文档内容
第10讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系
4 种常见方法归类
1.理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量.
2.会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，
并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题.
知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示
1．空间直线的向量表示式
设A是直线上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取AB＝a，设P是直线l上任意一点，
(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使AP＝ta，即AP＝tAB.
(2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t.使OP＝OA＋ta.
(3)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP＝OA＋tAB.
注意点：
(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线
与l平行或重合．
(2)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向
量，且直线l的方向向量有无数个．
(3)空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．
2．空间平面的向量表示式
①如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本
定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得OP＝xa＋yb.②如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使OP＝OA＋
xAB＋yAC.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．
③由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，
那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·AP＝0}．
注意点：
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．
(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行．
易错辨析：
（1）空间中给定一个点A和一个方向向量能唯一确定一条直线吗？答案：能
（2）一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？答案：不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，
若两个定方向向量不共线能确定．
（3）由空间点A和直线l的方向向量能表示直线上的任意一点？答案：能
知识点2 空间平行、垂直关系的向量表示
设u，u 分别是直线l，l 的方向向量，n，n 分别是平面α，β的法向量．
1 2 1 2 1 2
线线平行 l∥l⇔u∥u⇔∃λ∈R，使得u 证明线线平行的两种思路：①用基向量表示出要证明的
1 2 1 2 1
＝λu 两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量
2
注：此处不考虑线线重合的情 共线的充要条件证明．②建立空间直角坐标系，通过坐
标运算，利用向量平行的坐标表示．
况．但用向量方法证明线线平行
时，必须说明两直线不重合
线面平行 l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0 (1)证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向
1 1 1 1 1
注：证明线面平行时，必须说明 量垂直．
(2)特别强调直线在平面外．
直线不在平面内；
面面平行 α∥β⇔n∥n⇔∃λ∈R，使得n (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法
1 2 1
＝λn
2 向量平行．
注:证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证
明．
线线垂直 l⊥l⇔u⊥u⇔u·u＝0 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两
1 2 1 2 1 2
直线的方向向量相互垂直．
(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂
直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量
积为0.
线面垂直 l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u （1）基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在
1 1 1 1
＝λn 的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积
1
均为零，从而证得结论．
（2）坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向
量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数
量积均为零，从而证得结论．
（3）法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向
向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向
向量与平面法向量共线，从而证得结论．
面面垂直 α⊥β⇔n⊥n⇔n·n＝0 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、
1 2 1 2
线线垂直去证明．
(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直
1、理解直线方向向量的概念
(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．
(2)直线的方向向量不唯一．
2、利用待定系数法求法向量的步骤
3、求平面法向量的三个注意点（1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量
（2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量
（3）注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0
4、用空间向量证明平行的方法
(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．
(2)线面平行：
①证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．
②证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
③先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
在证明线面平行时，需注意说明直线不在平面内．
(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．
5、用空间向量证明垂直的方法
(1)线线垂直：证明两直线的方向向量互相垂直，即证明它们的数量积为零．
(2)线面垂直：①基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不
共线向量的数量积均为零，从而证得结论．
②坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量
的数量积均为零，从而证得结论．
③法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线
方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．
(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．
考点一：求直线的方向向量
例1．（2023春·高二课时练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面
ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝ ，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC的一个方向
向量．【答案】
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，根据方向向量的定义可得．
【详解】如图所示，建立空间直角坐标系A－xyz，则 ， ，
所以 即为直线PC的一个方向向量.
变式1．（2023春·高二课时练习）已知直线 的一个方向向量为 ，另一个方向向量为 ，则
________， ________.
【答案】 －20 12
【分析】由直线的方向向量平行的性质即可求解.
【详解】∵直线的方向向量平行，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ； .
变式2．（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知直线 的一个法向量是 ，则 的倾斜角的大
小是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】设直线 的倾斜角为 ， ，直线 的方向向量为 ，根据直线方向向量与法向量的
关系得到得到 ，即可求解.
【详解】设直线 的倾斜角为 ， ，直线 的方向向量为 .
则 ，即 ，则 ，
又 ，解得 ，
故选：A.
变式3．【多选】（2022秋·湖北十堰·高二校联考阶段练习）如图，在正方体 中，E为棱
上不与 ，C重合的任意一点，则能作为直线 的方向向量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】结合立体图形，得到平行关系，从而确定答案.
【详解】因为 ，所以 ， ， 都可作为直线 的方向向量.
故选：ABD.
变式4．（2023春·江苏常州·高二校联考期中）已知直线l的一个方向向量 ，且直线l过A(0，
y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A
【分析】根据 求解即可.
【详解】由题知： ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 .
故选：A
考点二：求平面的法向量
例2．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知 ， ，
，则平面ABC的一个法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】代入法向量的计算公式，即可求解.
【详解】 ， ，令法向量为 ，则 ，
，可取 .
故选：A.
变式1．（2023春·高二课时练习）已知 ，则平面 的一个单位法向量是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】待定系数法设平面 的一个法向量为 ，由法向量的性质建立方程组解出分析即可.
【详解】设平面 的一个法向量为 ，
又 ，
由 ，
即 ，
又因为单位向量的模为1，所以B选项正确，
故选：B.
变式2．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为
鳖臑.在鳖臑 中， 平面 ， ， .若建立如图所示的“空间直角坐
标系，则平面 的一个法向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，设 ，可得 、 、 的坐标，由此可得向量 、 的坐标，由此
可得关于 、 、 的方程组，利用特殊值求出 、 、 的值，即可得答案．
【详解】根据题意，设 ，则 ， ， ，
则 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则有 ，令 ，可得 ，则 .
故选：B．
变式3．（2023秋·高二课时练习）在如图所示的坐标系中， 为正方体，给出下列结论：
①直线 的一个方向向量为 ；
②直线 的一个方向向量为 ；
③平面 的一个法向量为 ；
④平面 的一个法向量为 .其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据空间直线的方向向量的概念以及平面的法向量的定义判断可得答案.
【详解】设正方体的棱长为 ，则 ， ， ，则 与 平行，故直线
的一个方向向量为 ，故①正确；
因为 ， ，所以 ，因为 与 平行，所以直线 的一个方向向量为
，故②正确；
因为 ， ，所以 ，因为 是平面 的一个法向量，且 与 平行，所以平面 的一个法向量为 ，故③正确；
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 与 不垂直，所以 不是平面 的一个法向
量，故④不正确.
故选：C
变式4．（2023·全国·高三专题练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面
中心， 平面ABC，写出：平面BHD的一个法向量___________；
【答案】 （答案不唯一）
【分析】利用向量法得出平面BHD的一个法向量.
【详解】由题意可知 ，
则
, .设 为平面BHD的一个法向量，
则 ，不妨设 ，则 .
故平面BHD的一个法向量为 .故答案为： （答案不唯一）
变式5．（2023春·高二课时练习）在棱长为2的正方体 中，E，F分别为棱 的中
点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1)平面 的一个法向量；
(2)平面 的一个法向量.
【答案】(1) (答案不唯一)
(2) (答案不唯一)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求解法向量；
（2）利用空间向量的坐标运算求平面的法向量.
【详解】（1）
由题意，可得 ,
连接AC，因为底面为正方形，所以 ,又因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
且 ，则AC⊥平面 ，
∴ 为平面 的一个法向量. (答案不唯一).
（2）
设平面 的一个法向量为 ，
则
令 ，得
∴ 即为平面 的一个法向量.(答案不唯一).
变式6．【多选】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知空间中三个向量 ， ，
，则下列说法正确的是（ ）
A． 与 是共线向量 B．与 同向的单位向量是
C． 在 方向上的投影向量是 D．平面ABC的一个法向量是
【答案】BCD
【分析】A：由向量共线定理，应用坐标运算判断是否存在 使 ；B：与 同向的单位向量
是 即可判断；C：由投影向量的定义可解；D：应用平面法向量的求法求平面ABC的一个法向量，即
可判断.【详解】A：若 与 共线，存在 使 ，则 无解，故不共线，错误；
B：与 同向的单位向量是 ，正确；
C：由 ，
则 在 方向上的投影向量是
，正确；
D：若 是面ABC的一个法向量，则 ，令 ，则 ，正确.
故选：BCD
变式7．（2023春·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）已知 ，
分别是平面 ， 的法向量，则平面 ， 交线的方向向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面的交线都与两个平面的法向量垂直求解.
【详解】因为四个选项中，只有 ， ，
所以平面 ， 交线的方向向量可以是
故选：B
变式8．（2023秋·福建南平·高二统考期末）已知四面体ABCD的顶点坐标分别为 ， ，
， ．(1)若M是BD的中点，求直线CM与平面ACD所成的角的正弦值；
(2)若P，A，C，D四点共面，且BP⊥平面ACD，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意分别求出向量 和平面ACD的一个法向量 ，再用直线与平面
所成的角的正弦值公式代入计算即可；
（2）由题意， ，于是点P的坐标为 ，由P，A，C，D四点共面，可
设 ，将 坐标分别代入即可解得 ，从而求得点P的坐标.
【详解】（1）由题意， ， ， ， ，
可设平面ACD的法向量 ，
则 ，即 ，
化简得 ．
令 ，则 ， ，
可得平面ACD的一个法向量 ，
设直线CM与平面ACD所成的角为 ，
则 ，
即直线CM与平面ACD所成的角的正弦值为 ；（2）由题意， ，于是点P的坐标为 ，
又P，A，C，D四点共面，可设 ，
即 ，
即 ，
解得 ，
所以所求点P的坐标为 ．
变式9．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知点 在平面 内， 是平面 的一个
法向量，则下列点 中，在平面 内的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据每个选项中P点的坐标，求出 的坐标，计算 ，根据结果是否等于0，结合线面垂直
的性质，即可判断点 是否在平面 内.
【详解】对于选项A， ，所以 ，
根据线面垂直的性质可知 ,故 在平面 内；
对于选项B， ，则 ，
在平面 内，根据线面垂直的性质可知 ,故 不在平面 内；
对于选项C， ，则 ，在平面 内，根据线面垂直的性质可知 ,故 不在平面 内；
对于选项D， ，则 ，
在平面 内，根据线面垂直的性质可知 ,故 不在平面 内；
故选：A
变式10．（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知点 在平面 内，平面
，其中 是平面 的一个法向量，则下列各点在平面 内的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由法向量的定义结合数量积运算确定 ，再判断选项.
【详解】设 是平面 内的一点，则 ，
所以 ，即 ，选项 满足．
故选：B
考点三：用空间向量证明平行问题
（一）判断直线、平面的位置关系
例3．（2023秋·湖北黄石·高二校考阶段练习）若直线l的一个方向向量为 ，平面α的一
个法向量为 ，则（ ）
A．l∥α或l α B．l⊥α
C．l α ⊂ D．l与α斜交
【答⊂案】A
【分析】直线的一个方向向量 ，平面α的一个法向量为 ，计算数量积，即可判断出结论．
【详解】 直线的一个方向向量为 ，平面α的一个法向量为 ，
， ，
或 ，
故选：A
变式1．（2023春·高二单元测试）若平面 与 的法向量分别是 ， ，则平面 与
的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．无法判断
【答案】A
【分析】利用平面法向量的位置关系，即可判断两平面的位置关系.
【详解】因为 ， 是平面 与 的法向量，
则 ，所以两法向量平行，则平面 与 平行.
故选：A
变式2．（2023春·山东菏泽·高二统考期末）已知平面 与平面 是不重合的两个平面，若平面α的法
向量为 ，且 ， ，则平面 与平面 的位置关系是________.
【答案】平行
【分析】分别计算 ， ，可得 ， ，从而可知 ， ， 平面
，所以可得平面 与平面 平行.
【详解】平面α的法向量为 ，且 ， ，
， ，
所以 ， ， 平面 ，
平面 的一个法向量为 ，又因为平面 与平面 是不重合的两个平面
所以平面 与平面 平行.
故答案为：平行.
变式3．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）在长方体 中， ，以点
为坐标原点，以 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，设对角面 所在法向量为
，则 __________．
【答案】
【分析】利用法向量的求法进行求解即可
【详解】由题意得 ， ， ，
， ，
因为平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，则 ，故
故答案为：
变式4．【多选】（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考期中）下列利用方向向量、法向量判断线、
面位置关系的结论中正确的是（ ）
A．若两条不重合直线 ， 的方向向量分别是 ， ，则
B．若直线 的方向向量 ，平面 的法向量是 ，则
C．若两个不同平面 ， 的法向量分别为 ， ，则
D．若平面 经过三点 ， ， ，向量 是平面 的法向量，则
【答案】ACD
【分析】利用空间向量共线定理判断A即可；由 的关系式即可判断B；由 的关系即可判断选项C,
利用平面内法向量的性质即可判断D.【详解】因为两条不重合直线 ， 的方向向量分别是 ， ，
所以 ，所以 共线，又直线 ， 不重合，
所以 ，故A正确；
因为直线 的方向向量 ，平面 的法向量是
且 ，所以 ，故B不正确；
两个不同平面 ， 的法向量分别为 ， ，
则有 ，所以 ，故C正确；
平面 经过三点 ， ， ，
所以
又向量 是平面 的法向量，
所以
则 ，故D正确，
故选：ACD.
（二）已知直线、平面的平行关系求参数
例4．（2022秋·广东广州·高二广州市第九十七中学校考阶段练习）直线 的方向向量是 ，
平面 的法向量 ，若直线 平面 ，则 ______．
【答案】2
【分析】线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，即它们的数量积为零，根据数量积的坐标表
示列出方程求解即可.
【详解】解：若直线 平面 ，则 ，，解得 ，
故答案为：2.
变式1．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）已知直线 的一个方向向量为 ，平
面 的一个法向量 ，若 ，则实数 _______．
【答案】10
【分析】根据直线与平面平行，得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，进而利用空间向量数量积为0
列出方程，求出 的值.
【详解】因为 ，所以直线 的方向向量与平面 的法向量垂直，
即 ，解得： .
故答案为：10
变式2．（2022秋·天津蓟州·高二校考期中）直线 的方向向量是 ，平面 的法向量
，若直线 ，则 ___________.
【答案】1
【分析】结合已知条件可得 ，然后利用垂直向量的数量积为0即可求解.
【详解】由题意可知， ，
因为 ， ，
从而 ，解得 .
故答案为：1.
变式3．（2023春·上海·高二校联考阶段练习）已知平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法
向量为 ，若 ，则 的值为______
【答案】6
【分析】因为法向量定义，把 转化为 ，可得k的值.【详解】因为平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，
又因为 ，所以 ，可得 ，即得 .
故答案为：6.
（三）证明直线、平面的平行问题
例5．（2022春·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校联考期末）如图，三棱柱 中侧棱
与底面垂直，且AB＝AC＝2，AA＝4，AB⊥AC，M，N，P，D分别为CC ，BC，AB， 的中点．
1 1
求证：PN∥面ACC A；
1 1
【解析】以点A为坐标原点，AB､AC､ 所在直线分别为x､y､z轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ．
取向量 为平面 的一个法向量， ，∴ ，
∴ ．
又∵ 平面 ，
∴ 平面 ．
变式1．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）如图，四棱锥 中，侧面PAD为等边三角形，线段
AD的中点为O且 底面ABCD， ， ，E是PD的中点．
证明： 平面PAB；
【解析】连接OC，因为 ，所以四边形OABC为平行四边形，
所以 ，所以 ，以OC，OD，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ．
， ， ，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，则 ，令 ， ，
平面PAB的一个法向量 ，
，则 ，又 平面PAB，所以 平面PAB．
变式2．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱 中， 平面
，D，E分别为棱AB， 的中点， ， ， .
证明： 平面 ；
【解析】证明：在三棱柱 中， 平面 ， ， ， .
所以 ，则 ，则 ，则如下图，以 为原点， 为
轴建立空间直角坐标系，
设 ，则,
所以 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，令 ，则 ，即 ，
所以 ，得 ，
又 平面 ，所以 平面 ；
变式3．（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，在三棱锥 中，
底面 ， ．点 ， ， 分别为棱 ， ， 的中点， 是线段 的中点，
， ．
求证： 平面 ；
【解析】因为 底面 ， ，
建立空间直角坐标系如图所示，则 ，
所以 ，
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，不妨设 ，可得 ，
又 ，
可得 ，因为 平面 ，
所以 平面 ，
变式4．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在四棱锥 中， 底面 ，且 ，
四边形 是直角梯形，且 ， ， ， ， 为 中点， 在线段 上，
且 .
求证： 平面 ；
【解析】证明：以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ，
，
易知平面 的一个法向量为 ，故 ，
则 ，
又 平面 ，故 平面 ．
变式5．（2023·四川成都·校考一模）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面
， ， ， ， ， 分别是 ， 的中点.
求证： 平面 ；
【解析】（1）由题意，
在矩形 中， ， ， ,
， 分别是 ， 的中点，
∴ ， ，
在四棱锥 中，面 平面 ，
面 面 ， ， ∴ 面 ，
面 ，∴ ，
取 中点 ，连接 ，由几何知识得 ，∵ ，∴ ，
∵ 面 ， 面 ，
∴ 面 ，
∴
以 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系如下图所示，
∴ ，
∴ ，面 的一个法向量为 ，
∵ ，
∴ 平面 .
变式6．（2021·高二课时练习）如图，在长方体 中，点E，F，G分别在棱 ， ，
上， ；点P，Q，R分别在棱 ，CD，CB上， ．求证：平面
平面PQR．
【答案】证明见解析
【分析】构建以 为原点， 为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，令
写出 、 、 、 ，进而求面 、面 的法向量 、 ，根据所得法向量的关系即可证结论.【详解】构建以 为原点， 为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示，
设 ，又 ， ，
∴ ， ， ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
设 是面 的一个法向量，则 ，令 ， ，
设 是面 的一个法向量，则 ，令 ， ，
∴面 、面 的法向量共线，故平面 平面PQR，得证.
变式7．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）如图所示，正四棱柱ABCD﹣ABC D 的底面边长1，
1 1 1 1
侧棱长4，AA 中点为E，CC 中点为F．
1 1
求证：平面BDE∥平面BDF；
1 1
【解析】（1）以A为原点，AB，AD，AA 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图
1
则B（1，0，0），D（0，1，0），E（0，0，2），B（1，0，4），D（0，1，4），F（1，1，2），
1 1
∵ ，∴DE∥FB，
1
平面 ， 平面 ，
平面 ，
同理 平面 ，
∵ 平面 ， 平面 ， 平面 ，
∴平面 平面 ．
考点四：利用空间向量证明垂直问题
（一）判断直线、平面的位置关系
例6．（2021秋·北京·高二校考期中）直线 的方向向量分别为 ，则
（ ）
A． B． ∥ C． 与 相交不平行 D． 与 重合
【答案】A
【分析】由题意可得 ，即得 ，从而得 ，即得答案.
【详解】解：因为直线 的方向向量分别为 ，
，
所以 ，
即 .
故选：A.
变式1．（2022秋·北京·高二校考阶段练习）若直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为
，则直线l和平面 位置关系是（ ）A． B． C． D．不确定
【答案】A
【分析】根据题意判断直线l的方向向量和平面 的法向量的关系，即可判断直线l和平面 位置关系.
【详解】由题意直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ,
可知 ，故 ,
故选：A
变式2．【多选】（2022秋·广东珠海·高二珠海市斗门区第一中学校考期末）已知 为直线l的方向向量,
分别为平面 , 的法向量（ , 不重合）,那么下列说法中正确的有（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据法线面垂直平行的性质及法向量、方向向量的概念即可选出选项.
【详解】解:若 ,因为 , 不重合,所以 ,
若 ,则 共线,即 ,故选项A正确;
若 ,则平面 与平面 所成角为直角,故 ,
若 ,则有 ,故选项B正确;
若 ,则 ,故选项C错误;
若 ,则 或 ,故选项D错误.
故选:AB
变式3．（2023春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关
系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线 的方向向量分别是 ，则B．直线 的方向向量 ，平面 的法向量是 ，则
C．两个不同的平面 的法向量分别是 ，则
D．直线 的方向向量 ，平面 的法向量是 ，则
【答案】AC
【分析】根据条件，利用方向向量､法向量的定义与性质，结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判
断即可．
【详解】解：对于 ，两条不重合直线 ， 的方向向量分别是 ，
则 ，所以 ，即 ，故 正确；
对于 ，两个不同的平面 ， 的法向量分别是 ，
则 ，所以 ，故 正确；
对于 ，直线 的方向向量 ，平面 的法向量是 ，
则 ，所以 ，即 或 ，故 错误；
对于 ，直线 的方向向量 ，平面 的法向量是 ，
则 ，所以 ，即 ，故 错误．
故选： ．
变式4．【多选】（2022·高二课时练习）下列命题是真命题的有( )
A．A，B，M，N是空间四点，若 不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
B．直线l的方向向量为 ，直线m的方向向量 为，则l与m垂直
C．直线l的方向向量为 ，平面α的法向量为 ，则l⊥α
D．平面α经过三点 ， 是平面α的法向量，则u+t＝1
【答案】ABD
【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可．【详解】解：对于A，A，B，M，N是空间四点，若 不能构成空间的一个基底，
则 共面，可得A，B，M，N共面，故A正确；
对于B， ，故 ，可得l与m垂直，故B正确；
对于C， ，故 ，可得在α内或l∥α，故C错误；
对于D， ，易知 ，故﹣1+u+t＝0，故u+t＝1，故D正确．
故选：ABD．
（二）已知直线、平面的垂直关系求参数
例7．（2023春·北京海淀·高二中央民族大学附属中学校考开学考试）已知平面 的法向量为
，直线 的方向向量为 ，则下列选项中使得 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据法向量与方向向量的定义，即可求得本题答案.
【详解】若 ，则直线 的方向向量 垂直于平面 ，
所以 与平面 的法向量 平行，显然只有选项C中 满足.
故选：C
变式1．（江苏省扬州市2022-2023学年高二下学期6月期末数学试题）已知直线 的方向向量为
，平面 的法向量为 .若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】A【分析】根据题意得到 ，进而得到方程组 ，求得 的值，即可求解.
【详解】由直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 .
故选：A.
变式2．（2023春·高二课时练习）已知 是直线l的方向向量， 是平面
的法向量．若 ，则 ______．
【答案】27
【分析】根据线面垂直的概念，结合法向量的性质可得 ，进而求得 ，即得.
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
故 ，解得 ，
∴ ．
故答案为： .
变式3．（2022秋·广东珠海·高二珠海市实验中学校考阶段练习）若直线l方向向量为 ，平面 的
法向量为 ，且 ，则m为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】C
【分析】由 可知l的方向向量为与平面 的法向量平行，再利用向量共线定理即可得出．【详解】 ， 的方向向量为 与平面 的法向量 平行，
．
，解得 ．
故选：C．
变式4．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）如图，在正三棱锥D-ABC中， ，
，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且 ，若 平面PBC，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正棱锥的结构特征构建空间直角坐标系，根据已知条件确定相关点坐标并求出面PBC的法向量，
结合线面平行及向量共线定理求参数 即可.
【详解】由题设，△ 为边长为 的等边三角形，且 ，
等边△ 的高为 ，在正棱锥中，以 为原点，平行 为x轴，垂直 为y轴， 为z轴，如上图示，
则 ，且 ，
所以 ， ， ，
若 为面PBC的法向量，则 ，令 ，则 ，
又 平面PBC，则 且k为实数， ，故 .
故选：D
（三）证明直线、平面的垂直问题
例8．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平
面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）建系，利用空间向量证明线性垂直；
（2）利用空间向量证明线面垂直.
【详解】（1）由题意知AD⊥BC，如图，以O为坐标原点，
以过O点且平行于BC的直线为x轴，OD，OP所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz.
则 ，
可得 ，
∵
∴ ，即AP⊥BC.
（2）由（1）可得 ，
∵M是AP上一点，且AM＝3，∴ ，
可得 ，
设平面BMC的法向量为 ，则 ，
令b＝1，则 ，即 ，
显然 ，故 ∥ ，
∴AM⊥平面BMC.
变式1．（2023秋·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体 中， 分别是
的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明： ．
【答案】证明见详解
【分析】建立空间直角坐标系，写出 的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示证明即可.
【详解】证明：以 为坐标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图所示：因为正方体棱长为1， 分别是 的中点，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
由 ，
所以 ，
即 .
变式2．（2023春·江苏连云港·高二统考期中）如图，在多面体 中， ， ， 都是
边长为2的等边三角形，平面 平面 ，平面 平面 ．
(1)判断 ， ， ， 四点是否共面，并说明理由；
(2)在 中，试在边 的中线上确定一点 ，使得 平面 ．
【答案】(1) ， ， ， 四点共面，理由见解析(2) 为 中点
【分析】（1）取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ，以 为坐标原点，建立的空间直角坐标系，
设 ，由 ，求得 ，得到向量 ，得出 ，即
可得到 ， ， ， 四点共面；
（2）设 ，得到 ，根据 平面 ，列出方程，求得 ，
即可求解.
【详解】（1）答案： 四点共面.
证明：取 的中点 ，连接 ， ，取 的中点 ，连接 ，
则在等边三角形 中， ，
又因为平面 平面 ，所以 平面 ，
同理，得 平面 ， 平面 ，
所以 ， ， 两两垂直，且 ，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立的空间直角坐标系 ，如图
所示，
则 ， ， ， ， ，
设 ，由 ，即 ，
解得 ， ， ，所以 ，所以 ，
又由 ， ，所以 ，
所以 ， ， 共面，
因为 为公共点，所以 ， ， ， 四点共面.
（2）解：设 ，故 ，若 平面 ，则 ，即 ，解得 ，
所以 为 中点时， 平面 ．
变式3．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图，在三棱柱 中，底面 是
等腰三角形，且 ，又侧棱 ，面对角线 ，点 分别是棱
的中点， .
证明： 平面 ；
【解析】（1）依题意得 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，从而可知三棱柱 为直三棱柱，
以 为坐标原点， 分别为 轴，平面 内，过 垂直于 的方向为 轴建立如图所示的空间
直角坐标系 ，则 ， ，
， ，
所欲 ，
所以 ， ，
由 ，
，
得 ，又 平面 ，且 ，
故 平面 .
变式4．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）如图，在四棱台 中，平面
平面ABCD，底面ABCD为正方形， ， .求证： 平面 .
【解析】（1）因平面 平面ABCD，平面 平面ABCD ， ， 平面
ABCD，
则 平面 .又 平面 ，则 ；
又在等腰梯形 ，如下图，作 ，
由题可知 ， ，又 ，则 ，结合 ，得 .
因 ，则 .
又 平面 ， 平面 ， ，
则 平面 ；
变式5．（2023春·高二课时练习）如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝
CA＝2BD.求证：平面DEA⊥平面ECA.
【答案】证明见解析
【分析】建系，分别求平面DEA、平面ECA的法向量，利用空间向量证明面面垂直.
【详解】证明：建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，不妨设CA＝2，则CE＝2，BD＝1，则 ，
所以 ，
设平面ECA的一个法向量是 ，
则 ，
取 ，则 ，即 ，
设平面DEA的一个法向量是 ，
则 ，
取 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以平面DEA⊥平面ECA.
变式6．（2022秋·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是
梯形，点E在 上， ．求证：平面 平面 ；
【解析】（1）证明：因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ，
所以 两两垂直，
所以以 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
因为 , ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ；
变式7．（2022秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期末）已知：在四棱锥 中，底面 为
正方形，侧棱 平面 ，点 为 中点， ．求证：平面 平面 ；
【解析】证明： 平面 ， 为正方形，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为
轴，以 所在的直线为 轴，建立如图所示的直角坐标系．
由已知可得 ， ， ， ，
为 的中点， ，
所以 ， ， ，
所以 ，所以 ，
又点 为 中点， ，所以 ，
， 平面 ， 平面 ，
又因为 平面 ,故平面 平面 ．
1．如图，在正四棱柱 中， ．点 分别在棱 , 上，
．证明： ；
【解析】以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
，
，
又 不在同一条直线上，
.
2．如图，在长方体 中，E、P分别是 的中点， 分别是 的中点，．
求证： 面 ；
【解析】以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立直角坐标系，
则：
∵ 分别是 的中点
∴
取 ，显然 面
，∴
又 面 ∴ 面
3．如图所示，四棱锥 的底面 是边长为1的菱形 ， 是 的中点， 底
面 ， ．证明：平面 平面 ；
【解析】证明：如图以 为原点，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ．
所以 ，
平面 的一个法向量是 ，
所以 和 共线，所以 平面 ，
又因为 平面 ，故平面 平面 ．
4．如图，直三棱柱 中， ， ， ，侧棱 ，侧面 的两条
对角线交点为D， 的中点为M．求证： 平面 ；
【解析】（1）
由已知，直三棱柱 中， ，
以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，以 ， ， 为 轴的正方形，
因为 ， ，侧棱 ，侧面 的两条对角线交点为D， 的中点为M，
所以 , , , , , , , ,
所以 ， , ,
所以 ，所以 ，
，所以 ，而 ，且 平面 ，
所以 平面 .
5．如图，在棱长为1的正方体 中，点 是棱 的中点，点 是棱 上的动点．
(1)试确定点 的位置，使得 平面 ；
【解析】以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ，
，
， ， ，
，即 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
即 ，解得 ，
故当点 是 的中点时， 平面 ；6．如图，正三棱柱 的所有棱长都为2，D为 中点．
求证： 平面 ；
【解析】（1）证明：取 中点 ，连结 .
为正三角形，
,
正三棱柱 中，平面 平面 ，
平面 ,取 中点 ，以 为原点，
的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
,
平面
7．如图1，已知 是上．下底边长分别为2和6，高为 的等腰梯形，将它沿对称轴 折成直二面
角，如图2．
证明： ；
【解析】证明：由题设知 ， ．
是所折成的直二面角的平面角，即 ．
故可以 为原点， 、 、 ，
所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是 ,0, ， ,3, ， ,1, ， ,0, ．
,1, ， , , ， ．
．
8．如图，在棱长为1的正方体 中， 与 交于点E， 与 交于点F．
求证： 平面 ；
【解析】（1）以点 为原点，分别以 方向为 轴，
建立空间直角坐标系如图所示：则 ，
所以 ， ， ，
有 且 ，
所以 且 ，
而 ， 平面 ，
所以 平面 .
一、单选题
1．（2023春·高二课时练习）若 在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的坐标运算可得 ，再根据方向向量的定义即可得出结果.
【详解】因为 ，由共线向量可知与 共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，
又 ，所以 是直线l的一个方向向量.
故选：B.
2．（2023秋·天津河北·高二天津外国语大学附属外国语学校校考期末）如图，在三棱锥 中，
底面 ， ， ， ，D为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余
弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建系，利用空间向量解决异面直线夹角的问题.
【详解】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ,
∵ ，则 ，
∴异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：D.
3．（2023秋·广西柳州·高二校考期末）已知直线 ，则下列结论正确的个数是（ ）
①直线 的截距为
②向量 是直线 的一个法向量
③过点 与直线 平行的直线方程为
④若直线 ，则
A． B． C． D．【答案】B
【分析】求出直线的截距可判断①，由直线的方向向量可判断②，由直线平行设所求直线方程为
，代入点即可判断③，由直线垂直 可判断④.
【详解】对于①,令 ,则 ;令 ,则 ,故①错误;
对于②,因为直线的方向向量为 或 ,则 ,所以向量 是直线 的一个法向量,故②
正确;
对于③,设与直线 平行的直线方程为 ,因为直线过点 ,所以 ,所以过点 与直线 平
行的直线方程为 ,故③正确;
对于④, 直线 ,直线 ,则 ,所以两直线垂直，故④正确,
所以结论正确的个数为3，
故选: B.
4．（2023·江苏·高二专题练习）不重合的两条直线 ， 的方向向量分别为 ， ．不重合的两个平面 ，
的法向量分别为 ， ，直线 ， 均在平面 ， 外．下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据直线与平面的位置关系得到直线的方向向量与平面的法向量的关系，进而推导出答案.
【详解】A选项，因为 ，A正确；
B选项， ，所以 ，故 错误；
C选项， ，C正确；D选项， ，D正确.
故选：B
5．（2023·全国·高二专题练习）如图，在空间直角坐标系中，有正方体 ，给出下列结论：
①直线 的一个方向向量为 ；
②直线 的一个方向向量为 ；
③平面 的一个法向量为 ；
④平面 的一个法向量为 ．
其中正确的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由直线的方向向量及平面的法向量的定义即可求解.
【详解】解：设正方体 的边长为1，则 ， ， ， ，
， ，
对①：因为 ，所以直线 的一个方向向量为 正确；
对②：因为 ，所以直线 的一个方向向量为 不正确；
对③：因为 平面 ，又 ，所以平面 的一个法向量为 不正确；
对④：因为 ， ， ， ， ，所以平面 的一个法向量为 不正确.
故选：A.
6．（2023·江苏·高二专题练习）若 ， 分别为直线 ， 的一个方向向量，则
（ ）．
A． B． 与 相交，但不垂直
C． D．不能确定
【答案】C
【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可求解.
【详解】由 ， ，得
，
所以 ，即 .
故选：C.
7．（2023·全国·高三专题练习）设向量 是直线l的方向向量， 是平面α的法向量，
则（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】B
【分析】由 ，得 ，所以 或
【详解】 ， ， ，
则有 ，
又 是直线l的方向向量， 是平面α的法向量，所以 或 .
故选：B
8．（2023春·高二课时练习）已知平面内的两个向量 = (2，3，1)， = (5，6，4)，则该平面的一个法向量为（ ）
A．(1，－1，1) B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1)
【答案】C
【分析】利用法向量的定义、求法进行计算.
【详解】显然 与 不平行，设该平面的一个法向量为 ＝(x，y，z)，
则有 ，即 ，
令z＝1，得x＝－2，y＝1，所以 ＝(－2，1，1)，故A，B，D错误.
故选：C.
9．（2023春·高二课时练习）设 ， 是不重合的两个平面， ， 的法向量分别为 ， ， 和 是不
重合的两条直线， ， 的方向向量分别为 ， ，那么 的一个充分条件是（ ）
A． ， ，且 ， B． ， ，且
C． ， ，且 D． ， ，且
【答案】C
【分析】利用面面平行的判定定理、向量位置关系及充分条件的定义即可判断．
【详解】对于A， ， ，且 ， ，则 与 相交或平行，故A错误；
对于B， ， ，且 ，则 与 相交或平行，故B错误；
对于C， ， ，且 ，得 ，则 ，故C正确；
对于D， ， ，且 ，则 与 相交或平行，故D错误．
故选：C．
10．（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考阶段练习）直线 的方向向量为 ，平面的法向量为 ，若 ，则 （ ）
A．-2 B．2 C．6 D．10
【答案】D
【分析】由 可得 ，用向量的坐标运算即可得出答案.
【详解】因为 ，直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，
所以 ，即 ， ，
解得 ，
故选：D.
11．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）已知点 在平面 内， 是平
面 的一个法向量，则下列点P中，在平面 内的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面法向量的性质，通过选项逐一排除.
【详解】设 ，则 ；由题意知， ，则 ，
∴ ，化简得 ．验证得，
在A中， ，不满足条件；
在B中， ，满足条件；
在C中， ，不满足条件；
在D中， ，不满足条件．故A，C，D错误.
故选：B．
二、填空题
12．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知直线l在平面 外，直线l的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，则l与 的位置关系是___________（填“平行”或“相
交”）
【答案】平行
【分析】根据题意可得 ，进而可得结果.
【详解】因为 ，则 ，
且直线l在平面 外，所以 // .
故答案为：平行.
13．（2023春·高二课时练习）设平面 的一个法向量分别为 ，则 的位置
关系为________．
【答案】平行
【分析】利用向量的共线定理及平面与平面平行的法向量的关系即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：平行
14．（2023春·高二课时练习）若平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为
，且 ，则 ________.
【答案】
【分析】利用两平面平行法向量的关系及向量共线定理即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
15．（2023春·高二课时练习）已知 是直线l的一个方向向量， 是平面α的一个
法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为________.
【答案】
【分析】根据空间线面垂直结合空间向量运算求解.
【详解】∵l⊥α，则 ∥ ，
则 ，解得 .
故答案为： .
二、多选题
16．（2023春·广西南宁·高二校联考开学考试）若 是平面 的一个法向量， 是平面 的一个法向量，
， 是直线 上不同的两点，则以下命题正确的是（ ）
A．
B．
C． ，使得
D．设 与 的夹角为 ，则
【答案】BCD
【分析】A选项，只有 平面 时，才能得到 ；BCD选项，可通过线面关系及面面关系及法向量
定义进行推导.【详解】对于A，当 且 平面 时，才满足 ，故A错误；
对于B，若 ，则 ，若 ，则 ，即可得到 ，故B正确；
对于C，若 ，则 ，则 ，使得 ，若 ，使得 则 ，所以 ，
故C正确；
对于D，设 与 的夹角为 ，则 ，所以 ，故D正确.
故选：BCD.
17．（2023春·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期中）以下命题正确的是（ ）．
A．直线l的方向向量 ，直线m的方向向量 ，则
B．直线l的方向向量 ，平面 的法向量 ，则 或
C．两个不同平面 ， 的法向量分别为 ， ，则
D．平面 经过三点 ， ， ，向量 是平面 的法向量，则 ，
【答案】BD
【分析】对于A，利用直线的方向向量是否垂直即可求解；对于B，利用直线的方向向量与平面的法向量
是否垂直即可求解；对于C，利用平面的法向量是否平行即可求解；对于D，根据法向量得到方程组，求
出 和 的关系即可求解.
【详解】对于A，因为直线 的方向向量 ，直线 的方向向量 ，
所以 ，所以 与 不垂直，故直线 与直线 不垂直，故A错误；
对于B，因为直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，
所以 ，所以 ，故 或 ，故B正确；
对于C，因为两个不同平面 的法向量分别为 ，
所以 ，即 ，所以 ，故C错误；对于D，因为 ，所以 ,
又向量 是平面 的法向量，则 ,即 ，解得 ，故D正确.
故选：BD.
18．（2023秋·江西宜春·高二校考期末）已知空间中三点 ， ， ，则下列结论正
确的有（ ）
A．
B．与 共线的单位向量是
C． 与 夹角的余弦值是
D．平面 的一个法向量是
【答案】ACD
【分析】根据空间向量垂直的坐标运算可判断AD，根据共线向量和单位向量判断B，根据向量夹角的坐
标运算判断C.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
对于选项A： ，故 ，A正确；
对于选项B： 不是单位向量，且 与 不共线，B错误；
选项C： ，C正确；
选项D：设 ，则 ， ，
所以 ， ，又 ， 平面 ，
所以向量 是平面 的一个法向量，D正确；
故选：ACD
19．（2023秋·江西宜春·高二统考期末）已知空间中三点 ，则下列结论正确
的有（ ）
A． B．与 共线的单位向量是
C． 与 夹角的余弦值是 D．平面 的一个法向量是
【答案】AD
【分析】根据空间向量垂直的坐标运算可判断AD，根据共线向量和单位向量判断B，根据向量夹角的坐
标运算判断C.
【详解】由题意可得 ， ， ，
选项A： ，故 ，正确；
选项B： 不是单位向量，且 与 不共线，错误；
选项C： ，错误；
选项D：设 ，则 ， ，
所以 ， ，又 ，所以平面 的一个法向量是 ，正确；
故选：AD
20．（2023秋·河北沧州·高二统考期末）在正四面体ABCD中，E，F是BC，AD的中点，平面ADE的法
向量为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．C． 是平面BCF的法向量 D．
【答案】ACD
【分析】在正四面体ABCD中，E，F是BC，AD的中点，由等腰三角形的“三线合一”，利用线线垂直以
及向量的运算即可判断A选项，建系，利用向量的坐标表示，可得 ， ，
结合图形，此时不存在实数 ，使得 ，可以判断B不正确，利用空间中线面垂直的判定，以及
平面法向量的性质，即可判断C、D选项.
【详解】在正四面体ABCD中，E是BC的中点，
， ，则 ，故A选项正确；
对于B选项：如图，
建立空间直角坐标系，设正四面体ABCD的棱长为2，
则 ， ， ， ， ，
则 ， ，
此时不存在实数 ，使得 ，
与 不平行，故B选项错误；
在正四面体ABCD中，F是AD的中点，
， ，且 ， 、 面 ，平面BCF，故C选项正确；
同理 平面ADE，故D选项正确．
故选：ACD．
21．（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则
B．两个不同的平面 ， 的法向量分别是 ， ，则
C．若直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，若 ，则实数
D．若 ， ， ，则点 在平面 内
【答案】BD
【分析】A由 可得 进而可判断；B证得 可得 ，进而可判断；C由 可得
，解出 即可判断；D证得 向量共面，即可判断.
【详解】A因为 ，所以 ，故A错误；
B因为 ，所以 ，因此 ，故B正确；
C因为 ，所以 ，因此 ，即 ，故C错误；
D因为 ，所以 向量共面，即点 四点共面，
从而点P在平面ABC内，故D正确.
故选： .
四、解答题
22．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）如图，正三棱柱 中， 分别是棱 上的点，
.证明：平面 平面 ；
【解析】（1）证明：取 的中点 ,连接 ，
在正三棱柱 中，不妨设 ;
以 为原点， 分别为 轴和 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则 , ，
；
设平面 的一个法向量为 ，则 , ，
取 ，则 ，即 ；
设平面 的一个法向量为 ，则 ,
即 ，取 得 .
因为 ，所以平面 平面 ；23．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）在正四棱柱 中， ， ，E在线段
上，且 .
求证： 平面DBE；
【解析】在正四棱柱 中， 两两垂直，
以 的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系 ，如图，
则 ， ， ， ， ， ，， ， ，
于是 ， ，即 且 ，
而 平面DBE，
所以 平面DBE.
24．（2023春·江苏淮安·高二金湖中学校联考阶段练习）如图所示，在直四棱柱 中，
， ， ， ， .
证明： ；
【解析】因为在直四棱柱 中， 面 ，
又 面 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，即 两两垂直，
故以 方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
，
， .25．（2023秋·云南大理·高二统考期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ，
，四边形 满足 ， ， ，点M为PC的中点.
求证： ；
【解析】证明：因为 平面 ， 平面 ，
所以 ， .
又 ，所以PA，AB，AD两两垂直.
以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.
则 ， ， ， ，
点M为PC的中点，故 ，故 ， ，
所以 ，
所以 .
26．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图，在三棱柱 中，底面是边长为2的等边三角形，
分别是线段 的中点， 在平面 内的射影为 .
(1)求证： 平面 ；
【解析】法一：连结 ，因为 为等边三角形， 为 中点， ，
又 平面 ， 平面 ，
平面
平面 ，又 平面 ，
由题设知四边形 为菱形， ，
分别为 中点， ，
又 平面 平面 .
法二：由 平面 ， 平面 ，
又 为等边三角形， 为 中点， ，则以 为坐标原点， 所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则
又 平面 平面 .
法三：（同法二建系）设平面 的一个法向量为
，即
不妨取 ，则 ，则
所以平面 的一个法向量为
， ， ， 平面
27．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在四棱锥 中， 底面ABCD，底面ABCD
是矩形， ， ，E是PA的中点， ， .证明： 平面DEF.
【解析】如图，以点 为坐标原点建立空间直角坐标系，
则 ，
因为 ， ，
所以 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，令 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ；
28．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知在直三棱柱 中，其中
为 的中点，点 是 上靠近 的四等分点， 与底面 所成角的余弦值为 ．
求证：平面 平面 ；
【解析】取 的中点 ，连 ，因为 为 的中点，所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 与底面 所成角的余弦值为 ，所以 与底面 所成角的余弦值为 ，
因为三棱柱为直三棱柱，所以 平面 ，所以 是 与底面 所成角，所以
，所以 ，所以 ，
又 ，所以 是边长为 的等边三角形，
取 的中点 ， 的中点 ，连 ，则 ， ， 平面 ，
以 为原点， 的方向为 轴建立空间直角坐标系：
则 ， ， ， ， ， ， ， ，
，
， ， ， ，设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，
则 ，得 ，令 ，得 ， ，
，令 ，得 ， ， ，
因为 ，所以 ，
所以平面 平面 .
