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7.2 空间几何中的垂直（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 线线垂直
【例1】（2022·河南）如图，在四棱锥 中，底面ABCD为平行四边形， ， ，
，平面 平面ABCD．
(1)证明： ；
(2)若 ，E为AD的中点，求三棱锥 的体积．【一隅三反】
1．（2022·北京）如图，在四棱锥 中，平面 底面 ，底面 为平行四边形，
.
(1)求证： ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，指出点 的位置；若不存在，请说明理由.
2．（2022·吉林·东北师大附中）如图，四棱锥 中，底面ABCD为直角梯形， ，
， ， ， 为等边三角形，平面 平面ABCD.
(1)证明： ；
(2)求三棱锥 的体积.
3．（2022·四川成都）如图，四棱锥 中，四边形 为直角梯形， ，在底面 内的射影分别为 ， .求证：
考点二 线面垂直
【例2】（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 ，底面 为梯形，且 ，
，等边三角形 所在的平面垂直于底面 ， .求证： 平面 ；
【一隅三反】
1（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥 中，四边形 为菱形，，且平面 平面 .证明： 平面 ；
2．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形 中 过 点作 的垂线交 的延长线
于点 ， .连接 交 于点 ，如图1，将 沿 折起，使得点 到达点 的位置.如图
2.证明：直线 平面 .
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 中，平面 平面 ， 为 的中点，
为 的中点，且 ， ， ．证明： 平面考点三 面面垂直
【例】（2022·全国·高三专题练习）在如图1所示的等腰梯形 中， ，将它
沿着两条高 折叠成如图2所示的四棱锥 （ 重合），点 分别为线段 的中
点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 .
【一隅三反】
1．（2022·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直线CE与平面ABC所成角的正切值为 ．
(1)若G，F分别是EC，BD的中点，求证： 平面ABC；
(2)求证：平面BCD⊥平面ACD．
2．（2022·四川成都）如图，三棱锥 中，等边三角形 的重心为O， ，
， ，E，F，M分别是棱BC，BP，AP的中点，D是线段AM的中点.
(1)求证： 平面DEF；
(2)求证：平面 平面PBC.
3．（2022·河南·信阳高中）如图所示，直三棱柱 中， 为 中点．(1)求证： 平面 ；
(2)若三棱柱 上下底面为正三角形， ， ，求证：平面 平面 ．
4．（2022·北京大兴）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形， 分别为
， 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ；
(3)若平面 平面 ，求 的大小.
