文档内容
3.5 幂函数与一元二次函数（精讲）
一．幂函数
(1)幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
图象
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
性 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
质 非奇非偶
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数
函数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(－∞，0]上单调
(－∞，0)和
在 R 上单调 递减； [0，＋∞)
单调性 R上单调递增 (0，＋∞)上
递增 (0，＋∞)上单调 上单调递增
单调递减
递增
公共点 (1，1)
二．一元二次函数
1．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
(3)零点式：f(x)＝a(x－x)(x－x)(a≠0)．
1 2
2．二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 R R
值域
在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增；
单调性
在x∈上单调递增 在x∈上单调递减
对称性 函数的图象关于x＝－对称
3．根与系数的关系
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝b2－4ac＞0时，其图象与x轴有两个交点M(x 0)，M(x 0)，这里
1 1， 2 2，
的x，x 是方程f(x)＝0的两个根，且|MM|＝|x－x|＝．
1 2 1 2 1 2
一．幂函数的性质与图象特征的关系
1.解析式：幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
2.奇偶性:判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3.单调性：
(1)当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增．
(2)当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减．
(3)当x∈(0，1)时，α越大，函数值越小，当x∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大．
4.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分
区域．根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
二．一元二次函数
1.解析式
2.二次函数图象
（1）是看二次项系数的符号；
（2）是看对称轴和顶点；
（3）是看函数图象上的一些特殊点．
3.二次函数图象与性质
(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是求定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定
量”(看图求解)．
(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，
解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系
进行分类讨论．
4．由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的
依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x) ，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x) ．
max min
考法一 幂函数的性质
【例1-1】（2023·海南·统考模拟预测）已知 为幂函数，则（ ）．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递减
C． 在 上单调递增 D． 在 上单调递减
【答案】B
【解析】因为 是幂函数，所以 ，解得 或 ，
所以 或 ，
对于 ，函数在 上单调递增，在 上单调递减；
对于 ，函数在 上单调递减，且为奇函数，故在 上单调递减；
故只有B选项“ 在 上单调递减”符合这两个函数的性质．故选：B
【例1-2】（2023·全国·高三对口高考）给定一组函数解析式：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）
A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C
【解析】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故 满足；
图象（2）关于 轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故 满足；
图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故 满足；
图象（4）关于 轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故 满足；
图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故 满足；
图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随 增大递减，故 满足；
图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随 增大递增，故 满足；
故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.故选：C
【例1-3】（2023·江苏）已知函数 是偶函数，且在区间 上单调递增，则下列实数可作为
值的是（ ）
A．-2 B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】对选项A： ， ，函数在 上单调递减，错误；
对选项B： ， ，函数定义域为 ，不是偶函数，错误；
对选项C： ， ，函数定义域为 ， ，函数为偶函数，且在 上单
调递增，正确；
对选项D： ， ，函数定义域为 ， ，函数为奇函数，错误；
故选：C
【一隅三反】
1.（2023·上海黄浦·统考二模）若函数 的图像经过点 与 ，则m的值为____________．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】81
【解析】由题意函数 的图像经过点 与 ，则 ，则
故 ，故答案为：81
2．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知幂函数 ，若 ，则a
的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由幂函数 ，可得函数 的定义域为 ，且是递减函数，
因为 ，可得 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .故答案为： .
3．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）幂函数 在区间 上单调递减，则
下列说法正确的是（ ）
A． B． 是减函数
C． 是奇函数 D． 是偶函数
【答案】C
【解析】函数 为幂函数，则 ，解得 或 .
当 时， 在区间 上单调递增，不满足条件，排除A；
当 时， 在区间 上单调递减，满足题意.
函数 在 和 上单调递减，但不是减函数，排除B；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为函数定义域关于原点对称，且 ，
所以函数 是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.
故选：C.
4．（2023·全国·高三对口高考）已知幂函数 （ 且p与q互质）的图像如图所示，则（ ）
A．p、q均为奇数且 B．p为奇数，q为偶数且
C．p为奇数，q为偶数且 D．p为偶数，q为奇数且
【答案】D
【解析】由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定 ，
又因为p与q互质，所以q为奇数，
故选：D.
考法二 指数式比较大小
【例2】（2023·浙江·高三专题练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ，又因为通过计算知 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 .
故选：B
【一隅三反】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023·河北）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于幂函数 在 上单调递增，又 ， ， ，
，所以 ，则 .故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 ， ， ，
则 ， ，
又 ， ，
则 ，即 ，
所以 ．
故选：D．
考法三 二次函数性质
【例3-1】（2023·云南）已知二次函数 满足 ，且 的最大值是8，则此二
次函数的解析式为 （ ）
A． B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】A
【解析】根据题意,由 得: 的对称轴为 ，
设二次函数为 ，
因 的最大值是8,所以 ,当 时, ，
即二次函数 ，
由 得: ,解得： ，
则二次函数 ，
故选：A.
【例3-2】（2023·山西）若函数 在区间 上是减函数，那么实数a的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数 在区间 上是减函数，所以 ，解得 ，故选：
B.
【例3-3】（2023·山东淄博）设 的定义域为 ，对于任意实数t，则 的最小
值 __________．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】 可化为 ，
当 ，即 时，函数 在 上单调递减，
所以当 时，函数 取最小值，最小值为 ，
当 ，即 时，函数 在 上单调递增，
所以当 时，函数 取最小值，最小值为 ，
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时，函数 取最小值，最小值为 ，
所以 ，故答案为： .
【一隅三反】
1．（2023·广西）已知 （b，c为实数），且 ， ，则 的解析式为
______.
【答案】
【解析】解法一：由题意知 ，解得 ，
所以 的解析式为 .
解法二：由题意知 ，得 ，则 ，得 ，
所以 的解析式为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
2．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数的图象过点 ， ，且顶点到x轴的距离等于2，二
次函数的表达式为________
【答案】 或
【解析】因为二次函数的图象过点 ， ，
所以可设二次函数为 （ ），展开得：
顶点的纵坐标为 ，
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，
∴ ，即 ，
所以二次函数的表达式为 或 .
故答案为： 或 .
3．（2023·福建）已知函数 在 上具有单调性，则实数k的取值范围为（ ）．
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】函数 的对称轴为 ，
因为函数 在 上具有单调性，
所以 或 ，即 或 .故选：C
考法四 二次函数根的分布
【例4-1】（2023·全国·高三专题练习）已知方程 有两个不相等的实数根，且两个实
数根都大于2，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】C
【解析】令
由题可知：
则 ，即
故选：C
【例4-2】（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知关于x的方程 有两个正根，那么两个
根的倒数和最小值是（ ）
A．-2 B． C． D．1
【答案】B
【解析】由题意可得 ，解得 或 ，
设两个为 ， ，由两根为正根可得 ，解得 ，综上知， .
故两个根的倒数和为 ，
， ， ，故 ， ，
故两个根的倒数和的最小值是 .故选：B
【例4-3】（2023·全国·高三专题练习）关于x的方程 恰有一根在区间 内，则
实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】D
【解析】方程 对应的二次函数设为：
因为方程 恰有一根属于 ，则需要满足：
① ， ，解得： ；
②函数 刚好经过点 或者 ，另一个零点属于 ，
把点 代入 ，解得： ，
此时方程为 ，两根为 ， ，而 ，不合题意，舍去
把点 代入 ，解得： ，
此时方程为 ，两根为 ， ，而 ，故符合题意；
③函数与x轴只有一个交点， ，解得 ，
经检验，当 时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内;
综上：实数m的取值范围为 故选：D
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）方程 在区间 内有两个不同的根， 的取值范围
为__．
【答案】
【解析】令 ，图象恒过点 ，
方程 0在区间 内有两个不同的根，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，解得 .
故答案为：
2．（2023·北京）方程 的两根都大于 ，则实数 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】由题意，方程 的两根都大于 ，
令 ，
可得 ，即 ，解得 ．
故答案为： .
3．（2023·全国·高三专题练习）已知方程 的两根分别在区间 ， 之内，
则实数 的取值范围为______．
【答案】 .
【解析】方程
方程两根为 ，
若要满足题意，则 ，解得 ，故答案为： .
考法五 二次函数成立问题
【例5-1】（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）命题“ ”为假命题，则命题
成立的充分不必要条件是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为命题“ ”为假命题，所以，对 ， 恒成立，
当 时， 在 上恒成立，所以 满足条件，
当 时，令 ，对称轴 ，且 ，所以，当 时，
恒成立，
当 时，显然有 不恒成立，
故对 ， 恒成立时， ，所以则命题成立的充分不必要条件是选项C.
故选：C.
【例5-2】（2023·全国·高三专题练习）若存在实数 ，使得 成立，则实数 的取值范
围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】①当 时，不等式化为 ，解得： ，符合题意；
②当 时， 为开口方向向上的二次函数，
只需 ，即 ；
③当 时， 为开口方向向下的二次函数，
则必存在实数 ，使得 成立；
综上所述：实数 的取值范围为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 对一切 恒成立，则 的最小值为________．
【答案】－4
【解析】∵当 时， 恒成立，
∴ 恒成立，
又当 时， ，当且仅当x＝2时取等号．
∴ ，
∴ ，故a的最小值为－4.
故答案为： .
2．（2023·福建）命题: ， 的否定为真命题，则实数a的最大值为__________.
【答案】5
【解析】由特称命题的否定可知： ， 的否定为
，且为真命题.
分离参数化简得： 恒成立.
对 ，当且仅当 时取得最小值4，
即 ，∴a的最大值为5
故答案为：5
3．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 对任意 恒成立，实数x的取值范围是
_____.
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】 可转化为 .
设 ，则 是关于m的一次型函数.
要使 恒成立，只需 ，
解得 .故答案为：
4．（2023·全国·高三专题练习）已知命题 ：“ ”为真命题，则实数 的取值范围
为________________.
【答案】
【解析】当 时， 变形为 ，
构造函数 ，对称轴为 ，
所以函数 在 上单调递增，
则 时， ，
所以 ，即 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
