文档内容
重难点突破 01 抽象函数模型归纳总结
目录
01方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳总结...................................................................................................................................3
题型一：一次函数模型................................................................................................................................................3
题型二：二次函数模型................................................................................................................................................5
题型三：幂函数模型....................................................................................................................................................7
题型四：指数函数模型................................................................................................................................................8
题型五：对数函数模型..............................................................................................................................................10
题型六：正弦函数模型..............................................................................................................................................13
题型七：余弦函数模型..............................................................................................................................................15
题型八：正切函数模型..............................................................................................................................................18
03过关测试.........................................................................................................................................20一次函数
（1）对于正比例函数 ，与其对应的抽象函数为 ．
（2）对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 ．
二次函数
（3）对于二次函数 ，与其对应的抽象函数为
幂函数
（4）对于幂函数 ，与其对应的抽象函数为 ．
（5）对于幂函数 ，其抽象函数还可以是 ．
指数函数
（6）对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 ．
（7）对于指数函数 ，其抽象函数还可以是 ．
其中
对数函数
（8）对于对数函数 ，与其对应的抽象函数为 ．
（9）对于对数函数 ，其抽象函数还可以是 ．
（10）对于对数函数 ，其抽象函数还可以是 ．
其中
三角函数
（11）对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为
注：此抽象函数对应于正弦平方差公式：
（12）对于余弦函数 ，与其对应的抽象函数为注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式：
（13）对于余弦函数 ，其抽象函数还可以是
注：此抽象函数对应于余弦积化和差公式：
（14）对于正切函数 ，与其对应的抽象函数为
注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式：
题型一：一次函数模型
【例1】已知 且 ，则 不等于
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，
构造函数 ，则 ，且 ，
令 ，则 ，
令 ， ，得 ，
，即 ，
所以，数列 为等差数列，且首项为 ，公差为 ， ，
，则 .
，，合乎题意；
，合乎题意；
故选D.
【变式1-1】已知函数 的定义域为 ，且 ，若 ，则下列结论错误的
是（ ）
A． B．
C．函数 是偶函数 D．函数 是减函数
【答案】C
【解析】对于A，令 、 ，则有 ，
又 ，故 ，即 ，
令 、 ，则有 ，
即 ，由 ，可得 ，
又 ，故 ，故A正确；
对于C，令 ，则有 ，
则 ，故函数 是奇函数，故C错误；
对于D，有 ，即 ，
则函数 是减函数，故D正确；
对于B，由 ，令 ，有 ，故B正确.
故选：C
【变式1-2】（2024·河南新乡·一模）已知定义在 上的函数 满足 ，， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，得 .
令 ，得 ，解得 ，
则不等式 转化为 ，
因为 是增函数，且 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：A
【变式1-3】已知定义在 上的单调函数 ，其值域也是 ，并且对于任意的 ，都有
，则 等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】由于 在 上单调，且值域为 ，则必存在 ，使得 ，
令 得， ，即 ，
于是 ， ，则 ，
从而 ，有 .
故选：D
题型二：二次函数模型
【例2】（2024·高三·河北保定·期末）已知函数 满足： ， ， 成
立，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，
令 ，则 ，所以 ，令 ，则 ，
所以 ，
则当 时， ，
则
，
当 时，上式也成立，
所以 ，
所以 .
故选：C.
【变式2-1】（2024·山东济南·三模）已知函数 的定义域为R，且 ，则下列
结论一定成立的是（ ）
A． B． 为偶函数
C． 有最小值 D． 在 上单调递增
【答案】C
【解析】由于函数 的定义域为R，且 ，
令 ，则 ，得 ，
时， 恒成立，无法确定 ，A不一定成立；
由于 不一定成立，故 不一定为偶函数，B不确定；
由于 的对称轴为 与 的位置关系不确定，
故 在 上不一定单调递增，D也不确定，
由于 表示开口向上的抛物线，故函数 必有最小值，C正确，
故选：C
【变式2-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且满足
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程 有解
C． 是偶函数 D． 是偶函数
【答案】C【解析】对于A，因为函数 的定义域为 ，且满足 ，
取 ，得 ，则 ，
取 ，得 ，则 ，故 错误；
对于B，取 ，得 ，则 ，
所以 ，
以上各式相加得 ，
所以 ，
令 ，得 ，此方程无解，故B错误.
对于CD，由 知 ，
所以 是偶函数，
不是偶函数，故C正确， 错误.
故选：C.
【变式2-3】（2024·河南·三模）已知函数 满足： ，且 ，
，则 的最小值是（ ）
A．135 B．395 C．855 D．990
【答案】C
【解析】由 ，得 ，令
，得 ，
令 ，得 ，
故 ，又 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，当 时， 的最小值
为855．
故选：C．题型三：幂函数模型
【例3】已知函数 的定义域为 ，且 ，则（ ）
A． B． C． 是偶函数 D． 没有极值点
【答案】D
【解析】令 ，则 ，
所以 ，且 为定义域内任意值，故 为常函数.
令 ，则 ，为奇函数且没有极值点，C错，D对；
所以 不恒成立， 不一定成立，A、B错.
故选：D
【变式3-1】（2024·河北·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足
，则（ ）
A． 是奇函数且在 上单调递减
B． 是奇函数且在 上单调递增
C． 是偶函数且在 上单调递减
D． 是偶函数且在 上单调递增
【答案】A
【解析】令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
因为 ，且定义域关于原点对称，所以函数 是奇函数，
由反比例函数的单调性可得函数 在 上单调递减.
故选：A.题型四：指数函数模型
【例4】（多选题）（2024·山西晋中·三模）已知函数 的定义域为 ，满足
，且 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 为非奇非偶函数
C．若 ，则 D． 对任意 恒成立
【答案】ACD
【解析】我们有恒等式： .
对于A，由恒等式可得 ，而 ，故 ，所以 ，即
，故A正确；
对于B，由于 满足条件且是偶函数，所以 有可能是偶函数，故B错误；
对于C，由恒等式可得 ，故
.
若 ，则 ，故C正确；
对于D，由恒等式可得 .
而 ，故 和 同号（同为正数，或同为负数，或同为0），
从而再由 可知 ，即 ，故D正确.
故选：ACD.
【变式4-1】已知函数 满足， ，则
的值为（ ）
A．15 B．30 C．60 D．75
【答案】B
【解析】
因此故选：B
【变式4-2】如果 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，
， ， ，
， ， ，
，
故选：C．
【变式4-3】已知函数 对一切实数 满足 ，且 ，若
，则数列 的前 项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵函数 对一切实数 满足 ，且
∴
∴数列 是等比数列，首项为2，公比为2
∴
所以
所以数列 的前 项和为 ．
故选：C．
题型五：对数函数模型
【例5】（多选题）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）．
A． B．C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
【答案】ABC
【解析】方法一：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值，故 错误.
方法二：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，当 时，对 两边同时除以 ，得到 ，
故可以设 ，则 ，
当 肘， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，显然，此时 是 的极大值，故D错误.
故选： .
【变式5-1】已知定义在 上的函数 ，满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，则 ，解得 ，
令 ，则 ，解得 ，
令 ，则 ，解得 ，
令 ，则 ，解得 ，
，
依次类推可得 。
故选：C
【变式5-2】（2024·四川凉山·三模）已知 为定义在R上且不恒为零的函数，若对 ，都有
成立，则下列说法中正确的有（ ）个．
① ；
②若当 时， ，则函数 在 单调递增；
③对 ， ；
④若 ，则 .
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】令 有 ，令 有 . 所以①正确.
，因为 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，且当 时， ，所以 . 所以②正确.
当 时由①可得③成立；
当 时，由②得 ，所以 ，
所以 …… ，
累加得 ，即 ，所以 ，所以③正确．
令 ， ，由①得 ，又因为 ，所以 ，
由③得 ，所以 ，
所以 ，所以④错误．
故选：C
【变式5-3】（2024·山西·一模）已知函数 是定义在 上不恒为零的函数，若
，则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 为奇函数
【答案】C
【解析】令 ，则 ，故 ，A选项错误；
令 ，则 ，故 ，B选项错误；
令 ，则 ，故 为偶函数，C选项正确；
因为 为偶函数，又函数 是定义在 上不恒为零的函数，D选项错误.
故选：C
题型六：正弦函数模型
【例6】（多选题）（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 的定义域为R，且
，则下列说法中正确的是（ ）A． 为偶函数 B． C． D．
【答案】BD
【解析】令 ，则 .
另令 ，则 ，由 ，所以 不成立，
所以 ，所以函数 为奇函数，故A错误；
令 ， ，则 ，故B正确；
令 ， ，则 ，
又 ，所以 ，故C错；
令 得 .且 ， ， .
所以 ； ；
所以 ，又 ， ，
所以 ；
所以 ；
所以
所以 ，故D正确.
故选：BD
【变式6-1】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且
，则下列说法中正确的是（ ）
A． 为偶函数 B． C． D．
【答案】BC
【解析】方法一：先介绍正弦平方差公式： ．
证明过程如下：．
由题意，可以令 ，因为 为奇函数，故选项A错误．
因为 ，故选项B正确．
因为 ，故选项C正确．
因为 ，故 ，故选项D错误．
方法二：对于选项A，因为 的定义域为 ，
令 ，则 ，故 ，则 ，
令 ，则 ，
又 不恒为0，故 ，
所以 为奇函数，故A错误．
对于选项B，令 ，则 ．
而 ，所以 ，故选项B正确．
对于选项C，由选项B可知， ，
令 ，则 ，所以 ．
又因为 为奇函数，所以 ，故C正确．
对于选项D，由选项B以及 ，可得 ，
所以 ，同理可得 ．
因为 ，故 ，故D错误．
故选：BC
题型七：余弦函数模型
【例7】（多选题）已知定义域为 的函数 满足 ，且
，则（ ）
A．B． 是偶函数
C．
D．
【答案】BC
【解析】A. ，
令 ，则 ，故A错误；
令 ，则 ，又 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以函数 关于 对称，
令 ，则 ，
令 ，且 ，则 ，所以 ，
又函数 的定义域 ，所以函数 为偶函数，故B正确；
令 ，则 ，
又 ，所以 ，故C正确；
因为 ，所以 ，所以函数 的一个周期为8，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
，
所以
，
所以 ，故D错误.
故选：BC
【变式7-1】（多选题）（2024·辽宁·二模）已知定义城为R的函数 ．满足
，且 ， ，则（ ）
A． B． 是偶函数
C． D．
【答案】ABC【解析】对于A项，由 ，
令 ，则 ，故A项正确；
对于B项，令 ，则 ，
因 ，故 ，
令 ，则 ①，
所以函数 关于点 成中心对称，
令 ，则 ，
令 ，则 ②，
由①可得： ③，由②③可知： ，
且函数 的定义域为 ，则函数 是偶函数，故B项正确；
对于C项，令 ，则 ，
因为 ， ， ，代入上式中得，
故得： ，故C项正确；
对于D项，由上可知： ，则 ，
故函数 的一个周期为4，故 ，
令 ，则 ，
所以 ，
则 ，故D项错误．
故选：ABC．
【变式7-2】（2024·吉林·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 ，
， ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【解析】由题意知函数 的定义域为 ，且 ， ，
令 ，则 ，即 ，故 为偶函数；
又 ，令 ，则 ，又由 ，得 ，
即 的图象关于点 成中心对称，则 ；
，即 ，又结合 为偶函数，
则 ，故 ，即4为 的周期，
故 ，
故
，
故选：D
【变式7-3】（2024·安徽·模拟预测）若定义在 上的函数 ，满足 ，
且 ，则 （ ）
A．0 B．-1 C．2 D．1
【答案】D
【解析】令 ，则有 ，
又 ，∴ .令 ， .
则有 ，∴ .
令 ，则有 .
∵ ，∴ ，∴ ，
∴
.
故选：D.
题型八：正切函数模型
【例8】定义在 上的函数 满足： ，当 时，有 ，且
．设 ，则实数 与 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定【答案】C
【解析】 函数 满足 ，令 得 ；
令 得
在 为奇函数，
又 时，有 ，所以 时，有 ，
设 ，所以 ，所以 ，
则 ，所以 ，即 ，
在 是单调减函数，在 时， ，
又 ，
，即 ，
故选：C.
【变式8-1】（2024·浙江·二模）已知函数 满足对任意的 且 都有
，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵函数 满足对任意的 且 都有
∴令 ，则 ，
∴∴
.
故选：D
1．已知函数 对于一切实数 均有 成立，且 ，则当 时，
不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵函数 对于一切实数 均有 成立，
∴令 得， ，又 ，
∴ ，
∴令 得， ，即 ，
当 时，不等式 恒成立，
∴当 时， 恒成立，
令 ， ，则 在 上单调递增，
∴ ，
∴要使当 时， 恒成立，
则 在 上恒成立，
当 时， ，不成立，
当 时，则有 ，所以 .故选：D.
2．设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意 ，都有 ，则
＝（ ）
A．0 B．2018 C．2 017 D．1
【答案】B
【解析】 ，
令 ，得 ，
，
令 ，又 ，
，
，故选B.
3． 满足对任意的实数 都有 ，且 ，则
（ ）
A．2017 B．2018 C．4034 D．4036
【答案】B
【解析】 满足对任意的实数 都有 令 得
， ，
，故选B.
4．如果函数 对任意 满足 ，且 ，则
A．4032 B．2016 C．1008 D．504
【答案】B
【解析】在 中令 ，则有 ，所以 ，所以
＝ ，故选B．
考点：1、函数解析式；2、新定义．
5．设函数 的定义域为 ，对任意实数 ， ，只要 ，就有 成立，则函数 （ ）
A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
【答案】C
【解析】令 ,则 ，
∵ ,
∴ ,即 ,其中 ,
∵ ,
∴ .
∵ ,∴ .
∵ ,
∴ .
综上,知 ,
∴函数 既是奇函数又是偶函数.
故选：C
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 为奇函数
【答案】D
【解析】当 时， 不恒成立，故 ，A错误．
B：解法一 令 ，得 ，又 ，所以 ，
故 ，B错误．
解法二 令 ，得 ，又 ，所以 ，B错误．
C：解法一 由B选项的解法一可知 ，则 ，所以 为奇函数，C错误，D正
确．
解法二 令 ，得 ，又 ，所以 ，
所以 ，结合选项得C错误，D正确．综上可知，选D．
故选：D.
7．设函数 的定义域为 ， ，若 ，则 等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
令 ，则 ，即 ，可得 ；
令 ，则 ，即 ，可得 ；
令 ，可得 .
故选：D.
8．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，
，且 ，则（ ）
A． 为偶函数
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】因为 ，
令 ，得 ，即 ，所以函数 为奇函数，故选项
A不正确；
用 替换 ，令 ，得 ，即 ，
又函数 为奇函数，所以 ，所以 ，故选项B正确；
令 ，得 ，即 ，即 ，
所以 ，所以函数 的周期为2，
再由 ，令 ，可得 ，
由函数的周期性可知， ， ，
所以 ，故选项C不正确；
由 ，
令 ，得 ，
即 ①．
由 ，
令 ，得 ，
即 ，可得 ②．
由①+②整理后可得 ，即 ，故选项D正确.
故选：BD．
9．（多选题）已知函数 的定义域为 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． 的一个周期为3 D．
【答案】ABD
【解析】令 ，则 ，所以 ，A选项正确；
令 ，则 ，即 ，
所以 ，令 ，则 ，令 ，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ，B选项正确；
令 ，则 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
由此可知： 的一个周期为6，C选项错误；
因为 ，且 ，
令 ， ，
令 ， ，
且 ， ，
所以 ，
由 可知， ，所以
，
因为 的一个周期为6，且 ，
所以 ，D选项正确.
故选：ABD．
10．（多选题）（2024·江西九江·二模）已知函数 的定义域为 ， ，
，则下列命题正确的是（ ）
A． 为奇函数 B． 为 上减函数C．若 ，则 为定值 D．若 ，则
【答案】ACD
【解析】因为 ， ，
令 ，可得 ，则 ，
令 ，可得 ，则 ，
令 ，可得 ，
令 ，可得 ，所以 ，所以 为奇函数，故A正确；
因为 、 ，所以 不可能为 上减函数，故B错误；
令 可得 ，所以 ，故C正确；
令 可得 ，因为 ，
所以 ，所以 ， ， ，
所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD
11．（多选题）（2024·江苏南京·二模）已知函数 满足 ，则（ ）
A． B． C． 是偶函数 D． 是奇函数
【答案】AC
【解析】令 ，则 ，
令 ，则 ，解得 或 ，
若 ，则 恒成立，不合题意，故 ，A选项正确；
，则 , ，B选项错误；
函数 ，定义域为R， ，
为偶函数，C正确，D错误.
故选：AC
12．（多选题）（2024·广西·二模）已知函数 的定义域与值域均为 ，且，则（ ）
A． B．函数 的周期为4
C． D．
【答案】ACD
【解析】令 得 ，即 ①，
令 ，得 ②，
联立①② ，故A正确；
令 ，得 ③，
由①， ， ，
将它们代入③整理可得 ，所以由 ，故D对；
由 可知 为一元二次函数，设 ，
则有 ，
整理得 ，又由 ，
所以 ，经验证满足题设要求，故B错C对，
故选：ACD.
13．（多选题）已知非常数函数 的定义域为 ，且 ，则（ ）
A． B． 或
C． 是 上的增函数 D． 是 上的增函数
【答案】AC
【解析】在 中，
令 ，得 ，即 ．
因为函数 为非常数函数，所以 ，A正确．
令 ，则 ．
令 ，则 ，①
令 ，则 ，②
由①②，解得 ，从而 ，B错误．令 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以C正确，D错误．
故选：AC
14．（多选题）已知 是定义在 上的函数， ，且 ，则
（ ）
A．
B． 是偶函数
C． 的最小值是1
D．不等式 的解集是
【答案】BCD
【解析】对于A，令 ，得 ，解得 或2.
因为 ，所以 ，则A错误.
对于BC，令 ，得 ，则 ，
从而 是偶函数，且 ，故B，C正确.
对于D，因为 是偶函数，在 上单调递增，且 ，
所以不等式 等价于 ，
所以 ，解得 ，则 正确.
故选：BCD.
15．（多选题）已知函数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A， ，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C，
，故C正确；
对于D， ， ，故D错误．
故选：ABC．
16．（多选题）（2024·高三·云南昆明·开学考试）已知函数 的定义域为 ，且
，则（ ）
A．
B．
C． 是奇函数
D． 是偶函数
【答案】ABD
【解析】令 ，则 ，即 . A正确.
令 ，则 .
令 ，则 ，则 .
故 . B正确.
是非奇非偶函数. C不正确.
是偶函数. D正确.
故选：ABD.
17．（多选题）（2024·重庆·三模）函数 是定义在 上不恒为零的可导函数，对任意的x， 均
满足： ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】令 ，得 ，代入 ，得 ，
当 为正整数时， ，
所以 ，
所以 ，代入 ，得 ，
所以 ，又当 时，也符合题意，
所以 .当 不为正整数时，经验证 也满足 ，
故 为任意实数时，都有 .
所以 ，故A正确； ，故B正确；
所以 ， ，故C不正确；
所以 ，
令 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，故D正确.
故选：ABD
18．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且
， 时， ， ，则（ ）
A．
B．函数 在区间 单调递增
C．函数 是奇函数
D．函数 的一个解析式为
【答案】ABD
【解析】A项：因为 ，
当 时， ，令 ，
则 ，解得 ，A正确；
B项：任取： ，
则 ，
因为当 时， ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以函数 在区间 单调递增，B正确；C项：令 ，则 ，
解得 或 ，当 ，且 时，令 ，
则 ，
若 为奇函数，则 ，即 ，
解得 ，与题意矛盾；
当 时 不为奇函数．
综上所述，函数 不是奇函数，C错误；
D项：当 ，
则 ，
，
所以 ，易得 在 上单调递增，
所以 时， ， ，
故函数 的一个解析式为 ，D正确．
故选 :ABD
19．（多选题）已知函数 ，对于任意 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】令 ，故A正确；
由已知 ，①
令 满足题干要求， 则 ，故B错误；
由①可知，令 ，则 ，又因为 ，则 ，所以 ，故C正确；
因为 ，所以 ，
又由①，令 ，则 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD.
20．（多选题）（2024·高三·辽宁·期中）已知函数 的定义域为 ， ，且
，当 时， ，则（ ）
A．
B． 是偶函数
C．当A，B是锐角 的内角时，
D．当 ，且 ， 时，
【答案】AD
【解析】令x＝y＝0，得 ，故A正确．
令x＝0，则 ，所以 为奇函数，故B错误．
任取 ，且 ，则 ．
因为 ，
所以 ，所以 ．
因为 ， ，所以 ， ，
即 在 上单调递增．
因为A，B是锐角 的内角，所以 ，所以 ，
所以 ．因为 ， ，所以 ，故C错误．
因为 ，且 ，所以 ．
令y＝－x，则 ，
令 ，则 ，所以 ．
因为 ，
所以 是首项为1，公比为2的等比数列，
所以 ，故D正确．
故选：AD
21．（多选题）函数 的定义域为 ， ，若 ，则下列选项正确的
有（ ）
A． B．
C．函数 是增函数 D．函数 是奇函数
【答案】ABD
【解析】令 ， ，得 ，
因为 ，所以 ；
令 ， 得 ，
因为 ，所以 ，即选项A正确；
由选项A知 的图象过点 、 ，
令 ，则 得， ，
所以 ，
因为 ，所以选项B正确；因为 是减函数，所以选项C错误；
因为 ，所以 为奇函数，即选项D正确；
故选：ABD．
22．（多选题）定义在 上的函数 ，对 ，均有 ，当 时，
，令 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对 ，均有 ，令 可得 ，所以 ，则
，故A正确；
，可令 得 ，所以 ，
则 ，故B不正确；
令 ，可得
，
因为当 时， ，
又 ，所以 ，
故 ，所以 ，
所以 ，则 ，故C不正确；
令 ，得 ，则 ，
，以此类推可得： ，
所以 ，故D正确.
故选：AD.
23．（多选题）已知定义在 上的函数 满足：对 ，都有 ，则
对于 ， ，下式成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】 , ,B选项正确;
,C选项正确;
, ,D选项正
确;
定义在 上的函数 满足：对 ，都有 ，
设 ,
,A选项错误.
故选:BCD.
24．（2024·山西临汾·三模）已知函数 的定义域为 ，且 ， ，
则 ．
【答案】
【解析】令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
令 ，则 ，得 ，
令 ，则 ，即 ，
所以 ，所以
所以 ，所以 ，即 ，
是以6为周期的周期函数，
所以 ，
故答案为： .
25．已知函数 的定义域为R，且 ， ，请写出满足条件的一个
（答案不唯一）．
【答案】1, （答案不唯一）
【解析】令 ，则 ，
又 ，
所以 ，即 ，
所以函数为偶函数，
不妨取偶函数 ，则 ，
也可取 ，则 ，满足题意.
故答案为： , （答案不唯一）
26．已知函数 ，且 ， ，则函数
的一个解析式为 .
【答案】 （不唯一）
【解析】由题意， ，
累乘可得 ，即 ，
令 ，则 ，
所以 ，
故答案为： （不唯一）
27．（2024·高三·江苏扬州·开学考试）写出满足 的函数的解析式 ．
【答案】
【解析】 中，令 ，得 ；
令 得 ，故 ，则 ．
故答案为： ．
28．（2024·高三·河南·开学考试）已知函数f（x）满足：①对 ， ， ；②
．请写出一个符合上述条件的函数f（x）＝ ．
【答案】 （答案不唯一，符合条件即可）
【解析】因为对 ， ， ；
所以 在 上可能为对数函数，
故 满足条件①，又 ，
所以 ，
故符合上述条件的函数可能为： ，
故答案为： （答案不唯一）.
29．已知函数 ， ，且 ， ， ，…， ， ，
则满足条件的函数 的一个解析式为 .
【答案】
【解析】由已知得 ， ，
，
，又 ，
故答案为：
30．若函数 满足 ，写出一个符合要求的解析式 ．
【答案】x(答案不唯一)
【解析】因为函数 满足 ，
所以 x，
故答案为：x,答案不唯一
31．同时满足下列两个条件：① ；② 的函数可以为 .
【答案】 （答案不唯一）
【解析】由 可知函数为增函数，再由 可知 可以为对数函数，故可以填 ，或者其它底数大于 的对数函数．
故答案为： （答案不唯一）
