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专题11 导数在不等式.恒等式和零点问题综合应用
【练基础】
一、单选题
1．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西·校联考一模）已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则 的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2022秋·甘肃武威·高三校考阶段练习）函数 的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）设 ，若函数
有且只有三个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数 （ ），且 在 有两个零点，则 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知函数 ，若方程 恰好有三个
不等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
7．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知函数 （其中 ， ）有两个零
点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 ，则方程 在区间
上的实根个数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知函数 ，若 恒成立，则实数 的可能的值为
（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上是增函数
B． ，不等式 恒成立，则正实数 的最小值为
C．若 有两个零点 ，则
D．若 ，且 ，则 的最大值为
11．（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A．函数 在 处取得最大值B．函数 在区间 上单调递减
C．函数 有两个不同的零点
D． 恒成立
12．（2022·全国·校联考模拟预测）对于三次函数 ，给出定义：设 是函数
的导数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称 为函数 的
“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”
就是对称中心.若函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的极大值点为
B． 有且仅有3个零点
C．点 是 的对称中心
D．
三、填空题
13．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知不等式 对 恒成立， 则实
数 的最小值为__________.
14．（2022·上海奉贤·统考一模）已知某商品的成本 和产量 满足关系 ，该商品的销售单价
和产量 满足关系式 ，则当产量 等于__________时，利润最大.
15．（2022·上海普陀·统考一模）设 、 、 均为正数且 ，则使得不等式 总
成立的 的取值范围为______．16．（2023·全国·高三专题练习）给出定义：设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，
若方程 有实数解 ，则称 为函数 的“拐点”，经研究发现所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 的图像的对称中心，若函数
，则 ______.
四、解答题
17．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知 为正实数，函数 .
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)求证： （ ）.
18．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知 为正整数， ， .
(1)求 的最大值；
(2)若 恒成立，求正整数 的取值的集合.
（参考数据： ）
19．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若函数 恒成立，求实数a的取值范围．
20．（2023·四川凉山·统考一模）已知函数 ．
(1)求 的最小值；
(2)已知 ，证明： ；(3)若 恒成立，求 的取值范围．
【提能力】
一、单选题
21．（2022秋·山西阳泉·高三阳泉市第一中学校校考期中）设函数 ，其中 ，若存在
唯一的整数 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．（2023·全国·高三专题练习） ，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 只有一个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上
恒成立，则 的取值范围为
A． B． C． D．
25．（2023·全国·高三对口高考）函数 在 的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上有零点，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 若关于 的不等式 在 上恒
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
28．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 若函数 恰有5个零
点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
29．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知函数 有两个不同的极值点 ，且
不等式 恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．二、多选题
30．（2021·全国·高三专题练习）对于函数 ，下列说法正确的有（ ）
A． 在 处取得极大值
B． 有两不同零点
C．
D．若 在 上恒成立，则
31．（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知函数 ，则下列结论中正确的
是（ ）
A．若 在区间 上的最大值与最小值分别为 ， ，则
B．曲线 与直线 相切
C．若 为增函数，则 的取值范围为
D． 在 上最多有 个零点
32．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，下列命题正确的是（ ）
A．若 是函数 的极值点，则
B．若 是函数 的极值点，则 在 上的最小值为
C．若 在 上单调递减，则
D．若 在 上恒成立，则
33．（2023·全国·高三专题练习）若 ， 为自然对数的底数，则下列结论错误的是（ ）
A． B．C． D．
三、填空题
34．（2022·全国·高三专题练习）设函数 恰有两个极值点，则实数t的取值范围为
___________.
35．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式 对任意 恒成立，则实数a的取值
范围是___________.
36．（2021春·全国·高三专题练习）若 时，关于 不等式 恒成立，则实数 的最大值是
______.
37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
四、解答题
38．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 只有一个零点
① ；
② ．
39．（2022·重庆永川·重庆市永川北山中学校校考模拟预测）已知函数 ．（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ，证明： ．
40．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， 为 的导数．证明：
（1） 在区间 存在唯一极大值点；
（2） 有且仅有2个零点．
41．（2020秋·江西南昌·高三南昌大学附属中学校考阶段练习）已知函数 ，
，其中 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若存在 ，使得不等式 成立，求 的取值范围.
