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重难点 04 函数的奇偶性（7 种考法）
【目录】
考法1：函数奇偶性的定义与判断
考法2：由奇偶性求函数解析式
考法3：函数奇偶性的应用
考法4：抽象函数的奇偶性
考法5：由奇偶性求参数
考法6：由函数奇偶性解不等式
考法7：奇偶函数对称性的应用
二、命题规律与备考策略
一、奇函数
解题方法点拨：
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于 0的部分的函数表达式，求它的小于 0的函数表达式，如奇函数f
（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x f（x）＝﹣
x2+x
⇒
命题方向：
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题
方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．
二、偶函数
解题方法点拨：
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f
（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
命题方向：
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查
对偶函数性质的灵活运用．
三．函数奇偶性的性质与判断
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
学科网（北京）股份有限公司③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，
确保答题的正确率．
四．奇偶函数图象的对称性
【解题方法点拨】
由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函
数的单调性相反．
eg：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求
函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]内的最值．
解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数，
那么最小值为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4
【命题方向】
本知识点是高考的一个重点，同学首先要熟悉奇偶函数的性质并灵活运用，然后要多多总
结，特别是偶函数与周期性相结合的试题，现在的一个命题方式是已知周期偶函数某一小
段内与x轴交点的个数，求在更大范围内它与x轴的交点个数，同学们务必多多留意．
五．奇偶性与单调性的综合
【解题方法点拨】
参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
【命题方向】奇偶性与单调性的综合．
不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总
结，一定要重视这一个知识点．
六．抽象函数及其应用
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它
的原型就是y＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的奇偶性；
【命题方向】抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考
学科网（北京）股份有限公司中一般以中档题和小题为主，要引起重视．
三、题型方法
考法1：函数奇偶性的定义与判断
一、单选题
1．（2023·广西·校联考模拟预测）果树的负载量，是影响果树产量和质量的重要因素.苹果
树结果期的负载量y（单位：kg）与干周x（树干横截面周长，单位：cm）可用模型
模拟，其中 ， ， 均是常数.则下列最符合实际情况的是（ ）
A． 时，y是偶函数 B．模型函数的图象是中心对称图形
C．若 ， 均是正数，则y有最大值 D．苹果树负载量的最小值是
【答案】C
【分析】因为 的定义域为 ，不关于原点对称，可判断A，B；对
函数求导，得出函数的单调性，可判断C，D.
【详解】因为 的定义域为 ，不关于原点对称，故A不正确；
模型函数的图象也不可能是中心对称图象，故B不正确；
，则 或 ，
若 ， ，均是正数，则 ，
令 ，则 ；令 ，则 ，
所以函数在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时，y有最大值，故C正确；
，若 ，则 ，
函数在 上单调递增，所以 ，苹果树负载量的最小值不是 ，故D不正确.
故选：C.
2．（2023·河南新乡·统考三模）函数 的部分图象大致为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性结合函数值的符合分析判断.
【详解】由题意可得： 的定义域为 ，
因为 ，
所以 为奇函数，排除B，D.
当 时，则 ，可得 ，
所以 ，排除A.
故选：C.
3．（2023·北京丰台·统考二模）已知函数 ， 是 的导函数，则下列
结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性概念判断A，根据导函数值域判断B，利用特例法排除选项C，
利用指数运算及指数函数的单调性结合不等式的性质即可判断D.
【详解】对于A，易知 ， ，
所以 ，所以 ，错误；
学科网（北京）股份有限公司对于B，因为 ，所以 ，
由 知 ，错误；
对于C， ， ，
虽然 ，但是 ，
故对 ， 不恒成立，错误；
对于D，函数 ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，正确.
故选：D
4．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知x， ，且 ，则
（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】 抽象为一个函数的两个函数值，分析函数
学科网（北京）股份有限公司的性质，利用函数值的关系，求出自变量的关系，进而求解.
【详解】由已知 ， ，
所以 ， ，
设 ， ，则 ，
函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
又 ，
所以函数 ， 为奇函数，
当 时，函数 都为增函数，
所以函数 在 上单调递增，
由函数 ， 为奇函数，
可得函数 在 上单调递增，
所以 ，故 ，
所以 .
故选：A.
二、多选题
5．（2023·江苏·统考二模）已知函数 ，则（ ）
A． 是偶函数，也是周期函数 B． 的最大值为
C． 的图像关于直线 对称 D． 在 上单调递增
【答案】BD
【分析】根据奇偶函数的定义即可判断A，求导得到 ，从而得到其极值，即可判断
B，根据对称性的定义即可判断C，由 在 的正负性即可判断D.
【详解】因为 ，定义域为 ，关于原点对称，
且 ，
学科网（北京）股份有限公司则 是奇函数，故A错误；
因为 ，
令 ，则 或 ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以 ，故B正确；
因为 ， ，
所以不关于 对称，故C错误；
因为 ，当 时， ，
则 ，所以 在 上单调递增，故D正确.
故选:BD
6．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知函数 ，则下列说法正确的有
（ ）
A． 是偶函数
B． 是周期函数
C．在区间 上， 有且只有一个极值点
D．过 作y= 的切线，有无数条
【答案】AC
【分析】根据 的解析式，分别其对称性，周期性，单调性以及切线方程作出分析.
【详解】显然 ，A正确；
显然 不是周期函数， B错误；
对于 C， ，令 ，当 时，
，则 单调递减，
学科网（北京）股份有限公司又 ，故 在 上只有一个解，C正确;
对于 D，设切点为 ，则切线方程为 ，
代入(0，0)，有 ，得t= 0或 ，若 ，则切线方程为 ；
若 ，则切线方程为 ，故有且仅有3 条切线，D错误；
故选：AC.
三、填空题
7．（2023·安徽合肥·二模）若定义域为 的奇函数 满足 ，且
，则 ________．
【答案】2
【分析】利用赋值法及奇函数的定义，结合函数的周期性即可求解.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，即 ，于是有 ，
所以 ，即 .
所以函数 的周期为 .
因为 是定义域为 的奇函数，
所以 ，即 .
令 ，则 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
8．（2023·江西上饶·统考二模）关于函数 ，有如下四个命题：
①函数 的图像关于 轴对称；
②函数 的图像关于直线 对称；
③函数 的最小正周期为 ；
④函数 的最小值为2．其中所有真命题的序号是_________________．
【答案】①②④
【分析】对于①：由奇偶函数的定义，可判断出 为偶函数，图像关于 轴对称；对于
②：由 即可判断出函数 的图像关于直线 对称；对于③：由
学科网（北京）股份有限公司得出函数 的最小正周期为 ；对于④：设 ，则
，由基本不等式即可求出最小值．
【详解】对于①： 定义域为 ，
因为 ，所以 是 上的偶函数，
所以 图像关于 轴对称，故①正确；
对于②：对于任意的 ，
，
所以函数 的图像关于直线 对称，故②正确；
对于③：因为 ，
所以函数 的最小正周期为 ，故③错误；
对于④：设 ，
则 ，
因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以函数 的最小值为2，故④正确，
故答案为：①②④．
9．（2023·陕西渭南·统考二模）若函数 的关系式由方程 确定.
则下述命题中所有真命题的序号为_____________.
①函数 是减函数；
②函数 是奇函数；
③函数 的值域为
④方程 无实数根：
⑤函数 的图像是轴对称图形.
【答案】①④⑤
【分析】首先通过分类讨论得到函数 各部分的轨迹，作出图象，一一代入分析即
可.
学科网（北京）股份有限公司【详解】当 时，方程为 ，此时轨迹为四分之一圆，
当 时，方程为 ，即 ，此时轨迹为双曲线的部分，
当 时，方程为 ，方程无实数解，
当 时，方程为 ，即 ，此时轨迹为双曲线的部分，
作出图象如下图所示：
对①，观察图象得函数 是减函数，故①正确，
对②，根据图象易知第一象限的图象在第三象限无对称部分，故函数 不是奇函数，
故②错误，
对③，显然根据图象易知值域不是 ，故③错误，
对④， ，即 ，
方程的根即为 的图象与直线 交点横坐标，
显然两双曲线部分的渐近线均为 ，故 与 在二、四象限的图象无交点，
且 与第一象限的圆弧显然也无交点，故④正确；
对于⑤，根据两双曲线的解析式特点及圆的对称性，易得函数 关于直线 对称，
取 图象上任意一点 ，于是得 ，
当 时， ，
因此点 在 的图象上，所以函数 的图像关于直线 对称，它是轴对
称图形，故⑤正确；
故答案为：①④⑤.
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过合理的分类讨论，得到函数各部分图象的轨迹，且
分析出其与双曲线和圆的关系，然后作出图象，利用图象进行分析.
四、解答题
10．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数 满足
．
学科网（北京）股份有限公司(1)讨论 的奇偶性；
(2)设函数 ，求证： ．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）对已知等式中的 用 代换，得到新的等式，结合已知等式可求出 ，
然后分 和 讨论函数的奇偶性，
（2）由（1）知 ，则 对
恒成立，得 ，设函数 ，利用导数可求出函数的最小
值得函数 的值域，并求出最小的范围，进而根据集合关系即可证明.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
根据以上两式可得 ，
所以， .
当 时， 为偶函数.
当 时，因为 ，
所以 ， ，
所以 为非奇非偶函数.
（2）由（1）知 .
依题意得 对 恒成立.
当 ，即 时， 恒成立；
当 ，即 时， ，得 .
故 .
设函数 ，
则 .
因为 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司①当 ，即 时， 在 上恒成立，
故 在 上单调递增， ，则 ，
即 在 上的最小值为1.
②当 ，即 时，
因为当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，
则 ，
即 在 上的最小值为 .
综上，函数 在 上的最小值 ，
所以，函数 在 上的值域为 ，
当 ，令 ，
则 ，故 在 上单调递增，
因为 ，
所以， ，即函数 在 上的最小值 ，
所以， .
【点睛】关键点点睛：此题第（2）问解题的关键是由题意得 对 恒
成立，求出 的范围，然后构造函数 ，利用导数求其最小值的取值
范围即可证明.
考法2：由奇偶性求函数解析式
一、单选题
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 是偶函数，当 时， ．
若曲线 在点 处的切线方程为 ，则实数a的值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性求出当 时， ，再利用导数求出切线的斜率，
得到切线方程，比较系数即可得到答案.
学科网（北京）股份有限公司【详解】当 时， ，所以 ，
又函数 是偶函数，
所以当 时， ，则 ，所以 ．
又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ，
所以 ， ，解得 ．
故选：C
2．（2023·江苏南通·二模）已知函数 的定义域为 ， 是偶函数，
是奇函数，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数 的解析式，再利用基本不等式可求得
的最小值.
【详解】因为函数 为偶函数，则 ，即
，①
又因为函数 为奇函数，则 ，即
，②
联立①②可得 ，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故函数 的最小值为 .
故选：B.
3．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）若函数 的图象关于原点对称，
且 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【分析】根据奇偶性及 计算可得.
【详解】解：由题可知，当 时， ，且 ，
由题意知 为奇函数，则 ，
又
，
，
则 .
故选：A.
4．（2023·宁夏中卫·统考二模）设 是定义在R上的函数，若 是奇函数，
是偶函数，函数 ，则下列说法正确的个数有（ ）
（1）当 时，
（2）
（3）若 ，则实数 的最小值为
（4）若 有三个零点，则实数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由 是奇函数， 是偶函数，得 ，再依据
作出函数 的图像，再逐项判断即可
【详解】因为 是奇函数， 是偶函数，
所以 ，解得 ，
由
当 时， ，则 ，所以 ，
同理：当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司以此类推，我们可以得到如下 的图象：
对于（1）∶根据上述规律，当 时，
，故（1）错误；
对于（2）：根据图象， 刚好是相邻两个自然数中间的数，
则 刚好是每一段图象中的极大值，代入函数解析式得
，故（2）正确；
对于（3）∶根据图象，当 时 ， 由图像可得
（3）正确；
对于（4）∶ 有三个零点，
等价于函数 与函数 有三个不同的交点，设 ， 则函数
的图象为恒过点A的直线，如图所示.
当函数 与 ， 相切的时候，有三个交点，
相切时斜率k小于直线AB的斜率，直线AB的斜率为
故 有三个零点， ，故（4）错误．
说法正确的个数为2.
故选：B．
【点睛】思路点睛：根据函数奇偶性的定义，解出 ，再依据 的函数特征，作出
函数 的图像，由图像研究相关性质.
学科网（北京）股份有限公司5．（2021·全国·统考高考真题）设函数 的定义域为R， 为奇函数，
为偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过 是奇函数和 是偶函数条件，可以确定出函数解析式
，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．
所以 ．
[方法二]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 的周期 ．
学科网（北京）股份有限公司所以 ．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性
进而达到简便计算的效果．
6．（2023·北京朝阳·二模）已知函数 是 上的奇函数，当 时， .若
关于x的方程 有且仅有两个不相等的实数解则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用奇函数性质求分段函数解析式，根据指数函数性质画出 函数图象，数形
结合判断不同值域范围的函数值对应自变量的个数，再由 有两个解，对应
的解的个数确定 范围，进而求m的范围.
【详解】由题设 ，若 ，则 ，
所以 ，值域为R，函数图象如下：
当 时，只有一个 与之对应；
当 时，有两个对应自变量，
记为 ，则 ；
当 时，有三个对应自变量且 ；
当 时，有两个对应自变量，
记为 ，则 ；
当 时，有一个 与之对应；
令 ，则 ，要使 有且仅有两个不相等的实数解，
若 有三个解，则 ，此时 有5个解，不满足；
若 有两个解 且 ，此时 和 各有一个解，
学科网（北京）股份有限公司结合图象知，不存在这样的 ，故不存在对应的m；
若 有一个解 ，则 有两个解，此时 ，
所以对应的 ，
综上， .
故选：C.
二、多选题
7．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数 是定义在R上的奇函
数，当 时， ，则（ ）
A．当 时， B． ，都有
C． 的解集为 D． 的单调递增区间是 ，
【答案】BD
【分析】对于A，利用奇函数的定义，可得答案；对于B、D，利用导数以及奇函数的性质，
可得答案；对于C，根据对数函数的性质以及不等式的性质，可得答案.
【详解】对于A，当 时， ，则 ，
函数 在其定义域上是奇函数，则 ，故A错误；
对于B，当 时， ， ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
故 ，
当 时， ， ，则 ；
当 时， ， ，则 ，
综上，当 时， ，
因为函数 是奇函数，所以 ，
当 时， ，故B正确；
对于C，由B可知，当 时， ， ，
则 ；
当 时， ， ，则 ，
因为函数 是奇函数，所以当 时， ；当 时， ，
因为函数 是奇函数，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司综上，不等式 ，其解集为 ，故C错误；
对于D，由B可知，当 时， 单调递增；当 时， 单调递减，
因为函数 是奇函数，所以当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，故D正确.
故选：BD.
8．（2023·江苏·二模）已知定义域为R的奇函数 ，当 时，
,下列叙述正确的是（ ）
A．存在实数k，使关于x的方程 有7个不相等的实数根
B．当 时，有
C．当 时， 的最小值为1，则
D．若关于x的方程 和 的所有实数根之和为零，则
【答案】ABC
【分析】A选项，根据函数的奇偶性得到 在R上的解析式，画出函数图象，数形结合
得到当 时， 与 的图象有7个交点，即方程 有7个不相等
的实数根，A正确；
由图象可得 时， 单调递减，从而得到B正确；
由 ，令 ，解得： ，数形结合得到 ，C正确；
求出 的所有实数根之和为 ，进而当 时， ，再结
合对称性得到 时，方程 和 的所有实数根之和为零，从而
或 ，D错误.
【详解】因为 为定义域为R的奇函数，
当 时， ，故 ，
当 时， ，故 ，
当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司综上： ，
画出函数 的图象，如下：
存在实数k，使关于x的方程 有7个不相等的实数根，理由如下：
如图1，当 时，直线 与 的图象有5个交点，
联立 与 ， ，
由 且 得： ，
且此时 与 联立， ，
其中 ，
故 时，直线 与两抛物线刚好相切，故有5个交点，
则当 时， 与 的图象有7个交点，
即关于x的方程 有7个不相等的实数根，A正确；
学科网（北京）股份有限公司当 时， 单调递减，故当 时，有 ，B正确；
由图象可知： ，令 ，解得： ，
当 时， 的最小值为1，则 ，C正确；
令 ，当 时， ，设两根为 ，则 ，
当 时， ，解得： ，
故 的所有实数根之和为 ，
当 时， ，
故当 时，方程 和 的所有实数根之和为零，
由对称性可知 时，方程 和 的所有实数根之和为零，
综上： 或 ，D错误.
故选：ABC
【点睛】数形结合在研究函数与方程方面具有重要作用，通常函数零点，方程的根及两函
数的交点可互相转化进行求解，本题中 实数根个数问题，要转化为两函数
与 的交点个数问题，再同一平面直角坐标系中画出 与 的图
学科网（北京）股份有限公司象，用数形结合的思想求解.
三、填空题
9．（2023·广东湛江·统考二模）已知奇函数 则 __________．
【答案】
【分析】根据奇函数的定义，先求当 时， ， ，再进一步求解
.
【详解】当 时， ， ，
则 ．
故答案为： .
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，且在定义域内有且只
有三个零点，则 可能是______．（本题答案不唯一）
【答案】 （或 等，本题答案不唯一，符号题意即可）
【分析】本题答案不唯一，符合题意即可，
，满足 为奇函数，且 在 上有且只有三个零点；或者
满足 为奇函数，且 在 上有且只有三个零点.
【详解】本题答案不唯一，符合题意即可，如 ， 为奇函数，且 在
上有且只有三个零点0， ，满足题意．
一题多解
由题知，本题答案不唯一，符合题意即可，易知 ，故可画出符合题意的草图
如图所示，此时
学科网（北京）股份有限公司【点睛】开放性试题，可以从常用函数或者基本初等函数思考找到解题方向.
四、双空题
11．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 是定义R在上的奇函数，当 时，
，当 时， ，则 ________；若方程
有两个不同的实数根，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】由 可求出 的值；画出 的图象，由方程
有两个不同的实数根，即 的图象与 的图象由两个交点，结合
图象即可得出答案.
【详解】令 ，则 ，所以 ．
因为 是定义在R上的奇函数，所以 ，
所以 ，所以 ， ，
则 ，故
当 时， ，令 ，则 ．
因为当 时， 单调递增，且 ，此时 单调递减，
所以由复合函数的单调性可知 在区间 上单调递减；
因为当 时， 单调递增，且 ，此时 单调递增，
所以由复合函数的单调性可知 ，在区间 上单调递增．
由奇函数图象的特点作出 与 的图象如下：
学科网（北京）股份有限公司由图知，若 有两个不同的实数根，相当于 与 有两个不同的交点，则
或 ．
故答案为：－5； .
12．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知定义在 上的奇函数 满足 ，
且当 时， ，则当 时， ___________；若对
都有 ，则实数 的取值范围为___________.
【答案】
【分析】先根据奇函数的特征求出 的值，利用奇函数和 的解析式，可求
时的解析式，根据对称性和二次函数的值域可求实数 的取值范围.
【详解】因为 为定义在 上的奇函数，所以 ，解得 ；
当 时， ， ，
因为 为奇函数，所以 ，所以 ；
当 时， 为增函数，所以 时， 为增函数；
因为 ，所以 的图象关于直线 对称；
令 ，得 ，根据对称性可知 时， 可得
.
因为 ，所以 ，即 的周期为4，
所以 的解集为 .
学科网（北京）股份有限公司设 ，因为 ，所以 ， ；
其图象的对称轴为 ，且开口向下；
当 时， 在 上单调递增， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， 在 上单调递减， ，无解；
综上可得 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： ；
【点睛】易错点点睛：本题易错点有三个方面：一是忽略奇函数的特点，没有求出 的值；
二是对二次函数区间最值求解时讨论分类不全面；
三是不讨论直接利用 得出错误结论.
五、解答题
13．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）若函数
为奇函数，且在 上单调递增，在 上单调递减．
(1)求函数 的解析式；
(2)若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性求出 ， ，由函数单调性，利用导函数求出 ，
确定函数解析式；
（2）点 不在曲线上，设切点为 ，根据导函数的几何意义与斜率公式列出
方程，得到 ，设 ，通过研究其单调性，极值情
况，求出 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）因为函数为奇函数，则
，故 ， ，
又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，
因为 ，
所以 ，即 ，
解得： ，经检验符合题意，所以 ．
（2） ，因为曲线方程为 ， ，
点 不在曲线上，设切点为 ，则点 的坐标满足 ，
因为 ，故切线的斜率为 ，
整理得： ，
因为过点 可作曲线的三条切线，所以关于 的方程有三个实根．
设 ，则 ，
由 ，得 ，
，得 或 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数的极值点为 ， ，
所以关于 的方程有三个实根的必要条件是 ，
解得： ，
又当 时， ，
当 时， ，
所以 时，必有三个实根，
故所求的实数 的取值范围是 ．
【点睛】过函数上某一点的切线条数，转化为函数零点个数问题，构造函数，通过求导研
究函数单调性，极值和最值情况，从而解决问题.
考法3：函数奇偶性的应用
一、单选题
1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知函数 ，记等差
学科网（北京）股份有限公司数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C．2023 D．4046
【答案】A
【分析】令 ，然后可判断出 的单调性、奇偶性，然后由 ，
可得 ，然后由等差数列的求和公式和性质可得答案.
【详解】令 ，
因为 ，所以 为 上的增函数，
因为 ，所以 是奇函数，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
故选：A
2．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，若 为偶
函数且 ，则 （ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】D
【分析】根据给定的奇偶性，推理计算得 ，再结合已知值及周期性求解作
答.
【详解】因为 是定义在R上的奇函数，则 ，且 ，
又 为偶函数，则 ，即 ，
于是 ，则 ，即 是以 为周期的周期函数，
由 ，得 ， ，
， ，
所以 .
故选：D
3．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知函数 及其导函数 定义域均为R，
学科网（北京）股份有限公司记函数 ，若函数 的图象关于点(3，0)中心对称， 为偶函数，且
， ，则 （ ）
A．672 B．674 C．676 D．678
【答案】D
【分析】由 的图象关于点 中心对称，可得 ，即函数 的
图象关于直线 对称.由 为偶函数，可得 的图象关于直线 对称，进
而得到 的周期为 ，从而求解.
【详解】因为 的图象关于点 中心对称，
所以 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以函数 的图象关于直线 对称.
又 为偶函数，所以 ，
则 ，
所以 的图象关于直线 对称，
所以 ，
所以 的周期为 .
由 ，得 .
又 ，所以 .
故 .
故选：D.
4．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数 满足 ，且 是
偶函数，当 时， ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】由函数的奇偶性和对称性，得到函数的周期，利用周期和指数式的运算规则求函
数值.
【详解】由 是偶函数，得 ，令 ，则 ．
由 ，令 ，则 ，
则有 ，即 ，所以函数 周期为4．
因为 ，则有 ，
所以 ．
故选：B
5．（2022·天津·统考高考真题）函数 的图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分析函数 的定义域、奇偶性、单调性及其在 上的函数值符号，结合
排除法可得出合适的选项.
【详解】函数 的定义域为 ，
学科网（北京）股份有限公司且 ，
函数 为奇函数，A选项错误；
又当 时， ，C选项错误；
当 时， 函数单调递增，故B选项错误；
故选：D.
6．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为R，且
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数 的一个周期为 ，求出函数一个周期中的
的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为 ，令 可得， ，所以
，令 可得， ，即 ，所以函数 为偶函
数，令 得， ，即有 ，从
而可知 ， ，故 ，即
，所以函数 的一个周期为 ．因为 ，
， ， ，
，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由 ，联想到余弦函数和差化积公式
，可设 ，则由方法一中
知 ，解得 ，取 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，则
，所
以 符合条件，因此 的周期 ， ，且
，所以
，
由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函
数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
二、多选题
7．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知函数 的定义域为
R， 为奇函数，且对 ， 恒成立，则（ ）
A． 为奇函数 B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据函数定义换算可得 为偶函数，根据偶函数和奇函数性质可知 为周
期函数，再根据函数周期性和函数特殊值即可得出选项.
【详解】因为 为奇函数，所以 ，故
又 ，所以 ，故 ，
所以 ， 为偶函数，A错误；
为奇函数，所以 ， ，
所以 ，B正确；
，又 的图象关于点 对称，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，C正确；
又 ，所以 是以4为周期的函数，
，D正确．
故选：BCD．
8．（2023·海南海口·校联考模拟预测）已知定义在 上的函数 是奇函数，函数
为偶函数，当 时， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，结合函数奇偶性定义，探讨出函数的周期，即可逐项分析判断作
答.
【详解】因为函数 为偶函数，则 ，即 ，B正确；
又函数 是奇函数，则 ，因此 ，即有
，
于是 ，即函数 的周期为4，有 ，C正确；
因为 是定义域为 的奇函数，则 ，解得 ，A正确；
当 时， ，所以 ，D错误．
故选：ABC
三、填空题
9．（2023·上海松江·统考二模）已知函数 为 上的奇函数；且 ，
当 时， ，则 ______．
【答案】 /
【分析】首先证明得 ，则根据其周期性得 ，再求出
，最后相加即可.
【详解】因为 ， 为 上的奇函数，
所以 ，所以 为周期为2的周期函数，
因为当 时, ,
学科网（北京）股份有限公司则 ，
令 ,得, ,又因为 为奇函数，则 ，
所以 ，则 ，则 ，
所以 ，所以 ，
故答案为： .
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，且满足
时， ．若不等式 在 上
恒成立，则a的取值范围是__________,
【答案】
【分析】构造 ，得到其奇偶性和单调性，对不等式变形得到
，从而得到 ，平方后由一次函数的性质得到不
等式组，求出a的取值范围.
【详解】令 ，则 ，故 为R上的偶
函数，
当 时， ．
所以 在 单调递减，在 单调递增．
等价于 ，
即 在 上恒成立．
所以 ，平方后化简得到 ．
由一次函数性质可得 ，
解得 ，即 ，
故a的取值范围是 ．
故答案为： .
【点睛】利用函数 与导函数 的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的
单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：
比如：若 ，则构造 ，若 ，则构造
学科网（北京）股份有限公司，
若 ，则构造 ，若 ，则构造 .
考法4：抽象函数的奇偶性
一、单选题
1．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知 ， 都是定义在 上的函数，对任意x，
y满足 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数 的图象关于点 对称
C． D．若 ，则
【答案】D
【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC，取 可
判断B，对于D，通过观察选项可以推断 很可能是周期函数，结合
的特殊性及一些已经证明的结论，想到令 和 时可构建出两个式子，两式相加即
可得出 ，进一步得出 是周期函数，从而可求 的值.
【详解】解：对于A，令 ，代入已知等式得 ，得
，故A错误；
对于B，取 ，满足 及
，
因为 ，所以 的图象不关于点 对称，
所以函数 的图象不关于点 对称，故B错误；
对于C，令 ， ，代入已知等式得 ，
可得 ，结合 得 ， ，
再令 ，代入已知等式得 ，
将 ， 代入上式，得 ，所以函数 为奇函数.
令 ， ，代入已知等式，得 ，
因为 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，故C错误；
对于D，分别令 和 ，代入已知等式，得以下两个等式：
， ，
两式相加易得 ，所以有 ，
即： ，
有： ，
即： ，所以 为周期函数，且周期为3，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：D.
【点睛】思路点睛：对于含有 的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可
利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些
关系，特别是有 双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的
关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.
2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域
均为 ，记 ．若 为奇函数， 为偶函数，且 ，
，则 （ ）
A．670 B．672 C．674 D．676
【答案】D
【分析】运用抽象函数的奇偶性表达式及导数运算可得 的一个周期为3，再运用赋值
及周期性计算可得一个周期内的和，进而可求得结果.
【详解】∵ 为奇函数，
∴ ，
∴ ，即： ，
又∵ ，
∴ ，①
学科网（北京）股份有限公司又∵ 为偶函数，
∴ ，②
∴将②中 换成 得： ，③
∴将③中 换成 得： ，④
由①④得： ，
∴ 的一个周期为3，
∴ ，
将 代入③得： ，
∴
又∵ ，
∴ .
故选：D.
3．（2023·安徽淮南·统考二模）定义在 上的函数 满足 ，
当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，研究函数的奇偶性、单调性，结合单调性解不等式
即可.
【详解】∵ ，
∴ ，
令 ，则
，
∴ 在 上为奇函数，
又∵当 时， ，
∴当 时， ，
∴ 在 上单调递增，
又∵ 在 上为奇函数，
学科网（北京）股份有限公司∴ 在 上单调递增，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ 在 上单调递增，
∴ ，解得： .
故选：A.
4．（2023·广西玉林·统考三模）函数 对任意x， 总有 ，
当 时， ， ，则下列命题中正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是R上的减函数
C． 在 上的最小值为 D．若 ，则实数x的取值
范围为
【答案】C
【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A；
根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B；
根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C；
不等式转化为 ，利用函数的单调性，即可判断D.
【详解】解：取 ， ，则 ，解得 ， ，
则 ．即 ，函数 是奇函数，所以选项A错误；
令 ， ，且 ，则 ，因为当 时， ，所以 ．
则 ．即 ，
函数 是R上的增函数，所以选项B错误；
因为函数 是R上的增函数，所以函数 在 上的最小值为 ，
， ， ．
故 ， 在 的最小值为-2，所以选项C正确；
，即 ，
因为函数 是R上的增函数，所以 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以实数x的取值范围为 ，所以选项D不正确．
故选：C．
5．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知定义在R上的函数 满足
，且函数 是偶函数，当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数 是偶函数，可得函数 的图像关于直线 对称，从而有
，再结合 可得函数 的周期为4，然后利用周期和
将 化到 上即可求解.
【详解】因为函数 是偶函数，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以函数 的周期为4，
所以 ，
因为 ，所以 .
故选：C.
6．（2023·贵州黔西·校考一模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 的图象关
于 对称．若 ，则 （ ）
A．3 B．2 C．0 D．50
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质得到 和 ，再结合函数对称性得到
，赋值求出 、 ；推导出函数 的周期为4，即可求解.
【详解】因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，且 ，
又 的图象关于 对称，则 ，
即 ①，则 ， ，
学科网（北京）股份有限公司在①中，令 ，得 ，
则 ，所以函数 的周期为 ，即 ，
则有 ，
所以
，
故选：C.
二、多选题
7．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，
，且 ．当 时， ，则（ ）
A．
B． 是偶函数
C． 为增函数
D．当 ，且 ， 时，
【答案】ACD
【分析】通过对 赋值可以确定A、B选项的正误，C选项利用单调性的定义来判断，D
选项中令 ，则 ，把递推式代入函数式得 是等比数列.
【详解】因为 定义在 上，且满足 恒成立，
令 ，即 ，解得 ，故A正确；
再令 ，则 ，故 ，故 是奇函数，又 ，
所以函数 一定不是偶函数，故B错误；
任取 ，且 ，则 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，由于 ，所以 ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ．
因为 ， ，所以 ， ，
即 在区间 上单调递增．故C正确；
对于D，因为 ， ，
因为 ，当且仅当 时，即 时等号成立；
所以 ，所以 ，又 ，所以 ．
令 ，则 ．
令 ，则 ，所以 ．
因为 ，所以 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 ，
故D正确．
故选：ACD．
【点睛】方法定睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对
称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的
性质，根据函数的性质解决问题．
8．（2023·山西太原·太原五中校考一模）已知定义域为 的函数 对任意实数 都有
，且 ，则以下结论一定正确的有（ ）
A． B． 是偶函数
C． 关于 中心对称 D．
【答案】BC
【分析】根据赋值法，可判断 或 ，进而判断A，根据赋值法结合奇偶性的
定义可判断C，根据偶函数即可判断对称性，根据对称性以及奇偶性可得函数的周期性，
进而可判断CD.
【详解】令 ，则 或 ，故A错误，
若 时，令 ，则 ，此时 是偶
学科网（北京）股份有限公司函数，若 时，令 ，则 ，此时 既
是偶函数又是奇函数；因此B正确，
令 ，则 ，所以
关于 中心对称，故C正确，
由 关于 中心对称可得 ，结合 是偶函数，所以
，所以 的周期为2，
令 ，则 ，故 ，
进而 ，而 ，由A
选项知 或 ，所以 或 ，故D错误.
故选：BC
9．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考模拟预测）已知函数 的定义域为
，对任意的 ，都有 ，且 ，当 时，
，则（ ）
A． 是偶函数
B．
C．当 ， 是锐角 的内角时，
D．当 ，且 ， 时，
【答案】BCD
【分析】令 ，得 ，令 ，得 ，可验证选项AB；利用定
义法判断函数单调性，结合三角函数的知识验证选项C；令 ，得 ，
可证 是首项为1，公比为2的等比数列，可求 ，验证选项D.
【详解】令 ，得 ，故B正确；
令 ，则 ，所以 为奇函数，故A错误；
学科网（北京）股份有限公司任取 ，且 ，则 .
因为 ，
所以 ，所以 .
因为 ， ，所以 ， ，
即 在 上单调递增.
因为A，B是锐角 的内角，所以 ，所以 ，
所以 .
因为 ，所以 ，故C正确；
因为 ，且 ，所以 .
令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 .
因为 ，所以 是首项为1，公比为2的等比数列，
所以 ，故D正确.
故选：BCD
【点睛】思路点睛：此类抽象函数可利用赋值法进行求解，利用赋值法可以求值、证明函
数奇偶性、推导周期性、利用定义证明函数单调性等等．
10．（2023·福建莆田·统考二模）已知函数 的定义域为R，且
为偶函数，则（ ）
A． B． 为偶函数
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，利用赋值法即可判断；对于B，利用赋值法与函数奇偶性的定义即可判断；
学科网（北京）股份有限公司对于C，利用换元法结合 的奇偶性即可判断；对于D，先推得 的一个周期为6，
再依次求得 ，从而利用 的周期性即可判断.
【详解】对于A，因为 ，
令 ，则 ，故 ，则 ，故A正确；
对于B，因为 的定义域为 ，关于原点对称，
令 ，则 ，又 不恒为0，故 ，
所以 为奇函数，故B错误；
对于C，因为 为偶函数，所以 ，
令 ，则 ，故 ，
令 ，则 ，故 ，
又 为奇函数，故 ，
所以 ，即 ，故C正确；
对于D，由选项C可知 ，
所以 ，故 的一个周期为6，
因为 ，所以 ，
对于 ，
令 ，得 ，则 ，
令 ，得 ，则 ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
所以 ，
又 ，
所以由 的周期性可得：
，故D正确.
学科网（北京）股份有限公司故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于利用赋值法与函数奇偶性的定义推得 的奇偶
性，再结合题设条件推得 为周期函数，从而得解.
11．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知函数 的定义域为 ， 为奇
函数，且对于任意 ，都有 ，则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 为奇函数
【答案】BCD
【分析】依题意可得 ，再由奇偶性得到 ，从而得到
，即可判断A，由 ，可得 ，再由
，即可求出 ，从而判断B，再结合奇偶性的定义判断C、D.
【详解】解：由 ，得 ．
由 是奇函数，得 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 ，故选项A错误；
由 ，得 ，由 ，得 ，所以
，故选项B正确；
由 ， ，得 ，即 为偶函数，故选
项C正确；
由 ， ，得 ，则 ，
即 为奇函数，故选项D正确．
故选：BCD
三、填空题
学科网（北京）股份有限公司12．（2023·浙江台州·统考二模）若定义在 上的函数 满足： ，
，且 ，则满足上述条件的函数 可以为
___________.（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一 也可）
【分析】根据题意可得函数 为偶函数，可取 ，在证明这个函数符合题意即可.
【详解】令 ，则 ，
所以 ，所以函数 为偶函数，
可取 ，则 ，
所以 ， ，
所以函数 符合题意.
故答案为： .（答案不唯一 也可）
13．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数 与 的定义域均为 ，
，且 为偶函数，则
___________．
【答案】248
【分析】由抽象函数变形为 和 ，再利用奇数项和
偶数项的关系求和.
【详解】 ①
因为 是偶函数，所以 ，
用 替换x，得 ，条件 化为 ②，
所以 ，①+②得 ，在②中用 替换x，得
③，则①-③得 ，
则 ， ，
在①中令 ，可得 ，所以 ．
在 中令 ，得 ，
又 ，所以 ，再由 知 ．
学科网（北京）股份有限公司所以 ．
故答案为：248
考法5：由奇偶性求参数
一、单选题
1．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，则在函数
的值域为R的条件下，满足“函数 为偶函数”的概率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的值域为R可得 之间的关系，再根据 为偶函数可得 ，最后
根据条件概率的概率公式可求题设中的概率.
【详解】设事件 为“ 的值域为R”，
设事件 为“函数 为偶函数，
掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，所得基本事件 有：
，
，
，
，
，
，
故基本事件的总数为 .
因为 的值域为R，所以 ，故 ，
而 为偶函数，故 ，
所以 ，整理得到 ，
所以 即 .
故 对应的基本事件 有：
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
，
故共有基本事件的个数为 ，
又 对应的基本事件有 ，
故 ，
故选：D.
2．（2023·山东潍坊·校考模拟预测）若 为奇函数，则 的值为
（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．-1或1
【答案】A
【分析】根据奇函数的定义，取特殊情况 ，可以快速求解出 的值.
【详解】由题得： ，故 .
故选:A.
3．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数 为 上的奇函数，且 ，
当 时， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件及奇函数的性质，利用函数的周期性和单调性即可求解.
【详解】因为 为 上的奇函数,
所以 ，解得 ，
所以当 时，
当 时， 单调递增，
学科网（北京）股份有限公司又因为 为奇函数，
所以当 时， 单调递增.
由 ，即 ，于是 ，
所以 是以周期为 的一个周期函数，
所以
把 代入 可得， ，
所以 ，即 .
因为 在 上单调递增，
所以
所以 .
故选：C.
4．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）已知 是定义在R上的奇函数，当
时， ，若函数 是偶函数，则下列结论不正确的为
（ ）
A． B． 的最小正周期
C． 有4个零点 D．
【答案】D
【分析】对于A：根据奇函数性质运算求解；对于B：根据对称性和奇偶性分析可得
，进而可得周期性；对于C：分别作出 的图象，结合
图象分析判断；对于D：根据题意结合函数性质分析运算.
【详解】对于A：由题意可得： ，解得 ，故A正确；
对于B：∵ 是偶函数，则 ，则 ，
又∵ 为奇函数，则 ，可得 ，
∴ ，则 的最小正周期 ，故B正确；
对C：令 ，则 ，
注意到此时 ，分别作出 的图象，
学科网（北京）股份有限公司由图象可知： 有4个交点，故 有4个零点，
故C正确；
对D：∵ ，
则 ，
可得 ，故D不正确.
故选：D.
二、多选题
5．（2023·河北张家口·统考二模）将函数 的图象向左平
移 个单位长度，得到函数 的图象，若 恒成立，则（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 的图象的对称中心为
C．函数 在 上的最小值为1，最大值为
D．函数 的极小值点为
【答案】BC
【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数 ，根据给定条件求出 ， 的解析式，
再逐项分析、计算判断作答.
【详解】依题意， ，将其图象向左平移 个单位长度，
得到函数 的图象，而 恒成
立，
即函数 为偶函数，于是 ，又 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司因此函数 ，
函数 的最小正周期为 ，A错误；
当且仅当 ，即 时， ，函数 的图象的对称中心为
，B正确；
当 时， ，则当 或 时， ，当 时，
，C正确；
令 ，即 为函数的极小值点，D错误.
故选：BC
三、双空题
6．（2022·全国·统考高考真题）若 是奇函数，则 _____，
______．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称
若奇函数的 有意义，则 且
且 ，
函数 为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得 ，
由 得， ，
，
故答案为： ； ．
[方法二]：函数的奇偶性求参
学科网（北京）股份有限公司函数 为奇函数
[方法三]：
因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的
定义域为 ，再由 可得， ．即
，在定义域内满足 ，符合题意．
故答案为： ； ．
四、填空题
7．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 是偶函数，则 ______.
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数 的值.
【详解】因为 ，故 ，
因为 为偶函数，故 ，
时 ，整理得到 ，
故 ，
故答案为：1
学科网（北京）股份有限公司8．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数 是奇函数，则曲线 在
点 处的切线方程为______．
【答案】
【分析】先根据函数的奇偶性求出 再利用导数的几何意义求解斜率，最后点斜式写出
直线方程.
【详解】由题意函数为奇函数可知
所以 ，所以 ，
则函数可化为 ，
则 ，
则由导数得几何意义可知曲线 在点(0，0)处的切线斜率为-1.
所以曲线 在点 处的切线方程为
故答案为: .
五、解答题
9．（2023·云南昆明·云南省昆明市第十中学校考模拟预测）对于函数 .
(1)若 ，且 为奇函数，求a的值；
(2)若方程 恰有一个实根，求实数a的取值范围；
(3)设 ，若对任意 ，当 时，满足 ，求实数
a的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）利用奇函数的定义可得；
（2）由题可得 ，分类讨论可得；
（3）由题可得 ，进而可得
学科网（北京）股份有限公司对任意的 恒成立，然后求函数 的最小
值即得.
【详解】（1）∵ ，
∴ ，又 为奇函数，
∴ ，
∴ ，对定义域内任意 恒成立，
∴ ，解得 ，
此时 ，定义域为 符合奇函数的条件，
所以 ；
（2）方程 ，
所以 ，
由①可得， ，即 ，
当 时，方程有唯一解 ，满足② ，
所以 符合条件；
当 时，方程有两相等解 ，满足② ，
所以 符合条件；
当 且 时，方程有两不等解 ，
若 满足② ，则 ，
若 满足② ，则 ，
所以当 时方程恰有一个实根；
综上，实数 的取值范围为 ；
学科网（北京）股份有限公司（3）令 ，则 在 上为减函数， 在 上为增函数，
∴函数 在 上为减函数，
当 时，满足 ，
则 ，
∴ ，即 对任意的 恒成立，
设 ，又 ，所以函数 在 单调递增，
所以 ，
∴ .
考法6：由函数奇偶性解不等式
一、单选题
1．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）已知函数 的定义域为R，其导函数为 ，若
，且当 时， ，则
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令 ，由已知可推得 为偶函数， 在 上单调递增，
在 上单调递减.不等式变形可得， .根据二
倍角的余弦公式，可得出 .然后根据 的奇偶性和单调性，可推得
，平方求解不等式，即可得出答案.
【详解】由已知可推得， .
学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，
所以 ，
所以， 为偶函数.
又 ，
因为当 时， ，
所以， ，所以 在 上单调递增.
又 为偶函数，所以 在 上单调递减.
由 可得，
.
因为 ，
所以， .
因为 在 上单调递减， 为偶函数，
所以有 ，
平方整理可得， ，
解得 .
故选：C.
【点睛】关键点睛：构造函数 ，根据已知得出函数的奇偶性以及单调性.
2．（2023·四川成都·校考三模）已知函数 ,则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】化简 ，得到 ，令
学科网（北京）股份有限公司，令 ，求得 ，得到 在 上单调递
增，且函数 为偶函数，进而得到 上单调递减，把不等式 转
化为 ，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数 ，
所以 ，令 ，
可得
令 且 ，
可得 在 上恒成立，所以 ，
所以 在 上单调递增，
又由 ，
所以函数 为偶函数，则在 上单调递减，
又由 ，即 ，即 ，
整理得 ，解得 或 ，
即不等式 的解集为 .
故选：B.
3．（2023·广东广州·统考二模）已知偶函数 与其导函数 的定义域均为 ，且
也是偶函数，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由偶函数的定义结合导数可得出 ，由已知可得出
，可求出 的表达式，利用导数分析函数 的单调
性，可知函数 在 上为增函数，再由 可得出
，可得出关于实数 的不等式，解之即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，等式两边求导可得 ，①
因为函数 为偶函数，则 ，②
学科网（北京）股份有限公司联立①②可得 ，
令 ，则 ，且 不恒为零，
所以，函数 在 上为增函数，即函数 在 上为增函数，
故当 时， ，所以，函数 在 上为增函数，
由 可得 ，
所以， ，整理可得 ，解得 .
故选：B.
4．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，
，且 在 上单调递增，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意不等式 等价于 ，再根据函数的单调性分
和 两种情况讨论即可得解.
【详解】因为 是定义在 上的奇函数， ，且 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
由 ，得 ，
当 时，由 ，得 ，
当 时，由 ，得 ，
所以原不等式的解集为 .
故选：A.
5．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，
，若 ， 且 满足 ，则不等式
的解集为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，确定函数 的单调性，再变形不等式，利用单调性分段求解作
答.
【详解】因为 ， 且 满足 ，则 在 上单调递
增，
因为 是定义在R上的奇函数，且 ，则 ， 在 上单调递增，
由 ，得 ，
当 时，由 ，得 ，当 时，由 ，得 ，
所以原不等式的解集为 .
故选：A
6．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知偶函数 的定义域为 ，其导函数为
，当 时，有 成立，则关于x的不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，利用导数讨论单调性，结合函数的偶函数性质解
抽象不等式.
【详解】构造函数 ，
，
所以函数 在 单调递增，
学科网（北京）股份有限公司因为函数 为偶函数，所以函数 也为偶函数，
且函数 在 单调递增，所以函数 在 单调递减，
因为 ，所以 ，
关于x的不等式 可变为 ，也即 ，
所以 ，则 解得 或 ，
故选:C.
7．（2023·江西·统考模拟预测）定义在区间 上的可导函数 关于 轴对称，当
时， 恒成立，则不等式 的解集为
（ ）
AB
⊥¿¿
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，对 求导，可知当 时， 单调递增，由
可得 ，即 ，然后根据函数的性质
可得不等式，解不等式即可得出答案.
【详解】因为 ，化简得 ，
构造函数 ，
即当 时， 单调递增，
所以由 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
即 .因为 为偶函数且在 上单调递增，
所以 ，解得 .
故选：C.
8．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知函数 ，则
不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性与单调性，根据奇偶性、单调性及
定义域将函数不等式转化为自变量的不等式组，解得即可.
【详解】解：对于函数 ，令 ，解得 或 ，
所以函数的定义域为 ，
又 ，所以 为偶函数，
当 时 ，则 在 上单调递增，
令 ， ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
则 在 上单调递增，从而得到 在 上单调递减，
则不等式 等价于 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 .
故选：C
学科网（北京）股份有限公司二、填空题
9．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，且当 时，
，则满足 的x的取值范围是______________．
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式等价转化为 ，利用
函数的单调性建立条件关系即可
【详解】由函数性质知 ，
，
∴ ，
即 ，解得 ，∴ ，
故答案为： .
10．（2023·河南周口·统考模拟预测）已知函数 是定义在 上的偶函数， 在
上单调递减，且 ，则不等式 的解集为______.
【答案】
【分析】由题意和偶函数的性质可知函数 在 上为减函数，在 上为增函数，
结合 ，分类讨论当 、 时，利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为函数 是定义在R上的偶函数，且在 上单调递减
所以 在 上为增函数，
由 ，得 ，
，当 时， ，
有 ，解得 ；
当 时， ，
有 ，解得 ，
综上，不等式 的解集为 .
学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
考法7：奇偶函数对称性的应用
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ， ， 是
偶函数， ，则 （ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【答案】B
【分析】由函数的奇偶对称性推得 是周期为4的函数，并求得 ，最后
利用周期性求目标函数值.
【详解】由 是偶函数， ，则 ，又 ，
，
所以 是周期函数，周期为4，
对于 ，令 ，得 ，则 ，
所以 .
故选：B
2．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）设函数 在定义域 上满足 ，若
在 上是减函数，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得函数 在定义域 上奇函数，进而可得 在 上是减函数，
根据题意结合单调性解不等式即可.
【详解】∵ ，即 ，
故函数 在定义域 上奇函数，
若 在 上是减函数，则 在 上是减函数，
∵ ，且 ，
若 ，则 ，解得 ，
故不等式 的解集为 .
故选：A.
3．（2023·青海西宁·统考二模）已知图1对应的函数为 ，则图2对应的函数是
学科网（北京）股份有限公司（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两函数图象的关系知，所求函数为偶函数且 时两函数解析式相同，即可
得解.
【详解】根据函数图象知，当 时，所求函数图象与已知函数相同，
当 时，所求函数图象与 时图象关于 轴对称，
即所求函数为偶函数且 时与 相同，故BD不符合要求，
当 时， ， ，故A正确，C错误.
故选：A.
4．（2023·陕西渭南·统考一模）已知函数 满足：①定义域为 ，② 为偶函数，
③ 为奇函数，④对任意的 ，且 ，都有
，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由②得 关于x=1对称，由③得 关于 对称，由④得 在 上单增，
根据得出的信息得 的周期并画出 的草图，将其都转化到同一个单调区间上看图即
可得结果.
【详解】∵ 在R上为偶函数，
∴ ，
∴ 关于x=1对称.
∵ 在R上为奇函数，
∴ ，
∴ 关于 对称，且
∵ ，∴ （将上式中的x换成x-1）①
学科网（北京）股份有限公司又∵ ，∴ ②
∴由①②得： ③
∴由③得： ④ （将③中的x换成x+2）
∴由③④得：
∴ 的一个周期为 ，且 ， 关于 对称
又∵对任意的 ，且 ，都有 ，
∴ 在 上单调递增.
∴ 在一个周期内的草图为：
∴ ，
，
∴如图所示： ，
即： ，
故选：C.
5．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）设函数 定义域为 ， 为奇函数，
为偶函数，当 时， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 为奇函数
C． 在 上是减函数 D．方程 仅有6个实数解
【答案】C
【分析】由题设可得 关于 、 对称且周期为8，利用对称性和周期性求 、
判断 奇偶性及 在 上的单调性，由 与 交点情况，数形结合判
断 根的个数.
【详解】由题设 ，则 关于 对称，即 ，
学科网（北京）股份有限公司，则 关于 对称，即 ，
所以 ，则 ，故 ，
所以 ，即 ，故 ，
所以 的周期为8，
，A正确；
由周期性知： ，故 为奇函数，B正确；
由题意， 在 与 上单调性相同，而 上 递增，
关于 对称知： 上 递增，故 上 递增，
所以 在 上是增函数，C错误；
的根等价于 与 交点横坐标，
根据 、对数函数性质得： ， ，
所以如下图示函数图象：函数共有6个交点，D正确.
故选：C
二、多选题
6．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， 的定义域均为R， 是奇函数，
是偶函数，且 ， ，则（ ）．
A． 为奇函数 B．4为 的一个周期
C． D．
【答案】BD
【分析】根据函数的对称性和奇偶函数的定义可得 、
，由题意，利用赋值法即可判断函数 为偶函数且周期为4，即
可判断AB；利用赋值法和函数的周期性计算即可判断CD.
【详解】对于A：∵ 是偶函数，则函数 关于直线 对称，
∴ ，由 ，令 ，
学科网（北京）股份有限公司得 ，∴ ，则 为偶函数，故A错误；
对于B：由 是奇函数可知， ，
∴ ，令 ，得 ，
则 ，又 ，∴ ，
令 ，得 ，∴ ，
故4为 的一个周期，故B正确；
对于C：由 ，令 ，得 ，
∴ ，
∴ ，故C错误；
对于D：由 与 ，令 ，得 ，
∴ ，由 得， ，
∴
，故D正确．
故选：BD.
三、填空题
7．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）某函数 满足以下三个条件：
① 是偶函数；② ；③ 的最大值为4．
请写出一个满足上述条件的函数 的解析式______．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据所给条件分析函数的性质，结合所学函数可得.
【详解】因为 是偶函数，所以 的图象关于y轴对称，
因为 ，所以 ，即
所以 的图象关于点 对称，所以4为 的一个周期，
又 的最大值为4，所以 满足条件.
故答案为： （答案不唯一）
学科网（北京）股份有限公司
