文档内容
重难点突破 01 三角函数中有关 ω 的取值范围与最值问题
目录
01 方法技巧与总结..............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结..............................................................................................................................3
题型一：零点问题................................................................................................................................3
题型二：单调问题................................................................................................................................7
题型三：最值问题..............................................................................................................................10
题型四：极值问题..............................................................................................................................12
题型五：对称性问题..........................................................................................................................15
题型六：性质的综合问题..................................................................................................................18
03 过关测试........................................................................................................................................22T
{
⇒¿ |b−a|≤ ¿ {kπ≤aω+ϕ<π+kπ¿¿¿
2
1、 在 区间 内没有零点
T kπ ϕ
{ { −
b a a
⇒¿| − |≤ ¿ ≥ ¿¿¿
2 ω
同理， 在区间 内没有零点
T kπ ϕ
{ { −
T
{
b a a
⇒¿| − |< ¿ > ¿¿¿
⇒¿ |b−a|≤ ¿ {kπ0时，由于f（x）在R上的单调递减区间为 ，
令k=0.有 ，则 ；
令k=1，有 ，则 ；
令k=2，有 ，无解，
故 ，
同理，当ω<0时，有 ，
综上， .
故答案为： .
【变式2-2】（2024·宁夏银川·三模）函数 的图像是由函数 （ 大于零）的图像向左
平移 个单位所得，若函数 在 范围内单调，则 的范围是 .【答案】
【解析】 是由 （ 大于零）向左平移 个单位所得，故 ，
又 在 即 上单调，
∴ ，
, ，
由 或 ，
或 ，
综上， 的范围为 .
故答案为： .
【变式2-3】已知函数 ，若函数 在 上单调递减，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得到 ，
又因为 在 上单调递减，所以 ，
得到 ，又 ， ，即 ，令 ，得到 ，
故选：D.
题型三：最值问题
【典例3-1】函数 在区间 上有50个最大值，则 的范围 ．
【答案】
【解析】根据函数 在区间 上有50个最大值，由第50个和第51个最大值
满足 求解.因为函数 在区间 上有50个
最大值，
第一个最大值为： ，
第二个最大值为： ，
第三个最大值为： ，
…
第50个最大值为： ，
第51个最大值为： ，
所以 ，
解得 ，
综上： 的范围是 .
故答案为：
【典例3-2】若函数 在 内存在最小值但无最大值，则 的范围是
【答案】【解析】函数 ， ，
所以当 时， ，
又 在 内存在最小值但无最大值，
结合图象可得 ，
解得 .
故答案为：
【变式3-1】（2024·江西鹰潭·三模）已知函数 ，若 且
，则 的最小值为（ ）
A．11 B．5 C．9 D．7
【答案】D
【解析】由 可知， 在 取得最小值，所以函数 的一条对称轴为 ，
又 ，因此 ，即 ；
所以 ，
又 在 取得最小值，可知 ，
解得 ，
又 ，所以 时， 取得最小值为7.
故选：D
【变式3-2】函数 在 内恰有两个最小值点，则ω的范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 在 内恰有两个最小值点， ，
所以最小正周期满足
所以 ，
所以有： ，
故选：B
题型四：极值问题
【典例4-1】记函数 的最小正周期为T．若 为 的
极小值点，则 的最小值为__________．
【答案】14
【解析】 因为 所以最小正周期 ，
又 所以 ，即 ；
又 为 的极小值点，所以 ，解得 ，因为 ，所以当
时 ；
故答案为：14
【典例4-2】已知函数 ， ，函数 在 上有且仅有
一个极小值但没有极大值，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，∴ ．又 ，∴ ．
当 时，函数取到最小值，此时 ， ．解得 ， ．
所以当 时， .
故选：C．
【变式4-1】（2024·山西运城·高三统考期中）已知函数 在区间 内有且仅有
一个极小值，且方程 在区间 内有3个不同的实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，若 在区间 内有且仅有一个极小值，则
.若方程 在区间 内有3个不同的实数根，则 ，所以
，由 ，解得 .
所以 的取值范围是 .
故选：C
【变式4-2】（2024·全国·校联考三模）已知函数 ， .若函数
只有一个极大值和一个极小值，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，因为 ，所以 则问题转化为 在
上只有一个极大值和一个极小值，因为 函数 只有一个极大值和一个极小值，则 ，即 ，又 ，所
以 ，所以
则 解得 故
故选：C
【变式4-3】函数 在 上有唯一的极大值，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：当 时， ，
因为函数 在 上有唯一的极大值，
所以函数 在 上有唯一极大值，
所以， ，解得 .
故选：C
方法二：令 ， ，则 ， ，
所以，函数 在 轴右侧的第一个极大值点为 ，第二个极大值点为 ，
因为函数 在 上有唯一的极大值，
所以， 解得 .
故选：C题型五：对称性问题
【典例5-1】已知函数 ，若 的图象的任意一条对称轴与 轴交点的横
坐标均不属于区间 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 的图像的任何一条对称轴与 轴交点的横坐标均不属于区间 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，且 ，解得 ，
又因 ，
所以 ，解得 ，
当 时， 符合题意，
当 时， ，符合题意，
所以 .
故选：D.
【典例5-2】已知 ，（ ），若函数在区间 内不存在对称轴，
则 的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】函数化简得 ，
由 ，
可得函数的对称轴为 ，
由题意知， 且 ，
即 ， ，若使该不等式组有解，
则需满足 ，即 ，又 ，
故 ，即 ，所以 ，又 ，
所以 或 ，所以 ．
【变式5-1】已知函数 在区间[0， ]上有且仅有3条对称轴，则 的取值范围是
（ ）
A．（ ， ] B．（ ， ] C．[ ， ） D．[ ， ）
【答案】C
【解析】 ，
令 ， ，则 ， ，
函数f（x）在区间[0， ]上有且仅有3条对称轴，即 有3个整数k符合，
，得 ，则 ，
即 ，∴ .
故选：C.
【变式5-2】函数 在区间 上恰有两条对称轴，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
令 ， ，则 ， ，
函数 在区间[0， ]上有且仅有2条对称轴，即 有2个整数k符合，
，得 ，则 ，
即 ，∴ .
故选：D.
【变式5-3】已知函数 在 内有且仅有三条对称轴，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 时，函数
，则
，函数 在 内有且仅有三条对称轴，则：满足 ，解得
，即实数 的取值范围是 .
题型六：性质的综合问题
【典例6-1】已知函数 （ ）， ，下述五个结论：
①若 ，且 在 有且仅有5个零点，则 在 有且仅有3个极大值点；
②若 ，且 在 有且仅有4个零点，则 在 有且仅有3个极小值点；③若 ，且 在 有且仅有5个零点，则 在 上单调递增；
④若 ，且 在 有且仅有4个零点，则 的范围是 ；
⑤若 的图象关于 对称， 为它的一个零点，且在 上单调，则 的最大值为11.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．②③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①③④
【答案】D
【解析】结合正弦函数 的性质进行判断．作出 的大致图象，由 上的零点个数
判断①②③④，其中③需结合单调性判断，结合周期，先确定周期的表达式．再由单调性得周期的范围，
然后从最大的 验证，判断⑤．①若 ， 在 上有5个零点，可画出大致图象，由图可知，
在 有且仅有3个极大值点，故①正确；
②若 ，且 在 有且仅有4个零点，同样由图可知 在 有且仅有2个极小值点，故
②错误；
③若 ，由 在 上有5个零点，得 ，即 ，当 时，
，所以 ，所以 在 上单调递增，故③正确；
④若 ，因为 ，∴ ，
∴ ，因为 在 有且仅有4个零点，所以 ，所以
，所以④正确；
⑤若 的图象关于 对称， 为它的零点，则 ( ，T为周期)，得 ，
又 在 上单调，所以 ， ，又当 时， ， ， 在 上不单调；当 时， ， ， 在 上单调，满足题意，故 的最大值为9，故⑤不正确，
故选：D.
【典例6-2】已知 ，下列结论错误的个数是（ ）
①若 ，且 的最小值为 ，则 ；②存在 ，使得 的图像向右平
移 个单位长度后得到的图像关于 轴对称；③若 在 上恰有7个零点，则 的取值范围是
；④若 在 上单调递增，则 的取值范围是 .
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】 ，
周期 ，
①由条件知，周期为 ，故①错误；
②函数图象右移 个单位长度后得到的函数为 ，
其图象关于 轴对称，则 ，
故对任意整数 ，故②错误；
③由条件，得 ，故③错误；
④由条件，得 ，又 ，故④正确.
故选：C.
【变式6-1】（2024·天津·二模）已知函数 ，则下列
结论正确的是（ ）
A．若 相邻两条对称轴的距离为 ，则 ；
B．若 ，则 时， 的值域为 ；C．若 在 上单调递增，则 ；
D．若 在 上恰有2个零点，则 .
【答案】D
【解析】
，
对于A：若 相邻两条对称轴的距离为 ，则最小正周期为 ，故 ，选项A不正确；
对于B， 若 ，则 ，
当 时， 的值域为 ，选项B不正确；
对于C：若 在 上单调递增，则 ，选项C不正确；
对于D： ，则 ，若 在 上恰有2个零点，
则 ，则 ，选项D正确.
故选：D.
【变式6-2】已知奇函数 在 上有2个最值点和1个零
点，则 的范围是 .
【答案】
【解析】函数 ，
因为该函数为奇函数，故 ，
又 ，所以 ，即 ，
因为 在 上有2个最值点和1个零点，
故 ，
即 的范围是 ，故答案为：
【变式6-3】（2024·安徽合肥·三模）已知函数 在区间 上只有
一个零点和两个最大值点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
，
由 ， ，得 ，
时， ， 最大时， 也最大，
若 在区间 上只有一个零点和两个最大值点，
则只需 ，解得 ．
故答案为： .
【变式6-4】已知函数 ，且 ， 在区间 上恰有4
个不同的实数 ，使得对任意 都满 ，且对任意角 ， 在区间
上均不是单调函数，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为 且 ，
所以 ，即 ，所以 ，故 .
由 可得 的图象关于点 对称，
，即 ，其中 .
当 时， ，因函数 在 上的前 个零点依次为 ，
可得 ，解得 ，
又 在 上不是单调函数， ，解得 ，
综上可得 ，即 的取值范围是 .
故答案为： .
1．已知函数 ，若 在区间 有三个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，且 ，
令 ，则 ，
即 在 上有三个零点，
由余弦函数图象知 ，即 ，
解得 .
故选：D.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 在 上有且仅有两个零点，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】函数 ，
由 ，得 ，
要使函数 在 上有且仅有两个零点，
则 ，得 ，
即 的取值范围是 .
故选： .
3．若函数 在 上恰好存在2个不同的 满足 ，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时， ，
由 得 ，则 .
则 ，解得 .
故选：B.
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，在定义域
内存在唯一 ，使得 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意 ， ，
在定义域内存在唯一 ，使得 ，
所以 在 上有唯一解，令 ，
所以 在 上有唯一解，则由正弦函数图像性质可知 ， ，
故选：D.
5．（多选题）（2024·河北·模拟预测）已知函数 在 上有且仅有两个对称中
心，则下列结论正确的是（ ）
A． 的范围是
B．函数 在 上单调递增
C． 不可能是函数 的图像的一条对称轴
D． 的最小正周期可能为
【答案】AC
【解析】A选项， 时， ，
由函数 在 上有且仅有两个对称中心得，
，解得 ，A正确；
B选项， 时， ，
由A可知 ，故 ，而 ，
故函数 在 上不一定单调，B错误；
C选项，假设 为函数的一条对称轴，
令 ， ，解得 ， ，
又 ，故 ，又 ，故无解，故 不可能是函数 的图像的一条对称轴，C正确；
D选项， ，故 的最小正周期 ，
故 的最小正周期不可能为 ，D错误.
故选：AC
6．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知“ ”表示小于 的最大整数，例如 .若
恰好有四个解,那么 的范围是 .
【答案】
【解析】当 时，如图为满足题意的两种情况：
即 或 ，解得 ；
当 时，如图：则 ，解得 .
综上， 的范围是 ，
故答案为： .
7．已知函数 在区间 上有且仅有2个不同的零点，则 的范围为 .
【答案】
【解析】 ，则 ，函数有且仅有2个不同的零点，
则 ，解得 .
故答案为：
8．若函数 ，且 ，则 的范围是 .
【答案】
【解析】若 ，则 ，所以 ；
若 ，则 ，
所以 的范围为 .
故答案为： .
9．已知 ， 同时满足：
（1） ， 或 ﹔
（2） ﹐ ，则 的范围为 ．
【答案】
【解析】由 ，得 ，所以 在 上单调递增，
由 ，所以 ， ； ， .
条件（1） ， 或 ，由 的性质可知，条件等价于 ， ，
当 时，有 ，由 恒成立，∴ ，解得 .
条件（2） ﹐ ，由 时 恒成立，条件等价于 ﹐
，
当 时，有 ， ，∴ ，解得 .
所以则 的取值范围为 .
故答案为：
xoy
10．（2024·高三·四川成都·开学考试）函数 ，已知 在区间 恰有
三个零点，则 的范围为 .
【答案】
【解析】由题意可得 ，
令 ，即 恰有三个实根，
三根为：①
，k
∵ ，∴
∴或 ，
当k=-1时，解得 的范围为
故答案为
11．（2024·天津河北·二模）已知函数 的最小正周期为 ，若
， 时函数 取得最大值，则 ， 的最小值为 .
【答案】 / /
【解析】函数 的最小正周期为 ，
若 ，由 ，得 ，
所以 ，
因为 时函数 有最大值，所以 ，
故 ，所以 ，
因为 ，则 的最小值为 .
故答案为： ； .
12．（2024·四川·三模）已知函数 对任意的 ，都有 ，
则 的最小值为 .
【答案】 /
【解析】 ，
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，
又因为 ，所以 的最小值为 .
故答案为： .
13．已知函数 在区间 内恰有3个零点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为
，
当 时， ，
由于函数 在区间 内恰有3个零点，
则有 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
14．设 ，已知函数 在区间 恰有6个零点，则ω的取值范围为
【答案】 .
【解析】由函数 ，
令 ，即 或 ，
解得 的正零点为 或 ，
所以函数 从左到右的零点依次为： ，为了使得 在区间 恰有6个零点，只需 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
15．若函数 在 上严格减，则正实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，又函数 在 上严格减，
设其最小正周期为 ，则 ，即 ，则 ，
所以 ，即 ，解得： ，
当 时， ，当 时， ，
故答案为：
16．若函数 在 上单调递增则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】由 ，得 .
因为 在 上单调递增，所以 ，
得 ，
则 ，
解得 ，则 ，故 的取值范围为 .
故答案为：17．（2024·陕西·模拟预测）已知函数 （ ）在区间 上有且仅有3个极值点，
则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为 且 ，
所以 ，
又因为函数 在区间 上有且仅有3个极值点，
所以满足 ，即 ，
故答案为：
18．（2024·江西九江·三模）已知函数 在区间 上有且仅有三个零点，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】令 ， ， ，
问题转化为函数 在区间 上有且仅有三个零点，
，解得 .
故答案为：
19．已知函数 （其中 在区间 上单调递增，且在区间 上有3个零点，则
的取值范围为 .
【答案】
【解析】设 ，由 和 可得 ，
因 在区间 上单调递增，即 在 上递增，
则有 ，解得，又 在区间 上有3个零点，由 可得 ，
由 的图象可知，需使 ，解得 .
结合 和 ，可得 .
故答案为： .
20．（2024·湖北·二模）已知函数 （ ， ）的最小正周期为T，
，若 在 内恰有10个零点则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数 （ ， ）的周期为 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
要使 在 内恰有10个零点，则 .
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
21．已知函数 ，若沿 轴方向平移 的图象，总能保证平移后的曲线与直线
在区间 上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数 的取值范围为 （建议：作答写成区
间．）
【答案】
【解析】由 可得： ，
若沿 轴方向平移，考虑其任意性，不妨设得到的函数 .
令 ，即 ， ，取 ，则 .依题意知， 在 上至少有2解，至多有3解，
则须使区间 的长度在 到 之间，即 ，解得 .
故答案为： .
22．设常数 ， ，若函数 在区间 上的最小值为0，
则 的最大值为
【答案】 /
【解析】由函数
，
因为 ，可得 ，
又因为 的最小值为0，即 的最小值为 ，
所以 ，解得 ，即实数 的最大值为 .
故答案为： .
23．（2024·福建南平·二模）函数 在区间 上单调递增，且在区间 上恰
有两个极值点，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由 在区间 上单调递增，
可得 ， ， ，
即 ， ， ，即 ，
又 在区间 上恰有两个极值点，
可得 ，即 .综上， .
故答案为： .
