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第 21 讲 双曲线及其标准方程 7 种常见考法归类
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
知识点1 双曲线的定义
把平面内与两个定点F ，F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|FF|)的点的轨迹叫做双曲线．这
1 2 1 2
两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
注：1、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合: .常数要小于两个定点的距离．
2、对双曲线定义中限制条件的理解
(1)当||MF |－|MF ||＝2a＞|FF|时，M的轨迹不存在．
1 2 1 2
(2)当||MF |－|MF ||＝2a＝|FF|时，M的轨迹是分别以F，F 为端点的两条射线．
1 2 1 2 1 2
(3)当||MF |－|MF ||＝0，即|MF |＝|MF |时，M的轨迹是线段FF 的垂直平分线．
1 2 1 2 1 2
(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于
与 的大小.
①若 ,则 ,点 的轨迹是靠近定点 的那一支;
②若 ,则 ,点 的轨迹是靠近定点 的那一支.
知识点2 双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
－＝1 －＝1
标准方程
(a>0，b>0) (a>0，b>0)
图形
焦点坐标 F(－c,0)，F(c,0) F(0，－c)，F(0，c)
1 2 1 2
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 a与b没有大小关系注：1、双曲线的标准方程推导过程
①观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线FF 是它的一条对称轴，所以以F ，F 所在直
1 2 1 2
线为x轴，线段FF 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，
1 2
此时双曲线的焦点分别为F(－c,0)，F (c,0)，焦距为2c，c>0.
1 2
设P(x，y)是双曲线上一点，则
||PF|－|PF||＝2a(a为大于0的常数)，
1 2
因为|PF|＝，|PF|＝，
1 2
所以－＝±2a，①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，两边同除以a2(c2－a2)，得－＝1.
由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令 b2＝c2－a2，其中
b>0，代入上式，得－＝1(a>0，b>0)．
②设双曲线的焦点为 F 和F ，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF|－|PF||＝2a，其中c>a>0 ，以
1 2 1 2
F ，F 所在直线为y轴，线段FF 的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线
1 2 1 2
的标准方程是什么？
【答案】－＝1(a>0，b>0)．
2、巧记双曲线焦点位置与方程的关系
两种双曲线 ， （ ）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有
, ;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
3、共焦点双曲线的设法
与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为－＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共
焦点的双曲线方程为－＝1(－a2<λ<b2)．
知识点3 双曲线的焦点三角形
双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．
以双曲线 上一点P(x ，y)(y≠0)和焦点F(－c,0)，F(c,0)为顶点的△PFF 中，
0 0 0 1 2 1 2
若∠FPF＝θ，则
1 2
(1)双曲线的定义：
(2)余弦定理： ＝|PF|2＋|PF|2－2|PF||PF|·cos θ.
1 2 1 2
(3)面积公式：S ＝|PF||PF|·sin θ，
△PF1F2 1 2
重要结论：S =
△PF1F2
推导过程：由余弦定理得|FF|2=|PF|2＋|PF|2－2|PF||PF|·cos θ得
1 2 1 2 1 2
由三角形的面积公式可得
S =
△PF1F2
=
1、双曲线方程的辨识方法
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．
若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．
2、求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定
方程的形式．
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
3、双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系
数代入方程即可．
注：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1的形式，注意标明
条件mn<0.
4、双曲线的焦点三角形解题注意点
在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF|－|PF||＝2a的应用；与三角形有关的
1 2
问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．
5、利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下：
(1)建立适当的坐标系．
(2)求出双曲线的标准方程．
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．
考点一：双曲线定义的理解
例1．（2023秋·高二课时练习）到两定点 、 的距离之差的绝对值等于6的点 的
轨迹（ ）
A．椭圆 B．直线 C．双曲线 D．两条射线
变式1．（2023秋·高二课时练习）平面内到两个定点 的距离之差的绝对值等于 的点的轨迹是
（ ）
A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线
变式2．（2023秋·高二课时练习）已知动点 满足 ，则动点P的轨
迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线左支
C．双曲线右支 D．一条射线
变式3．（2023秋·高二课时练习）与圆 及圆 都外切的圆P的圆心在（ ）
A．一个椭圆上 B．一个圆上C．一条直线上 D．双曲线的一支上
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线C： ，点M与曲线C的焦点不重合．已知M关
于曲线C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在曲线C右支上，则 的值为______．
考点二：双曲线标准方程的辨识
例2．（2023秋·广东佛山·高三统考阶段练习）对于常数a，b，“ ”是“方程 对
应的曲线是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式1．（2023·全国·高二专题练习）设 ，则“方程 表示双曲线”的必要不充分条
件为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2023秋·高二课时练习）“ ”是“ 为双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式3．（2023秋·北京·高二北京市第二十二中学校考期中）已知曲线C： ，则下列说法不正
确的是（ ）
A．若 ，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若 ，则C是双曲线，其渐近线方程为
C．若 ，则C是圆，其半径是D．若 ，则C是两条直线
变式4．（2023·全国·高三对口高考）若曲线 表示双曲线，那么实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式5．（2023秋·高二课时练习）“ ”是“方程 表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式6．（2023秋·高二课时练习）若 ，则“ ”是“方程 表示双曲线”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式7．（2023秋·高二课时练习）已知方程 表示焦点在 轴上的双曲线，则 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D． 或
变式8．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知
表示焦点在 轴上的双曲线有 个， 表示焦点在 轴上的椭圆有 个，则 的值为（ ）
A．10 B．14 C．18 D．22
变式9．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）设m为实数，若方程 表示焦
点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．变式10．（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）方程 表示焦距为 的双曲
线，则实数λ的值为（ ）
A．1 B．-4或1 C．-2或-4或1 D．-2或1
考点三：求双曲线的标准方程
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知P是平面上的动点，且点P与 的距离之差
的绝对值为 ．设点P的轨迹为曲线E．求曲线E的方程；
变式1．（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知点 ， ，动点 满足条件
．则动点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2023春·广西南宁·高二校联考开学考试）设椭圆 的离心率为 ，焦点在 轴上且长轴长为
26，若曲线 上的点到椭圆 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线 的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线过点 ，且与椭圆 有公共焦点，则双曲线
的标准方程是（ ）
A． B．C． D．
变式4．（2023·全国·校联考三模）若双曲线 与双曲线 有相同的焦距，且 过点 ，则
双曲线 的标准方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
变式5．（2023秋·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）已知双曲线 经过点 ，
且与椭圆 有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
变式6．（2023春·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点
分别为 ， ，点P在双曲线的右支上，若 ， 则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式7．（2023·河南安阳·统考二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，，P为C上一点， 的中点为Q， 为等边三角形，则双曲线C的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
考点四：双曲线的焦点三角形
例4．（2023春·福建福州·高二校联考期中）设P是双曲线 上一点，F，F 分别是双曲
1 2
线左、右两个焦点，若|PF|=9，则|PF|等于（ ）
1 2
A．1 B．17 C．1或17 D．8
变式1．（2023·四川达州·统考二模）设 ， 是双曲线C： 的左、右焦点，过 的直线与C的
右支交于P，Q两点，则 （ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
变式2．（2023·全国·高三对口高考）设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点．若点P在双曲线上，
且 ，则 _________， _________；
变式3．（2023春·四川遂宁·高二统考期末）设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为双曲线
右支上一点，且 ，则 的大小为__________．
变式4．（2023秋·高二课时练习）若 是双曲线 的左、右焦点，点 在该双曲线上，且
是等腰三角形，则 的周长是________.
变式5．（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知双曲线 ， 、 是其两个焦点，点M在双曲线上，若 ，则 的面积为______．
变式6．（2023秋·高二课时练习）已知点F，F 分别是双曲线 =1的左、右焦点，若点P是双
1 2
曲线左支上的点，且 ，则 的面积为____.
△
变式7．（2023春·江西·高二临川一中校联考阶段练习）已知点 分别为双曲线 的左､右
焦点，过点 的直线 交双曲线 的右支第一象限于点 ，若 的内切圆的半径为1，则直线 的斜率
为（ ）
A． B． C．1 D．
变式8．【多选】（2023秋·高二课时练习）双曲线 的方程为 ，左、右焦点分别为 ，过点
作直线与双曲线 的右半支交于点 ， ，使得 ，则（ ）
A． B．点 的横坐标为
C．直线 的斜率为 或 D． 的内切圆半径是
变式9．【多选】（2023秋·高二校考课时练习）已知点 在双曲线 上， 分别是左､右焦点，
若 的面积为20，则下列判断正确的有（ ）
A．点 到 轴的距离为
B．
C． 为钝角三角形D．
变式10．【多选】（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知 ， 分别是双曲线C： 的左、
右焦点，P是C上一点，且位于第一象限， ，则（ ）
A．P的纵坐标为 B．
C． 的周长为 D． 的面积为4
考点五：双曲线定义的应用
例5．（2023春·四川内江·高二威远中学校校考期中）已知F是双曲线C： 的右焦点，P
是C的左支上一点， ，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
变式1．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知 ，双曲线 的左、右焦点分别为 ，
，点 是双曲线左支上一点，则 的最小值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
变式2．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）设点P是圆 上的一动点， ，
，则 的最小值为（ ）．
A． B． C．6 D．12
变式3．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考阶段练习）已知 ，双曲线C： 的左焦点
为F，P是双曲线C的右支上的动点，则 的最大值是（ ）A． B． C． D．
变式4．（2023·全国·高三专题练习）设 ， 为双曲线C： 的左、右焦点，Q为双曲线右支上
一点，点P（0，2）．当 取最小值时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2023·青海玉树·统考模拟预测）已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，点P是C的
右支上的一点，则 的最小值为（ ）
A．16 B．18 C． D．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左焦点为 ，点 是双曲线 右支上的
一点，点 是圆 上的一点，则 的最小值为（ ）
A．5 B． C．7 D．8
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 分别是双曲线 的左右焦点，且C上
存在点P使得 ，则a的取值范围是________．
变式8．（2023·青海西宁·统考二模）设双曲线 的左焦点为 ，点 为双曲线右支上的一点，且
与圆 相切于点 ， 为线段 的中点， 为坐标原点，则 （ ）A．- B．-1 C．- D．-2
考点六：双曲线的轨迹方程
例6．（2023秋·高二课时练习）求下列动圆的圆心 的轨迹方程：
(1)与圆 和圆 都内切；
(2)与圆 内切，且与圆 外切；
(3)在 中， ， ，直线 ， 的斜率之积为 ，求顶点 的轨迹方程.
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知圆M： 上动点Q，若 ，线段QN的中垂线
与直线QM交点为P．求交点P的轨迹C的方程；
变式2．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考期末）已知圆 ， 为圆心， 为圆上任
意一点，定点 ，线段 的垂直平分线 与直线 相交于点 ，则当点 在圆上运动时，点 的轨
迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（2023·全国·高三对口高考）已知动圆P过点 ，且与圆 外切，则动圆
P圆心 的轨迹方程为______.
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ： ，圆 ： ，圆 与圆 、
圆 外切，求圆心 的轨迹方程
变式5．（2023秋·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）已知 的两个顶点A，B的坐标
分别是 、 ，且 ， 所在直线的斜率之积等于2，则顶点C的轨迹方程是（ ）A． （ ） B．
C． D． （ ）
变式6．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知双曲线 与直线
有唯一的公共点 ，过点 且与 垂直的直线分别交 轴、 轴于 两
点．当点 运动时，点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
考点七：双曲线的实际应用
例7．（2023·北京海淀·高三101中学校考阶段练习）地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某
些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据
Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，
可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预
警中，两地震台 站和 站相距 .根据它们收到的信息，可知震中到 站与震中到 站的距离之差为
.据此可以判断，震中到地震台 站的距离至少为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，
它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的
广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.
某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为
，楼底的直径为 ，楼顶直径为 ，最细处距楼底 ，则该地标建筑的高为（ ）A． B． C． D．
变式2．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出
圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（ ， 为焦点）上一点，点P处的切线平分 ．
已知双曲线C： ，O为坐标原点，l是点 处的切线，过左焦点 作l的垂线，垂足为
M，则 ______．
1．已知方程 表示双曲线，求m的取值范围．
2．已知双曲线 满足 ，且与椭圆 有公共焦点，则双曲线 的方程
为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知双曲线的两个焦点 ， ， 是双曲线上一点，且 ， ，则双
曲线的标准方程是（ ）A． B．
C． D．
4．设 ， 为双曲线 的两个焦点，点P在双曲线上，且满足 ，则 的面积
为（ ）
A． B．2 C． D．1
5．设 P 为双曲线 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段 的中点，则点 M 的轨迹方程为
_____________．
一、单选题
1．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，直
线 经过 且与 的右支相交于A，B两点，若 ，则 的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，
垂足为N.若 ，则动点M的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
3．（2023秋·山西晋中·高二统考期末）与两圆 及 都外切的圆的圆心的轨迹为
（ ）
A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆
4．（2023·全国·高三对口高考）已知两点 及直线l：① ；② ；③ ；④ ，在直线l上存在点P满足 的所有直线方程是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
5．（2023·全国·高三对口高考）若双曲线 的一个焦点是 ，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知 ，则“ ”是“方程
表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 为双曲线右支上一点，
为 的内切圆上一点，则 取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，
被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球
的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点
将圆O的周长八等分， ，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023春·广西河池·高二校联考阶段练习）已知 ，则方程 所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（ ）
A．当 时，曲线 表示焦点在 轴上的椭圆
B．当曲线 表示双曲线时， 的取值范围是
C．当 时，曲线 表示两条直线
D．存在 ，使得曲线 为等轴双曲线
10．（2023·全国·高三专题练习）双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，点P在C上.若
是直角三角形，则 的面积为（ ）
A． B． C．4 D．2
11．（2023·高二课时练习）已知双曲线 的左、右两个顶点分别是 ，左、右两
个焦点分别是 ， 是双曲线上异于 的任意一点，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．
B．直线 ， 的斜率之积等于定值
C．使得 为等腰三角形的点P有且仅有四个
D．若 ，则
三、填空题12．（2023春·河南·高二校联考期末）已知 ， 分别为双曲线C： 的
左、右焦点， .以线段 为直径的圆与双曲线在第一象限交于点A，双曲线C的一条渐近线的倾
斜角为 ，则直线 的斜率为______.13．（2023春·上海嘉定·高二统考期末）已知圆锥曲线 的方程： .当 为正整数，且
时，存在两条曲线 、 ，其交点 与点 满足 ，则满足题意的有序
实数对 共有__________对.
14．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为 ，直线
过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且 ，则双曲线的方程为__________．
15．（2023·河北·校联考一模）设 ， 是双曲线 的左、右焦点， 是双曲线在第一象限部分
上的任意一点，过点 作 平分线的垂线，垂足为 ，则 ______.
16．（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，
点P在双曲线C上， ，则 ______．
四、解答题
17．（2023秋·高二课时练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)以椭圆 短轴的两个端点为焦点，且过点 ；
(2)经过点 和 ．
18．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知点 ，
，点 的轨迹为 .求 的方程；
19．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 、圆都外切．圆心 的轨迹为曲线 .求 的方程；
20．（2023·高二单元测试）若双曲线C： 上一点 到左、右焦点的距离之差的绝对值为
2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设 、 是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若 ，求 的面积.
21．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）已知双曲线的焦点为 ， ，且该双曲线过
点 ．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过左焦点 作斜率为 的弦AB，求AB的长；
(3)求 的周长．
