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第 21 讲 双曲线及其标准方程 7 种常见考法归类
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
知识点1 双曲线的定义
把平面内与两个定点F ，F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|FF|)的点的轨迹叫做双曲线．这
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两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
注：1、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合: .常数要小于两个定点的距离．
2、对双曲线定义中限制条件的理解
(1)当||MF |－|MF ||＝2a＞|FF|时，M的轨迹不存在．
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(2)当||MF |－|MF ||＝2a＝|FF|时，M的轨迹是分别以F，F 为端点的两条射线．
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(3)当||MF |－|MF ||＝0，即|MF |＝|MF |时，M的轨迹是线段FF 的垂直平分线．
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(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于
与 的大小.
①若 ,则 ,点 的轨迹是靠近定点 的那一支;
②若 ,则 ,点 的轨迹是靠近定点 的那一支.
知识点2 双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
－＝1 －＝1
标准方程
(a>0，b>0) (a>0，b>0)
图形
焦点坐标 F(－c,0)，F(c,0) F(0，－c)，F(0，c)
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a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 a与b没有大小关系注：1、双曲线的标准方程推导过程
①观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线FF 是它的一条对称轴，所以以F ，F 所在直
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线为x轴，线段FF 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，
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此时双曲线的焦点分别为F(－c,0)，F (c,0)，焦距为2c，c>0.
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设P(x，y)是双曲线上一点，则
||PF|－|PF||＝2a(a为大于0的常数)，
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因为|PF|＝，|PF|＝，
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所以－＝±2a，①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，两边同除以a2(c2－a2)，得－＝1.
由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令 b2＝c2－a2，其中
b>0，代入上式，得－＝1(a>0，b>0)．
②设双曲线的焦点为 F 和F ，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF|－|PF||＝2a，其中c>a>0 ，以
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F ，F 所在直线为y轴，线段FF 的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线
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的标准方程是什么？
【答案】－＝1(a>0，b>0)．
2、巧记双曲线焦点位置与方程的关系
两种双曲线 ， （ ）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有
, ;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
3、共焦点双曲线的设法
与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为－＝1(－a2<λ0，b>0)有公共
焦点的双曲线方程为－＝1(－a2<λ
