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第 03 讲 空间中平行、垂直问题 10 种常见考法归类
1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，归纳出有关平行的性质定理和判定
定理，并加以证明；
2.能利用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题．
3.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系，归纳出有关垂直的性质定理和判定
定理，并加以证明；
4.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题．
1．直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果平面外一条直线与此平面内的一条直 a⊄α，b⊂α，
判定定理
线平行，那么该直线与此平面平行 a∥b⇒a∥α
一条直线和一个平面平行，如果过该直线
a∥α，a⊂β，α∩β＝
性质定理 的平面与此平面相交，那么该直线与交线
b⇒a∥b
平行
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
a⊂β，b⊂β，a∩b
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平
判定定理 ＝P，a∥α，
行，那么这两个平面平行
b∥α⇒α∥β
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于
性质 α∥β，a⊂α⇒a∥β
另一个平面两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相 α∥β，α∩γ＝a，
性质定理
交，那么两条交线平行 β∩γ＝b⇒a∥b
3.常用结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥B．
(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.
4．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果一条直线与一个平面内的两条相交直
判定定理 ⇒l⊥α
线垂直，那么该直线与此平面垂直
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b
5.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线
垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°.
(2)范围：.
6．二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角
若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB．
(3)二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°.
7．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么
判定定理 ⇒α⊥β
这两个平面垂直
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线
性质定理 垂直于这两个平面的交线，那么这条直线 ⇒l⊥α
与另一个平面垂直
8．常用结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方
法)．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
1、线面平行的判定及其性质解题策略
(1)利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线．
(2)利用面面平行的性质证明线面平行时，关键是构造过该直线与所证平面平行的平面，这种方法往往
借助于比例线段或平行四边形．
(3)在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立
的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，
这时才有直线与交线平行．
2、面面平行的判定及其性质解题策略
(1)判定面面平行的主要方法
①利用面面平行的判定定理．
②线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．
(2)面面平行条件的应用
①两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行．
②两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．
3、证明平行关系的常用方法
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．
面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．
4、证明平行关系的常用方法
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．
面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．5、证明线线垂直的常用方法
(1)利用特殊图形中的垂直关系．
(2)利用等腰三角形底边中线的性质．
(3)利用勾股定理的逆定理．
(4)利用直线与平面垂直的性质．
6、面面垂直的判定及其性质的解题策略
(1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义．
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．
(2)已知平面垂直时，解题一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，将问题转化为线
面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
7、平行、垂直关系的综合应用
(1)在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平
行”，
再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具
体条件而定的，不可过于“模式化”．
(2)在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件，同时抓住线线、线面、面面垂直
的转化关系．特别在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不
存在，则可通过作辅助线来解决．
考点一：直线与平面平行、垂直位置关系的判断
例1．（2023春·山东滨州·高一统考期中）设a，b是两条不同的直线， 是平面， ，那么“
”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期中）若 为平面，有下列命题，其中真
命题的是（ ）
A．若直线 平行于平面 内的无数条直线，则
B．若直线 在平面 外，则 平面
C．若直线 ，直线 平面 ，则 平面D．若直线 平面 ，则 平行于平面 内的无数条直线
变式2．【多选】（2023春·广东广州·高一广州市第六十五中学校考期中）设l，m是空间中不同的直线，
， ， 是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
变式3．【多选】（2023春·吉林·高一校联考期中）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，
下列命题中错误的是（ ）
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ， ，则
变式4．【多选】（2023春·浙江·高一路桥中学校联考期中） ， ， 是不同的直线， ， 是不同的平
面，下面条件中能证明 的是（ ）
A． ， ， ， ，
B． ， ，
C． ，
D． ，
例2．（2023春·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体
纸盒中有如下结论，其中正确的是（ ）A． B． 与 所成的角为60°
C． 与 是异面直线 D． 平面
变式1．【多选】（2023春·浙江·高一湖州中学校联考期中）已知在正四面体 中， 、 、 、
分别是棱 ， ， ， 的中点，则（ ）
A． 平面 B．
C． 平面 D． 、 、 、 四点共面
变式2．【多选】（2023春·广西柳州·高一柳州地区高中校考期中）如图，正方体 的棱长
为 ，且 ， 分别为 ， 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． 平面
B．
C．直线 与平面 所成角为
D．点 到平面 的距离为考点二：证明线面平行
例3．（2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期中）如图：在正方体
中，M为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点N，使得平面 平面 ，说明理由.
变式1．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）在直三棱柱 中，已知D为 的中点. 求证：
平面 .
变式2．（2023春·浙江宁波·高一效实中学校考期中）如图，四棱锥 中，底面 为矩形，
⊥平面 ， 为 的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)设直线 与底面 所成角的正切值为 ， ， ，求直线 与平面 所成角的正
弦值.
例4．（2023春·陕西延安·高一陕西延安中学校考期中）在四面体中 ，四边形 是矩
形，且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)证明： 平面 .
变式1．（2023春·北京朝阳·高一清华附中朝阳学校校考期中）如图所示，在四棱锥 中，
平面 ， ， 是 的中点．
(1)求证： ；
(2)求证： 平面 ；
变式2．（2023春·天津和平·高一天津市第二十一中学校考期中）如图，在四棱锥 中，底面
ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC于M.求证：(1) 平面ANC；
(2)M是PC中点.
例5．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期中）如图,在四棱锥 中, 平面 ,
平面 ,底面 为矩形,点 在棱 上,且 与 位于平面 的两侧.
(1)证明: 平面 ;
(2)若 , , ,试问在线段 上是否存在点 ,使得 与 的面积相等？若存
在,求 到 的距离;若不存在,说明理由.
变式1．（2023春·浙江·高一期中）三棱柱 的棱长都为2，D和E分别是 和 的中点．
(1)求证：直线 平面 ；
(2)若 ，点B到平面 的距离为 ，求三棱锥 的体积．
考点三：证明面面平行
例6．（2023春·广东湛江·高一湛江二十一中校考期中）如图，在三棱柱ABC－ABC 中，E，F，
1 1 1G，H分别是AB，AC，AB，AC 的中点．求证：
1 1 1 1
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA 平面BCHG.
1
变式1．（2023春·山东临沂·高一校考期中）如图，已知点 是正方形 所在平面外一点， ， 分
别是 ， 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 中点为 ，求证：平面 平面 .
(3)若 平面 ， ，求直线 与面 所成的角.
变式2．（2023春·河南洛阳·高一统考期中）如图所示，在三棱柱 中， 分别是
， ， 的中点，求证：(1) 平面 ；
(2)平面 平面 ．
变式3．（2023春·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期中）如图：已知三棱柱 中，D为BC
边上一点， 为 中点，且 ∥平面 ．证明：平面 平面 ．
变式4．（2022春·安徽芜湖·高一校考期中）如图，在正四面体 中， ， ， ， 分别是
， ， 的中点，取 ， 的中点 ， ，点 为平面 内一点
(1)求证：平面 平面
(2)若 平面 ，求线段 的最小值，
考点四：线面平行和面面平行性质的应用例7．（2023春·福建·高一校联考期中）如图，在三棱台 中，
， ， ， 为线段 中点， 为线段 上的点，
平面 ．
(1)求证：点 为线段 的中点；
(2)求三棱台 的表面积．
变式1．（2023春·浙江台州·高一台州一中校考期中）如图，在四棱锥 中，底面ABCD为直角梯
形，且 ， ， ， ，平面 平面ABCD，点M在线段
PB上， 平面MAC．
(1)判断M点在PB的位置并说明理由；
(2)记直线DM与平面PAC的交点为K，求 的值；
(3)若异面直线CM与PA所成角的余弦值为 ，求二面角 的平面角的正切值．
变式2．（2023春·福建三明·高一三明一中校考期中）如图，已知四棱锥 的底面为菱形，
， ， ， 为 的中点， 为 的中点，平面 过 、 、 三
点且与面 交于直线 ， 交 于点 .(1)求证：面 面 ；
(2)求证： ；
(3)求平面 与平面 所成夹角的正切值.
例8．（2022春·黑龙江·高一哈九中校考期中）如图，平面 平面 平面 ，异面直线
分别与平面 相交于点 和点 ．已知 ， ， ，求 、
、 的长．
变式1．（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市第十四中学校考期末）如图，四边形ABEF和四边形
ABCD均是直角梯形， ， ， ， .
(1)求点F到平面ABCD的距离；
(2)证明：平面 平面ADF，并说明在平面EBC上，一定存在过C的直线l与直线FD平行.变式2．（2021春·广东中山·高一统考期末）如图所示，在正方体 中，点 在棱 上，
且 ，点 、 、 分别是棱 、 、 的中点， 为线段 上一点， ．
（1）若平面 交平面 于直线 ，求证： ；
（2）若直线 平面 ，试作出平面 与正方体 各个面的交线，并写出作图步
骤，保留作图痕迹；设平面 与棱 交于点 ，求三棱锥 的体积．
考点五：证明线线垂直
例9．（2023春·吉林·高一长春吉大附中实验学校校考期中）如图，边长为4的正方形 中，
点 分别为 的中点．将 分别沿 折起，使 三点重合于点P．
(1)求证： ；
(2)求三棱锥 的体积；
(3)求二面角 的余弦值．变式1．（2022春·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期末）如图，在直三棱柱 中，
，G是棱 的中点．
(1)证明： ；
(2)证明：平面 平面 ．
变式2．（2023春·广东广州·高一广州市第七中学校考期中）如图，四棱锥 的底面是矩形，
平面 ，E，F分别 的中点，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： ．
变式3．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考期中）《九章算术，商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解
堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.”阳马是指底面为长方形且有一条侧棱与
底面垂直的四棱锥.如图，已知四棱锥 为一个阳马， 面 ， 是 上的一点.(1)求证： ；
(2)若 ， 分别是 ， 的中点，求证： 平面
考点六：证明线面垂直
例10．（2023春·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考期末）如图，在四棱锥 中，
， ， ， ， ， ， .
(1)证明： 平面 ；
(2)求 与平面 所成角的余弦值.
变式1．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）如图，在直三棱柱 中， ，
， 、 分别为 、 的中点．求证： 平面 .
变式2．（2023春·四川成都·高一成都实外校考期末）如图四边形ABCD是矩形， 平面BCE，
，点F为线段BE的中点.(1)求证： 平面ABE；
(2)求证： 平面ACF.
变式3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中）已知棱长均相等的正三棱柱 ，
M，N分别为棱 ， 中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)证明： 平面 ．
变式4．（2023春·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考期中）如图，在三棱柱 中，侧面
， 均为正方形， 交 于点 ， ， 为 中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成的角．
变式5．（2023春·广东广州·高一广州四十七中校考期中）如图，在三棱锥 中， 底面
，点D、E分别在棱 上，且 ．(1)求证 平面 ；
(2)当D为 的中点时，求 与平面 所成角的正弦值．
变式6．（2023春·天津和平·高一天津一中校考期中）如图，已知 平面ABC， ，
， ， ， ，点 和 分别为 和 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的大小.
考点七：证明面面垂直
例11．（2023春·吉林·高一长春吉大附中实验学校校考期中）如图，在四棱锥 中，底面
是边长为a的正方形，侧面 ⊥底面 ，且 ，设E，F分别为 ， 的中
点．(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 ⊥平面 ；
(3)求直线 与平面 所成角的大小．
变式1．（2023春·安徽六安·高一六安一中校考期中）在斜三棱柱 中， 是边长为2的正
三角形，侧棱 ，顶点 在平面 的射影为 边的中点 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
变式2．（2023春·浙江杭州·高一杭师大附中校考期中）如图，在四棱锥 中，底面 是平行
四边形， ， ．
(1)求证：平面 平面ABC；
(2)求SC与平面SAB所成的角的正弦值．
变式3．（2023春·福建南平·高一福建省政和第一中学校考期中）如图， 是 的直径，点 是 上
的动点， 垂直于 所在的平面(1)证明：平面 丄平面 ；
(2)设 ，求点A到平面PBC的距离．
考点八：面面垂直性质的应用
例12．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，
平面 平面 ， 为棱 的中点， ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 平面角的大小.
变式1．（2023春·广东深圳·高一翠园中学校考期中）如图，在平面五边形ABCDE中，AB//DC，∠BCD＝
90°， ， ， ， ， ， ，垂足为H，将 ADE沿 折
△
起（如图），使得平面ADE⊥平面ABCD．(1)求证： ⊥平面ABCD；
(2)求三棱锥 的体积；
(3)在线段BE上是否存在点M，使得 //平面 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
变式2．（2023春·安徽六安·高一六安一中校考期中）如图，在三棱柱 中， ，平面
平面 .
(1)求证： ；
(2)点E是线段BC中点，在线段 上是否存在点F，使得 平面 ，并说明理由.
变式3．（2022春·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）如图， 中， ，
是正方形，平面 平面 ，若 、 分别是 、 的中点．
(1)求证： 平面 ；(2)求证： 平面 .
考点九：线面平行与垂直关系的探索性问题
例13．（2023春·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第三高级中学校考期中）如图所示，三棱柱
，底面是边长为2的正三角形，侧棱 底面 ，点 分别是棱 上的点，点
是线段 上的动点， ．
(1)当点M在何位置时， 平面 ?
(2)若 平面 ，求 与 所成的角的余弦值．
变式1．（2021春·内蒙古包头·高一统考期末）如图，在四棱锥 中，已知底面 是菱形，且
对角线 与 相交于点 .
(1)若 ，求证：平面 平面 ；
(2)设点 为 的中点，在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？请说明理由.
变式2．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）如图，四棱锥 的底面 为平行四
边形， 分别为 的中点.(1)证明：AF 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ，并给出必要的证明.
例14．（2022春·山西大同·高一大同市第二中学校校考期中）如图，在正方体 中，
为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2) 上是否存在一点 ，使得平面 平面 ，若存在，请说明理由．
变式1．（2023春·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期中）如图，四棱锥 中，
， ， 为 的中点．(1)求证： 平面 .
(2)在线段 上是否存在一点 ，使得平面 平面 ？若存在，证明你的结论，若不存在，请说
明理由．
变式2．（2023春·河南洛阳·高一校考期中）如图，在三棱柱 中， ， 分别为线段 ，
的中点．
(1)求证： 平面 ．
(2)在线段 上是否存在一点 ，使平面 平面 请说明理由．
例15．（2020秋·安徽亳州·高一统考期末）如图，在四棱锥A－BCDE中，四边形BCDE为菱形，
， ，AE＝AC，点G是棱AB上靠近点B的三等分点，点F是AC的中点．
(1)证明： ∥平面CEG．
(2)点H为线段BD上一点，设 ，若AH⊥平面CEG，试确定t的值．
变式1．（2022春·河南开封·高一统考期末）如图，在四棱锥 中，侧棱 底面 ，底面
是直角梯形， ， ，且 ， ， 是 的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
变式2．（2022春·北京·高一北京市陈经纶中学校考期中）如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证： 平面PAD；
(2)试确定当△PAD中PA与AD满足什么关系时，MN⊥平面PCD？并说明理由．
例16．（2021春·北京·高一北京市八一中学校考期末）如图所示，在正四棱柱 中，
是线段 上的动点.（1）证明： 平面 ；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使得平面 平面 ？若存在，请求出 的值；若不存
在，请说明理由.
变式1．（2022春·辽宁葫芦岛·高一统考期末）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， ，
，已知 ，且 平面 ， ， ．
(1)在线段FG上确定一点M使得平面 平面PFG，并说明理由；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求PG与平面PEM所成角的正切值．
变式2．（2021·浙江·高一期末）如图所示，在四棱锥 中，底面 是 且边长为a
的菱形，侧面 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ，若G为 的中点，E为 的中点．（1）求证： 平面 ；
（2）在棱 上是否存在一点F，使平面 平面 ，若存在，确定点F的位置；若不存在，说明
理由．
考点十：平行与垂直的综合应用
例17．（2023春·浙江·高一路桥中学校联考期中）如图，在四棱锥 中，底面 是菱
形， ， ， ， ，M，N分别为PB，DC的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：面 面 ．
变式1．（2021秋·陕西渭南·高一统考期末）如图，在长方体 中， ，
，点 为 的中点.求证：(1)直线 平面 ；
(2)平面 平面 .
变式2．（2023春·天津西青·高一天津市第九十五中学益中学校校考期中）如图，在直四棱柱
中， 平面 ，底面 是菱形，且 ，E是BC的中
点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：直线 平面 ；
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值.
变式3．（2022春·福建·高一福建省泉州第一中学校考期中）三棱锥 （如图1），O、E、F分别
是线段 、 、 的中点，G是 中点（如图2）．(1)若 ， ，求证：
(2)求证： //平面 ．
1．（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥 中，线段 上的点 满足 ，线段 上的
点 满足 ，则三棱锥 和三棱锥 的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·天津·统考高考真题）三棱台 中，若 面
， 分别是 中点.
(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 所成夹角的余弦值；(3)求点 到平面 的距离．
3．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
， 的中点分别为 ，点 在 上， ．
(1)求证： //平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．
4．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， ，点F在AC上， .
(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面BEF；
(3)求二面角 的正弦值.一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为
PB的中点，下列结论正确的个数为（ ）
① 平面PBC② 平面PCD ③ 平面PDA ④ 平面PBA
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023·四川宜宾·统考三模）已知两个平面 ， ，两条直线l，m，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ， ，则
D．若l，m是异面直线， ， ， ， ，则
3．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正四棱锥 中， 是 的中点， 点在侧面 内及
其边界上运动，并且总是保持 平面 ．则动点 的轨迹与 组成的相关图形最有可能是图中
的（ ）A． B． C． D．
4．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）如图一，矩形 中， ， 交对角线 于
点 ，交 于点 ．现将 沿 翻折至 的位置，如图二，点 为棱 的中点，则下列
判断一定成立的是（ ）
A． B． 平面
C． 平面 D．平面 平面
5．（2022·广西玉林·统考模拟预测）在棱长为2的正方体 中，E为底面正方形对角线的交
点，P为棱 上的动点（不包括端点），则下列说法不正确的是（ ）
A． 平面 B．
C．当 平面 时，P为 的中点 D． 的取值范围为
二、多选题
6．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知l，m为直线， 为平面，下列结论正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
7．（2023·云南·校联考三模）下列说法错误的是（ ）A．若直线 不平行于平面 ， ，则 内不存在与 平行的直线
B．若平面 平面 ，平面 平面 ， ，则
C．设 为直线， 在平面 内，则“ ”是“ 且 ”的充分不必要条件
D．若平面 平面 ，平面 平面 ，则平面 与平面 所成的二面角和平面 与平面 所成的二面
角相等或互补
8．（2021春·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）下列关于直线与平面间的位置关系的命题判断正确的是（
）．
A．若空间中四条直线 、 、 、 ，满足 ， 、 ，则 、 的位置关系不确定
B．设 、 、 均为直线，其中 、 在平面 内，则“ ”是“ 且 ”的充分不必要条件
C．直线 、 互相平行的一个充分不必要的条件是 、 都垂直于同一个平面
D．已知 、 为异面直线， 平面 ， 平面 ，若直线 满足 ， ， ， ，则
与 相交，且交线平行于
三、填空题
9．（2023春·河北石家庄·高一河北赵县中学校联考阶段练习）设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个
不同的平面.下列正确命题的序号是______.
①若 ， ， ，则 ②若 ， ， ，则
③若 ， ， ，则 ④若 ， ， ，则
10．（2023春·高一课时练习）如图，正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且 平面ABCD，则在
、 、 、 、 及 中，直角三角形有_______个．11．（2022·高一课时练习）如图，在三棱柱 中，侧棱 底面ABC，底面是以∠ABC为直
角的等腰三角形，AC=2， =3，D是 的中点，点F在线段 上，当AF=___________时，CF⊥平面
.
四、解答题
12．（2023春·北京朝阳·高一清华附中朝阳学校校考期中）按要求作图：
(1)如图1，正方体 ，利用顶点及图中线段的中点，作出以下图形：
①平面 内与平面 平行的直线是______；
②与平面 平行的平面是______．
(2)如图2，已知直三棱柱 中， ，作出：与平面 垂直的平面以及两个面的交线，三
棱柱内一条与平面 垂直的直线及垂足．13．（2023春·北京房山·高一北师大良乡附中校考阶段练习）在正四棱柱 中， ，
M是 的中点．
(1)证明： 平面 ．
(2)若正四棱柱的表面积是10，求该正四棱柱的外接球的体积．
14．（2023春·山东滨州·高一山东省北镇中学校联考阶段练习）如图①，在梯形 中，
， ， ，将 沿边 翻折至 ，使得
，如图②，过点 作一平面与 垂直，分别交 于点 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
15．（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）如图，几何体 为直四棱柱
截去一个角所得，四边形 是菱形， ， ， ，P为 的中点.(1)证明：平面 平面 ；
16．（2023春·北京朝阳·高一清华附中朝阳学校校考期中）如图，已知四棱锥 底面 是正
方形， ， 、 是的 ， 中点， 为线段 上一个动点，平面 交直线 于点 ．
(1)若 ，平面 平面 ，求证： ；
(2)若 ， ，求证： ；
(3)直线 是否可能与平面 平行?若可能，请证明；若不可能，请说明理由．
