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专题21.14 一元二次方程（全章专项练习）（夯实基础篇）
【试题信息】本专项练习（夯实基础篇）分为选择题10题，填空题8题，解答题6题，
满分120分.建议时间40——60分钟
一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要
求）
1．（24-25八年级下·北京西城·阶段练习）关于x的一元二次方程 的常数项为0，
则m的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是正确计算常数项为0的值，利用一元二次方程
的定义判断即可．
解：由题意得： ，
解得 ，
故选：B．
2．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）一元二次方程 配方后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程就是把方程左边整理成完全平
方式的形式，再用完全平方公式进行分解因式．
解： ，
移项得： ，
等式两边同时加 ，
可得：
整理得： ．故选： C．
3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如果多项式 与 的积为 ，那么 （ ）
A．1 B． 或
C．1或 D．
【答案】C
【分析】该题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的常见方法．
根据多项式 与 的积为 ，列方程求解即可．
解：根据题意得 ，
即 ，
解得： 或 ．
故选：C．
4．（2025·浙江·模拟预测）在实数范围内，代数式 的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查配方的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法得
，逐个判断选项即可．
解：∵ ，
∴选项D不可能，
故选：D．
5．（24-25九年级上·河北保定·期中）淇淇在算一个数的 倍时，误算成了这个数的平方，淇淇发现两个
结果的和为 ，则这个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答关键．
设这个数为 ，根据题意得 ，解这个方程即可求解．
解：设这个数为 ，根据题意得 ，
整理得 ，
，
．
故选：A．
6．（2025·河南漯河·二模）如图，关于 的方程中的三个符号，改变其中的两个（“ ”变为“ ”或“
”变为“ ”），使方程的实数根的个数不变，则可以改变的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．以上选项均不成立
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，分别计算原方程根的判别式，改变①②、①③、②③处
符号时对应的根的判别式，即可得出结论．
解：∵ ，
∴原方程有两个不等的实数根，
改变①②处符号时，原方程为 ，
∴ ，
∴方程没有实数根，
改变①③处符号时，原方程为 ，
∴ ，
∴方程有两个不等的实数根，
改变②③处符号时，原方程为 ，
∴ ，
∴方程没有实数根，
∴改变①③处符号时，方程的实数根的个数不变，
故选：B，7．（24-25九年级上·重庆合川·期末）定义：如果一元二次方程 满足 ，那
么我们称这个方程为“完美”方程，已知 是“完美”方程，且有两个相等的实数根，
则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查定义新运算，根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．
根据“完美”方程的定义，方程有两个相等的实数根即根的判别式等于零，由此即可求解．
解：∵关于 的一元二次方程 （ ）是“完美”方程，
∴ ，
∴ ，
∵方程有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
8．（2025·福建·中考真题）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边
都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长
为x米，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列
出方程即可．
解：设设矩形的一边长为x米，则另一边长为 米，由题意，得：
；故选：C．
9．（2025·河北沧州·模拟预测）一次函数 的图象如图所示，则关于 的一元二次方程
解的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的性质，判别式判断一元二次方程的根的情况，先根据图象得 ，
则 ，因为 ，故 ，即可作答．
解：依题意，一次函数 图象经过第一、三、四象限，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∵ ，
∴
故关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
故选：B．
10．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在一个自动化的物流分拣系统中，有这样一个程序来
处理货物的分类信息．当输入一元二次方程 的根x（这个根代表着货物的某种特征编码）时，
输出结果y（决定货物的分拣方向）的值为（ ）A． 或 B． C．3 D． 或3
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先利用因式分解法求出一元二次方程的两个解，再根据流程
图代值计算即可得到答案．
解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
∴ 或 ，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（24-25九年级上·山东·阶段练习）方程 的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键．
先移项，然后运用因式分解法求解即可．
解： ，
，
，
，
所以 ．
故答案为： ．
12．（2025·广东广州·二模）已知 是方程 的一个根，则代数式 的值为
___________．【答案】2025
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的意义，求代数式的值等内容，解题的关键是熟练掌握一元
二次方程的解的意义．
利用一元二次方程的解的意义得出 ，然后代入求值即可．
解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为：2025．
13．（24-25九年级下·全国·假期作业）已知一元二次方程的两根为： ，则这个方程是
．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的求解的逆向应用，解该题的关键是要掌握因式分解法解一元二
次方程 时，灵活分解因式．根据一元二次方程的根的定义以及一元二次方程的解法，
利用因式分解法解一元二次方程的方法求出即可．
解： 一元二次方程的两根为： ，
这个方程是： ，
．
故答案为： ．
14．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）代数式 的最小值是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法，理解非负数的性质是解答此
题的关键．首先利用配方法将代数式 转化为 ，然后根据非负数的性质可得出答案．
解： ，∵
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
即代数式 的最小值为 ．
故答案为： ．
15．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）已知关于 的一元二次方程 有实数根，则 的
取值范围是
【答案】 且
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，由一元二次方程的定义可得 ，由根
的判别式可得 ，据此求解即可．
解：∵关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ ，
∴ 且 ，
故答案为： 且 ．
16．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）分式方程 的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查可化为一元二次方程的分式方程的解法，熟记分式方程的解法是解题的关键．先
去分母得到一元二次方程，再解一元二次方程，然后检验是否有增根即可．
解：方程 去分母，得 ，
解得： ，
经检验： 是增根，舍去， 是原方程的根，
∴原方程的根为 ，故答案为： ．
17．（2025·广东河源·模拟预测）若关于 的方程 没有实数根，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知对于一元二次方程 ，当
时，方程有两个不相等的实数根，当 时，方程有两个相等的实数根，当
时，方程没有实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可．
解：∵关于x的方程 ，即 没有实数根，
∴
∴ ，
故答案为： ．
18．（2025·江西·模拟预测）已知 是矩形 的对角线， ，若 是关于x的一
元二次方程 的两个根，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数
根．也考查了矩形的性质．利用矩形的性质得到 ，然后根据根的判别式的意义得到
，然后解一次方程即可．
解：∵a，b分别为矩形 两条对角线的长，
∴ ，
∴关于x的一元二次方程 的两个根相等，
∴ ，
解得 ．故答案为： ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）用指定方法解下列方程：
（1） （用配方法）； （2） （用因式分解法）．
【答案】（1） ， ；（2） ，
【分析】（1）直接运用配方法解一元二次方程即可；
（2）直接利用平方差公式因式分解解一元二次方程即可．
解：（1）解：
或
解得： ， ；
（2）解：
或
解得： ， ．
【点拨】此题考查了解一元二次方程，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·上海·期末）已知关于x的一元二次方程
（1）当 为何值时，此方程有实数根；
（2）选择一个满足（1）的条件的 ，并求此时方程的根．【答案】（1）当 时，此方程有实数根；（2）当 时， ， ．
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的情况与判别式 的关系是解答此
题的关键．
（1）根据 ，确定k的取值范围；
（2）从上题中求得的范围中找到一个喜欢的值代入后得到方程，求解即可．
解：（1）解：要使方程有实数根，必须 ，
．
即 ．
解得 ．
当 时，此方程有实数根．
（2）解：当 时，（答案不唯一）．
原方程变为 ．
解得 ．
即∶ ， ．
21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·山东威海·期中）已知关于x的一元二次方程
．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若 ， 是该方程的两根，且满足 ，求m的值．
【答案】（1）见分析；（2） 或
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数之间的关系，正确理解题意是解题
的关键：
（1）根据根的判别式得出 ，再根据完全平方式转化，进而可得出结论；
（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系得出 ， ，再将其代入得出，求解即可
解：（1）证明：
，
故无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解： ， ，
，
，
，
， ．
故m的值为 或 ．
22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·陕西榆林·期中）某大型水果超市销售葡萄，根据市场调查发
现，每箱售价 （单位：元）与每天销量 （单位；箱）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求 与 之间的函数关系式．（不必写出自变量的取值范围）
（2）葡萄的进价是40元/箱，若该超市每天销售葡萄盈利1540元，尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱
葡萄定的售价是多少元？
【答案】（1） ；（2）54元
【分析】本题主要考查了一次函数的应用和一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．
（1）用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据总利润 单个的利润 销售量，列出方程，解方程即可．解：（1）解：设 与 之间的函数关系是 ，
根据题意，可得 ，
解得：
故 与 之间的函数关系式是 ．
（2）由题意可得 ，
解得 ， ．
尽量要使顾客要得到实惠，售价低，
．
答：尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是54元．
23．（本小题满分10分）（21-22九年级上·安徽芜湖·期中）把它转化为两个一元一次方程来解，求解分
式方程，把它转化为整式方程来解，因为“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方
程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用转化的数学
思想我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 ，可以通过因式分解把它转化为
，解方程 和 ，从而可得方程 的解．
（1）问题：方程 的解是 ， ， ；
（2）拓展：用“转化”的思想求方程 的解．
【答案】（1）2， ；（2）
【分析】（1）解一元二次方程 即可得到答案；
（2）两边同时平方，将原方程转化为一元二次方程，求出解后再代入原式检验即可．
解：（1）解： ，
因式分解，得： ，解得： ， ；
（2）解： ，
两边平方，得： ，
移项，得： ，
因式分解，得： ，
解得： ， ，
经检验， 为增根，应舍去．
原方程的解为： ．
【点拨】本题考查解一元二次方程、含二次根式的方程，解题的关键是熟练掌握转化思想，注意验根．
24．（本小题满分12分）（2023九年级上·江苏·专题练习）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思
想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这
种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成 （a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是
“完美数”．理由：因为 ，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）数53 “完美数”（填“是”或“不是”）；
【探究问题】
（2）已知 ，则 ；
（3）已知 （x，y 是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条
件的k值，并说明理由；
【拓展结论】
（4）已知实数x、y满足 ，求 的最大值．
【答案】（1）是；（2）1；（3） ，理由见分析；（4）2【分析】（1）把53分为两个整数的平方和，即可；
（2）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出 的值；
（3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可；
拓展结论：
（4）由已知等式表示出y，代入 中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可．
解：（1）根据题意得： ．
故答案为：是．
（2）已知等式变形得： ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
则： ．
故答案为：1．
（3）当 时，S为“完美数”，理由如下：
，
∵S是完美数，
∴ 是完全平方式，
∴ ．
（4）∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
当 时， 最大，最大值为2．
【点拨】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
