文档内容
第 02 讲 平面向量的数量积及其应用
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：平面向量的数量积.............................................................................................................4
知识点2：数量积的运算律.................................................................................................................4
知识点3：数量积的性质.....................................................................................................................5
知识点4：数量积的坐标运算.............................................................................................................5
解题方法总结........................................................................................................................................6
题型一：平面向量的数量积运算........................................................................................................7
题型二：平面向量的夹角问题............................................................................................................8
题型三：平面向量的模长....................................................................................................................9
题型四：平面向量的投影、投影向量................................................................................................9
题型五：平面向量的垂直问题..........................................................................................................11
题型六：建立坐标系解决向量问题..................................................................................................11
题型七：平面向量的实际应用..........................................................................................................13
题型八：向量回路恒等式..................................................................................................................15
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................16
05课本典例·高考素材........................................................................................................................17
06易错分析·答题模板........................................................................................................................18
易错点：对向量数量积的定义理解不深刻导致出错......................................................................18
答题模板：利用定义法计算平面图形的数量积..............................................................................19考点要求 考题统计 考情分析
平面向量数量积的运算、化简、证明及
数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是
2024年I卷第3题，5分
每年必考的内容，单独命题时，一般以选
2024年II卷第3题，5分 择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般
（1）平面向量的数量
2023年I卷第3题，5分 与解析几何、三角函数、平面几何等相结合
积
2023年II卷第13题，5分 考查，而此时向量作为工具出现．向量的应
（2）平面向量数量积
2023年甲卷（理）第4题，5 用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重
的几何意义
分 视．
2022年II卷第4题，5分 预测命题时考查平面向量数量积的几何
意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几
何相结合的解答题也是热点．
复习目标：
（1）理解平面向量数量积的含义及其几何意义
（2）了解平面向量的数量积与投影向量的关系．
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算
（4）会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题知识点1：平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量 与 ，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积），记作 ，即
= ，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影： 叫做向量 在 方向上的投影数量，当 为锐角时，它是正数；当 为钝角
时，它是负数；当 为直角时，它是0．
② 的几何意义：数量积 等于 的长度 与 在 方向上射影 的乘积．
③设 ， 是两个非零向量，它们的夹角是 与 是方向相同的单位向量， ，过
的起点 和终点 ，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为 ，得到 ，我们称上述变换为向量
向向量 投影， 叫做向量 在向量 上的投影向量．记为 ．
【诊断自测】（2024·安徽安庆·三模）已知线段 是圆 的一条长为4的弦，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
知识点2：数量积的运算律
已知向量 、 、 和实数 ，则：
① ；② ；
③ ．
【诊断自测】（2024·四川雅安·模拟预测）在 中， ， ， 且 ， 则
（ ）
A． B． C． D．
知识点3：数量积的性质
设 、 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 是 与 的夹角，则
① ．② ．
③当 与 同向时， ；当 与 反向时， ．
特别地， 或 ．
④ ．⑤ ．
【诊断自测】（2024·西藏·模拟预测）已知向量 ，
．若 ，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．2
知识点4：数量积的坐标运算
已知非零向量 ， ， 为向量 、 的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角的充要
条件
的充要
条件
（当
与
且仅当 时等号成
的关系
立）
【诊断自测】已知平面向量 ，且 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
解题方法总结
（1） 在 上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
（2）数量积的运算要注意 时， ，但 时不能得到 或 ，因为 时，
也有 ．
（3）根据平面向量数量积的性质： ， ， 等，所以平面向量
数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．
（4）若 、 、 是实数，则 （ ）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量
、 、 满足 （ ），则不一定有 ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时
乘以一个向量．
（5）数量积运算不适合结合律，即 ，这是由于 表示一个与 共线的向量，
表示一个与 共线的向量，而 与 不一定共线，因此 与 不一定相等．
题型一：平面向量的数量积运算
【典例1-1】设平面向量 ， ，且 ，则 =（ ）A．1 B．14 C． D．
【典例1-2】在 中， ， ， ， 为 的外心，则 （ ）
A．5 B．2 C． D．
【方法技巧】
（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．
（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量
数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．
【变式1-1】（2024·高三·吉林四平·期末）已知向量 ， 满足 ，且 与 的夹角为 ，
则 （ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【变式1-2】已知 ， ，向量 在 方向上投影向量是 ，则 为（ ）
A．12 B．8 C．-8 D．2
【变式1-3】（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知边长为1的正方形ABCD，点E，F分别是BC，CD的
中点，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2024·陕西安康·模拟预测）菱形 的边长为 ，以 为圆心作圆且与
相切于 是 与 的交点，则 .
【变式1-5】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知 是边长为1的正三角形， 是 上
一点且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1题型二：平面向量的夹角问题
【典例2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知单位向量 满足 ，则 .
【典例2-2】（2024·陕西·二模）已知 ，则向量 的夹角的余弦值为 .
【方法技巧】
求夹角，用数量积，由 得 ，进而求得
向量 的夹角．
【变式2-1】（2024·江西宜春·三模）已知 ， 均为非零向量，若 ，则 与 的夹
角为 ．
【变式2-2】已知 与 的夹角为 ．若 为钝角，则 的取值范围是 ．
【变式2-3】（2024·高三·天津宁河·期末）已知单位向量 与 的夹角为 ，则向量 与
的夹角为 ．
【变式2-4】（2024·四川绵阳·模拟预测）平面向量 与 相互垂直，已知 ， ，且 与
向量 的夹角是钝角，则 .
【变式2-5】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知非零向量 满足 ，且 ，则 的夹
角大小为 ．
【变式2-6】（2024·上海·模拟预测）已知向量 ， ， 满足 ， ，且 ，
则 ．题型三：平面向量的模长
【典例3-1】（2024·重庆·模拟预测）已知向量 满足 ，则
【典例3-2】（2024·浙江温州·二模）平面向量 满足 ， ， ，则 ．
【方法技巧】
求模长，用平方， ．
【变式3-1】（2024·安徽池州·模拟预测）已知向量 ， ，且 与 共线，则
.
【变式3-2】（2024·江苏连云港·模拟预测）若向量 ， 满足 ， ，且 ，则
（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式3-3】（2024·高三·上海奉贤·期中）已知平面向量 ， 的夹角为 ，若 ，
则 的值为 .
题型四：平面向量的投影、投影向量
【典例4-1】（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，点P在直线 上.若向
量 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【典例4-2】（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形 中， 且 与
交于点 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）A． B． C． D．
【方法技巧】
设 ， 是两个非零向量，它们的夹角是 与 是方向相同的单位向量， ，过 的
起点 和终点 ，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为 ，得到 ，我们称上述变换为向量 向
向量 投影， 叫做向量 在向量 上的投影向量．记为 ．
【变式4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量 满足 ，则向量
在向量 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·广东深圳·模拟预测）已知向量 ， ，则 在 上的投影向量为（
）
A． B． C． D．
【变式4-3】在三角形 中，若 ，则向量 在向量 上的投影向量为
.
【变式4-4】已知向量 与 的夹角为 ， ，设 在 上的投影向量为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【变式4-5】已知双曲线 的左､右焦点分别为B，C，以BC为直径的圆与渐近线
交与点A，连接AB与另一条渐近线交与点E， 为原点， ，且 .若 在 上的投影向量
为 ，则 （ ）
A． B． C． D．题型五：平面向量的垂直问题
【典例5-1】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知向量 ，若 ，则
（ ）
A．2或3 B． 或 C．1或 D． 或6
【典例5-2】（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知向量 满足 ，且 ，若
，则（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
【变式5-1】（2024·辽宁·模拟预测）若 ， 是夹角为 的两个单位向量， 与 垂直，则
（ ）
A．0 B．2 C． D．
【变式5-2】（2024·浙江绍兴·二模）已知 ， 是单位向量，且它们的夹角是 ，若 ，
，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·重庆·模拟预测）已知 ，且 与 不共线，若向量 与 互相
垂直，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
题型六：建立坐标系解决向量问题
【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知在菱形ABCD中， ，若点M在线段AD上运动，
则 的取值范围为 ．【典例6-2】如图，已知正方形 的边长为 ，且 ，连接 交 于 ，则
【方法技巧】
y a 3 y y y
C ( 2 , 2 a) D (0, a) C(a,a)
C (bcosθ，bsinθ) D(0,b) C(a,a)
θ
A B(a, 0) x A B (a, 0) x A B(a, 0) x A B(a, 0) x
边长为a的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形
y y
y y
D(bcosθ，bsinθ) C(a+bcosθ，bsinθ)
D
(0，asinθ) C(a-acosθ，asinθ) D(bcosθ,bsinθ)C(a-bcosθ,bsinθ) A(rcosθ,rsinθ)
x
O
θ x x x
A B(a, 0) A B(a, 0) A B(a, 0)
平行四边形 直角梯形 等腰梯形
圆
【变式6-1】（2024·高三·河南濮阳·开学考试）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作注时介
绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”.如图是某同学绘制的赵爽弦图，其中四边形 均为正
方形， ，则 .
【变式6-2】（2024·天津·二模）已知菱形 边长为1，且 为线段 的中点，若在线段 上，且 ，则 ，点 为线段 上的动点，过点 作 的平行线交
边 于点 ，过点 做 的垂线交边 于点 ，则 的最小值为 .
【变式6-3】窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意
蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为50cm的
正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为10cm的小正方形EFGH拼接而成，则
．
【变式6-4】如图，正八边形 中，若 ，则 的值为 ．
题型七：平面向量的实际应用
【典例7-1】（2024·高三·广东汕头·期末）设 表示向东走了10 km， 表示向南走了5 km，则
所表示的意义为（ ）
A．向东南走了 km B．向西南走了 km
C．向东南走了 km D．向西南走了 km
【典例7-2】（2024·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了
一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式： （其中 是功， 是力， 是位移）一物体在力 和 的作用下，由点 移动到点 ，在这个过程中这两个力的合力
对物体所作的功等于（ ）
A．25 B．5 C． D．
【方法技巧】
用向量方法解决实际问题的步骤
【变式7-1】一条东西方向的河流两岸平行，河宽 ，河水的速度为向正东 ．一艘小货船
准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（ 与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距 的码
头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为 ，则当小货船的航程最短时，小
货船航行速度的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2024·广东梅州·二模）如图，两根绳子把物体M吊在水平杆子AB上.已知物体M的重
力大小为20牛，且 ，在下列角度中，当角 取哪个值时，绳 承受的拉力最小.（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】在水流速度 的自西向东的河中，如果要使船以 的速度从河的南岸垂直到
达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（ ）
A．北偏西 ，
B．北偏西 ，
C．北偏东 ，
D．北偏东 ，【变式7-4】在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所
受的重力为 ，所受的两个拉力分别为 ， ，且 ， 与 的夹角为 ，则以下结论不正确的
是（ ）
A． 的最小值为
B． 的范围为
C．当 时，
D．当 时，
题型八：向量回路恒等式
【典例8-1】如图，在平面四边形 中， ， ，则 ．
【典例8-2】如图，在平面四边形 中，若 ， ，则 ．【方法技巧】
向量回路恒等式：
【变式8-1】如图，已知在四边形 中， ．则 ．
1．（2024年北京高考数学真题）设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的
（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．1
4．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量 ，则（ ）
A．“ ”是“ ”的必要条件 B．“ ”是“ ”的必要条件
C．“ ”是“ ”的充分条件 D．“ ”是“ ”的充分条件5．（2023年北京高考数学真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
1．已知 的外接圆圆心为 ，且 ， ，则向量 在向量 上的投影向量
为（ ）
A． B． C． D．
2．已知非零向量 与 满足 且 ，则 为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
3．已知O，N，P在 所在平面内，且 ，且
，则点O，N，P依次是 的（ ）
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心内心
C．外心重心垂心 D．外心重心内心
4．如图，在 中，是不是只需知道 的半径或弦AB的长度，就可以求出 的值？
5．已知 ，求 与 的夹角 .
6．如图，在 中，已知 ，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，求 的余弦值.
7．一条河的两岸平行，河的宽度 ，一般船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度
的大小为 ，水流速度 的大小为 .如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距
离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论：
（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；
（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；
（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.
请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最
短.
易错点：对向量数量积的定义理解不深刻导致出错
易错分析： （1）解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知角之间
的关系是互补还是相等．（2）向量 的数量积 与代数中 ， 的乘积写法不同，不能漏掉其中的
“・”．
【易错题1】在 中， ， ， ，则 的值为 .
【易错题2】已知 在 上的投影向量为 ，则 的值为 .答题模板：利用定义法计算平面图形的数量积
1、模板解决思路
通过定义法求解本模板问题时，要将待求数量积的向量用已知模和夹角的向量表示出来，再运算求解．
2、模板解决步骤
第一步：根据条件，把向量 用已知模和夹角的向量表示出来．
第二步：将 的表示式代入 ，再根据定义法求数量积．
第三步：进一步求解相关问题．
【经典例题1】已知在边长为2的菱形 中， ，点 满足 ，则 .
【经典例题2】如图，在△ABC中， ， ， ，则 ．
