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第 17 讲 直线与圆的位置关系 8 种常见考法归类
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想.
知识点1 直线与圆的三种位置关系
位置关系 交点个数 图示
相交 有两个公共点
相切 只有一个公共点
相离 没有公共点
注：直线与圆的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r
代数法：
判定方法
由 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
消元得到一元二次方程的判别式Δ
知识点2 直线与圆相交
1．解决圆的弦长问题的方法
几何法
（常用）如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的
距离为d，则有关系式：|AB|＝2
若斜率为k的直线与圆相交于A(x ，y )，B(x ，y )两点，则|AB|＝·＝·|y
A A B B A
－y |(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|x －x |；当斜率不存在时，|
B A B
AB|＝|y －y |
A B
注：直线 ： ；圆
代数法
联立 消去“ ”得到关于“ ”的一元二次函
数 ，结合韦达定理可得到
2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注
意把它和点到直线的距离公式结合起来使用．
知识点3 直线与圆相切
1．求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切
点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．
（注：过圆内一点，不能作圆的切线）
2．求过圆上的一点(x，y)的切线方程的方法
0 0
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y ；若k＝0，则结
0
合图形可直接写出切线方程为x＝x ；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写
0
出切线方程．
3．求过圆外一点(x，y)的圆的切线方程的方法
0 0
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y＝k(x－x)，即kx－y＋y－kx＝0.
0 0 0 0
几何法
由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y＝k(x－x)，即y＝kx－kx＋y，代
0 0 0 0
代数法 入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即
可求出
4.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为(x－a)(x－a)＋(y－b)(y－b)＝r2.
0 0 0 0
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x，y)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
5.切线长公式
记圆 : ；过圆外一点 做圆 的切线，切点为 ,利用勾股定理求 ；知识点4 圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为 ，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为 ，最小距离为 ；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为 ，最小距离为 ；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为 ，最小距离为 ；
1、判断直线与圆位置关系的方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
2、过圆上一点(x，y)的圆的切线方程的求法
0 0
先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率
为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y 或x＝x.
0 0
3、过圆外一点(x，y)的切线方程的求法
0 0
设切线方程为y－y＝k(x－x)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．
0 0
当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆
0
外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
4、求切线长(最值)的两种方法
(1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
(2)(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．
5、求弦长的两种方法
(1)由半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋2＝r2求解，这是常用
解法．
(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐
标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用．
6、坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”考点一：直线与圆位置关系的判断
（一）判断直线与圆的位置关系
例1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知圆 ，直线 ，则圆
C与直线l（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆C的圆心
变式1．（2023·四川成都·成都七中校考一模）圆 ： 与直线 ： 的位置关系为
（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
变式2．（2023春·北京海淀·高二北理工附中校考期中）直线 与圆 的位置
关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
变式3．（2023秋·高二课时练习） 为圆 内异于圆心的一点，则直线 与该圆
的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
（二）由直线与圆的位置关系求参数
例2．（2023·辽宁·校联考二模）已知圆 ，直线l： ，若l与圆O相交，则
（ ）．
A．点 在l上 B．点 在圆O上C．点 在圆O内 D．点 在圆O外
变式1．（2023春·浙江·高二期中）已知圆 关于直线 对称，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．1
变式2．（2023秋·高一单元测试）若直线 与曲线 恰有两个公共点，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）直线 与曲线 恰有两个不同的公共
点，则实数b的取值范围是（ ）
A． B．
C． ， D．
变式4．（2023·新疆阿克苏·校考一模）已知两点 ，点 是圆
上任意一点， 是锐角，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2023春·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）圆 上到直线
距离为 的点有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
变式6．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）若圆 上有四个点到直线
的距离为 ，则实数a的取值范围是______．
变式7．【多选】（2023春·贵州遵义·高二遵义市南白中学校考阶段练习）已知直线 ，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆 上恰有1个点到直线 的距离为1，则
B．圆 上恰有2个点到直线 的距离为1，则
C．圆 上恰有3个点到直线 的距离为1，则
D．圆 上恰有4个点到直线 的距离为1，则
（三）由直线与圆的位置关系求距离最值
例3．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知直线 与圆
，则圆 上的点到直线 的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
变式1．（2023·广西·校联考模拟预测）已知直线 和圆 ，则圆
心O到直线l的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）直线 分别与 轴， 轴交于
A，B两点，点P在圆 上，则 面积的取值范围是___________.
变式3．【多选】（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知 ，过
点 作直线 的垂线，垂足为 ，则（ ）
A．直线 过定点 B．点 到直线 的最大距离为
C． 的最大值为3 D． 的最小值为2变式4．（2023春·河北石家庄·高三校联考阶段练习）如图，正方形 的边长为4， 是边 上的一
动点， 交 于点 ，且直线 平分正方形 的周长，当线段 的长度最小时，点 到直
线 的距离为______.
考点二：直线与圆的交点问题
例4．（2023秋·江苏宿迁·高二统考期中）直线 与曲线 的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式1．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）直线 与曲线 的交点个数
为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．（2023春·浙江·高二期中）设圆 ： ，若直线 在 轴上的截距为 ，则 与 的
交点个数为（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
变式3．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）已知点 是圆 与
轴的交点， 为直线 上的动点，直线 与圆 的另一个交点分别为 ，则直线 恒过
定点（ ）
A． B． C． D．
考点三：圆的切线问题
（一）过圆上一点的切线方程
例4．（2023春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）过点 作圆的切线 ，则切线 的方程为__________.
变式1．（2023·全国·高三专题练习）经过点 且与圆 相切的直线方程为
__________．
变式2．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知点 在圆 上，过 作圆 的切线 ，则
的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知点 ， ，经过点 作
圆 的切线与 轴交于点 ，则 ________．
变式4．（2023·河南开封·统考三模）已知点 ， ，经过B作圆 的切线与y
轴交于点P，则 ______．
变式5．（2023秋·高二课时练习）从圆 外一点 向这个圆作两条切线，则两切
线夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．6
变式6．（2023秋·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知圆 ， 为过
的圆的切线，A为 上任一点，过A作圆 的切线AP，AQ，切点分别是P和Q，则四边形
APNQ的面积最小值是__________．
（二）过圆外一点的切线方程
例5．（2023秋·福建莆田·高二校联考期末）求圆 在点 处的切线方程.
变式1．（2023秋·北京·高二北京一七一中校考阶段练习）过点 的圆 的切线方程为 _________________．
变式2．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）在平面直角坐标系中，圆 过点 ， ，
且圆心 在 上．
(1)求圆 的方程；
(2)若已知点 ，过点 作圆 的切线，求切线的方程．
变式3．（2023秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知点 ，圆O： ，则
过点P与圆O相切的直线有 _____条；切线方程为 _____.
变式4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆 和圆 ，则过点
且与 都相切的直线方程为__________.（写出一条即可）
变式5．（2023秋·高二单元测试）若 在圆 上运动，则 的最大值为___.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知 为圆C： 上任意一点，且点
．
（1）求 的最大值和最小值．
（2）求 的最大值和最小值．
（3）求 的最大值和最小值．
变式7．（2023春·河北·高二校联考期末）过直线 上一点向圆O： 作两条切线，设两
切线所成的最大角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
变式8．（2023·北京大兴·校考三模）若点 是圆 上的动点，直线 与 轴、轴分别相交于 ， 两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（三）与切线长有关的问题
例6．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）由直线 上的点向圆
引切线，则切线长的最小值为______.
变式1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）由直线 上一点 向圆
引切线，则切线长的最小值为______．
变式2．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知圆 ，直线 上动点 ，过点
作圆 的一条切线，切点为 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知 是直线 上的动点， ， 是圆
的两条切线， ， 是切点．求四边形 面积的最小值.
（四）切线的应用
例7．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）若直线 ，与
相切，则 最大值为（ ）
A． B． C．3 D．5
变式1．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）若点 是圆 上的任一点，直线
与 轴、 轴分别相交于 、 两点，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C： ，若直线 上总存在点P，使
得过点P的圆C的两条切线夹角为 ，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
变式3．（2023春·江西·高二临川一中校联考阶段练习）已知圆 ，直线 的方程为
，若在直线 上存在点 ，过点 作圆 的切线 ，切点分别为点 ，使得 为直
角，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
考点四：圆的弦长问题求圆的弦长问题
例8．（2023秋·高二课时练习）过三点 的圆交于 轴于 两点，则
＝（ ）
A． B．8 C． D．10
变式1．（2023春·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末）已知直线 ：与圆
交于 两点，则 ____________.
变式2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）直线 与圆
交于两点 ，则弦长 的最小值是___________.变式3．（2023秋·福建宁德·高二统考期中）已知 ，圆 ，圆 ，
若直线 过点 且与圆 相切，则直线 被圆 所截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
（一）已知圆的弦长求参数
例9．（2023春·上海黄浦·高二统考期末）设直线 与圆 相交所得弦长为 ，
则 ______；
变式1．（2023秋·高一单元测试）在平面直角坐标系 中，已知圆 的圆心在直线 上，且圆
与直线 相切于点 .
(1)求圆 的方程；
(2)过坐标原点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程.
变式2．（2023秋·高一单元测试）已知直线l： 被圆C： 所截得的弦长为
整数，则满足条件的直线l有______条.
变式3．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若直线 与圆 ： 相交
于 ， 两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）设 、 为正数，若直线 被
圆 截得弦长为 ，则 的最小值为__________.
变式5．（2023秋·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期末）已知过点 的直线 与圆心为 的圆相交于 ， 两点，当 面积最大时，直线 的方程为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
（二）圆的中点弦问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）若点 为圆 的弦 的中点，则直线
的方程是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023秋·辽宁锦州·高二校考期中）若 为圆 的弦 的中点，则直线 的
方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2023秋·北京·高二人大附中校考阶段练习）圆 的一条弦以点 为中点，
则该弦的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
变式3．（2023秋·天津河东·高二统考期中）已知圆 ，直线 过点 且与圆 交于
两点，若 为线段 的中点， 为坐标原点，则 的面积为__________．
考点五：直线与圆的综合问题
例11．【多选】（2023·湖北武汉·统考三模）已知圆 ： ，直线 ： ，则（ ）
A．直线 在y轴上的截距为1B．直线 的倾斜角为
C．直线 与圆 有2个交点
D．圆 上的点到直线 的最大距离为
变式1．【多选】（2023春·广西河池·高二校联考阶段练习）已知直线 与圆
，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 恒过定点
B．圆 的圆心坐标为
C．存在实数 ，使得直线 与圆 相切
D．若 ，直线 被圆 截得的弦长为4
变式2．【多选】（2023春·湖北孝感·高二校联考阶段练习）已知圆 ，直线
，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l过定点
B．当 时，直线l与圆C相切
C．当 时，过直线l上一点P向圆C作切线，切点为Q，则 的最小值为
D．若圆C上只有一个点到直线l的距离为1，则
变式3．【多选】（2023秋·广东揭阳·高二统考期末）已知圆 ，直线 ，
P为直线 上的动点，过点P作圆M的切线 、 ，切点为A、B，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形 面积的最小值为4 B．四边形 面积的最大值为8
C．当 最大时， D．当 最大时，直线AB的方程为变式4．【多选】（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）圆 ： ，直线
，点 在圆 上，点 在直线l上，则下列结论正确的有（ ）
A．直线 与圆 相交
B． 的最小值是1
C．若 到直线 的距离为2，则点 有2个
D．从 点向圆 引切线，则切线段的最小值是
变式5．【多选】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知直线 ： 与圆 ：
．则下列说法正确的是（ ）
A．直线 过定点
B．直线 与圆 相离
C．圆心 到直线 距离的最大值是
D．直线 被圆 截得的弦长最小值为
考点六：直线与圆方程的应用
例12．（2023春·广东广州·高二统考开学考试）如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB
为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．早季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到
_________米．
变式1．（2023春·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该
圆弧拱跨度 米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱 米.(1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程;
(2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）．
变式2．（2023秋·山西晋中·高二统考期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、
宽分别为 、 ）和圆弧构成，截面总高度为 ，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧
道顶部在坚直方向上高度之差至少要有 米，已知行车道总宽度 .
(1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；
(2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？
考点七：韦达定理及其应用
例13．（2023春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考开学考试）已知圆 经过点 ，
及 .经过坐标原点 的斜率为 的直线 与圆 交于 ， 两点.
(1)求圆 的标准方程；
(2)已知点 ，若 的面积为 ，求 的值.
变式1．（2023秋·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习）已知点 ， ，曲线C任
意一点P满足 ．
(1)求曲线C的方程；(2)设直线 与圆C交于A、B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，
求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
变式2．（2023秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）已知圆 经过 ， 两点，且圆心 在直线
上．
(1)求圆 的方程；
(2)若直线 与圆 交于点 ， ，且以线段 为直径的圆经过坐标原点，求直线 的方程．
变式3．（2023秋·高二单元测试）已知方程 ， ．
(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
(2)若（1）中的圆与直线 相交于M，N两点，且 （O为坐标原点），求
m的值．
变式4．（2023秋·辽宁大连·高三校联考阶段练习）圆 ．
(1)求证：不论 为何值，圆 必过两定点；
(2)已知 ，圆 与 轴相交于两点 ， （点 在点 的左侧）．过点 任作一条与 轴不重合的直
线与圆 相交于两点 ， ，问：是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出实数
的值，若不存在，请说明理由．
考点八：与圆有关的定点、定值问题
例14．（2023秋·广西桂林·高二广西师范大学附属中学校考阶段练习）过点 的直线 与圆
交于 两点， 为圆 与 轴正半轴的交点．
(1)若 ，求直线 的方程；
(2)证明：直线 的斜率之和为定值．
变式1．（2023秋·福建宁德·高二统考期中）已知圆 过点 ，且与直线 相切于点．
(1)求圆 的标准方程；
(2)若 ，点 在圆 上运动，证明： 为定值．
变式2．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知过点 的直线l与圆 交于
A，B两点，M为 的中点，直线l与直线 相交于点N．
(1)当 时，求直线l的方程；
(2)证明： 为定值．
例15．（2023秋·江苏连云港·高二统考期中）已知圆 ，直线 与圆O交于
A，B两点．
(1)求 ；
(2)设过点 的直线交圆O于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点S满足
．证明：直线SN过定点．
变式1．（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知圆M方程为 ，直线 的方
程为 ，点 在直线 上，过P作圆M的切线 、 ，切点为A、B．
(1)若P点坐标为 ，求
(2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点 的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．
变式2．（2023春·四川广安·高二广安二中校考阶段练习）已知在平面直角坐标系xOy中， ，
，平面内动点P满足 ．
(1)求点P的轨迹方程；(2)点P轨迹记为曲线 ，若C，D是曲线 与x轴的交点，E为直线l：x＝4上的动点，直线CE，DE与曲
线 的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求点Q的坐标．
1．（2023·全国·统考高考真题）已知实数 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
2．（2023·全国·统考高考真题）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则
（ ）
A．1 B． C． D．
3．【多选】（2021·全国·统考高考真题）已知直线 与圆 ，点 ，则下
列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
4．（2023·全国·统考高考真题）已知直线 与 交于A，B两点，写出满足
“ 面积为 ”的m的一个值______．
5．（2021·天津·统考高考真题）若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则
____________．
6．（2022·天津·统考高考真题）若直线 与圆 相交所得的弦长为 ，
则 _____．7．（2022·全国·统考高考真题）设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆
有公共点，则a的取值范围是________．
一、单选题
1．（2023春·广西·高三统考阶段练习）若直线 是圆 的一条对称轴，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·福建厦门·高二厦门双十中学校考阶段练习）过直线 上的一点 作圆
的两条切线 ， ，切点分别为 ，当直线 ， 关于 对称时，线段 的长为（ ）
A．4 B． C． D．2
3．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）坐标轴与圆 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（广东省江门市2023-2023学年高二下学期期末数学试题）若直线 与圆
相切，则 （ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
5．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知直线 与圆 ，过直线 上的任意一点 向圆 引切线，设切点为 ，若线段 长度的最小值为 ，则实数 的值是
（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·江西九江·高二德安县第一中学校考期中）设直线 被圆 ： 所截得弦
的中点为 ，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）已知直线 与圆 相交于 ， 两点，
当 面积最大时，实数 的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
9．（2023·高二课时练习）已知从点 发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：
的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
10．（2023秋·高二单元测试）设直线 过点 ，且与圆 相切，则 的斜率是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023秋·福建宁德·高二统考期中）已知点 在圆 上，点 分别为直线与 轴， 轴的交点，则下列结论正确的是 （ ）
A．直线 与圆 相切 B．圆 截 轴所得的弦长为
C． 的最大值为 D． 的面积的最小值为
12．（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知圆 ，直线
，则（ ）
A．直线 与圆C相交
B．直线 过定点（2，1）
C．圆C被y轴截得的弦长为
D．圆C被直线 截得的弦长最短时，直线 的方程为x=1
13．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知圆 的圆心在直线 上，且与
相切于点 ，过点 作圆 的两条互相垂直的弦 ，记线段 的中点分别为 ，
则下列结论正确的是（ ）
A．圆 的方程为 B．四边形 面积的最大值为
C．弦 的长度的取值范围为 D．直线 恒过定点
14．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知直线l与圆 相切于点M，且分别与x轴的
正半轴、y轴的正半轴交于A，B点，则下列各选项正确的是（ ）
A． 为定值 B． 的最小值为2
C． 面积的最小值为2 D． 的最小值为
三、填空题
15．（2023秋·福建·高二校联考期中）平行于直线 且与圆 相切的直线的方程是
__________．16．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）若 圆 被直线 平分，则圆 的
半径为__________.
17．（2023春·浙江·高二校联考期末）若直线 截圆 所得弦长 ，则
的值为______.
18．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知点 在直线 上运动，点 是圆
上的动点，点 是圆 上的动点，则 的最大值为________．
19．（2023春·湖南岳阳·高二统考期末）已知圆 ，过点 的直线被该圆所截的弦长的最小
值为______.
20．（2023秋·福建·高二校联考期中）设点 ，若在圆 上存在点 ，使得 ，
则 的最大值是__________．
四、解答题
21．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）圆 经过点 ，和直线 相切，且圆心在直线
上．
(1)求圆 的方程；
(2)求圆 在 轴截得的弦长．
22．（2023秋·四川南充·高二统考期末）已知圆 ，点 ．
(1)设 ，求过点 且与 相切的直线方程；
(2)已知直线 与 相交于M、N两点，过点 作 ，垂足为 ．若
恒成立，问是否存在定点 ，使得 为定值．若存在，求出点 的坐标及 的值；若
不存在，请说明理由．
23．（2023·高二课时练习）已知过点 ，且斜率为 的直线 与圆 ： 相交于M、N两点．
(1)求实数k的取值范围；
(2)求证： 定值；
(3)若O为坐标原点，且 ，求k的值．
24．（2023秋·高二课时练习）在直角坐标系 中，以原点O为圆心的圆与直线 相切
(1)求圆O的方程；
(2)若已知点 ，过点P作圆O的切线，求切线的方程．
25．（2023秋·北京·高二北京一七一中校考阶段练习）已知圆 的圆心在直线 上，且与y轴相切
于点 ．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C直线 交于A，B两点，_____，求m的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①： ；
条件②： ．
26．（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）在平面直角坐标系 中，圆C的方程为
， ．
(1)当 时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(2)对于 ，若圆C上存在点M，使 ，求实数 的取值范围．
27．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知圆 的圆心在直线 上，且与 轴相切于点
．
(1)求圆 的方程；(2)已知过点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程．
28．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）已知圆 经过点 ， ，且________.从下列3个条件中
选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①过直线 与直线 的交点 ；②圆 恒
被直线 平分；③与 轴相切.
(1)求圆 的方程；
(2)求过点 的圆 的切线方程.
29．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知圆 过两点 ， ，且圆心P在直线 上．
(1)求圆P的方程；
(2)过点 的直线交圆 于 两点，当 时，求直线 的方程．
30．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知圆 过点 ， ， .
(1)求圆 的标准方程；
(2)若过点 且与 轴平行的直线与圆 交于点 ， ，点 为直线 上的动点，直线 ， 与圆
的另一个交点分别为 ， （ 与 不重合），证明：直线 过定点.
