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第 11 讲 用空间向量研究距离、夹角问题 11 种常见考法归类
会用向量法求线线、线面、面面的夹角及与其有关的角的三角函数值；会用向量法求点点、点线、点
面、线线、线面、面面之间的距离及与其有关的面积与体积.
知识点1 空间距离及向量求法
分
点到直线的距离 点到平面的距离
类
图
形
语
言
设已知平面α的法向量为n，A∈α，P α，向量
文 设u为直线l的单位方向向量，A∈l，P l，
AQ是向量AP在平面上的投影向量，
字 AP＝a，向量AP在直线l上的投影向量为AQ
PQ＝AP＝AP
语 （AQ＝(a·u)u.），
注：实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α
言 则PQ＝APAQ＝
的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度．
注意点：
(1)两条平行直线之间的距离：在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线
之间的距离．
(2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求
解．
(3)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到
平面β的距离求解．
知识点2 空间角及向量求法
角的分
向量求法 范围
类
异面直
设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为u， （1）两异面直线所成角的范围
线所成 v，则 是（2）两异面直线所成的角与其
方向向量的夹角是相等或互补的
的角 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
关系．
(1)线面角的范围为.
直线与 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为u，平面α (2)直线与平面所成的角等于其方
平面所 的法向量为n，则 向向量与平面法向量所成锐角的
成的角 sin θ＝|cos〈u，n〉|＝ 余角．
平面α与平面β相交，形成四个二面角，把不大于的二面角
(1)两个平面的夹角的范围是
两平面 称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两
(2)两平面的夹角是两法向量的
的夹角 平面α，β的法向量分别为n，n，则cos θ＝|cos〈n，
1 2 1
夹角或其补角．
n〉|＝
2
思考：（1）两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二
面角称为平面α与平面β的夹角．二面角的平面角范围是[0，π]，而两个平面的夹角的范围是.
（2）平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？
两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角．
1、用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)求直线的方向向量．
(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．
(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．
2、求点到平面的距离的四步骤注：线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平
行．
3、基向量法求异面直线的夹角的一般步骤
(1)找基底．
(2)用同一组基底表示两异面直线的方向向量．
(3)利用向量夹角公式求出两条直线的方向向量夹角的余弦值．
(4)结合异面直线的夹角范围得到异面直线的夹角．
4、用空间向量法求异面直线夹角的步骤
(1)确定两条异面直线的方向向量．
(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值．
(3)得出两条异面直线所成的角．
5、求直线与平面所成角的思路与步骤
思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某
一三角函数值)．
思路二：用向量法求直线与平面所成角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面所成
角的基本步骤：
①建立空间直角坐标系；
②求直线的方向向量AB；
③求平面的法向量n；
④计算：设线面角为θ，则sin θ＝ABAB.
6、向量法求两平面的夹角(或其某个三角函数值)的三个步骤
求两平面夹角的两种方法
(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．
也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．
(2)法向量法：
①建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；②求出两个半平面的法向量n，n；
1 2
③设两平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n，n〉|.
1 2
或π－〈n，n〉
1 2
[注意] 若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解．
7、立体几何中的探索性问题
立体几何中的探索性问题，在命题中多以解答题的一步出现，试题有一定的难度．
这类题型常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一
般要先对结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结
论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．
考点一：求点到直线的距离
例1．（2023秋·河南新乡·高二统考期末）已知空间三点 ，则点 到直
线 的距离为_____________．
变式1．（2023秋·高二课时练习）矩形ABCD中， ， 平面ABCD，且 ，
则P到BC的距离为__________．
变式2．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三
条棱长都是a，且 ， ，E为 的中点，则点E到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023·浙江温州·统考三模）四面体 满足，点 在棱 上，且 ，点 为 的重
心，则点 到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2023·吉林·统考模拟预测）如图1，在等腰梯形 中，
，沿 将 折成 ，如图2所示，连接 ，得到四
棱锥 .
(1)若平面 平面 ，求证： ；
(2)若点 是 的中点，求点 到直线 的距离的取值范围.
变式5．（2023·江苏南京·统考二模）在梯形 中， ， ， ， ，
如图1．现将 沿对角线 折成直二面角 ，如图2，点 在线段 上．
(1)求证： ；
(2)若点 到直线 的距离为 ，求 的值．
考点二：求点到平面的距离
例2．（2023春·浙江温州·高二校联考期末）如图所示，在棱长为1的正方体 中为线段 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求 到平面 的距离.
变式1．（2023秋·河南新乡·高二统考期末）如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面
是矩形， 是 的中点， ，则点 到平面 的距离为
（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在圆锥 中， 是底面圆 的直径， ，
， 为 的中点， 为 的中点，则点 到平面 的距离为（ ）A． B． C． D．
变式3．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）如图，已知 平面 ，底面 为矩形，
， ， 、 分别为 、 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
变式4．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图所示，四棱锥 的底面是正方形， 底面
， 为 的中点， .
(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
变式5．（2023·江苏·高二专题练习）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，
， 为 的中点，且 ．(1)求 ；
(2)求点B到平面PAM的距离．
变式6．（2023春·云南楚雄·高二统考期中）如图，在正三棱柱 中， 是线段 上靠近点
的一个三等分点， 是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求点 到平面 的距离．
考点三：求两平行平面的距离
例3．（2023秋·高二课时练习）已知正方体 的棱长为4，设M、N、E、F分别是
，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离．
变式1．（2023春·高二课时练习）两平行平面 分别经过坐标原点O和点 ，且两平面的一个法
向量 ，则两平面间的距离是（ ）A． B． C． D．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，
底面 ， ， 、 、 分别是 、 、 的中点．求：
(1)直线 与平面 的距离；
(2)平面 与平面 的距离．
变式3．（2023春·高二课时练习）直四棱柱 中，底面 为正方形，边长为 ，侧棱
， 分别为 的中点， 分别是 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 的距离．
变式4．【多选】（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知正方体 的棱长为1，点
分别是 的中点， 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 到直线 的距离是B．点 到平面 的距离为
C．平面 与平面 间的距离为
D．点 到直线 的距离为
考点四：求两条异面直线的距离
例4．【多选】（2023·辽宁朝阳·校联考一模）如图，在棱长为1正方体 中， 为
的中点， 为 与 的交点， 为 与 的交点，则下列说法正确的是（ ）
A． 与 垂直
B． 是异面直线 与 的公垂线段，
C．异面直线 与 所成的角为
D．异面直线 与 间的距离为
变式1．（2023·高一课时练习）如图所示，在空间四边形 中， ， ，
， ．(1)求证： ；
(2)求异面直线 与 的距离；
(3)求二面角 的大小．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）如图，正四棱锥 的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若
点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）如图，多面体 是由长方体一分为二得到的， ，
， ，点D是 中点，则异面直线 与 的距离是______．
变式4．（2023秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期末）如图①菱形 ， ．沿
着 将 折起到 ，使得 ，如图②所示．(1)求异面直线 与 所成的角的余弦值；
(2)求异面直线 与 之间的距离．
考点五：求异面直线所成的角
例5．（2023春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）如图，在棱长为1的正方体
中，E，F，G分别为 ，BD， 的中点，则 与FG所成的角的余弦值为______.
变式1．（2023春·陕西汉中·高二统考期末）如图，在正方体 中， 为体对角线 上一
点，且 ，则异面直线 和 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）在正四棱锥 中， ，M为棱PC的中点，则异面直线AC，BM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023春·高二单元测试）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形，
， .
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求 与 所成角的余弦值.
变式4．（2023春·江西赣州·高二江西省寻乌中学校考阶段练习）如图，设在直三棱柱 中，
， ，E，F依次为 的中点．
(1)求异面直线 、EF所成角的余弦值；
(2)求点 到平面AEF的距离．
变式5．（2023春·浙江宁波·高一效实中学校考期中）在正方体 中， 为棱 的中点，
为直线 上的异于点 的动点，则异面直线 与 所成的角的最小值为 ，则 （ ）A． B． C． D．
变式6．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，
且四边形 为直角梯形， ， ， .点 是线段 上的动点，
当直线 与 所成的角最小时，则线段 的长为____________
考点六：已知线线角求其他量
例6．（2023秋·湖南岳阳·高二统考期末）如图，在三棱锥 中， 底面 ，
，点 ， ， 分别为棱 ， ， 的中点， 是线段 的中点， ，
.
(1)求证： 平面 .
(2)已知点 在棱 上，且直线 与直线 所成角的余弦值为 ，求线段 的长.
变式1．（2023·广东·统考模拟预测）如图，在四棱锥 中，平面 平面ABCD， ，
， ， ，E，F分别为AD，PC的中点.(1)证明： ；
(2)若BF与CD所成的角为 ，求平面BEF和平面ABE夹角的余弦值.
变式2．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，在三棱锥 中， ，
， ，平面 平面 ，点 是线段 上的动点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若点 在线段 上， ，且异面直线 与 成30°角，求平面 和平面 夹角的余弦值.
变式3．（2023春·高二课时练习）如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为矩形，
是线段 的中点， 是线段 上一点（不与 两点重合），且 ．
若直线 与 所成角的余弦值是 ，则 （ ）A． B． C． D．
变式4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱 中， 底面 ，且底面
为菱形， ， ， ， 为 的中点， 在 上， 在平面 内运动
（不与 重合），且 平面 ，异面直线 与 所成角的余弦值为 ，则 的最大
值为___________.
考点七：求直线与平面所成的角
例7．（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）如图，在四棱锥 中， 平面 ，
， ， ，已知Q是棱 上靠近点P的四等分点，则 与平
面 所成角的正弦值为（ ）．
A． B． C． D．
变式1．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）在正四棱柱 中， ， ，E在线段 上，且 .
(1)求证： 平面DBE；
(2)求直线 与平面DBE所成角的正弦值.
变式2．（2023春·江苏淮安·高二金湖中学校联考阶段练习）如图所示，在直四棱柱 中，
， ， ， ， .
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
变式3．（2023秋·河南新乡·高二统考期末）如图，正三棱锥P－ABC的所有侧面都是直角三角形，过点P
作PD⊥平面ABC，垂足为 ，过点 作 平面 ，垂足为 ，连接 并延长交 于点 ．(1)证明： 起 的中点．
(2)求直线 与平面 夹角的正弦值．
变式4．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面
， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 是 中点，求直线 与平面 所成角的正弦值．
变式5．（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）如图①，在 中，B为直角，AB＝BC＝
6，EF∥BC，AE＝2，沿EF将 折起，使 ，得到如图②的几何体，点D在线段AC上．
(1)求证：平面 平面ABC；
(2)若 平面BDF，求直线AF与平面BDF所成角的正弦值．变式6．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在三棱柱 中，侧面 为菱形，且
.
(1)证明： .
(2)若 ， ， ，点M在直线 上，求直线AB与平面 所成角的正弦值的
最大值.
考点八：已知线面角求其他量
例8．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知正方体 ，点 为 中点，
直线 交平面 于点 .
(1)证明：点 为 的中点；
(2)若点 为棱 上一点，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
变式1．（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知 、 分别是正方体 的棱 、 的中点，求：
(1) 与 所成角的大小；
(2)二面角 的大小；
(3)点 在棱 上，若 与平面 所成角的正弦值为 ，请判断点 的位置，并说明理由.
变式2．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图，四棱锥 中，四边形 为梯形，其中
， ， ， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，且 与平面 所成角的正弦值为 ，点E在线段 上满足 ，求二面角
的余弦值.
变式3．（2023春·广西·高二校联考阶段练习）如图，在正三棱柱 中，D为AB的中点，
， ．(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角为 ，求 的值；
变式4．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）如图，在三棱锥 中，
的中点为 .
(1)证明：直线 平面 ；
(2)若 ，当直线 与平面 所成的角最大时，求三棱锥 的体积.
变式5．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面
ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E为BC的中点，F为边PC上的一个点.
(1)求证:平面AEF⊥平面PAD；(2)若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成角的正切值的最大值为 ，求平面PAB与平面PCD夹角的
余弦值.
变式6．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）如图， 且 ， ，
且 ， 且 . 平面 ， .
(1)求平面 与平面 的夹角的正弦值；
(2)若点 在线段 上，且直线 与平面 所成的角为 ，求线段 的长.
考点九：求两平面的夹角（二面角）
例9．（2023·吉林四平·四平市实验中学校考模拟预测）如图，在三棱锥 中， 底面
． ，D为 中点，且 ．
(1)求 的长；
(2)求锐二面角 的余弦值．
变式1．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在正四棱锥 中， ，正四棱锥
的体积为 ，点 为 的中点，点 为 的中点.(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
变式2．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）如图，正三棱柱 中， 分别是棱 上
的点， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的余弦值.
变式3．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）如图，已知四棱锥 的底面是直角梯形，
，二面角 的大小为 ， 是 中
点.
(1)求证： 平面 ；(2)求二面角 的余弦值.
变式4．（2023春·四川泸州·高二泸县五中校考期末）如图，在矩形 中，点 在边 上，且满足
，将 沿 向上翻折，使点 到点 的位置，构成四棱锥 .
(1)若点 在线段 上，且 平面 ，试确定点 的位置；
(2)若 ，求锐二面角 的大小.
变式5．（2023春·江苏连云港·高二统考期中）如图，在四棱锥 中， 平面 ， 与底
面所成的角为45°，底面 为直角梯形， ， ， ．
(1)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
考点十：已知面面角求其他量
例10．（2023春·高二单元测试）如图，四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 为正
三角形， , ，平面 平面 ， 为棱 上一点（不与 重合），平面 交棱
于点 .(1)求证： ；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求点 到平面 的距离.
变式1．（2023秋·河南新乡·高二统考期末）如图，在直四棱柱 中，
， 为棱 的中点，点 在线段 上，且 ．
(1)证明： ．
(2)若二面角 的余弦值为 ，求 的值．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正四棱柱 中， ．点
分别在棱 , 上， ．(1)证明： ；
(2)点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
变式3．（2023春·湖南郴州·高二校考期末）正三棱柱 中， 为 的中点，点
在 上.
(1)证明： 平面 ；
(2)若二面角 大小为 ，求以 为顶点的四面体体积.
变式4．（2023·全国·高二假期作业）如图1，在平行四边形ABCD中， ，将
沿BD折起，使得点A到达点P，如图2．(1)证明：平面 平面PAD；
(2)当二面角 的平面角的正切值为 时，求直线BD与平面PBC夹角的正弦值．
考点十一：立体几何中的探索性问题
例11．（2023秋·福建福州·高二校联考期末）已知直三棱柱ABC-ABC 中，侧面AABB为正方形，
1 1 1 1 1
AB=BC=2，且 ，E，F分别为AC和CC 的中点，D为棱 上的点．
1
(1)证明： ；
(2)在棱AB 上是否存在一点M，使得异面直线MF与AC所成的角为30°？ 若存在，指出M的位置；若不
1 1
存在，说明理由．
变式1．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）在三棱柱 中，平面 平面 ，侧面
为菱形， ， ， ，E是AC的中点.
(1)求证： 平面
(2)确定在线段 上是否存在一点P，使得AP与平面 所成角为 ，若存在，求出 的值;若不存，
说明理由.变式2．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，圆台的下底面圆 的直径为 ，圆台的上底面圆
的直径为 ， 是弧 上一点，且 .
(1)求证： ；
(2)若点 是线段 上一动点，求直线 与平面 所成角的取值范围.
变式3．（2023春·江苏常州·高二统考期中）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互
相垂直，且 ， ， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)求直线PC与平面ABP所成角的余弦值；
(3)线段PA上是否存在点E，使得 平面EBD？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
变式4．（2023春·贵州·高二校联考阶段练习）如图1，已知 是直角梯形， ， ，
，C、D分别为BF、AE的中点， ， ，将直角梯形ABFE沿CD翻折，使得二面角
的大小为60°，如图2所示，设N为BC的中点.(1)证明： ；
(2)若M为AE上一点，且 ，则当 为何值时，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为 .
变式5．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在底面ABCD为梯形的多面体中. ，BC⊥CD，
，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四边形BDEN为矩形．
(1)求证：BD⊥AE；
(2)线段EN上是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，
确定点Q的位置并加以证明．
变式6．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知在直三棱柱 中，其中
为 的中点，点 是 上靠近 的四等分点， 与底面 所成角的余弦
值为 ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 ，若存在，确定点 的位置，若不存在，请说明理由．
变式7．（2023秋·福建三明·高三统考期末）如图，在三棱柱 中， 为等边三角形，四
边形 为菱形， ， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 的夹角的正弦值为 ？若存在，求出点 的
位置；若不存在，请说明理由.
1．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥 中， 平面 ，
．
(1)求证： 平面PAB；(2)求二面角 的大小．
2．（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥 中， ， ，
，E为BC的中点．
(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．
3．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱 中， ，D为
的中点，E为 的中点，F为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
4．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知 和 都是直角梯形， ， ，
， ， ， ，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为
的中点．(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
5．（2022·全国·统考高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
6．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥 中， 底面
．
(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
7．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体 中， ，E为 的
中点．(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正
弦值．
一、单选题
1．（2022春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）如图所示，已知正方体 ，
， 分别是正方形 和 的中心，则 和 所成的角是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱 中，
，已知 与 分别为 和 的中点， 与 分别为线 和 上的动
点（不包括端点），若 、则线段 长度的取值范围为（ ）A．[ ) B．[ ] C．[ ) D．[ ]
3．（2022秋·重庆渝北·高二重庆市两江育才中学校校考阶段练习）在正方体 中，棱长为
2， 是底面正方形 的中心，点 在 上， 是 上靠近 的三等分点，当直线 与 垂
直的时候， 的长为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2022秋·安徽六安·高二校考阶段练习）在正方体 中， 是 中点，点 在线段
上，直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·山东济南·高二校考期中）已知向量 分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若，则l与α所成的角为 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， ， ， 两两垂直， 为棱 上一动点，
， .当 与平面 所成角最大时， 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知四面体 中， ， ， 两两垂直， ， 与
平面 所成角的正切值为 ，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·河北保定·高二定兴中学校联考阶段练习）已知平面 的一个法向量为 ，向量
， ，则平面 与平面ABC夹角的正切值为（ ）
A． B．2 C． D．
9．（2022秋·广西钦州·高二浦北中学统考期末）已知向量 ， 分别为平面 和平
面 的法向量，则平面 与平面 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）在棱长为1的正方体 中， 为线段
的中点， 为线段 的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．点 到直线 的距离是 B．直线 到直线 的距离是C．点 到平面 的距离是 D．直线 到平面 的距离是
11．（2022秋·福建厦门·高二统考期末）如图，四边形 为正方形， ， 平面 ，
，点 在棱 上，且 ，则（ ）
A．当 时， 平面
B．当 时， 平面
C．当 时，点 到平面 的距离为
D．当 时，平面 与平面 的夹角为
12．（2022秋·河北保定·高二定兴中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥 中， 平面
ABCD，底面ABCD是正方形，且 ，E，F分别为PD，PB的中点，则（ ）
A． 平面PAC
B． 平面EFC
C．点F到直线CD的距离为D．点A到平面EFC的距离为
13．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体 中，点 为线段 上的动点（包
含线段的端点），点 ， 分别为线段 ， 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，点 ， ， ， 四点共面
B．异面直线 与 的距离为
C．三棱锥 的体积为定值
D．不存在点 ，使得
三、填空题
14．（2022秋·福建泉州·高二校考阶段练习）直线l的方向向量为 ，且l过点 ，则点
到l的距离为__________.
15．（2022秋·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）如图，已知正三棱柱 的所
有棱长均为1，则线段 上的动点P到直线 的距离的最小值为______.
16．（2022秋·安徽亳州·高二校联考期末）如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面
为正方形， ， 为 上一点，且 ，则异面直线 与 所成的角的大小为______．17．（2022秋·河南洛阳·高二统考期末）设 、 分别在正方体 的棱 、 上，且
， ，则直线 与 所成角的余弦值为_____________．
四、解答题
18．（2022春·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）已知四棱锥 ，底面 是菱形，
， 平面 ， ，点 满足 .
(1)求二面角 的平面角的余弦值；
(2)若棱 上一点 到平面 的距离为 ，试确定点 的位置.
19．（2022春·安徽滁州·高一统考期末）如图，平面 平面 ，四边形 为正方形，
， ．(1)求证： 平面 ；
(2)若点 为 的中点，求异面直线 与 所成角的余弦值．
20．（2022春·云南昭通·高二校联考期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中
AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3．点M在棱PD上，点N为BC中点．
(1)证明：若DM＝2MP，则直线MN∥平面PAB；
(2)求平面CPD与平面NPD所成角的正弦值．
21．（2022·高二课时练习）已知如图1直角梯形ABCD，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝4，AD＝CD＝
2，E为AB的中点，沿EC将梯形ABCD折起（如图2），使平面BED⊥平面AECD．
(1)证明：BE⊥平面AECD；
(2)在线段CD上是否存在点F，使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为 ，若存在，求出点
F的位置：若不存在，请说明理由．
22．（2022·全国·高二专题练习）在如图所示的五面体ABCDFE中，面ABCD是边长为2的正方形，AE⊥面ABCD，DF∥AE，且DF AE＝1，N为BE的中点.M为CD的中点，
(1)求证：FN∥平面ABCD；
(2)求二面角N﹣MF﹣D的余弦值；
(3)求点A到平面MNF的距离.
23．（2022秋·广西贵港·高三统考阶段练习）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面四边
形 是正方形， ，点 为 上的点， .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 ，求点 到平面 的距离.
24．（2022秋·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考期中）如图，在长方体 中，
， ，求：
(1)点 到直线BD的距离；(2)点 到平面 的距离；
(3)异面直线 之间的距离.
25．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）如图，在四棱锥 中，
，且 .点 是线段 上一动点.
(1)当 平面 时，求 的值；
(2)点 是线段 上运动的过程中，能否使得二面角 的大小为 ？若存在，求出 的位置；
若不存在，说明理由.
