文档内容
重难点 11 平面向量中的最值与范围问题【八大题型】
【新高考专用】
平面向量是高中数学的重要内容，平面向量中的最值与范围问题是高考的热点问题，也是难点问题，
此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合；从近几年的高考情况来看，其基本题型是根据已知条件求某
个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等.
【知识点1 平面向量中的最值与范围问题的解题策略】
1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路：
(1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面
图形的特征直接进行判断；(2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、
方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法：
(1)定义法
①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系；
②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论.
(2)坐标法
①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标；
②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算；
③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）.
【知识点2 极化恒等式】
1．极化恒等式的证明过程与几何意义
(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
.
证明：不妨设 ，则 ， ，
①，
②，
①②两式相加得：
.
(2)极化恒等式：
上面两式相减，得： ————极化恒等式
平行四边形模式： .
2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角
线”平方差的 ．
(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的 ，即 (如图).
(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即
(M为BC的中点)(如图).
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关
系.
【知识点3 等和(高)线定理】
1．等和(高)线定理
(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若
(λ,μ∈R)，则 λ+μ=1，由△OAB 与△OA'B'相似，必存在一个常数 k,k∈R，使得 ，则
，又 (x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k；反之也成立.
(2)平面内一个基底 及任一向量 ， (λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在
平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和
(高)线.
①当等和线恰为直线AB时，k=1；
②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；
③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)；
④当等和线过O点时，k=0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值k，k 互为相反数；
1 2
⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.【题型1 定义法求最值（范围）问题】
【例1】（2024·四川泸州·一模）已知平面向量 ，则 的
|⃗OA|=4,|⃗OB|=3,|⃗OC|=1,⃗OA⋅⃗OB=0 |⃗CA+⃗CB|
最小值是（ ）
3
A．1 B．2 C． D．3
2
【变式1-1】（2024·四川内江·三模）已知点A、B、C在圆x2+ y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标
为(0,2)，则|⃗PA+⃗PB+⃗PC|的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【变式1-2】（2024·福建·模拟预测）在△ABC中，点D是边BC上一点，若⃗AD=x⃗AB+ y⃗AC，则
2x+5 y
的最小值为（ ）
xy
A．7−2√10 B．7+2√10 C．−2√10 D．7
π π
【变式1-3】（2024·江西鹰潭·二模）在Rt△ABC中，角A,B,C所对应的边为a,b,c,A= ，C= ，
6 2
， 是 外接圆上一点，则 的最大值是（ ）
c=2 P △ABC ⃗PC⋅(⃗PA+⃗PB)
A．4 B．2+√10 C．3 D．1+√10
【题型2 坐标法求最值（范围）问题】
【例2】（2024·宁夏·一模）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一
个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH的
边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则⃗AP⋅⃗AB的最小值为（ ）
A．√2 B．0 C．−2√2 D．−4√2π
【变式2-1】（2024·江苏南通·二模）如图，点C在半径为2的A´B上运动，∠AOB= 若
3
⃑OC=m⃑OA+n⃑OB，则m+n的最大值为（ ）
2√3
A．1 B．√2 C． D．√3
3
【变式2-2】（2024·四川成都·三模）在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，点E满足2⃗AE=3⃗EB，在平面
ABCD中，动点P满足⃗PE⋅⃗PB=0，则⃗DP⋅⃗AC的最大值为（ ）
A．√41+4 B．√41−6 C．2√13+4 D．2√13−6
【变式2-3】（2024·北京·三模）已知点N在边长为2的正八边形A ,A ,⋯,A 的边上，点M在边A A 上，
1 2 8 1 2
则 的取值范围是（ ）
⃗A M ⋅⃗A N
1 1
A．[−4−2√2,2√2] B．[−4,4+2√2]
C．[−2√2,4+2√2] D．[−2√2,4]
【题型3 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】
【例3】（2024·四川遂宁·模拟预测）在△ABC中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若
1 2
⃗AF=x⃗AB+2y⃗AC(x>0,y>0)，则 + 的最小值为（ ）
x y
A．3 B．4 C．8 D．9
【变式3-1】（2024·宁夏银川·模拟预测）在△ABC中，⃗BD=2⃗DC，过点D的直线分别交直线AB、AC于点E、F，且⃗AE=m⃗AB,⃗AF=n⃗AC，其中m>0，n>0，则m+2n的最小值为（ ）
8
A．2 B．√2 C．3 D．
3
【变式3-2】（2024·重庆·模拟预测）在正方形ABCD中，动点E从点B出发，经过C，D，到达A，
⃗AE=λ⃗AB+μ⃗AC，则λ+μ的取值范围是（ ）
A．[−1,1] B．[0,1] C．[−1,2] D．[0,2]
【变式3-3】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在△ABC中，D为线段AC的一个三等分点，|AD|=2|DC|.连
接BD，在线段BD上任取一点E，连接AE，若⃗AE=a⃗AC+b⃗AB，则a2+b2的最小值为（ ）
13 5 4 2
A． B． C． D．
4 2 13 5
【题型4 与数量积有关的最值（范围）问题】
【例4】（2024·全国·模拟预测）已知圆C的半径为1，过圆C外一点P作一条切线与圆C相切于点A，
|PA|=2，Q为圆C上一个动点，则⃗PA⋅⃗PQ的取值范围为（ ）
A．[2,4] B．[2,6] C．[0,4] D．[4,6]
【变式4-1】（2024·海南·三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边
长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三
π
角形中，已知AB=2，P为弧AC上的一点，且∠PBC= ，则⃗BP⋅⃗CP的值为（ ）
6
A．4−√2 B．4+√2
C．4−2√3 D．4+2√3
【变式4-2】（2024·浙江·一模）如图，点C在以AB为直径的圆上，其中|AB|=2，过A向点C处的切线
作垂线，垂足为P，则⃗AC⋅⃗PB的最大值是（ ）A．2 B．1 C．0 D．−1
【变式4-3】（2024·广东深圳·模拟预测）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一
个动点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，则⃗PE⋅⃗PF的取值范围是（ ）
A．[28,46] B．[32,58] C．[39,55] D．[42,60]
【题型5 与模有关的最值（范围）问题】
【例5】（2024·河北保定·二模）如图，圆O 和圆O 外切于点P，A，B分别为圆O 和圆O 上的动点，已
1 2 1 2
知圆
O
和圆
O
的半径都为1，且
⃗PA⋅⃗PB=−1
，则
|⃗PA+⃗PB| 2
的最大值为（ ）
1 2
A．2 B．4 C．2√2 D．2√3
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，若
⃗a ⃗b |⃗a+⃗b|=3 ⃗a⋅⃗b=0
，且 ，则 的最大值为（ ）
⃗c=λ⃗a+(1−λ)⃗b(λ∈R) ⃗c⋅⃗a=⃗c⋅⃗b |⃑c|
1 3
A．3 B．2 C． D．
2 2【变式5-2】（2024·河南郑州·模拟预测）已知 中， ， ，
△ABC AB=AC=2√2 |⃗AB+λ⃗BC| =2(λ∈R)
min
1 [π π]
⃗AM= ⃗MB，⃗AP=sin2α⋅⃗AB+cos2α⋅⃗AC，α∈ , ，则|⃗MP|的取值范围为（ ）
2 6 3
A．[4√2 4√5] B．[4 4√5]
, ,
3 3 3 3
C．[√17 √41] D．[4 √41]
, ,
3 3 3 3
【变式5-3】（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建
筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以三角形ABC边长为半径作圆弧，
由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形ABC边长为60，点D，E分别为线段AB，
AC的中点，点P为圆弧 上的一动点，则 的最小值为（ ）
A´B |⃗PA+⃗PB+⃗PC+⃗PD+⃗PE|
A．60−6√37 B．300−30√37 C．300−15√37 D．60−3√37
【题型6 平面向量中参数的最值（范围）问题】
【例6】（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）如图，点C是半径为1的扇形圆弧A´B上一点，且
3π
∠AOB= ，若⃗OC=x⃗OA+ y⃗OB，则x+√2y的最大值是（ ）
4
√5
A．1 B． C．√10 D．4
2【变式6-1】（23-24高一下·河南·阶段练习）已知□ABCD中，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），
点Q在对角线BD上（不包括端点B，D），若 ， ，记 的
⃗AP=λ ⃗AB+μ ⃗BC ⃗AQ=λ ⃗AB+μ ⃗BC 2λ2−μ
1 1 2 2 1 1
1 2
最小值为m， + 的最小值为n，则（ ）
2λ μ
2 2
1 9 1 9
A．m=− ，n= B．m=− ，n=
8 2 4 2
1 9 1 9
C．m=− ，n= D．m=− ，n=
8 4 4 4
【变式6-2】（23-24高一下·上海·期中）如图，△ABC的三边长为|AB|=3,|BC|=7,|AC|=5，且点B,C
分别在x轴，y轴正半轴上移动，点A在线段BC的右上方．设⃗OA=x⃗OB+ y⃗OC(x,y∈R)，记
M=⃗OA⋅⃗OC,N=x+ y，分别考查M,N的所有可能结果，则（ ）
A．M有最小值，N有最大值 B．M有最大值，N有最小值
C．M有最大值，N有最大值 D．M有最小值，N有最小值
【变式6-3】（23-24高二上·上海黄浦·期中）在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P为△ABC所在
平面内的动点，且PC=2，若⃗CP=λ⃗CA+μ⃗CB，则给出下面四个结论：
4
①λ+μ的最小值为− ； ②⃗PA⋅⃗PB的最小值为−6；
5
3
③λ+μ的最大值为 ； ④⃗PA⋅⃗PB的最大值为10.
4
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型7 极化恒等式】
【例7】（23-24高一下·北京·阶段练习）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，
AD=2AB=2BC=2，点P为梯形ABCD四条边上的一个动点，则⃗PA⋅⃗PB的取值范围是（ ）[ 1 ] [ 1 ] [ 1 ]
A． − ,4 B． − ,2 C．[−1,4] D． − ,4
2 2 4
【变式7-1】（2024高三·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=2，M为线段AB
上的动点（包含端点），D为AC的中点．将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则⃗ME⋅⃗MF的最小值为
（ ）
3
A．−2 B．−
2
1
C．−1 D．−
2
【变式7-2】（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可
移动的线段，AD=4，AB=8√3，BC=12 ，则⃗BE⋅⃗BF的取值范围为 .
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个
动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则⃗PE⋅⃗PF的取值范围是 .
【题型8 等和(高)线定理】
【例8】（2024·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若
⃗AP=x⃗AB+ y⃗AC，则2x+2y的最大值为（ ）8 4
A． B．2 C． D．1
3 3
【变式8-1】（24-25高二上·浙江台州·开学考试）如图所示，⃗OA，⃗OB是两个不共线的向量（∠AOB为
锐角），N为线段OB的中点，M为线段OA上靠近点A的三等分点，点C在MN上，且
⃗OC=x⃗OA+ y⃗OB(x,y∈R)，则x2+ y2的最小值为（ ）
4 2 4 2
A． B． C． D．
25 5 9 3
【变式8-2】（2024·江西新余·模拟预测）如图，在三角形OPQ中，M、N分别是边OP、OQ的中点，点R
√ 1
在直线MN上，且⃗OR=x⃗OP+ y⃗OQ（x，y∈R），则代数式 x2+ y2−x−y+ 的最小值为（ ）
2
√2 √2 √2 √3
A． B． C． D．
2 6 4 2
【变式8-3】（23-24高三上·河南·阶段练习）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对
称都能给人以美感，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，以菱形ABCD的四条边为直径向外作四个半圆，
P是这四个半圆弧上的一动点，若⃗DP=λ⃗DA+μ⃗DC，则λ+μ的最大值为（ ）3 5
A．5 B．3 C． D．
2 2
一、单选题
2π
1．（2024·天津和平·二模）平面四边形ABCD中，AB=2，AC=2√3，AC⊥AB，∠ADC= ，则
3
⃗AD⋅⃗AB的最小值为（ ）
A．−√3 B．−2√3 C．−1 D．−2
2．（2024·湖北·模拟预测）四边形ABCD是边长为4的正方形，点P是正方形内的一点，且满足
，则 的最大值是（ ）
|⃗AP+⃗BP+⃗CP+⃗DP|=4 |⃗AP|
A．1+√2 B．√2−1 C．2√2−1 D．2√2+1
3．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知向量 ，若向量 的夹角为钝角，则实数
⃗a=(x,3),⃗b=(12,x−5) ⃗a,⃗b
x的范围是（ ）
A．(−∞,1) B．(1,+∞)
C．(−∞,−4)∪(−4,1) D．(1,9)∪(9,+∞)
⃗a+⃗b
4．（2024·湖北黄冈·一模）已知向量|⃗a|=|⃗b|=4,⃗a⋅⃗b=−8,⃗c= ，且|⃗n−⃗c|=1，则⃗n与⃗c夹角的最大
2
值为（ ）
π π π 5π
A． B． C． D．
6 4 3 12
3
5．（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量⃗a，⃗b，⃗c满足|⃗a|=1，|⃗b|=√3，⃗a⋅⃗b=− ，
2
，则 的最大值等于（ ）
⟨⃗a−⃗c,⃗b−⃗c⟩=30° |⃗c|
A．2√7 B．√7 C．2√3 D．3√36．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆
心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示
的勒洛三角形中，已知AB=2，P为弧AC（含端点）上的一点，则⃗PB⋅⃗PC的范围为（ ）
A．[0,2] B．[−2,0] C．[1,√3] D．[−√3,−1]
7．（2024·四川成都·模拟预测）在矩形ABCD中，AB=5,AD=4，点E是线段AB上一点，且满足
AE=4EB.在平面ABCD中，动点P在以E为圆心，1为半径的圆上运动，则⃗DP⋅⃗AC的最大值为（ ）
A．√41+4 B．√41−6 C．2√13+4 D．2√13−6
8．（2024·河北沧州·三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分
支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边△ABC中，AB=2，以三条边为直径向外作三
个半圆，M是三个半圆弧上的一动点，若⃗BM=λ⃗AB+μ⃗AC，则λ+μ的最大值为（ ）
1 √3 3
A． B． C．1 D．
2 3 2
二、多选题
1
9．（2024·山东潍坊·二模）已知向量⃗a，⃗b，⃗c为平面向量，|⃗a|=1，|⃗b|=2， ⃗a⋅⃗b=0，|⃗c−⃗a|= ，则
2
（ ）
3 1+2√5
A．1≤|⃗c|≤ B．(⃗c−⃗a)⋅(⃗c−⃗b)的最大值为
2 4
√5
C．−1≤⃗b⋅⃗c≤1 D．若⃗c=λ⃗a+μ⃗b，则λ+μ的最小值为1−
41
10．（2024·四川眉山·一模）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，⃗BD= ⃗BC，点P在以CD为直径的
3
半圆上（含端点），设⃗AP=x⃗AB+ y⃗AC，则（ ）
1 2
A．y的值不可能大于1 B．⃗AD= ⃗AC+ ⃗AB
3 3
1
C．⃗AP⋅⃗AB的最小值为 D．⃗AP⋅⃗AB的最大值为1
3
11．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）在△OAB中，OA=1,OB=2,∠AOB=120°，点P是等边
△ABC（点O与C在AB的两侧）边上的一动点，若⃗OP=x⃗OA+ y⃗OB，则有（ ）
1 9
A．当x= 时，点P必在线段AB的中点处 B．x+ y的最大值是
2 2
[ 7 7]
C．⃗OP⋅⃗OA的最小值是−1 D．⃗PA⋅⃗PB的范围是 − ,
4 2
三、填空题
12．（2024·甘肃·一模）已知单位向量 满足 ，则 的范围是 .
⃗a,⃗b |3⃗a−4⃗b|=m m
π
13．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知 △ABC中，角A , B , C所对的边分别为a , b ,c，∠BAC= ，
6
m 2n
b=1，c=√3，若⃗AD= ⃗AB+ ⃗AC，则|⃗AD|的最小值为 ．
2(m+n) m+n
14．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算
经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形).
类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的
一个大等边三角形，且DF=AF，点P在AB上，BP=2AP，点Q在△≝¿ 内 (含边界)一点，若
⃗PQ=λ⃗PD+⃗PA，则λ的最大值为 .四、解答题
15．（23-24高一下·山东·期中）如图，AB为半圆O的直径，|AB|=2，C为A´B上一点（不含端点）.
(1)用向量的方法证明AC⊥BC；
(2)若C是A´B上更靠近点B的三等分点，Q为A´C上的任意一点（不含端点），求⃗QA⋅⃗CB的最大值.
16．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）在 ABC中，已知AB=2，AC=1，⃗AB⋅⃗AC=−1，
△
，Q为线段CA延长线上的一点，且 .
⃗CP=λ⃗CB(0≤λ≤1) ⃗AQ=t⃗AC(t<0)
1
(1)当t=−1且λ= ，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长；
2
(2)若⃗PA⋅⃗PQ+3=⃗AP⋅⃗AB，求t的最大值.
17．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，两射线l 、l 均与直线l垂直，垂足分别为D、E且DE=1.点A在
1 2直线l上，点B、C在射线上.
(1)若F为线段BC的中点（未画出），求⃗AF⋅⃗AD的最小值；
(2)若△ABC为等边三角形，求△ABC面积的范围.
π
18．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图在△ABC中，∠BAC= ，满足⃗AD=3⃗DB.
3
π
(1)若∠B= ，求∠ACD的余弦值；
3
1
(2)点M是线段CD上一点，且满足⃗AM=m⃗AC+ ⃗AB，若△ABC的面积为√3，求|⃗AM|的最小值.
2
19．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，点P，Q分别是矩形ABCD的边DC，BC上的两点，
AB=3，AD=2．(1)若⃗DP=λ⃗DC，⃗CQ=λ⃗CB，0≤λ≤1，求⃗AP⋅⃗AQ的范围；
π
(2)若∠PAQ= ，求⃗AP⋅⃗AQ的最小值；
4
(3)若⃗DP=2⃗PC，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点H，使
得∠THQ最大．若存在，求BH的长；若不存在，说明理由．
