文档内容
专题强化 3：空间向量与立体几何考点梳理
【知识网络】
【考点突破】
一、空间向量的概念及运算
1．已知向量 ， ，且 与 互相垂直，则 的值是（ ）
A．－1 B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出 与 的坐标，再由 与 互相垂直，可得 ，从而可
求出 的值.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，
因为 与 互相垂直，
所以 ，解得 ，故选：D
2．已知空间向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 ，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.
【详解】设 与 的夹角为 ．由 ，得 ，两边平方，得 ，
所以 ，解得 ，又 ，所以 ，
故选：C．
3．如图所示，在空间四边形 中， ，点 在 上，且 ， 为 中
点，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可．
【详解】
故选：B
4．已知空间三点 ， ， ，若向量 与 的夹角为60°，则实数 （ ）
A．1 B．2 C． D．【答案】B
【分析】直接由空间向量的夹角公式计算即可
【详解】 ， ， ，
，
由题意有
即 ，
整理得 ，
解得
故选：B
5．（多选）已知空间向量 ， ，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D． ，
【答案】AB
【分析】利用空间向量坐标的加法公式、向量模的坐标公式、向量的数量积公式依次计算各选项即可得出
结果.
【详解】 向量 ， ，
，则A正确，
，则B正确，
，则C错误，
，则D错误.
故选：AB6．已知向量 ， 满足 ， ，且 .则 在 上的投影向量的坐标为
_________.
【答案】
【分析】对 两边平方后得到 ，代入投影向量的公式进行求解即可.
【详解】 两边平方化简得： ，①
因为 ，所以 ，
又 ，代入①得： ，解得： ，
所以 在 上的投影向量坐标为
.
故答案为：
7．如图所示，在平行六面体 中， ，若 ，则
___________.
【答案】2
【分析】题中 几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，,再将 转化为 ，以及将 转化为 , ,总之等式
右边为 ， ， ,从而得出 ， .
【详解】解：因为
，
又 ，
所以 ， ，
则 .
故答案为：2.
【点睛】要充分利用几何体的几何特征，以及将 作为转化的目标，从而得解.
二、利用空间向量证明位置关系
1．如图所示，在直三棱柱 中， ， ， ， .
(1)求证： ；
(2)在 上是否存在点 ，使得 平面 ，若存在，确定 点位置并说明理由，若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)在 上存在点 使得 平面 ，且 为 的中点．
【分析】（1）本题首先以 为坐标原点建立空间直角坐标系，然后得出 、 ，
最后根据 即可证得 ；
（2）本题可假设点 存在，则 ，然后通过 得出
，最后求出 的值，即可得出结论.
【详解】（1）因为 ， ， ，所以 ，
如图所示，在直三棱柱 中，以 为坐标原点，直线 、 、 分别为 轴、 轴、 轴，
建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，即 .
（2）若存在点 使 平面 ，则 ， ，， ， ， ，
因为 平面 ，所以存在实数 、 ，使 成立，
则 ，解得 ，
故在 上存在点 使 平面 ，此时点 为 中点.
2．如图所示，在长方体 中， ， ， 、 分别 、 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
利用空间向量法可证得结论成立；
（2）求出平面 的一个法向量，利用空间向量法可证得结论成立.
【详解】（1）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间
直角坐标系，则 、 、 、 、 ，
，易知平面 的一个法向量为 ，
，则 ，
平面 ，故 平面 ；
（2）设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ，得 ，取 ，可得 ，
所以， ，故 平面 .
3．如图，在直三棱柱 中， ， ，M为AB的中点，N为 的中
点，P是 与 的交点．(1)证明： ；
(2)在线段 上是否存在点Q，使得 ∥平面 ？若存在，请确定Q的位置；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；线段 上靠近N的三等分点Q
【分析】（1）解法一：连结 ，由线面垂直的判定定理可证得 面 ，则 ，由已知
条件可得四边形 为正方形，则 ，再由线面垂直的判定定理可得 面 ，从而可得
，解法二：以点A为坐标原点，AB、CA、 方向分别为 、 、 轴正方向建立如图所示空间
直角坐标系 ，然后利用空间向量证明即可，
（2）解法一：利用空间向量，设 ，所以 ，求出平面 的法向量 ，再由
线面平行的关系可得 ，从而可求出 的值，解法二：取 中点H，连结BH、 、 ，可证得
∥ ， ∥平面 ，从而可得平面 ∥平面 ，进而可得 ∥平面 ，
【详解】（1）解法一：连结 ，在直三棱柱 中，有 面
因为 面 ，所以 ，中， ，即 ，
因为 ，所以 面 ，
因为 面 ，所以 ，
在四边形 中， ， ，
所以四边形 为正方形，所以 ，
因为 ，所以 面 ，
因为 面 ，所以 ．
解法二：在直三棱柱 中，因为 ，以点A为坐标原点，AB、CA、 方向分别为 、
、 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系 ．
因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，
所以 ．
（2）解法一：存在线段 上靠近N的三等分点Q，满足 ∥平面 ．
证明如下：在直三棱柱 中，因为 ，以点A为坐标原点，AB、CA、 方向分别为
、 、 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系 ．因为 ，M为AB的中点，N为 的中点，P是 与 的交点，所以
、 、 、 、 、
设 ，所以
所以 ， ， ，
设 为平面 的法向量，则 即 ．
取 得 ， 可得平面 的一个法向量为 ．
若 ∥平面 ，则 ，所以 ，即
解得 ，所以存在线段 上靠近N的三等分点Q，使得 ∥平面 ．
解法二：存在线段 上靠近N的三等分点Q，满足 ∥平面 ．
证明如下：取 中点H，连结BH、 、 ．
在正方形 中，M为AB的中点，所以 ∥ ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以平面 ∥ ，
在正方形 中，M为AB的中点，H为 中点，所以 ∥ ．因为 ∥ 且 ，所以 ∥ ， ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ∥ ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ，
因为 ， 平面 ， 平面
所以平面 ∥平面 ，
记 ，则Q为 的重心，即Q为线段 上靠近N的三等分点，且 平面 ，
所以 ∥平面 ，
所以存在线段 上靠近N的三等分点Q，使得 ∥平面 ．
三、利用空间向量计算距离
1．如图，在长方体 中， ， ， 为 的中点.(1)求点 到直线 的距离；
(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求直线 的方向向量，利用点到直线距离公式求解.
（2）建立空间直角坐标系，求平面 的法向量，利用点到平面距离公式计算.
【详解】（1）如图，以 为原点，分别以 ， ， 的方向为 ， ， 轴的正方向建立空间直角坐
标系，
则 ， ， 所以 ， ，
， ， ， .
因为 ，
所以点 到直线 的距离为 .
（2）由（1），得 ， ， ，
所以 ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，令 ，则 ， ，
所以 ，
则点 到平面 的距离 .
2．如图，在正方体 中， 为 的中点．
(1)证明： 平面ADE
1
(2)求直线 到平面 的距离；
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）利用线面平行的判定定理.
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的距离公式求解.
【详解】（1） ， ，
四边形 为平行四边形，
，
面 ， 面 ，
平面 ．（2）如图建立空间直角坐标系 ，设正方体的棱长为 ，
则 ， ， ， ， ，
平面 ，
直线 到平面 的距离即为点 到平面 的距离，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
，
直线 到平面 的距离为 .
四、利用空间向量求空间角
1．如图，在正三棱柱 中， ， 是 的中点．(1)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(2)证明：平面 平面 ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】（1）分别作 ， 的中点 ， ，连接 ， ，以 为坐标原点，分别以 ， ，
所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，求出直线 与 的空间向量，即可利用线线角的公式
求解.
（2）分别求出平面 和平面 的法向量，利用法向量数量积为0，即可证明.
【详解】（1）如图，分别作 ， 的中点 ， ，连接 ， ，
在正三棱柱 中， 底面ABC，且 ，
则OA，OB， 互相垂直，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴，建立如图空
间直角坐标系，已知 ，则 ， ， ， ，
设异面直线 与 所成角为 ， ，
， ，
；
（2）由题可知 ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ， ，
， 平面 平面 .
2．如图，平面五边形ABCDE中， 是边长为2的等边三角形， ，CD＝AE，
，将 沿AD翻折，使点E翻折到点P．(1)证明：PC⊥BC；
(2)若PC＝3，求二面角P－AD－B的大小，以及直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）在平面图形中取 中点 ，则有 、 ，再应用线面垂直的判定、性质证
结论；
（2）由（1）得 ， ，则二面角 的平面角为 ，在 中利用余弦定
理求解即可；在平面 内作 ，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间
直角坐标系，确定相关点坐标，求直线 的方向向量、平面 的法向量，进而求线面角的正弦值.
【详解】（1）在平面图形中取 中点 ，连接 ， ，
∵ 是边长为2的等边三角形，
∴ ， ，故翻折后有 ，
又∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
且 ， ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ ，∴ ，∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，∴ ．
（2）由（1）得 ， ，∴二面角 的平面角为 ，
在 中， ， ．由余弦定理得 ，∴ ，
二面角 的大小是 ，
在平面 内作 ，交 于 ，∵ 平面 ，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
由（1）得，四边形 为矩形，又∵ ， ，
所以各点坐标为 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，即
设 ，则 ， ，∴ ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ．【随堂演练】
1．平面 的一个法向量是 , , ，平面 的一个法向量是 ,6, ，则平面 与平面 的关系
是（ ）
A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直
【答案】C
【分析】由题设知 ，根据空间向量共线定理，即可判断平面 与平面 的位置关系.
【详解】 平面 的一个法向量是 , , ，平面 的一个法向量是 ,6, ，
，
平面 与平面 的关系是平行或重合．
故选：C．
2．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，则点 到直线
的距离为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】取 的中点 ,连接 , ,可证得 的长即为点 到直线 的距离，在直角三角形
中，由勾股定理求得 ；也可以用向量法，直接求得.
【详解】解法一：（几何法）解：如图，取 的中点 ,连接 ,
因为 平面 ， 平面
所以 ,又因为 ，
所以 平面 , 平面
所以
因为 是 的中点,
所以 ,又 ，
所以 平面 ,又 平面
所以 ,即 为点 到直线 的距离.
在等腰直角三角形 中， ,
在直角三角形 中，
故点 到直线 的距离为 .
故选：A.
解法二：（向量法）
解：如图，以 为坐标原点，射线 、 、 分别为 轴、 轴、 轴的非负半轴，建立空间直角坐标
系.则 , , , ，
故 ,
所以故
即点 到直线 的距离为 .
故选：A.
3．设 、 ，向量 ， ， 且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出 、 的值，求出向量 的坐标，利用空间向量的模
长公式可求得结果.
【详解】因为 ，则 ，解得 ，则 ，
因为 ，则 ，解得 ，即 ，
所以， ，因此， .
故选：D.
4．已知直线 过定点 ，且方向向量为 ，则点 到 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题首先可根据题意得出 ，然后求出 与 ，最后根据空间点到直线的距离公式即可
得出结果.
【详解】因为 ， ，所以 ，
则 ， ，由点到直线的距离公式得 ，
故选：A.
5．已知 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．x=1，y=-1
【答案】B
【分析】利用空间向量的坐标运算，结合空间向量共线的坐标表示计算作答.
【详解】向量 ，则 ， ，
因 ，于是得 ，解得 ，
所以 .
故选：B
6．已知O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，且 ，
则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，均有结论
，其中 ，故可由 进行转化，利用结论即可
【详解】 ，
∵O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，
∴ ，∴ .
故选：C
7．如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）
A．
B．BD⊥平面ACC
₁
C．向量 与 的夹角是60°
D．直线BD 与AC所成角的余弦值为
₁
【答案】C
【分析】利用空间向量法，通过计算线段长度、向量夹角、线线角以及证明线面垂直等知识确定正确答案.
【详解】以 为空间一组基底.
，
，
所以 ，A选项正确.
由于四边形 是菱形，所以 ，
，
，
所以 ，即 ，
由于 ，所以 平面 ，B选项正确.，三角形 是等边三角形，
由图可知 与 的夹角为钝角，也即 与 的夹角为钝角，C选项错误.
，
，
所以 .
， ，
所以 .
.
设直线 与直线 所成角为 ，
则 ，D选项正确.
故选：C8．已知矩形ABCD，AB＝1，BC ，沿对角线AC将 ABC折起，若平面ABC与平面ACD所成角的余
△
弦值为 ，则B与D之间距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】过B和D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可．
【详解】过B和D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，
∵AB＝1，BC ，
∴AC＝2，
∵ ，
∴BE＝DF ，
则AE＝CF ，即EF＝2﹣1＝1，
∵平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为 ，
∴ ，
∵ ，
∴
，则| | ，
即B与D之间距离为 ，
故选：C．
9．设直线 的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若直线 平面 ，则实数
的值为________．
【答案】
【分析】由线面平行可得 ，由向量垂直的坐标表示可构造方程求得 的值.
【详解】 直线 平面 ， ，即 ，解得： .
故答案为： .
10．如图，在棱长为2的正方体 中，M，N分别为棱 ， 的中点，则 的重心
到直线BN的距离为___________.
【答案】 /
【分析】以 为 轴建立空间直角坐标系，由重心坐标公式求得 的重心 的坐标，
用空间向量法求点到直线的距离．
【详解】以 为 轴建立空间直角坐标系，如图，则 ， ， ，
， ，设 的重心是 ，
则 ， ， ，即 ，， ，
， ， ，
，
则 是锐角， ，
所以 到直线 的距离为 ．
故答案为： ．
11．如图，在四棱锥 中，已知棱 ， ， 两两垂直且长度分别为1，2，2， ，
．
（1）若 中点为 ，证明： 平面 ；（2）求点 到平面 的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出直线 的方向向量 和平面 的法
向量 ，证明 即可；
（2）利用待定系数法求出平面 的法向量，求出 的坐标，然后利用点到直线的距离公式求解即可．
【详解】解：（1）证明：分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系如图所
示，
因为 ， ， 的长度分别为1，2，2，且 ，
则 ， ， ， ， ，
又 是 的中点，所以 ，
所以 ，由已知可得平面 的一个法向量为 ，
则 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ；
（2）解：设平面 的法向量为 ，
因为 ， ，则有 ，即 ，
令 ，则 ， ，故 ，
又 ，
所以点 到平面 的距离 ．
【点睛】方法点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐
标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂
直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相
应的角和距离.
12．如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ， ， ，
，平面 平面 ，且 ， 为 的中点，证明：平面 平面 .
【答案】证明见解析；
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法证明 ， ，进而证明线面垂直与面面垂直.
【详解】如图，以 为坐标原点，以 ， 的方向分别为 ， 轴的正方向建立空间直角坐标系
，
则 ， ， ， .因为 ， 为 的中点，所以 .
因为平面 平面 且交于 ，所以 平面 ，
令 .
则 ， ， ，
所以 ， ，所以 ， ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 .
13．如图，由直三棱柱 和四棱锥 构成的几何体中，
，平面 平面（1）求证： ；
（2）若M为 中点，求证： 平面 ；
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）在直三棱柱 中，易得 ，又平面 平面 ，利用面面垂直的
性质定理证明即可；
（2）由 平面 ，且 ，建立空间直角坐标系，求得平面 的一个法向量为
，证明 即可；
【详解】（1） 在直三棱柱 中，
平面ABC，又 平面ABC，
∴ ，
∵平面 平面 ,且平面 平面 ，
又 平面 ,
∴ 平面 ，
又 平面 ，∴
（2）直三棱柱 中，
∵ 平面 ，而 平面
∴ ，
又 ，
建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
∵M为 的中点，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，又 平面 ，∴ 平面 .
【点睛】方法点睛：证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证
直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，
然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．
14．在边长是2的正方体ABCD﹣ABC D 中，E，F分别为AB，AC的中点．应用空间向量方法求解下列
1 1 1 1 1
问题．（1）求EF的长
（2）证明：EF∥平面AADD；
1 1
（3）证明：EF⊥平面ACD．
1
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出向量 的坐标表示，代入长度公式求解；
（2）求出 的坐标表示，关键坐标关系判断EF∥AD，再利用线面平行的判定定理证明；
1
（3）利用 0， 0，可证直线EF垂直于CD、AD，再利用线面垂直的判定定理证明．
1
【详解】
（1）如图建立空间直角坐标系，
则A（2，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），
1
C（0，2，0），D（0，0，2），D（0，0，0），
1
∵E，F分别为AB，AC的中点，∴E（2，1，0），F（1，1，1），
1
（﹣1，0，1），
∴| | ．
（2）∵ （﹣2，0，2）＝2 ，∴EF∥AD，
1
又AD 平面AADD，EF 平面AADD，
1 1 1 1 1
∴EF∥平⊂面AADD． ⊄
1 1（3） （0，﹣2，0）， （﹣2，0，﹣2），
∵ 0， 0，∴EF⊥CD，EF⊥AD，又CD∩AD＝D，
1 1
∴EF⊥平面ACD．
1
15．如图，已知长方体 ，直线 与平面 所成的角为 ， 垂直
于E，F为 的中点．
(1)求异面直线 与 所成的角的余弦值；
(2)求平面 与平面 所成的二面角（锐角）的余弦值；
(3)求点A到平面 的距离．
2 15
【答案】(1) 4 ；(2) 5 ；(3)
【分析】（1）以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，表示出 ，结合向量的夹
角公式可求异面直线 与 所成的角的余弦值；
（2）分别求出平面 与平面 对应法向量，结合向量夹角余弦公式即可求解；
（3）结合向量法可知点A到平面 的距离 ，代值计算即可．
【详解】（1）以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，因为直线 与平面 所成的角为 ，即 ，又因为 ，所以 ，
设 ， ，
因为 ，设 ，即 ， ，
，解得 ， ，
，因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，设异面直线 与 所成的角为 ，
2
则 ，所以异面直线 与 所成的角的余弦值为 ；
4
（2）显然平面 的一个法向量为 ，设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 得 ， ，即 ，
15
所以 ，所以平面 与平面 所成的二面角（锐角）的余弦值为 5 ；（3）由向量法可知，点A到平面 的距离 ，即点A到
平面 的距离为 .
16．如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将 沿EF翻折至
，得到四棱锥 ，P为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若平面 平面EFCB，求直线 与平面BFP所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）取 的中点Q，可得四边形EFPQ为平行四边形，则 ，由直线与平面平行的判
定定理证明即可；
（2）取EF中点O，BC中点G，可得 平面EFCB， 两两垂直，以O为原点，
所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，求出 与平面BFP的法向量 的坐
标，利用向量夹角公式求解.
【详解】（1）取 的中点Q，连接 ,
则有 ，且 ，又 ，且 ，故 ，且 ，
则四边形EFPQ为平行四边形，则 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ．
（2）取EF中点O，BC中点G，由平面 平面EFCB，且交线为EF，故 平面EFCB，此时，
两两垂直，以O为原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间
直角坐标系，
则可得 ， ， ， ，
由P为 中点，故 ，
则 ， ， ，
设平面BFP的法向量 ，
则 ，即 ，故取 ，
故所求角的正弦值为 ，
所以直线 与平面BFP所成的角的正弦值为 ．
