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第 23 讲 抛物线及其标准方程 5 种常见考法归类
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.
知识点1 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的
焦点，直线l叫做抛物线的准线．
注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？
不一定是，若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
②定义的实质可归纳为“一动三定”
一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离
与它到定直线l的距离之比等于1)．
知识点2 抛物线标准方程的几种形式
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y 2 ＝ 2 px ( p >0) x＝－
y 2 ＝－ 2 px ( p >0) x＝
x 2 ＝ 2 py ( p >0) y＝－
x 2 ＝－ 2 py ( p >0) y＝
注：1、抛物线方程的推导：
我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面
直角坐标系Oxy.设|KF|＝p(p>0)，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为x＝－.设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P＝{M||
MF|＝d}．
则M到F的距离为|MF|＝，M到直线l的距离为，
所以＝，
将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0)．
2、p的几何意义是焦点到准线的距离．标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上．
抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围．
3、四个标准方程的区分
焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标
轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．
4、（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于 ，通径是过焦点最短的弦.
（2）抛物线y 2 =2px（ ）上一点 到焦点 的距离 ，也称为抛物
线的焦半径.
1、求抛物线的标准方程的方法
定义法 根据定义求p，最后写标准方程
待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数
建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方
直接法
程，化简方程
注：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过
程．
2、用待定系数法求抛物线标准方程的步骤3、抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛
物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线
的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
4、求抛物线实际应用的五个步骤
考点一：抛物线的标准方程
例1．（2022秋·高二课时练习）根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)准线方程是 ；
(2)过点 ；
(3)焦点到准线的距离为 .
变式1．（2023秋·高二课时练习）若抛物线的顶点是原点，准线为直线 ，则此抛物线的方程为
.
变式2．（2023·全国·高三专题练习）若抛物线 的焦点到准线的距离为 ，且 的开口朝上，则 的标准方程为 ．
变式3．（2023春·河南洛阳·高二校考阶段练习）点 到抛物线 的准线的距离为6，那么抛物
线的标准方程是（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
变式4．（2022秋·福建莆田·高二校联考期末）已知抛物线C与双曲线 有相同的焦点，且顶点在
原点，求抛物线C的方程.
变式5．（2021秋·高二课时练习）抛物线 上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离
是5，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式6．（2022秋·高二单元测试）已知抛物线 （ ）上一点M的纵坐标为 ，该点到准
线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
考点二：根据抛物线方程求焦点或准线
例2．【多选】（2022秋·高二课时练习）对抛物线 ，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为
B．开口向右，准线方程为-
C．开口向右，焦点为D．开口向上，准线方程为
变式1．（2023秋·高二课时练习）抛物线 的焦点关于直线 的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知 是抛物线 ： 的焦点，点 在 上且
，则 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）设O为坐标原点，F为抛物线C： 的焦点，
直线 与抛物线C交于A，B两点，若 ，则抛物线C的准线方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
变式4．（2023春·福建泉州·高二校联考期中）抛物线 绕其顶点逆时针旋转 之后，得到的图象
正好对应抛物线 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
变式5．（2023秋·高二课时练习）抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上有一点 ，其到准线的
距离为6，则 ．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的 的准线与 轴交于 点， ，
是 的焦点， 是 上一点， ，则 .
考点三：抛物线定义的应用（一）利用抛物线的定义解决轨迹问题
例3．（2019春·安徽芜湖·高二校联考期中）若动点 到点 的距离等于它到直线
的距离，则 点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知 ，点 到直线 的距离
比到点 的距离大2，记 的轨迹为 ，求 的方程；
变式2．（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）动点 满足方程 ，
则点M的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
变式3．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）设圆 与y轴交于A，B两点（A在B的上方），
过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
（二）利用抛物线的定义求距离或点的坐标
例4．（2023秋·江苏连云港·高二统考期末）若抛物线 上一点 到拋物线焦点的距离为 ，
则点 到原点的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
变式1．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习）已知点 到点 的距离与到直线
相等，且点 的纵坐标为12，则 的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
变式2．（2023秋·广东江门·高二统考期末）已知M是抛物线 上的一点且在x轴上方，F是抛物线
的焦点，以 为始边，FM为终边的角 ，则 等于（ ）A．16 B．20 C．4 D．8
变式3．（2022秋·黑龙江绥化·高二海伦市第一中学校考期中）已知抛物线 ： ， ， 为
上一点，则 取最小值时点 的坐标为 ．
（三）与抛物线定义有关的最大(小)值问题
例5．（2023春·广东江门·高二校考阶段练习）已知点P到直线 与到点 的距离相等，
点Q在圆 上，则 的最小值为 .
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知F为抛物线 的焦点，P为该抛物线上的动点，点
，则 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
变式2．（2023春·广东汕头·高二校考期中）已知M为抛物线 上的动点，F为抛物线的焦点，点
，则 的最小值为 ．
变式3．（2023春·四川内江·高二威远中学校校考期中）已知抛物线 的焦点为F，定点 ，点P
是抛物线上一个动点，则 的最小值为 .
变式4．（2022秋·江西萍乡·高三统考期末）点 为抛物线 上任意一点，点 为圆
上任意一点， 为直线 的定点，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
变式5．（2023·上海奉贤·上海市奉贤中学校考三模） 为抛物线 上一点，其中 ，F为抛物线焦点，直线l方程为 ， ，H为垂足，则 ．
变式6．（2023·浙江·校联考二模）已知直线 和直线 ，拋物线 上一动点
到直线 直线 的距离之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
变式7．（2023·江苏无锡·校联考三模）已如 ， 是抛物线 上的动点（异于顶点），过
作圆 的切线，切点为 ，则 的最小值为 .
变式8．（2022·全国·高三专题练习）已知 为抛物线 上一个动点， 为圆 上一个
动点，那么点 到点 的距离与点 到 轴距离之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
变式9．（2023春·四川成都·高二期末）已知 为抛物线 上的动点， 为抛物线的焦点，点
，则 周长的最小值为 .
变式10．（2022·高二课时练习）已知抛物线 ，点 为抛物线上任意一点，过点 向圆
作切线，切点分别为 ，则四边形 的面积的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
考点四：抛物线的轨迹问题
例6．【多选】（2023秋·湖南长沙·高二统考期末）已知 ， ，直线AP，BP相交于
P，直线AP，BP的斜率分别为 ， 则（ ）A．当 时， 点的轨迹为除去A，B两点的椭圆
B．当 时， 点的轨迹为除去A，B两点的双曲线
C．当 时， 点的轨迹为抛物线
D．当 时， 点的轨迹为一条直线
变式1．（2023·高二课时练习）已知点P是曲线 上任意一点， ，连接PA并延长至Q，使
得 ，求动点Q的轨迹方程．
变式2．（2022秋·北京海淀·高二北京市十一学校校考期中）设O为坐标原点， ，点A是直线
上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程
为 ．
变式3．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知圆 ： 与定直线 ： ，动圆 与
圆 外切且与直线 相切，记动圆 的圆心 的轨迹为曲线 ，则曲线 的方程为 .
变式4．（2022秋·河南南阳·高二统考期中）已知点 到点 的距离比点 到直线 的距离小1.
(1)求点 的轨迹方程；
(2)求线段 中点 的轨迹方程.
变式5．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）在平面直角坐标系 中，已知 ，
直线 相交于点 ，且 与 的斜率之差为2，则 的最小值为 .
考点五：抛物线的实际应用
例7．（2023·全国·高二专题练习）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”
“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为 ，碗盖口直
径为 ，碗体口直径为 ，碗体深 ，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）图中是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶距离水面2米，
水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
变式2．（2023·全国·高三专题练习）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，
这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为
3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都
是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽
车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点
处，灯口直径是 ，灯深 ，则光源到反射镜顶点的距离为（ ）A． B． C． D．
1．（2023·北京·统考高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上．若 到直线 的
距离为5，则 （ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，若 ，
则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
3．（2023·全国·统考高考真题）已知点 在抛物线C： 上，则A到C的准线的距离为 .
4．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线 分别是双曲线 的左、右焦
点，抛物线的准线过双曲线的左焦点 ，与双曲线的渐近线交于点A，若 ，则双曲线的标准方
程为（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．（2023春·湖南·高二统考期末）已知抛物线 上一点 到 轴的距离是6，则点 到该抛物线焦点
的距离是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．102．（2023春·广东广州·高二统考期末）已知抛物线 上的点 到其焦点的距离为 ，则点 的横坐
标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·河南南阳·高二社旗县第一高级中学校联考期末）已知O为坐标原点， 为一个动点．
条件p：O，A， 三点共线；条件q：动点A在抛物线 上，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023秋·云南丽江·高二统考期末）已知椭圆的中心在原点，离心率 为且它的一个焦点与抛物线
的焦点重合，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知抛物线 上一点P到y轴的距离为2，焦点为
F，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．
6．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知抛物线 ，F为抛物线的焦点，P为抛物线上一点，过点
P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为Q，若 ，则 PFQ的面积为（ ）
△
A．4 B． C． D．7．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知抛物线 的焦点为F，点P是C上异于原点O的任意
一点，线段PF的中点为M，则以F为圆心且与直线OM相切的圆的面积最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·河南开封·高三统考期末）已知抛物线 ，圆 ， 为 上一点，
为 上一点，则 的最小值为（ ）
A．5 B． C．2 D．3
二、多选题
9．（2023春·湖南益阳·高二统考期末）已知抛物线 ： 焦点为 ，动直线 与曲线
交于 两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线 的准线方程为
B．若点 为 ，则 周长的最小值为11
C．若点 为 ，则 的最小值为
D．设 为坐标原点，作 于点 ，则 点到 的准线的距离的最大值为2
10．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）设 为抛物线 ： （ ）的焦点，
为坐标原点， 为 上一点，且 ，则（ ）
A．
B．
C．直线 的斜率为D． 的面积为
11．（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，
若 为坐标原点，则（ ）
A．点 的坐标为 B．
C． D．
12．（2023春·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知抛物线C： 的焦点为F，过点F的
直线与抛物线C交于A，B两点，则下列条件能得到抛物线C的方程为 的是（ ）
A．焦点为 B．准线为
C．与直线 相交所得弦长为1 D．
三、填空题
13．（2023秋·高二单元测试）已知抛物线 的焦点为F，点M（3，6），点Q在抛物线上，则
的最小值为 ．
14．（2023春·上海浦东新·高二统考期末）若双曲线的一条渐近线为 ，且右焦点与抛物线
的焦点重合，则该双曲线的标准方程为 ．
15．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）若抛物线 上一点 到 轴的距离为 ，则点 到抛物线
的焦点 的距离为 ．
16．（2023春·广西·高二校联考阶段练习）已知抛物线 的焦点为F， 是抛物线C上
一点，若 ，则 ．17．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知 是抛物线 的焦点，P是抛物
线C上一动点，Q是曲线 上一动点，则 的最小值为 ．
四、解答题
18．（2023秋·高二课时练习）根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是 ；
（2）准线方程是 ；
（3）焦点到准线的距离是 ．
19．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线 上一点 到焦点 的距离 ．
求抛物线 的方程；
20．（2023·全国·高三专题练习）已知点 ，过点 且与y轴垂直的直线为 ， 轴，交
于点N，直线l垂直平分FN，交 于点M. 求点M的轨迹方程；
21．（2023秋·广东梅州·高二统考期末）已知动点 与点 的距离与其到直线 的距离相等.
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)求点 与点 的距离的最小值，并指出此时 的坐标.
