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9.2 利用导数求单调性（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现例题剖析
考点一 无参函数的单调区间
【例1】（2022高二下·滦南期末）函数 单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】f′(x)= ， 令f′(x)<0，解得：1<x<e，故f(x)在(1，e)递减，故答案为：D.
【一隅三反】
1．（2022·全国课时练习）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，由 ，得 ，所以函数 的单调递增区间是 ．
故选：D.
2（2022·全国·课时练习）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 的定义域为 ，
，
令 ，得 ，解得 ，
故函数 的单调递增区间为 ．故选：B．
3．（2022·全国·高三专题练习（文））函数 的单调递减区间为__________．
【答案】
【解析】当 时， ，则其在 上递减，
当 时， ，则 ，
当 时， ，所以 在 上递减，
综上， 的单调递减区间为 ，
故答案为：
考点二 单调函数求参数
【例2-1】（2022高三上·成都开学考）若函数 在区间 上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意，已知条件等价为 在 上恒成立，
即 在 上恒成立， ，
在 上单调递减， ， ，
的取值范围是 .故答案为：B.【例2-2】（2022·浙江）已知函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意， 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
因为 在 上单调递增，所以 ，
所以在 时， ，所以 .故选：B
【一隅三反】
1．（2022·新疆）若函数 在区间 上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意 在区间 上恒成立，即 在区间 上恒成立.
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，则 ，所
以 .故选:B.
2．（2022·河南）若函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，又 在 上单调递增，故 在 上恒成立，而 时，
易见 ，只需要 即可，故 .故选：B.
3．（2022·惠州模拟）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
又函数 在 上单调递增，
所以 在 恒成立，
分离参数可得 在 恒成立，
令 ， ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故答案为： .
考点三 非单调函数求参数
【例3-1】（2022·黑龙江）若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 可得： .
因为函数 在区间 内存在单调递增区间，所以 在 上有解，即 在 上有解.
设 ，由 在 上恒成立，所以 在 单调递增，所以
.
所以 .
故选：D
【例3-2】（2022·北京十四中高三开学考试）若函数 在区间 上不是单调函数，
则实数k的取值范围是（ ）
A． 或 或 B． 或
C． D．不存在这样的实数
【答案】B
【解析】
，
令 ，解得 ，或 ，所以当 或 时 ，
当 时 ，所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
即函数 极值点为 ，
若函数 在区间 上不是单调函数，
则 或 ，
所以 或 ，
解得 或故选：B．
【例3-3】（2022·上海）已知函数 存在三个单调区间，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数 ，可得 ，
因为函数 存在三个单调区间，可得 有两个不相等的实数根，
则满足 ，解得 或 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·福建·莆田一中）已知函数 在区间 上不是单调函数，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 在区间 上不是单调函数，
所以 在区间 上有解，即 在区间 上有解．
令 ，则 ．
当 时， ；当 时， ．故 在 上单调递减，在 上单调递增．又因为 ，
且当 时，
所以 在区间 上单调递增，所以 ，解得 .
故选：A
2．（2022北京）若函数 存在递减区间，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题设， ，由 存在递减区间，即存在 使 ，
∴ ，可得 或 .
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数 在定义域内的一个子区间 上不是
单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．(1，2] D．[1，2)
【答案】A
【解析】显然函数 的定义域为 ， ．
由 ，得函数 的单调递增区间为 ；
由 ，得函数 单调递减区间为 ．因为函数在区间 上不是单调函数，所以 ，解得 ，又因为 为
定义域内的一个子区间，所以 ，即 ．
综上可知实数k的取值范围是 ．
故选：A
4．（2022·云南）若函数 恰好有三个不同的单调区间，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得 ，
函数 恰好有三个不同的单调区间， 有两个不同的零点，
所以， ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故选：D.
考点四 单调性的运用
【例4-1】（2022·湖北模拟）已知函数 ，不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减，则 等价于 ，解得 ，即原不等式的解集为 .
故答案为：B.
【例4-2】（2022·湖北模拟）已知： ， ， ，则 、 、 大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ，
当 时， ，所以函数 在 上递增，所以 ，
即 ，
又 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
，
所以 ，
所以 .
故答案为：B.
【例4-3】．（2022·四川·遂宁中学外国语实验学校高三开学考试（理））设 是函数 的导函数，
的图像如图所示，则 的图像最有可能的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由导函数的图象可得当 时， ,函数 单调递增；
当 时， ,函数 单调递减；
当 时， ,函数 单调递增.
只有C选项的图象符合.
故选:C.
【一隅三反】
1．（2022·江阴模拟）已知 ，则 ， ， 的大小为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】令函数 ，当 时，求导得： ，
则函数 在 上单调递减，又 ， ，
，
显然 ，则有 ，所以 .
故答案为：C
2．（2022·全国课时练习）已知函数 在定义域 内可导，其图象如图所示.记 的导
函数为 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【解析】对于不等式对 ，
当 时， ，则结合图象，知原不等式的解集为 ；
当 时， ，则结合图象，知原不等式的解集为 ．
综上，原不等式的解集为 ．
故选：A
3．（2022·湖北模拟）已知定义域为R的函数 ，有 且 ，
，则 的解集为 ．
【答案】
【解析】 ，
在 为增函数，又 为偶函数，
∴ ，则 ，得 或 ，
解集为
故答案为： ．
