直线
【答案】BC
【分析】根据圆的一般方程对选项一一判断即可.
【详解】对于A，当 时， ，
若 ，则C是圆；
若 ，则C是点 ；
若 ，则C不存在.故A错误.
对于B，当 时， ，且 ，
则C是圆，故B正确.对于C，当 时， ，且 ，则C是直线，故C正确.
对于D，当 ， 时， ，
若 ，则 表示一元二次方程，
若 ，则 表示抛物线，故D错误.
故选：BC
13．（2023秋·高二课时练习）已知圆 关于直线 对称，则下
列结论正确的是（ ）
A．圆 的圆心是
B．圆 的半径是2
C．
D． 的取值范围是
【答案】ABCD
【分析】将圆的方程化为标准方程，即可得出A、B；根据已知可知圆心在直线上，代入即可得出C；根
据C的结论得 ，代入根据二次函数的性质，即可得出D项.
【详解】对于A、B，将圆的方程化为标准方程可得 ，
所以，圆心为 ，半径为 ，故A、B正确；
对于C项，由已知可得，直线 经过圆心，
所以 ，整理可得 ，故C项正确；
对于D项，由C知 ，所以 ，
所以 的取值范围是 ，故D项正确.故选：ABCD.
三、填空题
14．（2023秋·高二课时练习）圆 过原点，则a，b，r应满足的条件是__________．
【答案】
【分析】把点的坐标代入圆的方程可得答案.
【详解】因为圆 过原点，所以 ，
即 ；
故答案为： .
15．（2023春·上海宝山·高二统考期末）若 表示圆，则实数 的值为______.
【答案】
【分析】依题意可得 ，解得 ，再代入检验.
【详解】因为 表示圆，所以 ，
解得 或 ，
当 时方程 ，即 ，不表示任何图形，故舍去；
当 时方程 ，即 ，表示以 为圆心， 为半径的圆，符合题
意；
故答案为：
16．（2023秋·高二课时练习）过点 的直线与圆 交于点B，则线段 中点P的轨迹方程
为___________.
【答案】
【分析】设点P的坐标为 ，点B为 ，结合中点坐标公式可得 ，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点P的坐标为 ，点B为 ，
由题意，结合中点坐标公式可得 ，
故 ，化简得 .
即线段AB中点P的轨迹方程为 .
故答案为：
17．（2023秋·高二课时练习）已知实数 满足 ，则 的最大值为
_________．
【答案】36
【分析】先求出 的圆心和半径，从几何意义求解 的最大值，即圆心
与点 距离加上半径的平方，从而求出最终结果.
【详解】实数 满足 ，即表示以 为圆心、1为半径的圆， 表示
圆上的点到点 的距离的平方，则最大值为圆心 与点 距离加上半径后的平方，故
的最大值为 ．
故答案为：36
18．（2023秋·高二课时练习）已知 ， ，动点M满足 ，则点M的轨迹方程是
______．
【答案】
【分析】设 ，根据两点间的距离公式以及已知条件化简，即可得出答案.【详解】设 ，则 ， .
因为 ，
所以， ，
整理可得， ，
即 .
所以，点M的轨迹是圆，方程为 .
故答案为： .
四、解答题
19．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）已知方程 .
(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若m的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E，若圆E与圆F关于y轴对称，设
为圆F上任意一点，求 到直线 的距离的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值为 ，最小值
【分析】（1）根据表示圆的限制条件可得实数m的取值范围；
（2）先确定圆E的方程，再利用对称性得到圆F的方程，根据圆心到直线的距离可得答案.
【详解】（1）若此方程表示圆，则 ，
解得 ，即实数m的取值范围是 ；
（2）由（1）可知 ，此时圆E： ，
圆心坐标为 ，半径为1，
因为圆F和圆E关于y轴对称，
所以圆F圆心坐标是 ，半径是1，
故圆F方程为 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
故 到直线 的距离的最大值为 ，最小值 .
20．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系 中，线段 ，且两个端点 、 分别在 轴和
轴上滑动．求线段 的中点 的轨迹方程；
【答案】
【分析】设 ， ，由 为线段 的中点列关系式，根据两点距离公式表示 ，
从而转化为关于 的方程即可得 的轨迹方程.
【详解】
设 ，线段 的中点 ，
因为 为线段 的中点， ，
，
，即 ，得 .
所以点 的轨迹方程是 ．21．（2023秋·高二课时练习）求经过三点 ， ， 的圆的方程．
【答案】
【分析】设圆的方程为 ，依题意得到方程组，解得 、 、 ，即可得解.
【详解】设圆的方程为 ，
依题意可得 ，解得 ，
所以圆的方程为 .
22．（2023秋·高二课时练习）已知圆C的半径为 ，圆心在直线 上，且过点 ，求圆
C的标准方程.
【答案】 或
【分析】设出圆心坐标，代入点 ，求出圆心，得到标准方程.
【详解】因为圆心在直线 上， ，
所以设圆心为 .
所以圆C的标准方程为 .
因为圆C过点 ，所以 .
解得 或-1.
所以圆心C的坐标是 或 .
所以所求圆C的标准方程是 或 .
23．（2023·江苏·高二假期作业）赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥．如
图所示，赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度 和圆拱高 表示
出赵州桥圆弧所在圆的半径．
【答案】
【分析】作出示意图如图所示，其中 表示跨度， 为 中点， 为圆拱高，以 为原点，建立平面
直角坐标系，再利用勾股定理即可得解.
【详解】作出示意图如图所示，其中 表示跨度， 为 中点， 为圆拱高，
以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，
根据已知条件有 ，
则圆弧所在圆的圆心在 轴的负半轴上，设圆弧所在圆的半径为 ，
则 ，解得 ，
即赵州桥圆弧所在圆的半径为 ．24．（2023秋·高二课时练习）已知点 和 ，求:
(1)线段 的垂直平分线l的方程;
(2)以线段 为直径的圆的标准方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出 的中点坐标，求得垂直平分线l的的斜率，即可得直线l的方程.
（2）求出以线段 为直径的圆的半径和圆心，即可得圆的方程.
【详解】（1）由题意得线段 的中点C的坐标为 ，
由 和 ，
可得直线 的斜率 ，
因为直线l垂直于直线 ，
所以直线l的斜率 ，
故直线l的方程为 ，即 .
（2）由 和 ，
得 ，
以线段 为直径的圆的半径 ，又圆心为 ，
故所求圆的标准方程为 .
