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综合训练 07 平面向量及其应用（10 种题型 60 题专练）
一．平面向量数量积的性质及其运算（共9小题）
1．（2023•大理州模拟）若平面向量 与 的夹角为 60°， ， ，则 等于
（ ）
A． B． C．4 D．12
【分析】先求向量的数量积，然后利用向量的模的求解方法求解即可．
【解答】解：因为平面向量 与 的夹角为60°， ， ，
所以| |＝2， ，
所以 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量数量积运算，向量模的运算性质，考查运算求解能力，属于基础题．
2．（2023•广西模拟）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝3，∠BAC＝ ， ＝2 ，则 • ＝（
）
A．18 B．9 C．12 D．6
【分析】利用平面向量的数乘与加减运算，把问题转化为 的数量积求解．
【解答】解：∵ ＝2 ，∴ ，
＝ ，
∴ • ＝ ＝
＝ ＝ ＝6．
故选：D．
学科网（北京）股份有限公司 1【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题．
3．（2023•市中区校级模拟）在△ABC中，有 ，则tanC的最大值是（
）
A． B． C． D．
【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边a，b，c的关系，利用基本不等式求出cosC
的最小值，显然C为锐角，要使tanC取最大值，则cosC取最小值，从而得出sinC的最大值，即可得出
答案．
【解答】解：∵ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，即a2+2b2＝3c2，
∴由余弦定理得 ，当且仅当
即 时等号成立，
在△ABC中，C为锐角，要使tanC取最大值，则cosC取最小值 ，此时 ，
∴ ，即tanC的最大值是 ．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
4．（2023•阿勒泰地区一模）在△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝135°， ，若AD⊥AC，则
λ
学科网（北京）股份有限公司 2＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】将 表示成 ，再根据 ，利用平面向量数
量积的运算求出 的值．
λ
【解答】解： ，
∵AD⊥AC，
∴ ，
∴ ，
则 ， ，
， （ 1﹣ ） ×1×2×cos135°+ 22 ＝ 0 ，
λ λ
， 即 ， 即 ， 解 得
，即 ．
故选：D．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
5．（2023•河北模拟）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如
图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形
即为莱洛三角形，已知A，B两点间的距离为2，点P为 上的一点，则 的最小值为
．
学科网（北京）股份有限公司 3【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为 ，再利用三角形的
几何意义求解即可．
【解答】解：设D为BC的中点，E为AD的中点，如图所示，
则 ＝ ，
在正三角形ABC中， ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 的最小值为： ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
6．（2023•重庆模拟）已知向量 的夹角为60°， ，若对任意的x 、x （m，+∞），
1 2
∈
学科网（北京）股份有限公司 4且x ＜x ， ，则m的取值范围是（ ）
1 2
A．[e3，+∞） B．[e，+∞） C． D．
【分析】根据向量数量积的定义求得 ，于是由数量积的应用可得 ，对任意的x 、x
1 2
∈
（m，+∞），且 x ＜x ，则将 转化为 ，即
1 2
，则构造函数 得函数在（m，+∞）上单调递减，求导判断f（x）
单调性，即可得m的取值范围．
【解答】解：已知向量 的夹角为60°， ，
则 ，
所以 ，
所以对任意的x 、x （m，+∞），且x ＜x ， ，则x 1nx ﹣x 1nx ＜2x ﹣2x ，
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
∈
所以 ，即 ，设 ，即f（x）在（m，+∞）
上单调递减，
又x （0，+∞）时， ，解得x＝e3，
∈
所以x （0，e3），f'（x）＞0，f（x）在x （0，e3）上单调递增；
x （e3∈，+∞），f'（x）＜0，f（x）在x （∈e3，+∞）上单调递减，
所∈以m≥e3． ∈
故选：A．
学科网（北京）股份有限公司 5【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，导数研究函数的单调性，属中档题．
7．（2023•毕节市模拟）已知点G为三角形ABC的重心，且 ，当∠C取最大值时，
cosC＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】 由题设可得 ，结合 ， 及余弦定理可得
，根据基本不等式即可求解．
【解答】解：由题意 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以AG⊥BG，
又 ， ，
则 ，
所以 ，即abcosC＝bccosA+accosB+c2，
由 ， ， ，
所以a2+b2＝5c2，
学科网（北京）股份有限公司 6所以 ，当且仅当a＝b时等号成立，
又y＝cosx在（0， ）上单调递减，C （0， ），
π ∈ π
所以当∠C取最大值时，cosC＝ ．
故选：A．
【点评】此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定
理可得a2+b2＝5c2，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题．
8．（2023•合肥三模）哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形
拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为
常见，它是由线段AB和两个圆弧AC、BC围成，其中一个圆弧的圆心为A，另一个圆弧的圆心为B，
圆O与线段AB及两个圆弧均相切，若AB＝2，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】构造直角三角形，勾股定理求圆O的半径，得到OA，余弦定理求cos∠AOB，利用向量数量积
公式求 ．
【解答】解：若 AB＝2，则圆弧 AC、BC的半径为 2，设圆 O的半径为 r，则 OA＝2﹣r，过O作
OD⊥AB，则OD＝r，AD＝1，
Rt△ODA中，OA2＝OD2+AD2，即（2﹣r）2＝r2+1，解得 ，则有 ，△AOB中，由余弦定理得
学科网（北京）股份有限公司 7，
∴ ．
故选：A．
【点评】本题考查新情景问题下的圆的综合应用，涉及三角函数公式，数形结合思想，属于中档题．
9．（2023•宜章县二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2csin（ ）．
（1）求C；
（2）若c＝1，D为△ABC的外接圆上的点， • ＝ 2，求四边形ABCD面积的最大值．
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，并结合两角和的正弦公式化简运算，即可得解；
（2）根据平面向量数量积的运算法则，推出| |cosB＝| |，进而知BD为外接圆的直径，设∠BAC＝
，利用正弦定理，用含 的式子表示AD，CD和BC，再由S＝ AB•AD+ BC•CD，并结合三角函数
α的知识，得解． α
【解答】解：（1）由正弦定理及b＝2csin（ ），知sinB＝2sinCsin（ ），
所以sin（A+C）＝2sinC（ sinA+ cosA），
所以sinAcosC+cosAsinC＝ sinCsinA+sinCcosA，即sinAcosC＝ sinCsinA，
因为sinA≠0，所以tanC＝ ＝ ，
又C （0， ），所以C＝ ．
∈ π
学科网（北京）股份有限公司 8（2）因为 • ＝ 2，所以| |•| |cosB＝| |2，即| |cosB＝| |，
所以∠BAD＝ ，即BD为外接圆的直径，
所以∠BCD＝ ，
由（1）知，∠ACB＝ ，所以∠ACD＝ ﹣ ＝ ，
设∠BAC＝ ，则∠CAD＝ ﹣ ，
α α
由c＝1，∠ACB＝ 知，外接圆的直径R＝ ＝ ＝2，
在△ACD中，由正弦定理知，R＝ ＝ ，所以AD＝2sin ＝ ，CD＝2sin（
﹣ ）＝2cos ，
α α
在△ABC中，由正弦定理知，R＝ ，所以BC＝2sin ，
α
所以四边形ABCD面积S＝ AB•AD+ BC•CD＝ ×1× + ×2sin ×2cos ＝ +sin2 ，
α α α
因为 （0， ），所以2 （0， ），
α∈ α∈ π
所以当2 ＝ ，即 ＝ 时，sin2 取得最大值1，此时S取得最大值 +1，
α α α
故四边形ABCD面积的最大值为 +1．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，两角和的正弦公式，平面向量数量积的运算法则是解
题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二．投影向量（共6小题）
学科网（北京）股份有限公司 910．（2023•湖南模拟）已知向量 ， 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为
（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
【分析】由已知可求得 ，然后根据投影向量的公式，即可得出答案．
【解答】解：因为 ， ，
所以 ，
所以，向量 在向量 上的投影向量为 ．
故选：C．
【点评】本题主要考查投影向量的定义，属于基础题．
11．（2023•全国二模）已知向量 ， 满足 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据向量的数量积运算，对 两边同时平方得到 ，再由投影向量的定
义即可求解．
【解答】解：由已知条件得： ，即 ，
又 在 方 向 上 的 投 影 向 量 为
．
故选：A．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
12．（2023•武陵区校级模拟）若向量 ， 满足 ， ，则向量 在向量 上的投影
向量为（ ）
学科网（北京）股份有限公司 10A． B．
C． D．
【分析】由向量的数量积公式求得向量夹角的余弦值，再代入投影向量公式即可求得向量 在向量 上
的投影向量．
【解答】解：设向量 与 的夹角为 ，
θ
则 ，
则 在 上的投影向量为 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
13．（2023•静安区二模）已知向量 ，且 ， 的夹角为 ， ，则
在 方向上的投影向量等于 ．
【分析】根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，求出 ，再结合投影向量的公式，即可求解．
【解答】解：向量 ，
则 ，
，
则2 ，即 ，解得 ，
故 在 方向上的投影向量等于 ＝ ．
故答案为： ．
学科网（北京）股份有限公司 11【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
14．（2023•石家庄二模）已知非零向量 满足 ，则 在 方向上的投影向量为（
）
A． B． C． D．
【分析】由已知可得 ，根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可．
【解答】解：∵ ，∴ ，可得 ，
所以 在 方向上的投影向量为 ．
故选：B．
【点评】本题考查向量数量积的运算，向量数量积的性质，投影向量的概念，属基础题．
15．（2023•河北三模）已知平面向量 ， 为单位向量，且 ，则向量 在向
量 上的投影向量的坐标为 ．
【分析】由 得 ，计算 在 方向上的投影，进而得 在 方向上的投影向量．
【解答】解：因为 ，所以 ， 为单位向量， ，
又因为 ，所以 ，
即 ， 在 方向上的投影为 ，
所以 在 方向上的投影向量为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，考查转化能力，属于中档题．
三．平面向量的基本定理（共5小题）
学科网（北京）股份有限公司 1216．（2023•泰州模拟）在平行四边形ABCD中， ， ．若 ，则m+n＝（
）
A． B． C． D．
【分析】利用平面向量的四则运算求及平面向量基本定理出m，n即可．
【解答】解：由题意可得 ＝ ，
所以m＝ ， ，
所以 ，
故选：D．
【点评】本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，属于基础题．
17．（2023•贵阳模拟）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 ＝（ ）
A． ﹣ B．﹣ + C． + D． ﹣
【分析】利用向量加法的三角形法则以及中点的性质化简即可求解．
【解答】解：因为AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
所以 ＝ ＝ +
＝ ＝﹣ ，
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
18．（2023•淄博模拟）已知△ABO中，OA＝1，OB＝2， ，过点O作OD垂直AB于点D，则
（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由题意设 ＝ +（1﹣ ） ， R，利用 • ＝0列方程求出 的值．
λ λ λ∈ λ
学科网（北京）股份有限公司 13【解答】解：△ABO中，OA＝1，OB＝2， ，过点O作OD垂直AB于点D，如图所示：
设 ＝ +（1﹣ ） ，其中 R，
λ λ λ∈
则 • ＝[ +（1﹣ ） ]•（ ﹣ ）
λ λ
＝ • ﹣ +（1﹣ ） ﹣（1﹣ ） •
＝λ﹣ ﹣ +4（λ1﹣ ）+（1﹣λ ） λ
＝﹣λ7 +λ5＝0， λ λ
λ
解得 ＝ ，所以 ＝ + ．
故选：λ A．
【点评】本题考查了两个向量的数量积运算与向量的加减法运算问题，是基础题．
19．（2023•开封一模）已知△ABC中，D为BC边上一点，且 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用向量的线性运算即可求得．
【解答】解：因为 ，
所以 ．
所以 ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
20．（2023•海安市校级一模）已知等边△ABC的边长为2，D为BC的中点，P为线段AD上一点，
PE⊥AC，垂足为E，当 时， ＝（ ）
学科网（北京）股份有限公司 14A． B． C． D．
【分析】设 ＝ ，由 求出 ，得到P为△ABC的重心，E为AC的中点，再利用平面向
量基本定理求解即λ可． λ
【解答】解：设 ＝ （0＜ ＜1），则 ＝ ﹣ ＝ ﹣ ， ＝ ﹣ ，
λ λ λ λ
∴ • ＝（ ﹣ ）•（ ﹣ ）＝ • ﹣ • ﹣ • + 2 ＝
λ λ λ λ λ
2﹣ ×2× × ×2+3 2＝3 2﹣6 +2＝﹣ ，
λ λ λ λ
∴9 2﹣18 +8＝0，∴ ＝ 或 ＝ （舍去），
∴Pλ为△AλBC的重心，λ∵PE⊥λAC，∴E为AC的中点，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ＝ ﹣ × （ + ）＝﹣ + ，
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于中档题．
四．平面向量共线（平行）的坐标表示（共4小题）
21．（2023•乌鲁木齐模拟）已知向量 ＝（2，3）， ＝（﹣1，2），若m +n 与 ﹣2 共线，则 等于
（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【分析】求出 m +n 与 ﹣2 的坐标，根据 m +n 与 ﹣2 共线可得（2m﹣n）（﹣1）﹣4
（3m+2n）＝0，化简求得 的值．
【解答】解：∵m +n ＝（2m﹣n，3m+2n）， ﹣2 ＝（4，﹣1），m +n 与 ﹣2 共线，
∴（2m﹣n）（﹣1）﹣4（3m+2n）＝0，∴﹣14m＝7n，则 ＝﹣ ，
故选：A．
【点评】本题考查两个向量的加减法的法则，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，得到
学科网（北京）股份有限公司 15（2m﹣n）（﹣1）﹣4（3m+2n）＝0，是解题的关键．
22．（2023•龙口市模拟）已知向量 ＝（m2，﹣9）， ＝（1，﹣1），则“m＝﹣3”是“ ∥ ”的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】先根据向量的平行的条件以及坐标的运算求出m＝±3，即可判断．
【解答】解：∵ ＝（m2，﹣9）， ＝（1，﹣1）， ∥ ，
∴﹣m2＝﹣9，解得m＝3，或m＝﹣3，
∴“m＝﹣3”是“ ∥ ”的充分比必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查充要条件的判断和向量平行的条件的掌握，属于基础题．
23．（2023•林芝市二模）已知向量 ， ，且 ，则 ＝
．
【分析】由向量平行的坐标运算，得到t＝﹣7，再利用模的坐标公式求 ．
【解答】解：已知向量 ， ， ，
∵ ，
∴﹣（t+4）＝3，解得t＝﹣7，
∴ ， ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．
24．（2023•高州市二模）已知向量 ， ，若 与 平行，则实数 的值
λ
为（ ）
A． B． C．6 D．﹣6
学科网（北京）股份有限公司 16【分析】先求 与 的坐标，然后由向量平行的坐标表示可得．
【解答】解：因为 ， ，
所以 ， ，
又 与 平行，
所以5（4﹣ ）＝﹣5（2+2 ），解得 ＝﹣6．
故选：D． λ λ λ
【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础题．
五．数量积表示两个向量的夹角（共4小题）
25．（2023•2月份模拟）平面向量 与 相互垂直，已知 ＝（6，﹣8）， ，且 与向量（1，0）
的夹角是钝角，则 ＝（ ）
A．（﹣3，﹣4） B．（4，3） C．（﹣4，3） D．（﹣4，﹣3）
【分析】设 ＝（x，y），由向量的模、向量垂直的性质和向量夹角余弦公式列方程组，能求出结果．
【解答】解：平面向量 与 相互垂直， ＝（6，﹣8）， ，且 与向量（1，0）的夹角是钝角，
设 ＝（x，y），则 ，
解得 或 ，
设 ＝（1，0），当 ＝（4，3）时，此时cos＜ ＞＝ ＝ ＞0，
∵向量夹角范围为[0， ]，∴此时夹角为锐角，舍去，
π
当 ＝（﹣4，﹣3）时，此时cos＜ ＞＝ ＝﹣ ＜0，
∴此时夹角为钝角．
故选：D．
学科网（北京）股份有限公司 17【点评】本题考查向量的模、向量垂直的性质和向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是
基础题．
26．（2023•沈阳三模）已知 ， ，若 与 的夹角是锐角，则实数x的取值范围是
（﹣ 8 ， 2 ）∪（ 2 ， + ∞） ．
【分析】根据已知条件，结合向量的数量积公式，以及向量平行的性质，即可求解．
【解答】解： ， ， 与 的夹角是锐角，
则 • ＞0且 、 不同向，即 ，解得x＞﹣8且x≠2，
故实数x的取值范围是（﹣8，2）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣8，2）∪（2，+∞）．
【点评】本题主要考查向量的数量积公式，以及向量平行的性质，属于基础题．
27．（2023春•大理市校级期中）已知平面向量 ，则向量 与 的夹角为
．
【分析】根据向量夹角公式的坐标运算即可得解．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以向量 与 的夹角为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查平面向量的夹角求解，考查运算求解能力，属于基础题．
28．（2023•杨浦区校级三模）对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 ＝ ．若平面向量
⊗
学科网（北京）股份有限公司 18， 满足| |≥| |＞0， 与 的夹角 （0， ），且 和 都在集合{ |n Z}中，则 ＝
θ∈ ⊗ ⊗ ∈ ⊗
．
【分析】根据题中的定义，化简整理得 ＝ ＝ 且 ＝ ＝ ，其中m、n
⊗ ⊗
都是整数．两式相乘可得cos2 ＝ ，由| |≥| |＞0且 与 的夹角 （0， ），讨论可得m＝1且n
θ θ∈
＝3，从而得出 的值．
⊗
【解答】解：由题意，可得
＝ ＝ ＝ ＝ ，
⊗
同理可得： ＝ ＝ ，其中m、n都是整数
⊗
将化简的两式相乘，可得cos2 ＝ ．
θ
∵| |≥| |＞0，∴n≥m 且 m、n z，
∈
∵ 与 的夹角 （0， ），可得cos2 （ ，1）
θ∈ θ∈
即 （ ，1），结合m、n均为整数，可得m＝1且n＝3，从而得 ＝ ＝
∈ ⊗
故答案为：
【点评】本题给出新定义，求式子 的值．着重考查了向量数量积及其运算性质、三角函数的性质
⊗
和整数解的讨论等知识，属于中档题．
六．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共5小题）
29．（2023•运城三模）已知向量 满足 ，且 ，则实数 ＝（
λ
）
学科网（北京）股份有限公司 19A．1或 B．﹣1或 C．1或 D．﹣1或
【分析】根据向量的线性计算和垂直的坐标表示即可求解．
【解答】解： ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 ＝﹣1或 ．
故选：D． λ
【点评】本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．
30．（2023•安徽模拟）已知平面向量 ，若 与 垂直，则实数 t＝
（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】由垂直关系得到方程，求出实数t的值．
【解答】解：由题意得 ，即 ，故12+32+（﹣1+6）t＝0，
即10+5t＝0，解得t＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．
31．（2023•桃城区校级模拟）已知向量 ， ，若 ，则cos2
θ
＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】由 求得sin ，再用倍角公式求cos2 即可．
θ θ
【解答】解：因为 ， ， ，
所以7sin ﹣1﹣5cos2 ＝0，即7sin ﹣1﹣5（1﹣sin2 ）＝0，
θ θ θ θ
所以5sin2 +7sin ﹣6＝0，解得 或sin ＝﹣2（舍），
θ θ θ
学科网（北京）股份有限公司 20所以 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．
32．（2023•红河州一模）已知向量 ＝（2，m）， ＝（4，﹣1），且（ ﹣ ）⊥（ + ），则实数m
＝（ ）
A．2 B． C．8 D．
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：（ ﹣ ）⊥（ + ），
则 ，即 ，
∵ ＝（2，m）， ＝（4，﹣1），
∴22+m2＝42+（﹣1）2，解得m＝ ．
故选：D．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
33．（2023•平定县校级模拟）已知向量 ， ， ，且 ，则
实数m＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．任意实数
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，
【解答】解：∵向量 ， ， ，且 ，
∴（ ﹣2 ）• ＝（3，0）•（m，2）＝3m+0＝0，
则实数m＝0，
故选：B．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．
七．正弦定理（共5小题）
学科网（北京）股份有限公司 2134．（2023•汕头二模）在△ABC中，已知C＝45°，b＝ ，c＝2，则角B为（ ）
A．30°或150° B．60° C．30° D．60°或120°
【分析】根据正弦定理即可求出sinB的值，并可知0＜B＜45°，这样即可求出角B的值．
【解答】解：在△ABC中， ，
∴根据正弦定理得： ，解得 ，
∵b＜c，∴0°＜B＜45°，∴B＝30°．
故选：C．
【点评】本题考查了正弦定理，大边对大角定理，已知三角函数值求角的方法，考查了计算能力，属于
基础题．
35．（2023•宝鸡模拟）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c， ．
（1）证明：2a＝b+c；
（2）若cosA＝ ，a＝2 ，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用余弦定理化简已知即可证明；
（2）由题意，利用余弦定理可求得bc的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sinA的值，根据三
角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）证明：因为 ，可得2a﹣acosB＝b+bcosA，
所以由余弦定理可得2a＝b+b• +a• ，
整理可得2a＝b+c，得证；
（2）因为cosA＝ ，a＝2 ，2a＝b+c，
所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得24＝b2+c2﹣2×bc× ＝（b+c）2﹣2bc﹣2×bc× ＝96﹣2bc﹣
2×bc× ，
解得bc＝20，
学科网（北京）股份有限公司 22又sinA＝ ＝ ，
所以△ABC的面积S＝ bcsinA＝ ＝6．
【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式以及三角形的面积公式在解三角形中的综
合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
36．（2023•榆林二模）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且2csin（B﹣A）＝
2asinAcosB+bsin2A，则 的取值范围是 （ 1 ， 2 ） ．
【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式将已知化为sin（B﹣A）＝sinA，根据△ABC为锐角三角形可得
B＝2A，C＝ ﹣3A以及 ，再由正弦定理可得 ，利用两角和的正弦展开
式和cosA的范π 围可得答案．
【解答】解：由正弦定理和正弦二倍角公式可得 2sinCsin（B﹣A）＝2sinAsinAcosB+sinBsin2A＝
2sinAsinAcosB+2sinBsinAcosA＝2sinA（sinAcosB+sinBcosA）＝2sinAsin（A+B），
因为 ，所以sin（ ﹣C）＝sin（A+B）＝sinC≠0，
可得sin（B﹣A）＝sinA， π
因为 ，所以 ，
所以B＝2A，C＝ ﹣3A，
π
由 ， 可得 ，
所以 ， ，
由正弦定理得 ＝2cos2A+cos2A＝4cos2A﹣
1 （1，2）．
故∈答案为：（1，2）．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，考查了三角函数的恒等变换，属于中档题．
37 ． （ 2023• 邢 台 一 模 ） 已 知 △ ABC 内 角 A ， B ， C 所 对 的 边 长 分 别 为 a ， b ， c ， 2
．
学科网（北京）股份有限公司 23（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝4，求△ABC面积的取值范围．
【分析】（1）利用余弦定理可得 ，结合三角形内角性质求角的大小；
（2）法一：由已知可得 ，应用正弦边角关系及三角形面积公式可得 ，
即可得范围；
法二：根据三角形为锐角三角形，应用几何法找到边界情况求面积的范围．
【解答】解：（1）由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，又B （0， ），则 ．
∈ π
（2）法一：△ABC为锐角三角形， ，则 ，
所以 ，可得 ，
又a＝4，则 ，故
由 ，即 ，而tanA＞1，
所以S△ABC （4，8），故△ABC面积的取值范围为（4，8）．
∈
法二：由 ，画出如图所示三角形，
∵△ABC为锐角三角形，∴点A落在线段A A （端点A ，A 除外）上，
1 2 1 2
当CA ⊥A B时， ，
1 1
当CA ⊥BC时， ，
2
∴S （4，8）．
∈
学科网（北京）股份有限公司 24【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
38．（2023•潮阳区三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．C＝ ，AB边上的高为 ．
（1）若S△ABC ＝2 ，求△ABC的周长；
（2）求 的最大值．
【分析】（1）由S＝ ab•sinC＝ c• ＝2 ，可得c和ab的值，再由余弦定理，求得a+b的值，
即可得解；
（2）结合（1）中结论、正弦定理、两角差的正弦公式与辅助角公式，可推出 ＝ ，
再由正弦函数的图象与性质，求出 的最大值．
【解答】解：（1）∵S△ABC ＝ ab•sinC＝ c• ＝2 ，∴c＝4，
∵C＝ ，∴ab＝8，
由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab•cosC＝（a+b）2﹣3ab，
∴16＝（a+b）2﹣3×8，∴a+b＝2 ，
∴△ABC的周长为a+b+c＝2 +4．
（2）由正弦定理知， ＝ ＝ ，
＝ ＝ ＝
学科网（北京）股份有限公司 25＝ ＝
＝ （其中 为锐角，且tan ＝ ）
θ θ
∵0＜A＜ ，∴当A+ ＝ 时， 取得最大值 ．
【点评】本题考查解三角θ形与三角恒等变换的综合，熟练掌握正余弦定理、三角形面积公式、两角差的
正弦公式与辅助角公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
八．余弦定理（共8小题）
39．（2023•雁塔区校级模拟）在△ABC中，若a2+c2﹣b2＝﹣ac，则角B＝（ ）
A．120° B．60° C．135° D．150°
【分析】由条件利用余弦定理求得cosB＝﹣ ，从而求得B的值．
【解答】解：△ABC中，∵a2+c2﹣b2＝﹣ac，由余弦定理可得 cosB＝ ＝ ＝﹣ ，
∴B＝120°，
故选：A．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．
40．（2023•蒙城县校级三模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且cos2C﹣cos2A＝
sinAsinB﹣sin2B．
（1）求∠C的大小；
（2）已知a+b＝4，求△ABC的面积的最大值．
【分析】（1）先把cos2C﹣cos2A＝ sinA•sinB﹣sin2B化为a2+b2﹣c2＝ ab，用余弦定理即可求解．
（2）先用基本不等式求出ab的最大值，再代入三角形的面积公式即可．
【解答】解：（1）∵cos2C﹣cos2A＝ sinA•sinB﹣sin2B，
∴1﹣sin2C﹣（1﹣sin2A）＝ sinA•sinB﹣sin2B，
学科网（北京）股份有限公司 26∴sin2A﹣sin2C＝ sinA•sinB﹣sin2B，
∴a2+b2﹣c2＝ ab，
∴cosC＝ ＝ ＝ ，
∵C （0， ），∴∠C＝ ．
∈ π
（2）∵a+b≥2 ，∴4≥2 ，∴ab≤4，
当且仅当a＝b＝2时取等号，∴（ab） ＝4，
max
∴△ABC面积的最大值为 ×4×sin ＝ ．
【点评】此题考查了余弦定理，以及利用基本不等式求三角形面积的最大值，熟练掌握余弦定理，基本
不等式是解本题的关键．
41．（2023•崇州市校级模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，B＝60°，
a2+c2＝3ac，则b＝ 2 ．
【分析】由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得．
【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，B＝60°，a2+c2＝3ac，
∴ acsinB＝ ac× ＝ ac＝4 a2+c2＝12，
⇒ ⇒ ⇒
又cosB＝ ＝ b＝2 ，（负值舍）
⇒ ⇒
故答案为：2 ．
【点评】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．
42．（2023•铜仁市模拟）锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2＝a（a+b），则sinA
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司 27【分析】根据余弦定理和正弦定理化简得C＝2A，再求出A的范围即可．
【解答】解：由c2＝a（a+b），得c2＝a2+ab，由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC，
∴a2+ab＝a2+b2﹣2abcosC，即b＝a+2acosC，
由正弦定理得sinA+2sinAcosC＝sinB，
∵ ，
∴sinA+2sinAcosC＝sinB＝sinA⋅cosC+cosAsinC，
即 ，
∵c2＝a2+ab，∴c＞a，∴C﹣A＞0，
又△ABC为锐角三角形，∴ ，
∴A＝C﹣A，解得C＝2A，
又 ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了学生对三角函数基础知识的
综合运用，属于中档题．
43．（2023•琼山区校级一模）已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．a＝2 ，b＝2，且
cosA（ccosB+bcosC）+asinA＝0．
（1）求A；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
【分析】（1）由正弦定理可将等式化简，再由三角形中的角的范围求出A的值；
学科网（北京）股份有限公司 28（2）由（1）可得求出c边，进而由余弦定理可得cosC的值，再由三角形AD⊥AC可求出D为CB的中
点，可得三角形ABD的面积为三角形ABC的一半，求出三角形ABD的面积．
【解答】解：（1）因为 cosA（ccosB+bcosC）+asinA＝0，
由正弦定理可得： cosA（sinCcosB+sinBcosC）+sinAsinA＝0，
可得： cosAsin（B+C）+sin2A＝0，
在△ABC中，sin（B+C）＝sinA≠0，
所以可得 cosA+sinA＝0，
即tanA＝﹣ ，而A为三角形的内角，
所以可得A＝ ；
（2）在△ABC中π由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，
因为a＝2 ，b＝2，
所以28＝4+c2﹣2×2c•（﹣ ），解得：c＝4或c＝﹣6（舍），
所以c＝4，
再由余弦定理可得a2+b2﹣c2＝2bacosC，可得cosC＝ ，
在Rt△ABD中，CD＝ ＝ ＝ ，
所以可得CD＝ ，
S△ABD ＝ S△ABC ＝ • AB•ACsin∠BAC＝＝ •4•2• ＝ ；
所以△ABD的面积为 ．
【点评】本题考查了三角形正余弦定理，面积公式的知识点，属于中档题．
44．（2023•江西模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，a2+b2﹣c2
＝2S．
学科网（北京）股份有限公司 29（1）求cosC；
（2）若acosB+bsinA＝c， ，求b．
【分析】（1）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求cosC，
（2）由已知结合正弦定理及和差角公式可求A，然后结合诱导公式及和角正弦可求sinB，再由正弦定
理即可求解b．
【解答】解：（1）∵a2+b2﹣c2＝2S，
所以2abcosC＝absinC，即sinC＝2cosC＞0，
sin2C+cos2C＝1，cosC＞0，
解可得，cosC＝ ，
（2）∵acosB+bsinA＝c，
由正弦定理可得，sinAcosB+sinBsinA＝sinC＝sin（A+B），
故sinAcosB+sinBsinA＝sinAcosB+sinBcosA，
所以sinA＝cosA，
∵A （0， ），所以A＝ ，
∈ π
所以sinB＝sin（A+C）＝sin（ ）＝ ＝ ，
由正弦定理可得，b＝ ＝ ＝3．
【点评】本题综合考查了三角形的基本运算，三角函数的性质，考查了利用正弦定理及余弦定理解决三
角形问题，检验学生的数学知识运用能力．
45．（2023•榆林二模）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是 a，b，c，若△ABC的面积是
，则A＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用三角形的面积公式和余弦定理建立方程，再利用三角函数的值求出A的值．
学科网（北京）股份有限公司 30【解答】解：已知△ABC的面积是 ，利用余弦定理b2+c2﹣a2＝2bccosA，
整理得： ，
所以 ，由于A （0， ）．
∈ π
则 ．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：三角形的面积公式，余弦定理，三角函数的值，主要考查学生的理解能
力和计算能力，属于中档题和易错题．
46．（2023•大理州模拟）在①2a﹣b＝2ccosB，②S＝ （a2+b2﹣c2），③ sin（A+B）＝1+2sin2
三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设△ABC的面积为S，已知______．
（1）求角C的值；
（2）若b＝4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，△CDB的面积为 ，求边长a的值．
【分析】（1）选①由余弦定理化简已知等式可得cosC＝ ，结合范围C （0， ），可求C的值．
∈ π
选②利用三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可得tanC＝ ，结合范围C （0， ），可求C
∈ π
的值．
选③利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 sin（C+ ）＝1，结合范围C+ （ ，
），即可求解C的值． ∈
（2）由题意S△ABC ＝S△ACD +S△BCD ，利用三角形的面积公式可得 a×CD+CD＝ ， a×CD＝ ，
联立即可解得a的值．
【解答】解：（1）选①2a﹣b＝2ccosB，
则由余弦定理可得：2a﹣b＝2c• ，整理可得a2+b2﹣c2＝ab，
学科网（北京）股份有限公司 31可得cosC＝ ＝ ，
因为C （0， ），
∈ π
所以C＝ ．
选②S＝ （a2+b2﹣c2），
可得 absinC＝ ，即sinC＝ ＝ cosC，
所以tanC＝ ，
因为C （0， ），
∈ π
可得C＝ ．
选③ sin（A+B）＝1+2sin2 ，
可得： sinC＝2﹣cosC，可得2sin（C+ ）＝2，
可得：sin（C+ ）＝1，
因为C （0， ），C+ （ ， ），
∈ π ∈
所以C+ ＝ ，可得C＝ ．
（2）在△ABC中，S△ABC ＝S△ACD +S△BCD ，
可得 BC•CD•sin∠BCD+ CA•CD•sin∠ACD＝ CA•CB•sin∠ACB，可得 a×CD+CD＝ ，①
又S△CDB ＝ a×CD＝ ，②
由①②可得： ＝ ，解得a＝2，或a＝﹣ （舍去），
所以边长a的值为2．
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查
学科网（北京）股份有限公司 32了计算能力和转化思想，属于中档题．
九．三角形中的几何计算（共4小题）
47．（2023•天门模拟）某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形
三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，
且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）．如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为2，
且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P．若AB＝3，则sin∠PAC＝ ；若AC：AB：BC＝6：
5：4，则PA+PB+PC的值为 ．
【分析】设外接圆半径为R，则R＝2，由正弦定理得到 ，即可求 ；设
∠CAB＝ ，∠CBA＝ ，∠ACB＝ ，则 ，根据正弦
θ α β
定理和余弦定理，得到 ．
【解答】解：设外接圆半径为R，则R＝2，
由正弦定理，可知 ，
即 ，
又由题意可知， ，
所以 ，所以 ；
设∠CAB＝ ，∠CBA＝ ，∠ACB＝ ，则 ，
θ α β
学科网（北京）股份有限公司 33易知 ，
由题意可得∠APC＝ ﹣∠ABC，所以 ，
π
同理可得 ，
所以 ．
故答案为： ； ．
【点评】本题考查了三角形中的几何计算，属于中档题．
48．（2023•江宁区校级模拟）已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足
．
（1）求角B的大小；
（2）若 ，设△ABC的面积为S，满足 ，求b的值．
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合两角和的正弦公式、诱导公式化简变形，即可得出答案；
（2）利用三角形面积公式得ac，结合正弦定理即可得出答案．
【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，
在△ABC中，由正弦定理得 ，
∵sinC＝sin[ ﹣（A+B）]＝sin（A+B），
∴ π ，
∴ ，
∵A （0， ），∴sinA≠0，
∴ ∈ π，
又B （0， ），则 ；
∈ π
学科网（北京）股份有限公司 34（2）由（1）得 ，则 ，解得ac＝12，
又由正弦定理 得 ，
∴ ，解得 ．
【点评】本题考查正弦定理和面积公式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
49．（2023•江西模拟）《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕
影而视之，空正掩目，而日应空之孔．”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径 d是一寸，筒长l是八
尺时（注：一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰
好填满竹管的内孔．”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】可设∠AOB＝ ，先根据条件求出 ，然后利用二倍角公式求出结果．
θ
【解答】解：如图所示，设∠AOB＝ ，则 ＝ ，
θ
所以tan ＝ ＝ ＝ ．
故选：Aθ．
学科网（北京）股份有限公司 35【点评】本题考查解三角形知识、三角恒等变换的方法在实际问题中的应用，属于基础题．
50．（2023•浑南区校级三模）如图，函数f（x）＝2sin（ x+ ）（ ＞0，0＜ ＜ ）的图象与坐标轴交
于点A，B，C，直线BC交f（x）的图象于点D，O（ω坐标φ原点）ω为△ABDφ的重π心（三条边中线的交
点），其中A（﹣ ，0），则tanB＝ ＝ ．
π
【分析】根据三角函数的图象，求得函数的解析式f（x）＝2sin（ x+ ），得到B（0， ），结
合tanB＝tan（∠ABO+∠CBO），即可求解．
【解答】解：因为O为△ABD的重心，且A（﹣ ，0），可得OA＝ AC＝ ，
π π
解得AC＝ ，所以C（ ，0），
π
所以 T＝ ﹣（﹣ ）＝ ，所以T＝3 ，所以 ＝3 ，解得 ＝ ，
π π π π ω
可得f（x）＝2sin（ x+ ），
φ
学科网（北京）股份有限公司 36由f（﹣ ）＝0，即2sin[ •（﹣ ）+ ]＝0，可得 •（﹣ ）+ ＝k ，
π π φ π φ π
解得 ＝k + ，k Z，又由0＜ ＜ ，所以 ＝ ，
φ π ∈ φ π φ
所以f（x）＝2sin（ x+ ），
于是|OB|＝f（0）＝f0x）＝2sin（ ×0+ ）＝ ，所以B（0， ）．
tanB＝tan（∠ABO+∠CBO）＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查三角形的几何计算，考查两角和的正切公式，属中档题．
一十．解三角形（共10小题）
51．（2023•宜春模拟）如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500km．行员为了避开某一区域的雷雨
云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原
来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点．这样飞机的飞行路程比原来的路程500km大约
多飞了（ ）（sin12°≈0.21，sin18°≈0.31）
A．10km B．20km C．30km D．40km
【分析】直接利用正弦定理的应用，三角形内角和定理的应用求出结果．
【解答】解：根据题意：在△ABC中，
∠C＝180°﹣12°﹣18°＝150°，
利用正弦定理： ，
解得：AC＝500×0.31×2＝310，
学科网（北京）股份有限公司 37BC＝500×0.21×2＝210，
故飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了520﹣500＝20km．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形内角和定理，主要考查学生的运算能力和数学
思维能力，属于基础题．
52．（2023•衡水模拟）已知△ABC中，a，b，c分别为内角 A，B，C的对边，且 2asinA＝（2b+c）
sinB+（2c+b）sinC．
（1）求角A的大小；
（2）设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且AD＝2，b＝3，求△ABC的面积．
【分析】（1）由已知，根据正弦定理化简已知等式可得 a2＝b2+c2+bc，由余弦定理可求cosA＝﹣ ，
由A （0， ），可得A的值．
∈ π
（2）AD是△ABC的角平分线， ，进而由S△ABC ＝S△ABD +S△CAD 可求b，可求面积．
【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理及2asinA＝（2b+c）sinB+（2c+b）sinC得：a2﹣b2﹣bc＝
c2，
由余弦定理得 ，
又0＜A＜ ，所以 ．
π
（2）AD是△ABC的角平分线， ，
由S△ABC ＝S△ABD +S△CAD 可得 ，
因为b＝3，AD＝2，即有3c＝2c+6，c＝6，
故 ．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计
算能力和转化思想，属于基础题．
53．（2023•重庆模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求A；
学科网（北京）股份有限公司 38（2）设AB的中点为D，若CD＝a，且b﹣c＝1，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用正弦定理可得sinB+sinC＝2sinAsin（C+ ），又sinB＝sin（A+C），所以cosA+1
＝ sinA，从而求出A；
（2）在△ABC中，由余弦定理可得cosA＝ ，化简可得a2＝bc+1，在△ACD中，由余弦定
理可得cos A＝ ，化简可得（b+ ）2﹣bc﹣a2＝ bc，结合b﹣c＝1即可求出b，c的
值，进而求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵ ，
∴sinB+sinC＝2sinAsin（C+ ），
∴sinB+sinC＝2sinA（ sinC+ cosC），
∴sinB+sinC＝ sinAsinc+sinAcosC，
又∵B＝ ﹣（A+C），∴sinB＝sin（A+C），
π
∴sin（A+C）+sinC＝ sinAsinc+sinAcosC，
∴sinAcosC+cosAsinC+sinC＝ sinAsinC+sinAcosC，
∴cosAsinC+sinC＝ sinAsinC，
又∵C （0， ），∴sinC≠0，
∈ π
∴cosA+1＝ sinA，
∴ ﹣cosA＝1，∴2sin（ ）＝1，
学科网（北京）股份有限公司 39∴sin（A﹣ ）＝ ，
∵0＜A＜ ，∴﹣ ，
π
∴A﹣ ＝ ，
∴A＝ ；
（2）在△ABC中，由余弦定理可得cosA＝ ，
∴ ＝ ，
∴b2+c2﹣a2＝bc，
∴（b﹣c）2+2bc﹣a2＝bc，
又∵b﹣c＝1，
∴a2＝bc+1，
在△ACD中，由余弦定理可得cos A＝ ，
∴cos ＝ ，
∴ ＝ ，
∴（b+ ）2﹣bc﹣a2＝ bc，
又∵a2＝bc+1，
∴ ﹣ bc﹣1＝0，
又∵b﹣c＝1，∴b＝c+1，
∴（c+1+ ）2﹣ （c+1）c﹣1＝0，
解得c＝2，
学科网（北京）股份有限公司 40∴b＝3，
∴S△ABC ＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了学生的运算求解能力，属于
中档题．
54．（2023•桃城区校级模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（cosB+cosC）+
（b+c）cos（B+C）＝0．
（1）求A；
（2）若D为线段BC延长线上的一点，且BA⊥AD，BD＝3CD，求sin∠ACD．
【分析】（1）由已知利用三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，两角差的正弦公式可得sin（A﹣
B）＝sin（C﹣A），可得B+C＝2A，利用三角形内角和定理即可求解A的值．
（2）设∠ACB＝ ，在△ACD，△ABC中，由正弦定理，得 ，利用三角函数恒等
变换的应用可求sθin 的值，进而可求sin∠ACD的值．
【解答】解：（1）θ由已知得a（cosB+cosC）＝（b+c）cosA，
由正弦定理，得sinA（cosB+cosC）＝（sinB+sinC）cosA，
则sinAcosB﹣cosAsinB＝sinCcosA﹣cosCsinA，
即sin（A﹣B）＝sin（C﹣A），
所以C﹣B＝ （舍去）或B+C＝2A，
故 ﹣A＝2Aπ，
π
所以A＝ ．
（2）设∠ACB＝ ，
在△ACD中， θ
由正弦定理，得 ①，
在△ABC中，
由正弦定理，得 ②，
学科网（北京）股份有限公司 41所以 ，
所以 ＝ ＝ ，解得tan ＝ ＝ ，
又sin2 +cos2 ＝1， θ
θ θ
所以 ，即sin∠ACD＝ ．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计
算能力和转化思想，属于中档题．
55．（2023•晋江市校级模拟）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，△ABC的面积 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）求 的取值范围．
【分析】（1）由正弦定理化简 可得 ，由 可得 ，结合余弦
定理得 ，换元 求出其值，由正弦定理即可得答案；
（ 2 ） 由 得 2absinC ＝ c2 ， 结 合 余 弦 定 理 得 ， 变 形 为
学科网（北京）股份有限公司 42，换元 ，可得 ，结合三角函数的性质可
得不等式 ，即可求得答案．
【解答】解：（1）因为 ，由正弦定理得： ，
即 ，即 ，
因为sinB≠0，所以 ，即 ，
由C （0， ）得： ；
∈ π
由 得： ，即 ，即 ，
由余弦定理可得： ，
故 ，则 ，
令 ，则 ，解得 ，
由正弦定理得： ，故 的值为 或 ；
（2）由 得： ，即2absinC＝c2，
由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝2absinC，
即 ，
故 ，
令 ，则 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司 43由C （0， ）得 ，故 ，
∈ π
故 ，即得 ，
故 的取值范围是[ ．
【点评】本题考查了正余弦定理以及三角形面积的应用，注意换元法的使用，属于中档题．
56．（2023•黄石模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+csinA＝b．
（1）求A；
（2） ，BD＝3，求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）由acosC+csinA＝b，利用正弦定理结合两角和的正弦公式，得到sinAsinC＝cosAsinC求
解；
（2）利用余弦定理结合基本不等式得到AB ，再利用三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）由正弦定理可得sinAcosC+sinAsinC＝sinB，
因为A+B+C＝ ，
所以sinAcosC+πsinAsinC＝sin（A+C），
即sinAcosC+sinAsinC＝sinAcosC+cosAsinC，
整理得：sinAsinC＝cosAsinC，
因为0＜C＜ ，所以sinC≠0，
所以tanA＝1π，
因为0＜A＜ ，所以A＝ ．
（2）在△ABπD中，由余弦定理得：BD2＝AB2+AD2﹣2AB•ADcosA，
即9＝ ，
整理得AB•AD ，当且仅当AB＝AD时，等号成立，
所以S△ABD ＝ ＝ ，
学科网（北京）股份有限公司 44因为 ，
所以S△ABC ＝ ，
所以△ABC面积的最大值为 ．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
57．（2023•宁波一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求cosA．
【分析】（1）利用余弦定理角化边即可求解．
（2）根据弦化切将原等式变为 ，角化边即可得到a2+c2＝3b2，再结合a2+b2＝2c2可得
， ，利用余弦定理即可求解．
【解答】解：（1）△ABC中，因为 ，
结合余弦定理，得 ＝4× ，化简可得a2+b2＝2c2，
所以 ．
（2）由 ＝ ，
可得 ，即 ，
即a2+c2＝3b2，又a2+b2＝2c2，
所以 ， ，
学科网（北京）股份有限公司 45所以 ．
【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式，
属于中档题．
58．（2023•宜春一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b＝2ccosB．
（1）求证：C＝2B；
（2）求 的最小值．
【分析】（1）由正弦定理得sinA+sinB＝2sinCcosB，进而可得sin（C﹣B）＝sinB，可得结论；
（2）由（1）可得B （0， ），进而可得 ＝ ，运算可得结论．
【解答】（1）证明：∈在△ABC中，a+b＝2ccosB，
由正弦定理得sinA+sinB＝2sinCcosB，
又A＝ ﹣（B+c），
∴sin（πB+C）+sinB＝2sinCcosB，
∴sinCcosB﹣sinBcosC＝sinB，
∴sin（C﹣B）＝sinB，又sinB＞0，
∴0＜C﹣B＜C＜ ，且B+C﹣B＝C＜ ，
∴B＝C﹣B，∴Cπ＝2B； π
（2）由（1）可得C＝2B得B+C＝3B （0， ），
∈ π
∴B （0， ），cosB （ ，1），
∵a+∈b＝2ccosB，C＝2B∈，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝4cosB+ ≥4 ．
当且仅当4cosB＝ 即cosB＝ ，
且B （0， ），当且仅当B＝ 时等号成立，
∈
∴当B＝ 时， 的最小值为4 ．
【点评】本题考查解三角形，考查正弦定理以及三角恒等变换，属中档题．
学科网（北京）股份有限公司 4659．（2023•江西二模）在① ；②a（3sinB+4cosB）＝4c，这两个条件中任选一个，
补充在下面问题中，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，_____．
（1）求sinA的值；
（2）若△ABC的面积为2，a＝4，求△ABC的周长．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】（1）根据所选条件，利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可求sinA的值；
（2）由面积公式求得bc＝5，再利用余弦定理求得b+c，可得△ABC的周长．
【解答】解：（1）若选①， ，
则3absinC＝4bccosA，所以3asinC＝4ccosA，
由正弦定理得3sinAsinC＝4sinCcosA，
又C （0， ），
所以∈sinC＞π0，所以3sinA＝4cosA，又sin2A+cos2A＝1，
由A （0， ），sinA＞0，解得 ．
若选∈②，a（π 3sinB+4cosB）＝4c，
由已知及正弦定理得3sinAsinB+4sinAcosB＝4sinC，
所以3sinAsinB+4sinAcosB＝4sin（A+B），
所以3sinAsinB+4sinAcosB＝4sinAcosB+4cosAsinB，
所以3sinAsinB＝4cosAsinB，
又B （0， ），所以sinB＞0，所以3sinA＝4cosA，又sin2A+cos2A＝1，
∈ π
由A （0， ），sinA＞0，解得 ．
∈ π
（2）由△ABC的面积为2，得 ，所以bc＝5，
由（1）可得 ，
由余弦定理得 ，
所以b2+c2＝22，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 47所以△ABC的周长为 ．
【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
60．（2023•开福区校级二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c是公差为2
的等差数列．
（1）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积．
（2）是否存在正整数b，使得△ABC的外心在△ABC的外部？若存在，求b的取值集合；若不存在，
请说明理由．
【分析】（1）由2sinC＝3sinA结合正弦定理可得到2c＝3a，结合等差数列可求出a，b，c的值，然后
用余弦定理求出cosC，继而求出sinC，即可求得面积；
（2）先假设存在，由题意可得△ABC是钝角三角形，而通过c＞b＞a可得cosC＜0，再结合两边之和大
于第三边即求出4＜b＜8，即可求解．
【解答】解：（1）∵2sinC＝3sinA，∴由正弦定理得2c＝3a，
∵a，b，c是公差为2的等差数列，∴a＝b﹣2，c＝b+2，
∴2（b+2）＝3（b﹣2），∴b＝10，∴a＝8，c＝12，
∴ ，
∵C （0， ），且sin2C+cos2C＝1，∴ ，
∈ π
故△ABC的面积为 ．
（2）假设存在正整数b，使得△ABC的外心在△ABC的外部，则△ABC为钝角三角形，
依题意可知c＞b＞a，则C为钝角，则 ，
∴（b﹣8）（b﹣2）＜0，解得2＜b＜8，
∵b+b﹣2＞b+2，∴b＞4，
∴4＜b＜8，
∴存在正整数b，使得△ABC的外心在△ABC的外部，此时整数b的取值集合为{5，6，7}．
【点评】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
学科网（北京）股份有限公司 48
