文档内容
重难点突破 01 奔驰定理与四心问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：奔驰定理................................................................................................................................3
题型二：重心定理................................................................................................................................5
题型三：内心定理................................................................................................................................6
题型四：外心定理................................................................................................................................6
题型五：垂心定理................................................................................................................................7
03 过关测试...........................................................................................................................................8技巧一．四心的概念介绍：
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点．
已 知 的 顶 点 ， ， ， 则 △ ABC 的 重 心 坐 标 为
．
注意：（1）在 中，若 为重心，则 ．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示： ．
奔驰定理： ，则 、 、 的面积之比等于
奔驰定理证明：如图，令 ，即满足
， ， ，故 ．
技巧三．三角形四心与推论：
（1） 是 的重心： ．
（2） 是 的内心： ．
（3） 是 的外心：
．
（4） 是 的垂心：．
技巧四．常见结论
（1）内心：三角形的内心在向量 所在的直线上．
为 的内心．
（2）外心： 为 的外心．
（3）垂心： 为 的垂心．
（4）重心： 为 的重心．
题型一：奔驰定理
【典例1-1】已知 为 内一点，且满足 ，若 的面积与 的面积的比值
为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
【典例1-2】点 在 的内部，且满足： ，则 的面积与 的面积之比是
（ ）
A． B．3 C． D．2
【变式1-1】设 是 内一点，且 ，定义 ，其中 分
别是 的面积，若 ，则 的最小值是（ ）
A． B．18 C．16 D．9【变式1-2】设 ，过 作直线 分别交 （不与端点重合）于 ，若 ，
，若 与 的面积之比为 ，则
A． B． C． D．
【变式1-3】（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的
结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是
内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，且 ．
以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则M为 的重心
B．若M为 的内心，则
C．若 ， ，M为 的外心，则
D．若M为 的垂心， ，则
【变式1-4】（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与
“奔驰”轿车的 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 是 内的一点， ，
， 的面积分别为 ，则有 .设 是锐角 内的一点，
， ， 分别是 的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 ，则
C．若 ， ， ，则D．若 为 的垂心，则
题型二：重心定理
【典例2-1】已知 是 所在平面内一定点，动点 满足
，则动点 的轨迹一定过 的 .（选填：外心、内
心、垂心、重心）
【典例2-2】（2024·高三·陕西渭南·期末）如图所示， 中 为重心， 过 点， ，
，则 ．
【变式2-1】（2024·陕西西安·模拟预测）在平行四边形 中， 为 的重心， ，
则 ．
【变式2-2】（2024·高三·上海普陀·期中）在 中，过重心 的直线交边 于点 ，交边 于点
（ 、 为不同两点），且 ， ，则 的取值范围为 .
【变式2-3】在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，设 分别
是 的外心和重心，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2024·全国·二模）点 是 所在平面内两个不同的点，满足 ，则
直线 经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心题型三：内心定理
【典例3-1】已知 为 的内心， ，且满足 ，则 的最大值为 .
【典例3-2】在△ABC中， ，若O为内心，且满足 ，则x+y的最大值为 ．
【变式3-1】已知点O是边长为 的等边△ABC的内心，则 ＝ ．
【变式3-2】（2024·高三·山东聊城·期中）已知 是 的内心， ， ， ，则
．
【变式3-3】已知 中， ， ， ，I是 的内心，P是 内部（不含边界）
的动点.若 （ ， ），则 的取值范围是 .
题型四：外心定理
【典例4-1】已知点 在 所在平面内，满足 ，则点 是 的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【典例4-2】 为 所在平面内一点，且满足 ，则 是
的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【变式4-1】（2024·天津北辰·三模）在 中， ， 为 外心，且 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】在 中， ， 是 的外心， 为 的中点， ， 是直线上异于 、 的任意一点，则 （ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
【变式4-3】已知O为 的外心， ，则 （ ）
A．8 B．10 C．12 D．1
【变式4-4】在 中， ，O是 的外心，则 的最大值为
【变式4-5】已知 内一点 是其外心， ，且 ，则 的最
大值为 ．
【变式4-6】在 中， ， ， 为 的外心， ， ， 分别为 ， ， 的
中点，且 ，则 .
题型五：垂心定理
【典例5-1】已知 的垂心为点 ，面积为15，且 ，则 ；若 ，
则 .
【典例5-2】若 是 的垂心，且 ，则 的值为 ．
【变式5-1】在 中，三个内角分别为A，B，C， ， ， ，H为 的垂心．若
，则 ．
【变式5-2】已知 为 的垂心（三角形的三条高线的交点），若 ，则
.
【变式5-3】已知在 中， ，点 为 的垂心，则 = ．1．已知 是 内部的一点， ，则 的面积与 的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川南充·三模）已知点P在 所在平面内，若 ，
则点P是 的（ ）
A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心
3．已知G，O，H在 所在平面内，满足 ， ，
，则点G，O，H依次为 的（ ）
A．重心，外心，内心 B．重心、内心，外心
C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心
4．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：
，则直线AP一定通过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．已知点A、B、C是平面上不共线的三点，点 为 的外心，动点 满足条件：
( ， )，则点 的轨迹一定通过 的（ ）．
A．内心 B．垂心 C．重心 D． 边的中点
6．（2024·全国·模拟预测）已知点 是 的重心，过点 的直线与边 分别交于 两点，
为边 的中点．若 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
7．已知 ， ， ， 是平面上的4个定点， ， ， 不共线，若点 满足 ，其
中 ，则点 的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心8．已知 的重心为 ，则向量 （ ）
A． B．
C． D．
9．已知 的重心为O，若向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．已知在 中， 为 的垂心， 是 所在平面内一点，且 ，则以下正确的
是 （ ）
A．点 为 的内心 B．点 为 的外心
C． D． 为等边三角形
11．已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ，
，则 的轨迹一定通过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
12．在 中，动点P满足 ，则P点轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
13．（多选题）（2024·高三·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向
量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具
体内容是：已知M是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，且
．以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则M为 的重心
B．若M为 的内心，则
C．若M为 的垂心， ，则
D．若 ， ，M为 的外心，则
14．（多选题）（2024·江苏南京·二模）已知 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为
的重心， ， ，则（ ）A． B．
C． 的面积的最大值为 D． 的最小值为
15．（多选题）（2024·辽宁·二模） 的重心为点 ，点O，P是 所在平面内两个不同的点，满
足 ，则（ ）
A． 三点共线 B．
C． D．点 在 的内部
16．（多选题）已知点 是 所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 ，则 为 的内心
C．若 为 的重心， 是 边上的中线，则
D．若 ，则
17．（多选题）点O为 所在平面内一点，则（ ）
A．若 ，则点O为 的重心
B．若 ，则点O为 的内心
C．若 ，则点O为 的垂心
D．在 中，设 ，那么动点O的轨迹必通过 的外心
18．（多选题）已知 ， 在 所在的平面内，且满足 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A． 为 的外心
B． 为 的垂心
C． 为 的内心
D． 为 的重心
19．（多选题）在 中，角 的对边分别为 ， 为 的外心，则（ ）
A．若 有两个解，则
B． 的取值范围为
C． 的最大值为9D．若 为平面上的定点，则A点的轨迹长度为
20．设M为 内一点，且 ，则 与 的面积之比为 ．
21．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与
三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若 是 内一点，
的面积分别为 ，则有 .已知 为 的内心，且
，若 ，则 的最大值为 .
22．我校高一同学发现：若 是 内的一点， 、 、 的面积分别为 、 、 ，则
存在结论 ，这位同学利用这个结论开始研究：若 为 内的一点且为内心，
的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ，若 ，则 的最大值为
.
23．已知点 为 内一点， ，则 的面积之比为 ．
24．已知点 在 所在的平面内，则下列各结论正确的个数是 ．
①若 为 的垂心， ．则
②若 为边长为2的正三角形，则 的最小值为
③若 ，则动点 的轨迹经 的外心
④若 为 的重心，过点 的直线 分别与 、 交于 、 两点，若 ， ，则
25．点O是平面 上一定点，A，B，C是平面 上 的三个顶点， ， 分别是边AC，AB的对
角.有以下四个命题：
①动点P满足 ，则 的外心一定在满足条件的P点集合中；②动点P满足 ，则 的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足 ，则 的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足 ，则 的垂心一定在满足条件的P点集合中.
其中正确命题的个数为 .
26．点 是平面上一定点， 、 、 是平面上 的三个顶点， 、 分别是边 、 的对角，
以下命题正确的是 （把你认为正确的序号全部写上）．
①动点 满足 ，则 的重心一定在满足条件的 点集合中；
②动点 满足 ，则 的内心一定在满足条件的 点集合中；
③动点 满足 ，则 的重心一定在满足条件的 点集合中；
④动点 满足 ，则 的垂心一定在满足条件的 点集合中；
⑤动点 满足 ，则 的外心一定在满足条件的 点集合中．
27．（2024·浙江宁波·模拟预测）在 中，点O、点H分别为 的外心和垂心， ，
则 .
28．设H是 的垂心，且 ，则 ．
29．在 中， ， ， 为 的垂心，且满足 ，则 .
30．（2024·全国·模拟预测）已知 的外心、垂心分别为 ， ， ，则 .
