文档内容
重难点突破 01 奔驰定理与四心问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：奔驰定理................................................................................................................................3
题型二：重心定理..............................................................................................................................10
题型三：内心定理..............................................................................................................................13
题型四：外心定理..............................................................................................................................17
题型五：垂心定理..............................................................................................................................22
03 过关测试.........................................................................................................................................25技巧一．四心的概念介绍：
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点．
已 知 的 顶 点 ， ， ， 则 △ ABC 的 重 心 坐 标 为
．
注意：（1）在 中，若 为重心，则 ．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示： ．
奔驰定理： ，则 、 、 的面积之比等于
奔驰定理证明：如图，令 ，即满足
， ， ，故 ．
技巧三．三角形四心与推论：
（1） 是 的重心： ．
（2） 是 的内心： ．
（3） 是 的外心：
．
（4） 是 的垂心：．
技巧四．常见结论
（1）内心：三角形的内心在向量 所在的直线上．
为 的内心．
（2）外心： 为 的外心．
（3）垂心： 为 的垂心．
（4）重心： 为 的重心．
题型一：奔驰定理
【典例1-1】已知 为 内一点，且满足 ，若 的面积与 的面积的比值
为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
如图， 分别是 的中点，
则 ，
所以 在线段 上，且 ，
得 ，设 ，则 ，所以 ，因为 ， ， ，
所以 ，则 ，解得 .
故选：B
【典例1-2】点 在 的内部，且满足： ，则 的面积与 的面积之比是
（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】C
【解析】
因为 ，
所以 ，即 ，
取 中点为点 ，
则 ，即 ，
所以 在中线 上，且
过 ，分别作边 上的高，垂足为 ，
则 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：C.
【变式1-1】设 是 内一点，且 ，定义 ，其中 分
别是 的面积，若 ，则 的最小值是（ ）A． B．18 C．16 D．9
【答案】B
【解析】设 中，角 的对边分别为 ，
，由 ，得 ，
，若 ，则 ， ，
有 ，得 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
则 的最小值是18.
故选：B
【变式1-2】设 ，过 作直线 分别交 （不与端点重合）于 ，若 ，
，若 与 的面积之比为 ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接 并延长，则通过 的中点 ，过 ， 分别向 所在直线作垂线，垂足分别为 ，
，
如图所示
与 的面积之比为根据三角形相似可知 ，则
即
由平行四边形法则得
根据待定系数法有 ，则
故选
【变式1-3】（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的
结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是
内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，且 ．
以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则M为 的重心
B．若M为 的内心，则
C．若 ， ，M为 的外心，则
D．若M为 的垂心， ，则
【答案】ABD
【解析】对A选项，因为 ，所以 ，
取 的中点 ，则 ，所以 ，
故 ， ， 三点共线，且 ，
同理，取 中点 ， 中点 ，可得 ， ， 三点共线， ， ， 三点共线，
所以 为 的重心，A正确；对B选项，若 为 的内心，可设内切圆半径为 ，
则 ， ， ，
所以 ，
即 ，B正确；
对C选项，若 ， ， 为 的外心，则 ，
设 的外接圆半径为 ，故 ， ，
，
故 ， ， ，
所以 ，C错误；
对D选项，若 为 的垂心， ，
则 ，
如图， ， ， ，相交于点 ，
又 ，
，即 ，
，即 ，
，即 ，
设 ， ， ，则 ， ， ，因为 ， ，
所以 ，即 ，
，则 ，D正确；
故选：ABD.
【变式1-4】（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与
“奔驰”轿车的 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 是 内的一点， ，
， 的面积分别为 ，则有 .设 是锐角 内的一点，
， ， 分别是 的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 为 的垂心，则
【答案】ABD
【解析】对于A：如下图所示，
假设 为 的中点，连接 ，则 ，故 共线，即 在中线 上，同理可得 在另外两边 的中线上，故O为 的重心，即A正确；
对于B：由奔驰定理O是 内的一点， 的面积分别为 ，
则有 可知，
若 ，可得 ，即B正确；
对于C：由 ， 可知 ，
又 ，所以 ，
由 可得 ；
所以 ，即C错误；
对于D：由四边形内角和可知， ，
则 ，
同理 ，
因为O为 的垂心，则 ，
所以 ，
同理得 ， ，
则 ，
令 ，
由 ，
则 ，
同理： ，
，
综上， ，
根据奔驰定理得 ，即D正确.
故选：ABD.题型二：重心定理
【典例2-1】已知 是 所在平面内一定点，动点 满足
，则动点 的轨迹一定过 的 .（选填：外心、内
心、垂心、重心）
【答案】重心
【解析】过 作 ，垂足为 ，取 中点为 ，连接 ，如下所示：
则 ，
则 ，则 ，
，又 为非负实数，
故 共线，也即 三点共线，又 为三角形 中线，故 的轨迹过三角形 的重心.
故答案为：重心.
【典例2-2】（2024·高三·陕西渭南·期末）如图所示， 中 为重心， 过 点， ，
，则 ．
【答案】3
【解析】设
根据题意， ；
， ， ， 三点共线，则存在 ，使得 ，
即 ，即 ，，整理得 ，所以 ；
故答案为：3
【变式2-1】（2024·陕西西安·模拟预测）在平行四边形 中， 为 的重心， ，
则 ．
【答案】 /
【解析】如图，设 与 相交于点 ，又 为 的重心，
所以 为 的中点， ，
则 ，
则 ，故 ．
故答案为：
【变式2-2】（2024·高三·上海普陀·期中）在 中，过重心 的直线交边 于点 ，交边 于点
（ 、 为不同两点），且 ， ，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意 ， ，
延长 交 于 ，则 是 中点，
,
又 ， ，所以 ，
又 三点共线，所以 ， ，
，
设 ，则 ，时， ， 递减， 时， ， 递增，
，又 ，即 ，
所以 的取值范围是 ，
故答案为： ，
【变式2-3】在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，设 分别
是 的外心和重心，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 为 边中点，连接 ,作 于 ，即 为 中点，
因为 ,
同理 ,
则
，
在 中， ，
由余弦定理得 ，即 ，
由均值不等式， ，
所以 （当且仅当 等号成立），
所以 .
故选：B．【变式2-4】（2024·全国·二模）点 是 所在平面内两个不同的点，满足 ，则
直线 经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A
【解析】设 的中点为点 ，所以 ，
则 ，
若 四点共线时，即点 都在中线 上，所以 经过三角形的重心，
若 四点不共线时， ，且 ，连结 ，交于点 ，
如图，
，即点 是三角形的重心，即 经过 的重心，
综上可知， 经过 的重心.
故选：A
题型三：内心定理
【典例3-1】已知 为 的内心， ，且满足 ，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】设 内切圆半径为r，延长 交 于D，则 ，即 ，
由 三点共线，得 ，
，， .
当 ，即 ，亦即 时等号成立，故 .
故答案为： .
【典例3-2】在△ABC中， ，若O为内心，且满足 ，则x+y的最大值为 ．
【答案】
【解析】延长AO交BC于D，设BC与圆O相切于点E，AC与圆O相切于点F，则OE＝OF，则 ，
设 ，
因为B、C、D三点共线，
所以 ，即
，
因为 ， ，所以 ，
所以 ．
故答案是：【变式3-1】已知点O是边长为 的等边△ABC的内心，则 ＝ ．
【答案】 1
【解析】设D为BC的中点，因为点O是边长为 的等边△ABC的内心，
所以 ， ， 两两夹角为120°，
且| |＝| |＝| | |AD| ．
所以
＝2 2
＝ 1.
故答案为： 1．
【变式3-2】（2024·高三·山东聊城·期中）已知 是 的内心， ， ， ，则
．
【答案】36
【解析】如图所示：
以 为圆心作 的内切圆，分别与 、 、 相切于点 、 、 ，
设 ，
根据切线长定理得 ，
,
,所以 ，
即 ，解得 ，即 ，
由题意可得 ,
所以 ，
所以 ,
.
故答案为：36.
【变式3-3】已知 中， ， ， ，I是 的内心，P是 内部（不含边界）
的动点.若 （ ， ），则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】建立如图所示平面直角坐标系，则
，
因为 是三角形 的内心，设三角形 内切圆半径为 ，
则 ，解得 .
所以 ， .
依题意点 在三角形 的内部（不含边界）.
因为 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，
则 ，
由图可知，当 过 时， .
当 ，过 ，即为直线 时， .
所以 的取值范围时 .故答案为：
题型四：外心定理
【典例4-1】已知点 在 所在平面内，满足 ，则点 是 的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【答案】A
【解析】因为 ，即点 到 的距离相等，
所以点 是 的外心.
故选：A
【典例4-2】 为 所在平面内一点，且满足 ，则 是
的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】依题意， ，
，
，
则 ，于是 ，
所以 是 的外心.
故选：B【变式4-1】（2024·天津北辰·三模）在 中， ， 为 外心，且 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由O为△ABC外心，可得 在 方向上的投影向量为 ，
则 ，故 ，
又 ，设 ，
则
，
当且仅当 时等号成立，
由 可知， ，
故 的最大值为 ．
故选：A．
【变式4-2】在 中， ， 是 的外心， 为 的中点， ， 是直线
上异于 、 的任意一点，则 （ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
【答案】B
【解析】因为 是 的外心， 为 的中点，设 的中点为 ，连接 ，
所以 ， ，设 ，
则
，又 是 的外心，所以
，
所以 .
故选：B
【变式4-3】已知O为 的外心， ，则 （ ）
A．8 B．10 C．12 D．1
【答案】A
【解析】如图，O为 的外心，过 作 于
因为 ，所以
则 .
故选：A.
【变式4-4】在 中， ，O是 的外心，则 的最大值为
【答案】3
【解析】由题知，记 的三边为 ，
因为O是 的外心，记 中点为 ，
则有 ，所以 且 ，
所以①，
在 中，由余弦定理得： ，
即 ，即 ，
代入①中可得： ，
在 中，由正弦定理得： ，所以 ，
所以 ，
当 时取等，
故 的最大值为3．
故答案为：3
【变式4-5】已知 内一点 是其外心， ，且 ，则 的最
大值为 ．
【答案】 /0.75
【解析】如图所示，延长 交 于 ，
令 ，
∵ ， ， 三点共线，
∴ ，
∴ 取最大值时， 取最大值，则 ，∵ 为外接圆的半径（定值），
∴当 取得最小时， 取最大值，此时 ，
∴ 为等腰三角形，且 ，
∴ ，则 ， ， ，
∵ ， ，
∴ ．
故答案为：
【变式4-6】在 中， ， ， 为 的外心， ， ， 分别为 ， ， 的
中点，且 ，则 .
【答案】
【解析】如图，
设 的外接圆半径为 ，由正弦定理 ，则 ，
又因为 ， ， 分别为 ， ， 的中点，
所以 ， ， ，
三式平方相加可得 ，
又因为 ，代入得结果为 .故答案为： .
题型五：垂心定理
【典例5-1】已知 的垂心为点 ，面积为15，且 ，则 ；若 ，
则 .
【答案】 30 5
【解析】如图，
是 的 边上的高，则 ；设 ，
因为 ，面积为15，所以 ，即 ；
.
由第一空可知 ，所以 ；
所以 ，由 可得 ，即 ；
因为 ，
所以 ，
.
故答案为：30;5.
【典例5-2】若 是 的垂心，且 ，则 的值为 ．
【答案】 /
【解析】由 ，得 ，所以 ，故垂心 在中线上，即高线与中线重合，故 ，
又 ，所以 ，
又因为 ， ，得 ，
所以 ，即 ，
得到 ，由余弦定理得 ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 ,
得到 ．
故答案为： .
【变式5-1】在 中，三个内角分别为A，B，C， ， ， ，H为 的垂心．若
，则 ．
【答案】
【解析】因为 ， ， ，所以 ，
由余弦定理可得 ，
由 以及 为锐角，可得 ，故 ．
同理， ．于是 ．
接下来证明定理4：O是 （非直角三角形）的垂心 ．
证明：O是 （非直角三角形）的垂心，
由定理4得 ，
故 ，
化简得 ．所以 ．
故答案为：
【变式5-2】已知 为 的垂心（三角形的三条高线的交点），若 ，则
.
【答案】 /
【解析】因为 ，
所以 ，同理 ，
由H为△ABC的垂心，得 ，即 ，
可知 ，即 ，
同理有 ，即 ，可知 ，即 ，
所以 ， ，又 ，所以 ．
故答案为： .
【变式5-3】已知在 中， ，点 为 的垂心，则 = ．
【答案】18
【解析】延长 交 于点 ，
因为 ，点 为 的垂心，
所以 为 的中点， ，
所以
，
故答案为：18
1．已知 是 内部的一点， ，则 的面积与 的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】
如图，延长 交 于 点，设 ，
易知 ，可得 ，
又 ，得 ，故 ，
可知 ，
同理 ，可得 ，
结合可得 ，
整理得 成立，
而由题意得 ，故 ，
设即 ， ，故 ，故C正确.
故选：C
2．（2024·四川南充·三模）已知点P在 所在平面内，若 ，
则点P是 的（ ）
A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心
【答案】D
【解析】在 中，由 ，得 ，
即 ，由 ，同理得 ，
显然 ，即 与 不重合，否则 ，同理 ，
则 ，即 ， ，
于是 平分 ，同理 平分 ，
所以点P是 的内心.
故选：D3．已知G，O，H在 所在平面内，满足 ， ，
，则点G，O，H依次为 的（ ）
A．重心，外心，内心 B．重心、内心，外心
C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心
【答案】C
【解析】
因为 ，所以 ，
设AB的中点D，则 ，所以 ，
所以C，G，D三点共线，即G为 的中线CD上的点，且 ，
所以G为 的重心．
因为 ，所以 ，所以O为 的外心；
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，同理可得： ， ，所以H为 的垂心.
故选：C.
4．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：
，则直线AP一定通过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】C
【解析】取线段BC的中点E，则 ，
动点P满足： ，
则 ，则 ，所以 ，
又 为两向量的公共起点，所以 三点共线，所以直线 一定通过 的重心．
故选：C．
5．已知点A、B、C是平面上不共线的三点，点 为 的外心，动点 满足条件：
( ， )，则点 的轨迹一定通过 的（ ）．
A．内心 B．垂心 C．重心 D． 边的中点
【答案】D
【解析】取 的中点D，连接 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
则 ，即
P，C，D三点共线，
∴
因为 ，所以 ，
于是点P的轨迹一定经过 边的中点．
故选：D.
6．（2024·全国·模拟预测）已知点 是 的重心，过点 的直线与边 分别交于 两点，
为边 的中点．若 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】如图所示，由三角形重心的性质，可得 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 三点共线，可得 ，所以 .
故选：A．7．已知 ， ， ， 是平面上的4个定点， ， ， 不共线，若点 满足 ，其
中 ，则点 的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A
【解析】取线段 的中点 ，则 .
动点 满足： ， ，
则 ，即 ，所以 ，
又 ，所以 三点共线，即点 的轨迹是直线 ，
一定通过 的重心.
故选：A.
8．已知 的重心为 ，则向量 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 分别是 的中点，
由于 是三角形 的重心，
所以 .故选：B.
9．已知 的重心为O，若向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图，设E是 的中点，由于O是三角形 的重心，
所以 ．
则 .
故选:D．
10．已知在 中， 为 的垂心， 是 所在平面内一点，且 ，则以下正确的
是 （ ）
A．点 为 的内心 B．点 为 的外心
C． D． 为等边三角形
【答案】B
【解析】在 中，由 为 的垂心，得 ，
由 ，得 ，
则 ，即 ，又 ，
显然 ，同理得 ，因此点 为 的外心，B正确，无判断ACD成立的条件.
故选：B
11．已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ，
，则 的轨迹一定通过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A
【解析】由题意 ，当 时，如图可知：点 在 边上的中线所在直线上，∴动点 的轨迹一定通过 的重心，
故选：A．
12．在 中，动点P满足 ，则P点轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，
设 的中点为 ，则 ，则 ，
所以 ，所以点P在线段AB的中垂线上，故点P的轨迹过 的外心.
故选：A
13．（多选题）（2024·高三·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向
量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具
体内容是：已知M是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，且
．以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则M为 的重心
B．若M为 的内心，则C．若M为 的垂心， ，则
D．若 ， ，M为 的外心，则
【答案】ABC
【解析】A选项，因为 ，所以 ，
取 的中点 ，则 ，所以 ，
故 三点共线，且 ，
同理，取 中点 ， 中点 ，可得 三点共线， 三点共线，
所以M为 的重心，A正确；
B选项，若M为 的内心，可设内切圆半径为 ，
则 ， ， ，
所以 ，
即 ，B正确；
C选项，若M为 的垂心， ，
则 ，
如图， ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，相交于点 ，
又 ，
，即 ，
，即 ，
，即 ，
设 ， ， ，则 ， ， ，因为 ， ，
所以 ，即 ，
同理可得 ，即 ，故 ，
，则 ，
故 ，
，则 ，
故 ，
，
故 ，
同理可得 ，
故 ，C正确；
D选项，若 ， ，M为 的外心，
则 ，
设 的外接圆半径为 ，故 ，
，
故 ， ， ，
所以 ，D错误.故选：ABC
14．（多选题）（2024·江苏南京·二模）已知 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为
的重心， ， ，则（ ）
A． B．
C． 的面积的最大值为 D． 的最小值为
【答案】ABC
【解析】
延长 交 于点 .
因为 是 的重心，
所以点 是 中点， ，
则 .
对于选项A：因为 ，故选项A正确；
对于选项B：由 得： ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
又因为 ，即 ， ，
所以 ，
即 ，当且仅当 时等号成立，故选项B正确；对于选项C：因为 ，当且仅当 时等号成立，
，
所以 ，故选项C正确；
对于选项D：由 ， ，
得 ，
所以由余弦定理 可得：
，即 ，当且仅当 时
等号成立，
所以 的最小值是 ，故选项D错误.
故选：ABC.
15．（多选题）（2024·辽宁·二模） 的重心为点 ，点O，P是 所在平面内两个不同的点，满
足 ，则（ ）
A． 三点共线 B．
C． D．点 在 的内部
【答案】AC
【解析】
，
因为点 为 的重心，
所以 ，所以 ，
所以 三点共线，故A正确，B错误；
，
因为 ，
所以 ，即 ，故C正确；
因为 ，
所以点 的位置随着点 位置的变化而变化，故点 不一定在 的内部，故D错误；
故选：AC．
16．（多选题）已知点 是 所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（ ）A．若 ，则 为 的重心
B．若 ，则 为 的内心
C．若 为 的重心， 是 边上的中线，则
D．若 ，则
【答案】AD
【解析】取 的中点 ，连接 ，则 ，
若 ，则 ，则 三点共线，且 ，
则 为 的重心，故A正确；
若 ，则 为 的外心，不一定是内心，故B错误；
若 为 的重心， 是 边上的中线，则 ，则 ，故C错误；
取 的中点 ，连接 ，则 ，
若 ，则 ，则 三点共线，且 ，
则 ，故D正确.
故选：AD.
17．（多选题）点O为 所在平面内一点，则（ ）
A．若 ，则点O为 的重心
B．若 ，则点O为 的内心C．若 ，则点O为 的垂心
D．在 中，设 ，那么动点O的轨迹必通过 的外心
【答案】ABD
【解析】对于A中，由点O为 所在平面内一点，且 ，可得 ，
则以 为邻边作平行四边形 ，可得 ，且 ，
设 ，根据平行四边形法则，可得 为 的中点，即 为 上的中线，
同理可证：延长 也过 的中点，所以 为 的重心，所以A正确；
对于B中，由向量 表示 方向的单位向量 ， 表示 方向的单位向量 ，
可得四边形 是菱形，则 ，
因为 ，
所以 ，即 ，即 和 共线，即 是 的角平分线，
同理可得 是 的角平分线，即 是 的内心，所以B正确.
对于C中，如图所示，取 分别为 的中点，
根据向量的平行四边形法则，可得 ，
因为 ，可得 ，
所以 ，所以点 在线段 的垂直平分线上，
所以点 为 的外心，所以C不正确；对于D中，由 ,
因为 ，可得 ，
即 ，
设 为 的中点，可得 ，
所以 ，即 ，且 为 的中点，
所以动点O的轨迹必通过 的外心，所以D正确.
故选：ABD.
18．（多选题）已知 ， 在 所在的平面内，且满足 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A． 为 的外心
B． 为 的垂心
C． 为 的内心
D． 为 的重心
【答案】BD
【解析】由题意 ，
所以 ，
即 ＝0，所以 ，
同理可得： ， ，
所以M为 的垂心；A错误,B正确；
因为 所以 ，
所以 ，
设AB的中点D，则 ，
所以 ，
所以C，N，D三点共线，即N为 的中线CD上的点，且 ，
所以N为 的重心,C错误,D正确.
故选:BD.19．（多选题）在 中，角 的对边分别为 ， 为 的外心，则（ ）
A．若 有两个解，则
B． 的取值范围为
C． 的最大值为9
D．若 为平面上的定点，则A点的轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】对于A，由正弦定理 ，得 ，
有两解的情形为 ，且 ，则 ，故A正确；
对于B，由正弦定理 ，得外接圆半径 ，
由正弦定理知A点在以 为圆心半径为 的优弧上运动， ，
于是 ，故B正确；
对于C，法一：用投影向量求当 在 上的投影向量的模最大，且与 同向时，取得 的最大值，
此时 ，
设 为 的中点，则 ，
在 上的投影向量的模为 ， 最大值为 ，故
C错误；
法二：转化到圆心： ，故C错误；
对于D，如下图，由正弦定理知A点在以 为圆心半径为 的优弧上运动，由两段优弧拼接成，每段优弧
所对圆心角为 ，
所以A点的轨迹长度为 ，故D正确．故选：ABD.
20．设M为 内一点，且 ，则 与 的面积之比为 ．
【答案】 /0.25
【解析】在 取中点 ，
则 ，
可知点 为 的中点，
可得 ，即 ，
所以 与 的面积之比为 .
故答案为： .
21．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与
三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若 是 内一点，
的面积分别为 ，则有 .已知 为 的内心，且
，若 ，则 的最大值为 .【答案】
【解析】因为 的内心 到该三角形三边的距离相等，则 ，
由 可得 ，所以 ，
又 ，
则 ，所以 ，
两式相加可得 ，化简可得 ，
又 ，由余弦定理可得 ，
由基本不等式可得 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 .
故答案为： .
22．我校高一同学发现：若 是 内的一点， 、 、 的面积分别为 、 、 ，则
存在结论 ，这位同学利用这个结论开始研究：若 为 内的一点且为内心，
的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ，若 ，则 的最大值为
.
【答案】
【解析】因为 的内心 到该三角形三边的距离相等，则 ，
由 可得 ，所以， ，
因为 ，则 ，所以， ，
所以， ，可得 ，
因为 ，由余弦定理可得 ，
由基本不等式可得 ，
所以， ，当且仅当 时，等号成立，
所以， .
故答案为： .
23．已知点 为 内一点， ，则 的面积之比为 ．
【答案】
【解析】先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量的数乘运算的几何意义，
三角形面积公式，确定面积比.因为 ，所以 ，
设 为 中点， 为 中点，因为 ，
可得 ，所以 三点共线，且 ，
为三角形 的中位线
所以 ，
而 ，所以 的面积之比等于
故答案为：24．已知点 在 所在的平面内，则下列各结论正确的个数是 ．
①若 为 的垂心， ．则
②若 为边长为2的正三角形，则 的最小值为
③若 ，则动点 的轨迹经 的外心
④若 为 的重心，过点 的直线 分别与 、 交于 、 两点，若 ， ，则
【答案】①③④
【解析】对于①， 为 的垂心，则 ，又 ，
所以 ，所以①正确；
对于②，取 的中点 ，连接 ，以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴，建立平面直
角坐标系，
则 ， ， ，设 ，
则
，故当 ， 时，
取得最小值，
最小值为 ，所以②错误；
对于③， ，
，
所以 ，
如图，设 是 的中点，则 ，
故 ，
即 ，
故则动点 的轨迹经过 的外心，所以③正确；
对于④，
由 ， ， 三点共线，设 ，
由 ， ，
所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以④正确.
故答案为：①③④.
25．点O是平面 上一定点，A，B，C是平面 上 的三个顶点， ， 分别是边AC，AB的对
角.有以下四个命题：
①动点P满足 ，则 的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足 ，则 的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足 ，则 的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足 ，则 的垂心一定在满足条件的P点集合中.
其中正确命题的个数为 .
【答案】2
【解析】①当动点P满足 时，
则点P是 的重心，所以①不正确；
②显然 在 的角平分线上，而 与 的平分线所在向量共线，
所以 的内心一定在满足条件的点P集合中，因此②正确；
③ 变形为 ，
而 ， 表示点A到 边的距离，设为 ，
所以 ，而 表示 边的中线向量，
所以 表示 边的中线向量，
因此 的重心一定在满足条件的P点集合中，所以③正确；④当 时， 的垂心与点A重合，但显然此时垂心点P不满足公式，所以④不正确；
故答案为：2.
26．点 是平面上一定点， 、 、 是平面上 的三个顶点， 、 分别是边 、 的对角，
以下命题正确的是 （把你认为正确的序号全部写上）．
①动点 满足 ，则 的重心一定在满足条件的 点集合中；
②动点 满足 ，则 的内心一定在满足条件的 点集合中；
③动点 满足 ，则 的重心一定在满足条件的 点集合中；
④动点 满足 ，则 的垂心一定在满足条件的 点集合中；
⑤动点 满足 ，则 的外心一定在满足条件的 点集合中．
【答案】①②③④⑤
【解析】对于①，因为动点 满足 ，
，
则点 是 的重心，故①正确；
对于②，因为动点 满足 ，
，
又 在 的平分线上，
与 的平分线所在向量共线，
所以 的内心在满足条件的 点集合中，②正确；
对于③，动点 满足 ，
， ，
过点 作 ，垂足为 ，则 ，
，向量 与 边的中线共线，
因此 的重心一定在满足条件的 点集合中，③正确；
对于④，动点 满足 ，
，，
，
所以 的垂心一定在满足条件的 点集合中，④正确；
对于⑤，动点 满足 ，
设 ，
则 ，
由④知 ，
，
，
点的轨迹为过 的 的垂线，即 的中垂线；
所以 的外心一定在满足条件的 点集合，⑤正确．
故正确的命题是①②③④⑤．
故答案为：①②③④⑤．
27．（2024·浙江宁波·模拟预测）在 中，点O、点H分别为 的外心和垂心， ，
则 .
【答案】8
【解析】 ，
，
因为H为垂心，
所以 ， ，
设 ，外接圆的半径为 ，
由余弦定理得 ，
，
，
同理 ，
，
，
所以 ，，
，
，
，
，
所以 8，
故答案为：8
28．设H是 的垂心，且 ，则 ．
【答案】
【解析】∵H是 的垂心，
∴ ， ，
∴ ，同理可得， ，
故 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，同理可求得 ，
∴ ， ，
∴ ，即 .
故答案为： ．
29．在 中， ， ， 为 的垂心，且满足 ，则 .
【答案】
【解析】如图所示， 为 的中点，不妨设 ，则 .因为 ，则
，则 ， ，由此可得 .故答案为： .
30．（2024·全国·模拟预测）已知 的外心、垂心分别为 ， ， ，则 .
【答案】1
【解析】不妨设 为锐角三角形，
取 的中点 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，
设 交 于点 ，延长 ，交 于点 ，
则 为 的中点，可得 .
取 的中点 ，连接 ，则 ，则 .
连接 ， ，由 ， 为 的中点，可得 为 的中点，则 ，连接 ，延长 ，
交 于点 ，则 ，可得 ，
因此四边形 为平行四边形，
则 ，则 .
故答案为：
