文档内容
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
【划重点】
1．理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导.
2．利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离．
3．会用向量法求线线、线面、面面夹角.
4．能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．
【知识梳理】
知识点一 点P到直线 l 的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量AP=a，则向量AP在直线l
上的投影向量为AQ＝ ，则点P到直线l的距离为 (如图)．
知识点二 点P到平面α的距离
设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)．
知识点三 两个平面的夹角
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二
面角称为平面α与平面β的夹角．
知识点四 空间角的向量法解法
角的分类 向量求法 范围两条异面直 设两异面直线 l，l 所成的角为θ，其方向向
1 2
线所成的角 量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的
直线与平面
方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ
所成的角
＝|cos 〈u，n〉|＝
设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法
两个平面的
向量分别为n，n，则cos θ＝|cos 〈n，n〉|
1 2 1 2
夹角
＝
【例题详解】
一、点到直线的距离
例1 (1)已知空间直角坐标系中的三点 ， ， ，则点A到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由点A到直线 的距离,向量在向量上的投影及勾股定理即可求.
【详解】已知 ， ， ，
所以 ， ，
点A到直线 的距离为 .
故选：C.
(2)直线l的方向向量为 ，且l过点 ，则点 到l的距离为__________.
【答案】
【分析】利用空间向量投影和点到线的距离公式运算即可．
【详解】
又 ，在 方向上的投影 ，
到l距离 ．
故答案为： ．
(3)如图，在空间直角坐标系中有长方体 求点B到直线 的距离.
【答案】
【分析】利用空间向量的坐标运算求点到直线的距离.
【详解】
设 则 ，
∴
∴点B到直线 的距离
跟踪训练1 (1)已知直线l过点 ，且直线l的一个方向向量为 ，则坐标原点O到直线l
的距离d为___________.
【答案】【分析】根据空间中点到直线距离公式计算即可.
【详解】由题知，直线 过点 ，且直线 的方向向量为 ，点 ，
所以 ，
所以点 到 的距离为
故答案为： .
(2)如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为正方形，且 ， 为棱 的
中点，点 在 上，且 ，则 的中点 到直线 的距离是______．
【答案】
【分析】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，计算出
、 ，进而可计算得出点 到直线 的距离为 .
【详解】因为 平面 ，底面 为正方形，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则点 、 、 ，
， ， ，
所以， ，
所以， 的中点 到直线 的距离 .
故答案为： .
二、点到平面的距离与直线到平面的距离
例2 如图，正方体 的棱长为2，点 为 的中点．
(1)求点 到平面 的距离为 ；(2)求 到平面 的距离．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求点 到平面 的距离为 即可；
（2）利用法向量的来证明线面平行，将 到平面 的距离进行转化为点到面的距离即可.
【详解】（1）以 为原点， 所在的直线分别为 轴如图建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，
所以平面 所的法向量为 ，又
所以点 到平面 的距离 .
（2）由（1）可得平面 的法向量为 ，
∵ ，∴ ，，
，
∴ 平面 ，
所以 到平面 的距离可以转化为点 到平面 的距离，
由 ，
所以 到平面 的距离为 .
跟踪训练2 (1)已知平面 的一个法向量 ，点 在 内，则 到 的距离为
（ ）
A．10 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用空间向量法计算空间点到平面的距离，即可求解.
【详解】由题意得， ，
则 到平面 的距离为
.
故选：D.
(2)如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面 所截得到的，其中 ， ，
， ，则点 到平面 的距离为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，计算平面AECF的法向量，利用点到面距离的向量公式 即得解
1
【详解】以D为原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则 ，
∴ ， .
设 为平面 的法向量， ，
由 ，得 ，
令z=1，∴ ，
所以 .
又 ，∴点C到平面AECF的距离d= .
1
故选：C.
(3)如图所示，若正方形ABCD的边长为1， 平面ABCD，且 ，E、F分别为AB、BC的中点，
则直线AC到平面PEF的距离为______．
【答案】 /
【分析】以点D为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线到平面的距离.
【详解】依题意，以点D为原点，射线 分别为 轴非负半轴，建立空间直角坐标系，如图，
则 ，则 ，
设平面PEF的一个法向量为 ，则 ，令 ，得 ，
显然 ，即 ，而直线 平面 ，则 平面 ，
因此直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，而 ，则点A到平面PEF的距离 ，
所以直线AC到平面PEF的距离为 ．
故答案为：
三、两条异面直线所成的角
例3 (1)正方体 中，E，F分别为 ， 的中点，则异面直线AE与FC所成角的余弦
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立空间直接坐标系，利用空间向量求解.
【详解】如图，建立空间直接坐标系，设正方体的棱长为2，
因为E，F分别为 ， 的中点，易知，A(2，0，0)，E(0，1，2)，C(0，2，0)，F(2，2，1)，所以 ， ，
所以 < >= .
因为异面直线AE与FC所成角为锐角.
所以异面直线AE与FC所成角的余弦值为 .故A，B，C错误.
故选：D.
(2)如图，在圆锥 中， ， 为底面圆的两条直径， ，且 ， ，
，异面直线 与 所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以 为 轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角的余弦值，再
得正弦值．
【详解】由题意以 为 轴建立空间直角坐标系，如图，
， ， ， ，
又 ，
．
，则 ，
设异面直线 与 所成角为 ，则 ， 为锐角，
，所以 ．
故选：D．
跟踪训练3 (1)在棱长均等的正三棱柱 中，直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设正三棱柱的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】设正三棱柱的棱长为2，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，则
∥ ， ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，所以 ，
所以 两两垂直，
所以以 为原点， 所在的直线分别为 建立空间直角坐标系，如图所示，则
，
所以 ，
设直线 与 所成角为 ，则
，
所以直线 与 所成角的余弦值为 ，
故选：D
(2)如图，在四棱锥 中， ，底面ABCD为长方形， ， ，Q
为PC上一点，且 ，则异面直线AC与BQ所成的角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出 后可求线线角的余弦值.
【详解】因为 平面 ， 平面 ，故 ，
底面ABCD为长方形，故 ，所以DP，DC，DA两两互相垂直，
以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
， ， ， ， ，
所以 ， ，
设异面直线AC与BQ所成的角为 ，则 ，
所以异面直线AC与BQ所成的角的余弦值为 ．
故选：A.四、直线与平面所成的角
例4 在四棱锥 中， 底面 ．
(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】（1）作 于 ， 于 ，利用勾股定理证明 ，根据线面垂直的性质可得
，从而可得 平面 ，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）以点 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.
【详解】（1）证明：在四边形 中，作 于 ， 于 ，
因为 ，
所以四边形 为等腰梯形，
所以 ，
故 ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ；
（2）解：如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
，
则 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
则有 ，可取 ，
则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 .跟踪训练4 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，
，M，N分别为 的中点， .
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）要证 ，可证 ，由题意可得， ，易证 ，从而 平
面 ，即有 ，从而得证；
（2）取 中点 ，根据题意可知， 两两垂直，所以以点 为坐标原点，建立空间直角坐
标系，再分别求出向量 和平面 的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．
【详解】（1）在 中， ， ， ，由余弦定理可得 ，
所以 ， ．由题意 且 ， 平面 ，而
平面 ，所以 ，又 ，所以 ．
（2）由 ， ，而 与 相交，所以 平面 ，因为 ，所以
，取 中点 ，连接 ，则 两两垂直，以点 为坐标原点，如图所示，建立
空间直角坐标系,
则 ,
又 为 中点，所以 .由（1）得 平面 ，所以平面 的一个法向量
从而直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明 ，可以考虑 ，
题中与 有垂直关系的直线较多，易证 平面 ，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第
一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出．
五、两个平面的夹角
例5 如图1，在直角梯形 中， ， ， ， ， .现沿平行于 的
折叠，使得 且 平面 ，如图2所示.
(1)求 的长度；
(2)求二面角 的大小.
【答案】(1)1；(2)
【分析】（1）利用垂直关系得 ，再结合勾股定理，即可求解；
（2）分别求平面 和 的法向量，根据二面角的向量公式，即可求解.
【详解】（1）由 平面 ， 平面 ，得 ，在矩形 中，由 ， ，知 ，
设 ，则 ， ，
故 ， ，
由勾股定理： ，
解得： ，
的长度为1；
（2）因为 ， ， ，
且 平面 ，所以 平面 ，
结合 知， 两两互相垂直，故以点 为原点， 为 ， ， 轴正方向建立空
间直角坐标系，所以
， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
设 为平面 的一个法向量，所以 ，
取 ，则 ，
设 为平面 的一个法向量，所以 ，
取 ，则 ，
记所求二面角大小为 ， 为钝角，则 ，所求二面角的大小为 .
跟踪训练5 如图，在圆锥 中， 是底面的直径， 是底面圆周上的一点，且 ， ，
， 是 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）确定 ，根据中点得到 ， 得到 平面 ，得到面面垂直.
（2）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，平面 的一个法向量为 ， 是
平面 的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】（1）由 是底面的直径，点 是底面圆周上的点，得 .
又因 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，故 .
因 是圆锥的轴，所以 底面 ，又 平面 ，故 .
于是 与平面 内的两条相交直线 ， 都垂直，从而 平面 ；
而 平面 ，故由平面与平面垂直的判定定理，得平面 平面 .
（2）在圆锥底面，过圆心 作直径 的垂线，交圆周于点 ，则直线 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
如图：
则 ， ， ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
取 ，得 .
又 是平面 的一个法向量，
故 .
平面 与平面 所成的二面角是锐角，故二面角 的余弦值为 .【课堂巩固】
1．已知空间中三点 ，则点 到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解．
【详解】因为 ，
所以 ，
则点 到直线 的距离为 .
故选：C.
2．已知正方体 的棱长为2， ， 分别为上底面 和侧面 的中心，则点
到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，按照距离的向量求法求解即可.【详解】
如图，以 为原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，易知
，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，解得 ，
故点 到平面 的距离为 .
故选：A.
3．已知棱长为1的正方体 ABCD－ABC D，则平面 ABC 与平面 AC D 之间的距离为( )
1 1 1 1 1 1 1
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(1,0,0) , C (0,1,0) , D(0,0,1) , A(1,0,1) ，
1 1
所以 DA1＝(1,0，－1) ，DC1＝(0,1，－1) , AD＝(－1,0,0) ，
设平面 AC D 的一个法向量为m＝(x，y，1) ，
1 1
则 即 解得故m＝(1,1,1)，
显然平面ABC∥平面AC D，
1 1 1
所以平面ABC与平面AC D之间的距离d＝＝＝ .
1 1 1
4．若异面直线l 的方向向量与l 的方向向量的夹角为150°，则l 与l 所成的角为( )
1 2 1 2
A． B． C．或 D．以上均不对
【答案】A
【详解】l 与l 所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为，故选A.
1 25．在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与
线线角相等或互补关系求结果.
详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD 为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则
1
,所以 ,
因为 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ，选C.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标
系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第
四，破“应用公式关”.
6．如图，在三棱锥 中， 平面 ， 是边长为 的正三角形， ， 是
的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解法一：可以通过几何法找到异面直线所成角的平面角，结合余弦定理可以求出；
解法二：通过空间向量法，用坐标运算可以求出.【详解】解法一：设E为BC的中点，连接FE，如图，
∵E是BC的中点，
∴ ∥ ， , , ;
在 中，由余弦定理可知
∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为 ，
解法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
易知 ， ， ，
所以 ， ，
则 ，
∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为 .
故选：D
7．已知点 ，若 ， 两点在直线l上，则点A到直线l的距离为______.【答案】3
【分析】先求与 方向相同的单位向量 ，然后由公式 可得.
【详解】依题意， 而 ，
故与 方向相同的单位向量为 ，
则所求距离 .
故答案为:3
8．在直三棱柱 中， ， ， ， 分别为 的中点.
则点 到平面 的距离为__________.
【答案】
【分析】以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出平面 的法向量 以及 ，
然后求出 在 上的投影向量的模，即可得出答案.
【详解】因为， ，所以 .
又由直三棱柱的性质，可知 平面 .
如图，以点 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，则 ，， ， ， ， ， ， ， ，
所以， ， ， .
设 是平面 的一个法向量，
则 ，即 ，
取 ，则 是平面 的一个法向量.
因为， 在 方向上投影向量的模为 ，
所以，点 到平面 的距离为 .
故答案为： .
9．已知向量 为平面 的法向量，点 在 内，则点 到平面 的距离为
__________．
【答案】
【分析】把点到平面的距离向量求法可得答案.
【详解】由题意可得 ，
所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，
则 .故答案为： .
10．如图，在三棱锥 中， ， ， 两两垂直， ， ．
(1)求点 到直线 的距离；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点与直线距离的空间向量法计算可得.
（2）利用直线与平面夹角的空间向量法计算可得
【详解】（1）解：以 为坐标原点， ， ， 方向分别为 ， ， 轴正方向，建立如图所示的空
间直角坐标系，
则 ， ， ，所以 ， ， ．
取 ， ，则 ， ，
所以点 到直线 的距离为 ．（2）解：设 是平面 的一个法向量，则 ，所以 ，
取 ，解得 ，所以 ．
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
11．如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABC D 中，E,F分别为BB CC 的中点， ，过点E, F,
1 1 1 1 1, 1
G的平面交AA 于点H，求DA 到平面EFGH的距离．
1 1 1
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面EFGH的法向量，把线面距转化为点面距，利用点面距的公式可
得答案.
【详解】因为E，F分别为BB，CC 的中点，所以EF//BC //AD.
1 1 1 1 1 1
又因为 平面EFGH，EF 平面EFGH，所以AD//平面EFGH.
1 1所以DA 到平面EFGH的距离即为点D 到平面EFGH的距离．
1 1 1
以D为坐标原点，DA，DC，DD 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，
1
则 ， ， ， ，所以 ， .
设平面EFGH的一个法向量为 ，则 ，令z＝6，得 ．
设DA 到平面EFGH的距离为d，连接DF.
1 1 1
因为 ，所以 ，
故DA 到平面EFGH的距离为 .
1 1
12．如图，在空间直角坐标系中有单位正方体 ，点E是 的中点，求直线 与直线
CE所成角的余弦值．
【答案】
【分析】用空间向量求解空间直线的夹角的余弦值.【详解】设正方体棱长为a，则 ， ， ， ，则 ，
，设直线 与直线CE所成角为 （ ），则
，故直线 与直线CE所成角的余弦值为 .
13．如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（I）求证： 平面 ；
（II）求直线 与平面 所成角的正弦值．
（III）求二面角 的正弦值．
【答案】（I）证明见解析；（II） ；（III） .
【分析】（I）建立空间直角坐标系，求出 及平面 的一个法向量 ，证明 ，即可得证；
（II）求出 ，由 运算即可得解；
（III）求得平面 的一个法向量 ，由 结合同角三角函数的平方关系即可得解.【详解】（I）以 为原点， 分别为 轴，建立如图空间直角坐标系，
则 , , , , , , ，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以 ， ，
所以 , , ,
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ；
（II）由（1）得， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ；
（III）由正方体的特征可得，平面 的一个法向量为 ，
则 ，
所以二面角 的正弦值为 .14．如图，已知三棱柱 ，平面 平面 , ，
分别是 的中点.
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角
函数基本关系可得线面角的余弦值.
【详解】(1)如图所示，连结 ，等边 中， ，则 ，
平面ABC⊥平面 ，且平面ABC∩平面 ，
由面面垂直的性质定理可得： 平面 ，故 ，
由三棱柱的性质可知 ，而 ，故 ，且 ，
由线面垂直的判定定理可得： 平面 ，
结合 平面 ，故 .
⊆
(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC, 方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标
系 .
设 ，则 ， , ，
据此可得： ，
由 可得点 的坐标为 ，
利用中点坐标公式可得： ，由于 ，
故直线EF的方向向量为：
设平面 的法向量为 ，则：，
据此可得平面 的一个法向量为 ，
此时 ，
设直线EF与平面 所成角为 ，则 .
【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和
逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严
密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向
量的夹角公式求解.
15．如图，在底面是矩形的四棱雉 中， 平面 ， ， ， 是PD的中
点.
(1)求证：平面 平面PAD；
(2)求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值；
(3)求B点到平面EAC的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3)
【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用两向量的数量积的坐标表示
及线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理即可求解；
（2）求出平面EAC与平面ACD的法向量，利用向量的夹角公式及面面角的定义即可求解；
（3）根据（2）得出平面EAC的法向量，利用点到平面的距离公式即可求解.【详解】（1）由题可知，以 为原点，建立空间直角坐标系 ，如图所示
则
所以
所以 即 ,
所以 即 ,
又 , 平面PAD,所以 平面PAD,
又 平面 ，所以平面 平面PAD.
（2）设平面 的法向量为 ，则
，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
由题意知， 平面 ，平面ACD的法向量为 ,
设平面EAC与平面ACD夹角的 ，则
，
所以平面EAC与平面ACD夹角的余弦值为 .
（3）由（2）知，平面 的法向量为 ，设B点到平面EAC的距离为 ，则
，
所以B点到平面EAC的距离为 .
【课时作业】
1．在棱长为2的正方体 中，点E为棱 的中点，则点 到直线BE的距离为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，得到各点坐标，再根据向量公式计算得到距离.
【详解】如图所示：以 分别为 轴建立空间直角坐标系.
则 ， ， ， ， ，
，点 到直线BE的距离为 .
故选：C.2．直线l的方向向量为 ，且l过点 ，则点 到直线l的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算.
【详解】∵ ， ，
∴ ，又 ，
∴ 在 方向上的投影 ，
∴P到l距离 .
故选：C
3．已知正方形 的边长为1， 平面 ，且 ， 分别为 的中点，则直线
到平面 的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】先证明 平面 ，再把距离转化为点 到平面 的距离，根据空间向量法求解即可.
【详解】建立以D为坐标原点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系.
则 ，所以
设平面 的一个法向量为 ，
则 ,即 ,
令 ，则 ，所以 .
因为 ，所以点 到平面 的距离为 .
因为 分别为 的中点，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以 到平面 的距离即为点 到平面 的距离为 .
故选：B.
4．如图，已知 是侧棱长和底面边长均等于 的直三棱柱， 是侧棱 的中点.则点 到平面
的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】取 的中点 ，连接 ，以点 为坐标原点， 、 、 的方向分别为 、 、 轴的正
方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点 到平面 的距离.
【详解】取 的中点 ，连接 ，
因为 为等边三角形， 为 的中点，则 ，
以点 为坐标原点， 、 、 的方向分别为 、 、 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标
系，
则 、 、 、 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ，取 ，可得 ，
，所以，点 到平面 的距离为 .
故选：A.
5．如图，在正方体 中，点E是上底面 的中心，则异面直线 与 所成角的余
弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解.
【详解】以 为原点， 为 轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：B
6．已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则α与β的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【详解】设α与β所成的角为θ，且0°≤θ≤90°，则cos θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝60°.
7．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(
)
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】线面角的范围是.
∵〈a，n〉＝，∴l与法向量所在直线所成角为，
∴l与α所成的角为.
8．在棱长为1的正方体 中，E为线段 的中点，F为线段 上的中点，点M满足
，则点M到直线AE的距离为________________．
【答案】
【分析】利用点到直线的距离与两条平行线间的距离、空间向量的坐标运算．
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，所以 ，则有 ，
又 ，即M在上 ，
所以点M到直线AE的距离即等于点F到直线AE的距离，
又因为 ， ，所以 ， ，
所以点M到直线AE的距离为 ．
故答案为： ．
9．已知平面 的一个法向量 ，点 在平面 内，则点 到平面 的距离为
__________.
【答案】
【分析】运用空间中点到面的距离公式计算即可.
【详解】由题意知， ，则 ， ，
所以点P到平面 的距离为 .
故答案为： .
10．在三棱锥 中，平面 平面 ，若棱长 ，且 ，则点
到平面 的距离为________．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面 的一个法向量，利用空间距离的公式即可求出结果.
【详解】如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM⊥平面ACD
交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，则A ，B ，C ，D ，
∴ ＝ ， ＝ ， ＝ ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ，所以y＝－ x，z＝－ x，
可取 ,代入 ，得 ，
即点D到平面ABC的距离是 .
故答案为： .
11．已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则平面ABD与平面BDC夹角的余弦值为____．
【答案】
【详解】取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系．
设BC＝1，则A，B，D.
所以OA＝，BA＝，BD＝.
由于OA＝为平面BCD的一个法向量．
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，
则所以
取x＝1，则y＝－，z＝1，所以n＝(1，－，1)，
所以cos〈n，OA〉＝.12．如图，已知正三棱柱 的所有棱长均为1，则线段 上的动点P到直线 的距离的最小
值为______.
【答案】 /
【分析】首先以点A为原点，建立空间直角坐标系，然后利用点到直线距离的坐标公式列式，化简后求函
数的最小值即可.
【详解】在正三棱柱 中，在平面 内过A作 ，显然射线 两两垂直，以
点A为原点，射线 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图，
因正三棱柱 的所有棱长均为1，
则 ，
所以 ，因动点P在线段 上，则令 ，
即有点 ，所以 ，则 ，
从而 ，
因此点P到直线 的距离
，当且仅当 时取等号，
所以线段 上的动点P到直线 的距离的最小值为 .
故答案为：
13．如图，在棱长为2的正方体 中，E为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点C到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)2.
【分析】（1）由四边形 为平行四边形证得 ，进而证得 //平面 ；
（2）以点 为坐标原点,建立空间直角坐标系,求出平面 的法向量，用空间向量求点C到平面 的距离.
【详解】（1）易知 ，且 ，故四边形 为平行四边形，故 ，
又 平面 ， 平面 ，故 //平面 ；
（2）以点 为坐标原点, 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ,
则 ,
∴ .
设平面 的法向量为 ,由 得
令 ,则 ,则 .
点C到平面 的距离 ，
所以点C到平面 的距离为2.
13．如图，在棱长为2的正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 的中点．(1)求直线 与平面 所成角的余弦值．
(2)求直线 到平面 的距离．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线 与平面 所成角的正弦值，再由平方关
系求余弦值.
（2）利用向量法证明 平面 ，求得点 到平面 的距离即可.
【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
，令 ，可得 ，
故可取 .
设直线 与平面 所成角 ，
所以 ，可得 .直线 与平面 所成角的余弦值 .
（2）由（1）知 ， ，平面 的法向量为 ，
因为 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
设 到平面 的距离为 ，
则 ，
由直线与平面平行的性质知，直线 到平面 的距离为 .
14．斜三棱柱 的各棱长都为2， ，点 在下底面ABC的投影为AB的中点O．
(1)在棱 （含端点）上是否存在一点D使 ？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；
(2)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)存在， ；(2)
【分析】（1）连接 ，以O点为原点，如图建立空间直角坐标系，设 ，根据
，求出 即可；（2）利用向量法求解即可.
【详解】（1）连接 ，因为 ， 为 的中点，所以 ，
由题意知 平面ABC，
又 ， ，所以 ，
以O点为原点，如图建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
由 得 ，同理得 ，
设 ，得 ，
又 ， ，
由 ，得 ，
得 ，又 ，∴ ，
∴存在点D且 满足条件；
（2）设平面 的法向量为 ， ， ，
则有 ，可取 ，
又 ，
∴点 到平面 的距离为 ，
∴所求距离为 .15．如图在边长是2的正方体 中，E，F分别为AB， 的中点．
（1）求异面直线EF与 所成角的大小．
（2）证明： 平面 ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用 可得解；
（2）利用 和 ，可证得线线垂直，进而得线面垂直.
【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：， ， ， ， ，
∴ ， ， ， ．
（1） ，
∴
∴异面直线EF和 所成的角为 ．
（2）
∴ ，即
，
∴ 即 ．
又∵ ， 平面 且
∴ 平面 ．
16．如图，在正三棱柱ABC-ABC 中，AB=AA=2，点P，Q分别为AB，BC的中点．
1 1 1 1 1 1（1）求异面直线BP与AC 所成角的余弦值；
1
（2）求直线CC 与平面AQC 所成角的正弦值．
1 1
【答案】（1）
（2）
【详解】分析：（1）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求得向量 的夹角，
再根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果；（2）利用平面的方向量的求法列方程组解得平面
的一个法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果.
详解：如图，在正三棱柱ABC−ABC 中，设AC，AC 的中点分别为O，O，则OB⊥OC，OO ⊥OC，
1 1 1 1 1 1 1
OO ⊥OB，以 为基底，建立空间直角坐标系O−xyz．
1
因为AB=AA=2，
1
所以 ．（1）因为P为AB 的中点，所以 ，
1 1
从而 ，
故 ．
因此，异面直线BP与AC 所成角的余弦值为 ．
1
（2）因为Q为BC的中点，所以 ，
因此 ， ．
设n=（x，y，z）为平面AQC 的一个法向量，
1
则 即
不妨取 ，
设直线CC 与平面AQC 所成角为 ，
1 1
则 ，
所以直线CC 与平面AQC 所成角的正弦值为 ．
1 1
点睛：本题考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.利用
法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，
破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应
用公式关”.
17．如图，已知 和 都是直角梯形， ， ， ， ， ，，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为 的中点．
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【分析】（1）过点 、 分别做直线 、 的垂线 、 并分别交于点 、 ，由平面知识易得
，再根据二面角的定义可知， ，由此可知， ， ，从而可证得
平面 ，即得 ；
（2）由（1）可知 平面 ，过点 做 平行线 ，所以可以以点 为原点， ， 、
所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，求出平面 的一个法向量，以及
，即可利用线面角的向量公式解出．
【详解】（1）过点 、 分别做直线 、 的垂线 、 并分别交于点 、 ．
∵四边形 和 都是直角梯形， ， ，
由平面几何知识易知， ，则四边形 和四边形
是矩形，∴在Rt 和Rt ， ，
∵ ，且 ，
∴ 平面 是二面角 的平面角，则 ，
∴ 是正三角形，由 平面 ，得平面 平面 ，
∵ 是 的中点， ，又 平面 ， 平面 ，可得 ，而 ，
∴ 平面 ，而 平面 ．
（2）因为 平面 ，过点 做 平行线 ，所以以点 为原点， ， 、 所在直线
分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，设 ，则 ，
设平面 的法向量为
由 ，得 ，取 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
∴ ．
18．如图，在四棱锥 中， ，底面ABCD为菱形，边长为2， ，且
，异面直线PB与CD所成的角为 ，
(1)求证：(2)若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离.
(3)求平面APB与平面PBC夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3) .
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可得 ，由线面垂直的判定证得 平面 ，从而得
到 ，由线面垂直的判定可证得结论；
（2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用长度关系可求得所需点的坐标，利用点到直线距离的向
量求法可得结果；
（3）用二面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1） 四边形 为菱形， 为 中点， ，
， ；
， 平面 ， ，
平面 ，又 平面 ，
， ， 平面 ，
平面 ；
（2） 两两互相垂直， 以 为坐标原点， 为 轴建立如图所示的空间直角坐
标系，
， ，
为等边三角形， ， ，
不妨设 ，则 ， ，
异面直线 与 所成的角为 ， ， ，
，即 ，解得： ，
， ， ， ， ，
， ， ， ，
点 到直线 的距离为 ；
（3）因为 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ；
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ；
，
平面 与平面 夹角的余弦值为 .
