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专题 08 数列
1．【2020年高考全国II卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有
一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一
层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层
多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
【解析】设第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，
则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ，
设 为 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为 ，因为下层比中层多729块，
所以 ，
即
即 ，解得 ，
所以 .
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
2．【2020年高考北京】在等差数列 中， ， ．记 ，则数列A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】B
【解析】由题意可知，等差数列的公差 ，
则其通项公式为： ，
注意到 ，
且由 可知 ，
由 可知数列 不存在最小项，
由于 ，
故数列 中的正项只有有限项： ， .
故数列 中存在最大项，且最大项为 .
故选：B．
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，
属于中等题.
3．【2020 年高考浙江】已知等差数列{a}的前 n 项和为 S ，公差 ，且 ．记 ，
n n
， ，下列等式不可能成立的是
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】对于A，因为数列 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由 可得，
，A正确；
对于B，由题意可知， ， ，
∴ ， ， ， ．
∴ ， ．
根据等差数列的下标和性质，由 可得
，B正确；
对于C， ，
当 时， ，C正确；
对于D， ，
，
．
当 时， ，∴ 即 ；
当 时， ，∴ 即 ，所以 ，D不正确．
.
故选：D.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．
4．【2020年高考浙江】我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列
就是二阶等差数列．数列 的前3项和是_______．
【答案】【解析】因为 ，所以 ．
即 ．
故答案为： .
【点睛】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．
5．【2020年高考江苏】设{a}是公差为d的等差数列，{b}是公比为q的等比数列．已知数列{a+b}的前
n n n n
n项和 ，则d+q的值是 ▲ ．
【答案】
【解析】设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，根据题意 .
等差数列 的前 项和公式为 ，
等比数列 的前 项和公式为 ，
依题意 ，即 ，
通过对比系数可知 ，故 .
故答案为： .
【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前 项和公式，属于中档题.
6．【2020年高考山东】将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{a}，则{a}的前n项和为
n n
________．
【答案】【解析】因为数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列 是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以 的前 项和为 ，
故答案为： .
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，
等差数列求和公式，属于简单题目.
7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】
设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
(1)求 的公比；
(2)若 ，求数列 的前 项和．
【解析】(1)设 的公比为 ，由题设得 即 .
所以 解得 (舍去)， .
故 的公比为 .
(2)设 为 的前n项和.由(1)及题设可得， .所以
，
.
可得所以 .
8．【2020年高考全国III卷理数】设数列{a}满足a=3， ．
n 1
(1)计算a，a，猜想{a}的通项公式并加以证明；
2 3 n
(2)求数列{2na}的前n项和S．
n n
【解析】(1) 猜想 由已知可得
，
，
……
.
因为 ，所以
(2)由(1)得 ，所以
. ①
从而
.②
得
，
所以
9．【2020年高考江苏】已知数列 的首项a=1，前n项和为S ．设λ与k是常数，若对一切正
1 n整数n，均有 成立，则称此数列为“λ～k”数列．
(1)若等差数列 是“λ～1”数列，求λ的值；
(2)若数列 是“ ”数列，且 ，求数列 的通项公式；
(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 为“λ～3”数列，且 ？若存在，求λ的取值范围；
若不存在，说明理由．
【解析】(1)因为等差数列 是“λ～1”数列，则 ，即 ，
也即 ，此式对一切正整数n均成立．
若 ，则 恒成立，故 ，而 ，
这与 是等差数列矛盾．
所以 ．(此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列)
(2)因为数列 是“ ”数列，
所以 ，即 ．
因为 ，所以 ，则 ．
令 ，则 ，即 ．
解得 ，即 ，也即 ，
所以数列 是公比为4的等比数列．因为 ，所以 ．则
(3)设各项非负的数列 为“ ”数列，
则 ，即 ．
因为 ，而 ，所以 ，则 ．
令 ，则 ，即 ．(*)
①若 或 ，则(*)只有一解为 ，即符合条件的数列 只有一个．
(此数列为1，0，0，0，…)
②若 ，则(*)化为 ，
因为 ，所以 ，则(*)只有一解为 ，
即符合条件的数列 只有一个．(此数列为1，0，0，0，…)
③若 ，则 的两根分别在(0，1)与(1，+∞)内，
则方程(*)有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1(记此解为t)．
所以 或 ．
由于数列 从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列 有无数多个，则对应的
有无数多个．
综上所述，能存在三个各项非负的数列 为“ ”数列， 的取值范围是 ．
10．【2020年高考山东】已知公比大于 的等比数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 ．
【解析】(1)设 的公比为 ．由题设得 ， ．
解得 (舍去)， ．由题设得 ．
所以 的通项公式为 ．
(2)由题设及(1)知 ，且当 时， ．
所以
．
11．【2020年高考天津】
已知 为等差数列， 为等比数列， ．
(Ⅰ)求 和 的通项公式；
(Ⅱ)记 的前 项和为 ，求证： ；
(Ⅲ)对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
【解析】(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ．由 ， ，
可得 ，从而 的通项公式为 ．由 ，又 ，可得，解得 ，从而 的通项公式为 ．
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得 ，故 ， ，
从而 ，所以 ．
(Ⅲ)解：当 为奇数时， ；当 为偶数时，
．
对任意的正整数 ，有 ，
和 ． ①
由①得 ． ②
由①②得 ，从而得 ．
因此， ．
所以，数列 的前 项和为 ．
12．【2020年高考浙江】已知数列{a}，{b}，{c}满足 ．
n n n(Ⅰ)若{b}为等比数列，公比 ，且 ，求q的值及数列{a}的通项公式；
n n
(Ⅱ)若{b}为等差数列，公差 ，证明： ．
n
【解析】(Ⅰ)由 得 ，解得 ．
由 得 ．
由 得 ．
(Ⅱ)由 得 ，
所以 ，
由 ， 得 ，因此 ．
13．【2020年高考北京】已知 是无穷数列．给出两个性质：
①对于 中任意两项 ，在 中都存在一项 ，使 ；
②对于 中任意项 ，在 中都存在两项 ．使得 ．
(Ⅰ)若 ，判断数列 是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若 ，判断数列 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： 为等比数列.
【解析】
(Ⅰ) 不具有性质①；(Ⅱ) 具有性质①；
具有性质②；
(Ⅲ)【解法一】
首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：
显然 ，假设数列中存在负项，设 ，
第一种情况：若 ，即 ，
由①可知：存在 ，满足 ，存在 ，满足 ，
由 可知 ，从而 ，与数列的单调性矛盾，假设不成立.
第二种情况：若 ，由①知存在实数 ，满足 ，由 的定义可知： ，
另一方面， ，由数列 单调性可知： ，
的
这与 的定义矛盾，假设不成立.
同理可证得数列中的项数恒为负数.
综上可得，数列中的项数同号.
其次，证明 ：
利用性质②：取 ，此时 ，
由数列的单调性可知 ，而 ，故 ，
此时必有 ，即 ，
最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：
假设数列 的前 项成等比数列，不妨设 ，
的
其中 ，( 情况类似)
由①可得：存在整数 ，满足 ，且 (*)
由②得：存在 ，满足： ，由数列的单调性可知： ，
由 可得： (**)
由(**)和(*)式可得： ，
结合数列的单调性有： ，
注意到 均为整数，故 ，
代入(**)式，从而 .
总上可得，数列 的通项公式为： .
即数列 为等比数列.
【解法二】假设数列中的项数均为正数：
首先利用性质②：取 ，此时 ，
由数列的单调性可知 ，而 ，故 ，
此时必有 ，即 ，
即 成等比数列，不妨设 ，
然后利用性质①：取 ，则 ，
即数列中必然存在一项的值为 ，下面我们来证明 ，
否则，由数列的单调性可知 ，
在性质②中，取 ，则 ，从而 ，
与前面类似的可知则存在 ，满足 ，
若 ，则： ，与假设矛盾；
若 ，则： ，与假设矛盾；
若 ，则： ，与数列的单调性矛盾；
即不存在满足题意的正整数 ，可见 不成立，从而 ，
同理可得： ，从而数列 为等比数列，
同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.
由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.
从而题中的结论得证，数列 为等比数列.【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、
不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.
1．【2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期第二次“战疫”线上测试数学】在等差数列 中，若
， ，则 和 的等比中项为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意得： ，所以 ， ，
所以 . ，
所以 和 的等比中项为 .
故选A．
2．【河北省正定中学2019-2020学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】把100个面包分给5个人，使
每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，则最小一份的量为
A．5 B． C． D．10
【答案】C
【解析】设最小的一份为 ,公差为d,由题意可得 ,且 ，
解得 ,
故选C．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式的计算以及等差数列前n项和公式的应用，属于基础题. 基本元的思想是
在等差数列中有5个基本量 ，列出方程组，可求得数列中的量.
3．【湘赣粤2020届高三(6月)大联考】已知数列 的前n项和为 ， ，
，则数列 的通项公式为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为数列 的前 项和为 ， ， ，
当 时， ；
把 代入检验，只有答案AB成立，排除CD；
当 时， ；排除B．
故选A ．
【点睛】
本题主要考查数列递推关系式的应用以及排除法在选择题中的应用，属于基础题．4．【广东省深圳外国语学校2020届高三下学期4月综合能力测试数学】已知等比数列 的前 项和为
，若 ， ，则
A． B． C． D．6
【答案】A
【解析】设等比数列 的首项为 ，公比为 ，
因为 且 ，
所以 ，解得 或 ，
当 ， 时， ；
当 ， 时， .
所以 .
故选A．
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式和前 项和公式，考查学生对公式的熟练程度及计算能力，属于基础
题.
5．【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三4月月考数学】已知数列 的前 项和 ，且满足，则
A．1013 B．1022 C．2036 D．2037
【答案】A
【解析】由数列 的前 项和 ，且满足 ，
当 时， ，
两式相减，可得 ，即 ，
令 ，可得 ，解得 ，
所以数列 表示首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，
则 ，所以 ，
所以
.
故选：A．
【点睛】
本题考查了等比数列的定义，等比数列的通项公式以及等比数列的前 项和公式的综合应用，着重考查
推理与计算能力，属于中档试题.
6．【山西省阳泉市2020届高三下学期第二次质量调研数学】已知数列 中， ，
，则A． B． C． D．5051
【答案】D
【解析】由题意，数列 中， ， ，
则 ，
各式相加，可得
，
所以 .
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，以及等差数列的前 项和公式的应用，其中解答中
根据数列的递推关系式，合理利用叠加法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试
题.
7．【2020届广东省中山市高三上学期期末数学】已知数列 是各项均为正数的等比数列， 为数列
的前 项和，若 ，则 的最小值为
A．9 B．12 C．16 D．18
【答案】D
【解析】由 得 ，所以 .
所以.当且仅当 时取得最小值.
故选D．
8．【2020届安徽省马鞍山市高三第一次教学质量监测数学】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一
个问题:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关……”其大意为:有一个人走
378里路,第一天健步走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天到达目的地…….则此
人后四天走的路程比前两天走的路程少()里.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设每天走的路程里数为 ,则 是公比为 的等比数列,
由 得 , 解得:
所以
后四天走的路程: ,前两天走的路程: ，
又 ，且 ，∴ ，
∴
故此人后四天走的路程比前两天走的路程少198，
故选:A．
9．【河北省衡水中学2020届高三下学期(5月)第三次联合考试数学】若 是公比为 的等比数
列，记 为 的前 项和，则下列说法正确的是
A．若 是递增数列，则 ，B．若 是递减数列，则 ，
C．若 ，则
D．若 ，则 是等比数列
【答案】D
【解析】A选项中， ，满足 单调递增，故A错误；
B选项中， ，满足 单调递减，故B错误；
C选项中，若 ，则 ，故C错误；
D选项中， ，所以 是等比数列.故D正确.
故选D．
【点睛】
本题考查了等比数列的定义，考查了数列的单调性，考查了特值排除法，属于基础题.
10．【2020届湖南省高三上学期期末统测数学】已知数列 是等比数列， ，则
__________.
【答案】
【解析】设 的公比为 ，由 ，得 ，故 .
故答案为：
11．【2020届安徽省亳州市高三上学期期末教学质量检测数学】记 为等差数列 的前 项和.已知
， ，则公差 __________．
【答案】【解析】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
，
解得
故答案为：
12．【河北省2020届高三上学期第一次大联考数学】等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若
对任意正整数 都有 ，则 的值为 .
【答案】
【解析】因为 ， 是等差数列，所以 ，
则 .
13．【2020届安徽省池州市高三上学期期末考试数学】已知数列 满足
，则 ________.
【答案】-1.
【解析】 ，
累加得 ，
所以 ，当 时也符合，.
故答案为:-1
14．【河北省衡水中学2020届高三下学期(5月)第三次联合考试数学】记 为正项等差数列 的前 项
和，若 ，则 _________.
【答案】
【解析】设等差数列的公差为 ，
由题得 ，所以
所以 .
所以 .
故答案为 .
【点睛】
本题主要考查等差数列的基本量计算，考查等差中项的应用和求和，意在考查学生对这些知识的理解
掌握水平.
15．【广东省深圳市2020届高三下学期第二次调研数学】《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的
《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生
子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，
每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n个月后共有老鼠 只，则 _____.
【答案】
【解析】由题意可得1个月后的老鼠的只数 ,2个月后老鼠的只数 ,
3个月后老鼠的只数 …，
n个月后老鼠的只数 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查利用不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力.
16．【山西省太原市2019-2020学年高三上学期期末数学】记数列 的前 项和为 ，若 ，
， ，则 ___________.
【答案】2559
【解析】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
，
，
，
.
则 .
故答案为：2559
【点睛】
本题主要考查数列递推累加求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
17．【广东省广州、深圳市学调联盟2019-2020学年高三下学期第二次调研数学】已知函数( ， )有两个不同的零点 ， ， 和 ， 三个数适当排序后既可
成为等差数列，也可成为等比数列，则函数 的解析式为______.
【答案】
【解析】函数 ( ， )有两个不同的零点 ， ，
可得 ，且 ，
和 ， 三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，
可得 ，
再设−2， ， 为等差数列，可得 ，
代入韦达定理可得 ，
即有 ，解得a＝−5(4舍去)，
则 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查函数的零点和二次方程的韦达定理，以及等差数列和等比数列的中项性质，考查方程思想和
运算能力，属于基础题.
18．【江西省2019-2020学年高三4月新课程教学质量监测卷】设S 为等差数列{a}的前n项和，S=49，
n n 7
a+a=18.
2 8(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)若S、a 、S 成等比数列，求S .
3 17 m 3m
【解析】(1)设等差数列{a}的公差为d，∵S 为等差数列{a}的前n项和，S=49，a+a=18，
n n n 7 2 8
∴ ，解得：d=2.
⇒
∴
(2)由(1)知： .
∵ 成等比数列，∴ ，即9m2 ，解得m 11.
故
【点睛】
本题考查求等差数列的通项公式和求前 项的和，以及等比数列的性质，属于中档题.
19．【辽宁省葫芦岛市2020届高三5月联合考试数学】记 是正项数列 的前 项和， 是 和
的等比中项.
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
【解析】(1)因为 是 和 的等比中项，
所以 ①，当 时， ②，
由① ②得： ，
化简得 ，即 或者 (舍去)，
故 ，数列 为等差数列，因为 ，解得 ，
所以数列 是首项为 、公差为 的等差数列， .
(2)因为 ，
所以 .
【点睛】
本题考查数列通项公式的求法以及数列的前 项和的求法，考查等差数列的判定，考查裂项相消法求
和，考查推理能力与计算能力，是中档题.
20．【2020届广东省中山市高三上学期期末数学】设 为数列 的前 项和，已知 ，
.
(1)证明 为等比数列；
(2)判断 ， ， 是否成等差数列？并说明理由.
【解析】(1)证明：∵ ， ，∴ ，
由题意得 ， ，
∴ 是首项为2，公比为2的等比数列.
(2)由(1) ，∴ .
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ， ， 成等差数列.21．【广西南宁市第三中学2020届高三适应性月考卷】等差数列 的前 项和为 ， ，其中 ，
， 成等比数列，且数列 为非常数数列.
(1)求数列通项 ；
(2)设 ， 的前 项和记为 ，求证： .
【解析】(1)因为 ， ， 成等比数列，
由所以 ，
即 ，
解得得 或 (舍去)，
所以 .
(2)由(1)知： ，
，
，
.
【点睛】
本题主要考查等比中项，等差数列的通项公式和前n项和公式以及裂项相消法求和，还考查了运算求
解的能力，属于中档题.
22．【广东省深圳市2020届高三下学期第二次调研数学】已知各项都为正数的等比数列 ， ，.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， ，求 .
【解析】 (1)设各项都为正数的等比数列 的公比为 ，则 ，
因为 ， ，
所以 ，解得 ， ，
所以 ，
(2)由(1)知， ，故 ，
当 时， ；
当 时， ，
故 .
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式、等比中项的性质、等差数列的前 项和公式、对数运算等知识点，
等差数列的前 项和公式为 ，考查计算能力，体现了基础性与综合性，是中档题.
23．【2020届辽宁省大连市高三双基测试数学】已知数列 满足： 是公比为2的等比数列，是公差为1的等差数列.
(I)求 的值；
(Ⅱ)试求数列 的前n项和 .
【解析】(Ⅰ)方法一： 构成公比为2的等比数列
又 构成公差为1的等差数列
,解得
方法二： 构成公比为2的等比数列,
.①
又 构成公差为1的等差数列,
②
由①②解得：(Ⅱ)
两式作差可得：
,
.
24.【四川省泸县第一中学2020届高三三诊模拟考试数学(文)试题】已知正项等比数列 的前 项和为
， ， ，数列 满足 ，且 ．
(I)求数列 的通项公式；
(II)求数列 的前 项和．
【解析】(Ⅰ)根据题意，设 的公比为 ，所以 解得
又 ，
所以．
(Ⅱ)因为 ，
所以 ．
25．【2020届江西省吉安市高三上学期期末数学】数列 的前 项和为 ，且满足 ，
．
(I)求 的通项公式；
(Ⅱ)若 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
【解析】(I)当 时，由 ， 得 ；
当 时， ，两式相减得 ，
即 ，又 ，
故 恒成立，
则数列 是公比为 的等比数列，可得 ．
(Ⅱ)由(I)得 ，
则 ，
则．
故
26．【2020届重庆市第一中学高三上学期期末考试数学】已知数列 中， ， ，
.
(1)求证：数列 是等比数列;
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】(1)证明：因为
所以 ,
又因为 ,则 ,
所以数列 是首项为2,公比为2的等比数列.
(2)由(1)知 ,所以 ,
所以27．【河北省正定中学2019-2020学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】已知点 是函数
的图象上一点，数列 的前 项和是 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】 (1)把点 代入函数 得 ，所以 ，
所以数列 的前 项和是 .
当 时， ；
当 时， ，
所以 ；
(2)由 ， 得 ，所以
，①
.②由①－②得： ，
所以 .
【点睛】
本题主要考查了 法求通项公式，即 ，运用错位相减法求和，求和时应注意
的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的
表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式；(3)在应用错位
相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解，属于中档题.
的
28.【2020届河南省郑州市高三第二次质量预测文科数学试题】已知数列 前 项和为 ，且
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】(1)当 时， ．
当 时， ．
而 ，
所以数列 的通项公式为 .
(2)当 时， ，
[来源:学科网]当 时， ，
所以 ，
当 时， ，
当 时，
．
又 ，符合 ，
所以 ．
