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重难点 08 导数常考经典压轴小题全归类【十大题型】
【新高考专用】
导数是高考数学的重要内容，是高考必考的重点、热点内容，主要涉及导数的运算及几何意义，利用
导数研究函数的单调性、极值和最值，函数零点问题、不等式恒（能）成立问题等，考查分类讨论、数形
结合、转化与化归等思想.
从近几年的高考情况来看，导数的运算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，
难度较小；利用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，
属综合性问题，解题时要灵活求解．【知识点1 导数的运算的方法技巧】
1．导数的运算的方法技巧
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
【知识点2 切线方程的求法】
1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
①求出函数y=f(x)在x=x 处的导数，即曲线y=f(x)在点(x,f(x))处切线的斜率；
0 0 0
②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y+f'(x)(x-x).
0 0 0
2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
①设出切点坐标T(x,f(x))(不出现y)；
0 0 0
②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x)+f'(x)(x-x)；
0 0 0
③将已知条件代入②中的切线方程求解.
【知识点3 导数中函数单调性问题的解题策略】
1．确定函数单调区间的步骤；
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f'(x)；
(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
2．含参函数的单调性的解题策略：
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因
式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
3．根据函数单调性求参数的一般思路：
(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间
上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
【知识点4 函数的极值与最值问题的解题思路】
1．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f'(x)；
(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x 左右两侧值的符号；
0
(5)求出极值.
2．根据函数极值求参数的一般思路：
已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方
程组，利用待定系数法求解.
3．利用导数求函数最值的解题策略：(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：
①求函数在(a,b)内的极值；
②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性
和
极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
【知识点5 导数的综合应用】
1．导数中函数的零点（方程的根）的求解策略
(1)利用导数研究方程根（函数零点）的技巧
①研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．
②根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．
③利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
(2)已知函数零点个数求参数的常用方法
①分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建
关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
②分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，
将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
2．导数中恒成立、存在性问题的求解策略
恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数
单调性求解函数的最大、最小值；当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函
数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，结合函数图象，
利用导数来求解．
3．导数中的双变量问题
导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数
不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的
不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
【题型1 导数的运算】
【例1】（2024·湖北·一模）已知函数f (x)=ex−f′(1)x，则（ ）e e
A．f (1)=− B．f′(1)=−
2 2
C．f (2)=e2−e D．f′(2)=e2−e
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，若f (2x−1)+3，f′(x−2)都是奇函数，
且 ，则
2025
（ ）
f′(1)=−2f (−1) ∑ f′(k)=
k=1
A．6 B．−9 C．3 D．−12
【变式1-2】（2024·山东·二模）已知f (x)为定义在R上的奇函数，设f′(x)为f (x)的导函数，若
f (x)=f (2−x)+4x−4，则f′(2023)=（ ）
A．1 B．−2023 C．2 D．2023
【变式1-3】（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数 ，
f (x)=2x(x−2)(x−22)(x−23)(x−24)(x−25)(x−26)
则f′(0)=（ ）
A．220 B．221 C．222 D．223
【题型2 函数的切线问题】
【例2】（2024·江西景德镇·一模）过点 且与曲线 相切的直线方程是（ ）
A(0,1) f(x)=x3+2x−1
A．y=5x+1 B．y=2x+1
C．y=x+1 D．y=−2x+1
【变式2-1】（2024·山东·模拟预测）若过点 可以作 的三条切线，则实数 的取值范围
(1,m) y=(x+1)ex m
是（ ）
A． B． C． D．
(−4e−2,0) (−6e−3,0) (−6e−3,2e) (e,2e)
1
【变式2-2】（2024·广东佛山·一模）若直线y=kx与曲线y=lnx+ 相切，则k= ．
2x
【变式2-3】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数y=√x的图象与函数y=alnx的图象在公共点处有相同
的切线，则公共点坐标为 .
【题型3 导数中函数的单调性问题】
1
【例3】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）若函数f (x)= x2−3x−4lnx，则函数f (x)的单调递减区间为
2
（ ）A．(4,+∞) B．(0,1) C．(0,4) D．(1,4)
【变式3-1】（2024·湖北·一模）已知函数f (x)=ax2−lnx+2x是减函数，则a的取值范围为（ ）
( 1]
A．(−∞,0] B．(−∞,−1] C．(−∞,1] D． −∞,−
2
1
1 3 −
【变式3-2】（2024·吉林长春·模拟预测）已知a=sin ,b=ln ,c=3 2，则（ ）
3 2
A．cf (2x−1)的x的取值范围是（ ）
A．(−∞,−1) B．(−∞,1) C．(−1,+∞) D．(1,+∞)
【变式6-1】（2024·吉林长春·一模）已知定义在 上的函数 是 的导函数，满足
(0,+∞) f(x),f′ (x) f(x)
，且 ，则不等式 的解集是（ ）
xf′ (x)−2f(x)<0 f(2)=4 f (2x)−4x>0
A．(0,1) B．(0,2) C．(1,+∞) D．(−∞,1)
【变式6-2】（2024·广东佛山·一模）设f′(x)是函数f (x)的导数，f (1−x)+f (1+x)=0，f (2)=0，当x>1
时，(x−1)f′(x)−f (x)>0，则使得f (x)<0成立的x的取值范围是（ ）
A．(0,1)∪(1,2) B．(0,1)∪(2,+∞) C．(−∞,0)∪(1,2) D．(−∞,0)∪(2,+∞)
【变式6-3】（2024·海南海口·模拟预测）已知定义在[−3,3]上的函数f (x)=ex−e−x−2x+1，若
，则 的取值范围是（ ）
f (m2)+f (m−2)≤2 m
A．[−2,1] B．[−1,2]
C．[−1,√3] D．[−1,1]
【题型7 导数中的函数零点（方程根）问题】
【例7】（2024·黑龙江大庆·三模）已知函数f (x)=|lnx|−kx−2有2个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A．( 1 ) B．[ 1 ) C． {1 } D． {1 }
−e, 0, (−1,0]∪ (−e,0]∪
e3 e3 e3 e3
【变式7-1】（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数f (x)=lnx+1−ax有两个零点x ,x ，且x 1 B．x +x <
1 2 a
1
C．x ⋅x <1 D．x −x > −1
1 2 2 1 a
【变式7-2】（2024·四川·模拟预测）已知函数 若函数 有5个不同的零点，则 的
f (x)=¿ y=[f (x)] 2−af (x) a
取值范围是（ ）
A．(0,1] B．(1,4] C．(1,4) D．(1,+∞)
| 2 |
【变式7-3】（2024·四川南充·一模）已知函数f(x)= lnx− +2 −m（0 e31
x 1 m+2 2 3−m 1 2
1
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型8 导数中的不等式恒成立问题】
ex
【例8】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数f (x)= −ln(x−1)−lna+1，若f (x)≥0对任意的
a
x∈(1,+∞)恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． (0,√e] B． (0,e] C．(
0,e
3
2
] D．(0,e2]
【变式8-1】（2024·河南·模拟预测）已知λ>0，对任意的x>1，不等式
e2λx−
(
lne2
1
λ
)
lnx≥0
恒成立，则
实数λ的取值范围为（ ）
[1 ) [ 1 )
A． ,+∞ B． ,+∞
e 2e
C．[2e,+∞) D．[e,+∞)lnx
【变式8-2】（2024·陕西商洛·三模）已知λ>0，对任意的x>1，不等式e2λx− ≥0恒成立，则λ的取值
2λ
范围为（ ）
A．[2e,+∞) B． [ 1 ,+∞ ) C．[e,+∞) D． [1 ,+∞ )
2e e
1
【变式8-3】（2024·甘肃兰州·三模）已知函数f(x)= −x3 ，对于任意的x∈(1,2]，不等式
ex+1
(
x+1)
(
t+1
) 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
f +f <1 t
x−1 (x−1) 2 (x−6)
A．(1,+∞) B．[−1,1] C．(−∞,−1] D．(−∞,−1)
【题型9 导数中的能成立问题】
[1 ]
【例9】（2024·全国·模拟预测）若关于x的不等式(e−1)(lnx+ax)≥xeax−1在x∈ ,1 内有解，则正
2
实数a的取值范围是（ ）
[ 1 ] [ 1 ]
A．(0,2+2ln2] B． ,e C．(0,4] D． ,e
√e 2e
lnx
【变式9-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数f (x)= ,g(x)=axe−ax，若存在
x
使得 ，则实数 的取值范围为（ ）
x ∈(0,1),x ∈(−∞,0) f (x )=g(x ) a
1 2 1 2
A．(−∞,−2) B．(−2,−1) C．(−1,+∞) D．(0,+∞)
【变式9-2】（2024·吉林延边·一模）若对任意x∈(e,+∞)，存在实数λ，使得关于x的不等式
ln(x−e)+λx+1≥0成立，则实数λ的最小值为 ．
1
【变式9-3】（2024·浙江·模拟预测）已知函数f (x)= +2x2，g(x)=2m−lnx，若关于x的不等式
e2x
f (x)≤xg(x)有解，则m的最小值是 .
【题型10 双变量问题】
1
【例10】（23-24高二下·福建福州·期末）已知x,y为正实数，lnx+ln y= −x，则（ ）
y
A．x＞y B．x＜y C．x+ y＞1 D．x+ y＜1
【变式10-1】（2024·四川广安·模拟预测）已知00
C．cosx>sin y D．sinx>sin y
1
【变式10-2】（23-24高二下·四川遂宁·期中）已知函数f (x)=lnx,g(x)= x+1，若f (x )=g(x )，则
2 1 2
x −x 的最小值为 .
1 2
1
【变式 10-3】（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数f (x)= x2+(1−a)x−xlnx有两个极值点
2
x ,x (x c>b B．a>b>c C．c>b>a D．c>a>b3+x
6．（2024·河南·模拟预测）已知f (x)=x3ln ，则f (x+2)>f (3x−2)的解集为（ ）
3−x
( 1 )
A．(−3,3) B． − ,1 C．(0,2) D．(0,1)
3
7．（2024·黑龙江大庆·一模）已知函数f (x)=2lnx−ax+b−1，若对任意的x∈(0,+∞)，f (x)≤0，则
b−2a的最大值为（ ）
A．2ln2−1 B．3−2ln2 C．1−2ln2 D．2ln2−3
8．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知 ，若 有两个零点，则实数 的取值范
f(x)=memx−lnx(m≥0) f(x) m
围为（ ）
A．( 1) B．( 1 )
0, 0,
e e2
C．(1 ,+∞ ) D．[ 1 ,+∞ )
e e2
9．（2024·陕西安康·模拟预测）若存在 ，使得不等式 成立，则实数 的取
x∈(0,+∞) a2x4+x≥eax2+ln2x a
值范围为（ ）
A． [ 1 ,+∞ ) B． [1 ,+∞ ) C． ( −∞, 1] D． ( −∞, 1 ]
2e e e 2e
10．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
f(x)=x3−x+1
A．f(x)有三个极值点 B．f(x)有三个零点
C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
二、多选题
2−x
11．（2024·全国·模拟预测）设函数f (x)=ax−ln ，则对任意实数a，下列结论中正确的有（ ）
x
A．f (x)至少有一个零点 B．f (x)至少有一个极值点
C．点 为曲线 的对称中心D． 轴一定不是函数 图象的切线
(1,f (1)) y=f (x) x f (x)
12．（2024·重庆·模拟预测）关于函数f (x)=x4−2x3+1 ，下列说法正确的是（ ）
3
A．f (x)在(−∞,0)上单调递减 B．f (x)的图象关于直线x= 对称
211
C．f (x)的最小值为− D．f (x)的一个极大值为1
16
13．（2024·云南大理·一模）已知函数f (x)=xex−a，则下列说法正确的是（ ）
1
A．f (x)有最大值− −a
e
B．当 时， 的图象在点 处的切线方程是
a=1 f (x) (0,f (0)) y=x−1
C．f (x)在区间[−2,0]上单调递减
( 1 )
D．关于x的方程f (x)=0有两个不等实根，则a的取值范围是 − ,0
e
14．（2024·广西来宾·模拟预测）下列关于函数f (x)=x−xlnx的说法，正确的有（ ）
A．x=1是f (x)的极大值点
B．函数f˙(x)有两个零点
C．若方程f (x)=m有两根x ,x ，则x +x >e
1 2 1 2
D．若方程f (x)=m有两根x ,x ，则x +x a 恒成立，则实数 a 的取值范围是 .
x2−x2
1 2
