文档内容
专题 02 导数与函数的单调性
目录
题型一： 函数的单调性...................................................................................................................2
题型二： 含参数的函数的单调性..................................................................................................5
题型三： 函数单调性的应用——比较大小或解不等式..............................................................8
题型四： 函数单调性的应用——根据函数的单调性求参数的范围........................................12
题型五： 函数单调性的应用——构造函数................................................................................16
知识点总结
知识点一、函数的单调性与导数的关系
一般地，函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a，b)
上，如果 f ′( x )>0 ，那么函数y＝ f (x)在区间(a，b)上单调递增；如果 f ′( x )<0 ，那么函数y
＝ f (x)在区间(a，b)上单调递减．
知识点二、利用导数判断函数f (x)单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f ′(x)的零点；
第3步，用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各个区间上
的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．
【常用结论与知识拓展】
1．在某区间内，f ′(x)>0(f ′(x)<0)是函数f (x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件．
可导函数f (x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)
且f ′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．2．构造函数解抽象不等式
(1)对于不等式f ′(x)>k(k≠0)，构造函数g(x)＝f (x)－kx＋B．
(2)对于不等式xf ′(x)＋f (x)>0，构造函数g(x)＝xf (x)；对于不等式xf ′(x)－f (x)>0，构造
函数g(x)＝(x≠0)．
(3)对于不等式xf ′(x)＋nf (x)>0，构造函数g(x)＝xnf (x)；对于不等式xf ′(x)－nf (x)>0，构
造函数g(x)＝(x≠0)．
(4)对于不等式f ′(x)＋f (x)>0，构造函数g(x)＝exf (x)；对于不等式f ′(x)－f (x)>0，构造函
数g(x)＝.
(5)对于不等式f ′(x)sin x＋f (x)cos x>0(或f (x)＋f ′(x)tan x>0)，构造函数g(x)＝f (x)sin
x；对于不等式f ′(x)cos x－f (x)sin x>0(或f ′(x)－f (x)tan x>0)，构造函数g(x)＝f (x)cos x.
例题精讲
题型一：函数的单调性
【要点讲解】求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求 f' ( x ) .
(3)在定义域内解不等式 f' ( x )>0 ,得单调递增区间.
(4)在定义域内解不等式f'(x)<0,得单调递减区间.
确定不含参数的函数的单调性,应注意一是不能漏掉求函数的定义域,二是函数的单调区间不
能用并集,要用“逗号”或“和”隔开.
【例1】求下列函数的单调区间：
（1） ；
（2） ；
（3） ．【解答】解：（1）函数 的递增区间为 ， ， ，递减区间为
， ， ，
则函数 的递增区间为 ， ， ，递减区间为 ，
， ．
（2）函数 的递增区间为 ， ， ，递减区间为 ，
， ，
则函数 的递减区间为 ， ， ，递增区间为 ，
， ．
（ 3 ） 由 ， ， 得 ， ， 即
，即函数的递增区间为 ， ， ．
由 ， ， 得 ， ， 即
，即函数的递减区间为 ， ， ．
【变式训练1】求下列函数的单调区间：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）函数 的增区间，即函数 的减区间，为 ，
， ；函数 的减区间，即函数 的增区间，为 ， ， ．
（ 2 ） 对 于 函 数 ， 令 ， ， 求 得
， ，
可得函数的增区间为 ， ， ．
令 ， ，求得 ， ，
可得函数的减区间为 ， ， ．
【变式训练2】求下列函数的单调区间：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【解答】解：（1） ，令 ， ，得 ，
，
令 ， ，得 ， ，
则 单调增区间为 ， ， ；单调减区间为 ， ，
；
（2） ，令 ， ，得 ，
，
令 ， ，得 ， ，
则 单调增区间为 ， ， ；单调减区间为 ，， ；
（3） ，令 ， ，得 ， ，
令 ， ，得 ， ，
则单调增区间为 ， ， ；单调减区间为 ， ，
；
（4） ，根据正切函数的特点，此函数没有单调减区间，
令 ， ， ， ，
则单调增区间为 ， ， ．
【变式训练3】求下列函数的单调区间：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）由题意得函数 的定义域为 ， ，
由 得 ，由 得 ，由 得 ，
在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
（2）由题意得函数定义域为 ， ，
当 时， ，由 得 ，由 得 ，由 得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时，由 得 或 ，，
由 得 或 ，由 得 ，
在 ， 上单调递减，在 和 上单调递增．
题型二：含参数的函数的单调性
【要点讲解】函数在某区间上的单调性的讨论
(1)在区间内f'(x)>0(或f'(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(或减)函数的充分不必要条件.
(2)可导函数f(x)在(a,b)上是增(或减)函数的充要条件: x∈(a,b),都有 f' ( x )≥0( 或 f' ( x )≤0) ,且f'(x)
在(a,b)的任何子区间内都不恒为零. ∀
(3)由函数f(x)在(a,b)上的单调性,求参数取值范围的问题,可化为 f' ( x )≥0( 或 f' ( x )≤0) 恒成立的
问题.要注意“=”能否取到.
研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.
【例2】（2023春•凉山州期末）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
【解答】解：（1） ，
，
① 时， ， 在 递增，
② 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
故 在 递增，在 ， 递减，
综上： 时， 在 递增，
时， 在 递增，在 ， 递减．
【变式训练1】（2023春•天祝县校级月考）已知函数 ．（1）当 时，求函数 的极值；
（2）讨论 的单调性．
【解答】解：（1）当 时， ，
，
令 得 ，
所以在 上 ， 单调递增，
在 上 ， 单调递减，
所以当 时， （2） ，无极小值．
（2） ，
令 ， ，
当 时， ，
在 上 ， ， 单调递增，
在 上 ， ， 单调递减，
当 时，令 得 或2，
若 ，即 时，在 上 ， ， 单调递增，
若 ，即 时，在 上 ， ， 单调递增，
在 上 ， ， 单调递减，
在 ， 上 ， ， 单调递增，若 ，即 时，在 上 ， ， 单调递增，
在 ， 上 ， ， 单调递减，
在 上 ， ， 单调递增，
当 时，令 得 或2，
在 上 ， ， 单调递增，
在 上 ， ， 单调递减，
综上所述：当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 在 上 单调递增，在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，在 上单调递增．
【变式训练2】（2023春•合肥期中）设函数 ．
（1）求 的单调区间；
【解答】解：（1） 的定义域为 ， ，
若 ，则 ， 在 上单调递增；
若 ，由 ，解得 ．
当 变化时， ， 变化如下表：
0减 极小值 增
所以 的单调减区间是： ，增区间是： ．
【变式训练3】（2023春•武功县期中）已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
【解答】解：（1）由题意得函数定义域为 ， ，
当 时， 恒成立，
当 时，由 得 ，由 得 ，由 得 ，
综上所述，当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
【变式训练4】（2023春•江宁区期末）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
【解答】解：（1）由 ，得 ，
①当 时， ， 在 上单调递减，
②当 时，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增，
， ， 单调递减；
综上：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 递增，在 递减．题型三：函数单调性的应用——比较大小或解不等式
【要点讲解】1.比较函数值大小时,若自变量不在同一单调区间内,则要利用函数的性质,将其
转化到同一个单调区间上,再进行比较.
2.利用单调性比较大小或解不等式,关键是根据题意构造辅助函数,利用构造的函数的单调性
比较大小或解不等式.
3.常构造的辅助函数: ， ， ， ,
, 等.
【例3】（2023春•青岛期中）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系
为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得 ， ， ，
令 ，
则 ，
由 得 ，即 在 上单调递减，
又 ，则 （e） （4） （5），即 ，
．
故选： ．
【变式训练1】（ 2023 春 • 天 祝 县 校 级 月 考 ） 已 知 ， ，
，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．【解答】解：设 ，
，
令 得 ，
所以在 上 ， 单调递增，
在 上 ， 单调递减，
，
，
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
故选： ．
【变式训练2】（2023春•齐齐哈尔月考）已知 ， ， ，则 、 、
的大小关系为
A． B． C． D．
【解答】解：设 ，则 ．
令 ，解得 ．
则 在 上单调递减．
， ，．
又 ， ，
．
故选： ．
【变式训练3】（2023春•辽宁期中）设 ，则 ， ， 的大小关系
为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
令 ， ，
，
由 得 ，
在 上单调递减，
， ，即 ，
；
，
设 ，则 ，
则 ，
当 时， ，
，
在 单调递减，
又 ，则 ，
，
，即 ，
．
故选： ．
题型四：函数单调性的应用——根据函数的单调性求参数的范围
【要点讲解】1.f(x)在区间D上单调递增(减),只要f'(x)≥0(≤0)在区间D上恒成立即可,如果能
够分离参数,则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.
2.二次函数在区间D上大于零恒成立,讨论的标准是二次函数的图象的对称轴与区间 D的相对位置,一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论.
【例4】（2023春•民勤县校级月考）已知函数 在 ， 上单调递增，
则实数 的取值范围是
A． ， B． C． D．
【解答】解：函数 在 ， 上单调递增，
即 在 ， 恒成立，
则 在 ， 恒成立，
而 在 处取得的最大值0，
所以 ．
故选： ．
【变式训练1】（2023春•驻马店月考）已知函数 在 上单调递增，则 的取
值范围是
A． B． ， C． D．
【解答】解：因为 在 上单调递增，
所以任意 ， 恒成立，
所以任意 ， 恒成立，
所以任意 ， 恒成立，
所以 ，
故选： ．【变式训练2】（2023春•武安市校级月考）若函数 在区间 内存在单
调递减区间，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得 ，函数定义域为 ，
①当 时， ，即函数 单调递减，
当 时，函数 在区间 内存在单调递减区间，符合题意；
②当 时，由 得 ，
当 时， ，即 在 单调递减；
当 时， ，即 在 上单调递增，
函数 的减区间为 ，增区间为 ，
若函数 在区间 内存在单调递减区间，
只需满足 ，解得 ，
综上所述， ，即实数 的取值范围是 ．
故选： ．
【例5】（2023 春•濮阳期末）若函数 在其定义域的一个子区间
内不是单调函数，则实数 的取值范围是A． B． C． D．
【解答】解： 的定义域为 ， ，
得， ； 得， ；
函数 定义域内的一个子区间 内不是单调函数，
，
．
故选： ．
【变式训练1】（2023春•石景山区校级期中）函数 在区间 上单调递
减，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解： 函数 在区间 ， 上单调递减， ，
在区间 ， 上恒成立，
在区间 ， 上恒成立，
，
又函数 在 ， 上单调递减，
当 时，函数 ， ， 取最大值，且最大值为 ，
，即 的取值范围为 ．
故选： ．
【变式训练2】（2023春•利州区校级期中）若函数 有三个单调区间，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． D． ，
【解答】解：由题意得 ，函数定义域为 ，
函数 有三个单调区间，
有两个不相等的实数根，
，即实数 的取值范围是 ．
故选： ．
【变式训练3】（2023春•永昌县校级期中）若函数 在 上不单调，则实
数 的取值范围为
A． B． ， ，
C． D．
【解答】解：由题意得 ，
在 上不单调，
在 上有极值点，
当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递减，不满足题意；
当 时，由 得 ，则 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 ， ．
故选： ．
【变式训练4】（2023春•西夏区校级月考）若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是
A． B． C． ， D． ，
【解答】解： ，
函数 在区间 单调递增，
在区间 上恒成立，
在区间 上恒成立，
而 在区间 上单调递减， ，
， ．
故选： ．
【变式训练5】（2023春•洛阳月考）已知函数 在 上单调递增，
则实数 的取值范围是
A． ， B． C． ， D． ，
【解答】解：由题意得 ， ，
函数 在 上单调递增，
在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，
，即实数 的取值范围是 ， ．
故选： ．题型五：函数单调性的应用——构造函数
【要点讲解】解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合
起来,合理构造出相关的可导函数,然后利用该函数的性质解决问题
【例6】（2023春•上高县校级期末）已知若 为定义在 上的偶函数，且当 ，
时， ，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设 ，
则 ，
若 为偶函数，则 ，即可得函数 为偶函数，
又由当 ， 时， ，则 单调递增，则 在 ， 上递减，
则 ，解可得 ，
即不等式的解集为 ， ；
故选： ．
【变式训练1】（2023春•平度市期末）定义在 上的函数 满足 ，且
时， ，则
A． B．
C． （4） （2） D．
【解答】解：令 ，则 ，
因为 时， ，
所以 时， ， 单调递增，所以 （4） （3） （2）， （1），
即 ，所以 （4） （2），故 错误；
（2） （1）， （3） （1）， （4） （3），
因为定义在 上的函数 满足 ，
所以 （4） ， （3） （3）， （2） ， （1） ，
所以 ，即 ，故 正确；
所以 ，即 ，故 错误；
所以 ，即 ，故 错误．
故选： ．
【变式训练2】（2023春•东莞市期末）已知函数 的定义域为 ，其导函数
满足 ，则不等式 的解集为
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意知，当 时， ，
设 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，
不等式 等价于 ，即为 ，所以 ，
解得 ．
故选： ．
【变式训练3】（2023春•静海区期中）已知 是定义在 上的偶函数，其导函数为
，若 ，且 ， ，则不等式 的解集
为
A． B． C． ， D． ，
【解答】解：因为 为偶函数，
所以 ，所以 ，
即函数 是周期为4的周期函数，
因为 （1） ，
令 ，则 ，
因为 ，
则 ，即 在 上单调递减，
由不等式 可得 ，即 （1），
解得 ，即不等式 的解集 ．
故选： ．
【变式训练4】（2023春•高陵区校级期中）设函数 是偶函数 的导函数，，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【解答】解：设 ，
则 ，
当 时总有 成立，
即当 时， ，
当 时，函数 为减函数，
又 ，
是奇函数，
在 上是减函数，
，
，
（1） ，
当 ，要使得 ，
即 ，解得： ，
当 时，要使得 ，
即 ，解得： ，故不等式 的解集是 ， ， ，
故选： ．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．（2023春•西青区期末）已知可导函数 的导函数为 ， ，若对任意
的 ，都有 ，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
【解答】解：令 ，
，
因为对任意的 ，都有 ，
所以对任意的 ，都有 ，
所以对任意的 ，都有 ， 单调递增，
不等式 可化为 ，进而可得 ，
所以 ，
所以 ，
故选： ．
2．（2023 春•涪城区校级期中）函数 定义域为 ，其导函数为 ，若
， ，且 （1） ，则不等式 的解集为A． B． C． D．
【解答】解：令 ，
则
故 在 单调递减，
又因为 （1） （1） ，
所以不等式 等价于 （1），故 ．
故选： ．
3．（2023春•鄠邑区期末）如图是函数 的导函数 的图象，则下列命题错
误的是
A．函数 在 上的图象越来越陡
B．1不是函数 的极值点
C． 在 处切线的斜率小于零
D． 在区间 上单调递增
【解答】解：由 的图象可知，导函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上的图象越来越陡，故选项 正确；
因为当 时，在该点的左、右两侧的导函数值均为正，所以1不是函数 的极值点，故选项 正确；
因为 ，
所以 在 处切线的斜率大于零，故选项 错误；
在区间 上， ，
所以函数 在 上单调递增，故选项 正确．
故选： ．
4．（2023春•和平区期末）若函数 在 ， 上存在单调递减区间，
则实数 的取值范围为
A． B． C． ， D．
【解答】解：因为 在 ， 上单调递减，
所以存在 ， 时， ，
即存在 ， ， ，
令 ， ， ，
则由题意可知，只需 ，
而 ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 （此时 ，
所以 ，
所以 的取值范围是 ，故选： ．
5．（2023春•桃江县期末）已知 ， ， ，其中 为自然对数的底数，
则
A． B． C． D．
【解答】解：不妨设 ， ，
可得 ，
不妨设 ，函数定义域为 ，
可得 ，
所以 在定义域上单调递减，
则 ，
所以函数 在定义域上单调递减，
则 ，
当 时， ，
即 ，
则 ，
不妨设 ，函数定义域为 ，
可得 ，
所以 在定义域上单调递增，
此时 ，则 ，
即 ，
可得 ，
则 ，
故 ．
故选： ．
6．（2023春•顺德区校级月考）若函数 在区间 内存在单调递减区间，
则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得 ，函数定义域为 ，
①当 时， ，即函数 单调递减，
当 时，函数 在区间 内存在单调递减区间，符合题意；
②当 时，由 得 ，
当 时， ，即 在 单调递减；
当 时， ，即 在 上单调递增，
函数 的减区间为 ，增区间为 ，
若函数 在区间 内存在单调递减区间，只需满足 ，解得 ，
综上所述， ，即实数 的取值范围是 ．
故选： ．
二．多选题（共2小题）
7．（2023春•杭州期中）已知函数 ，则下列结论中正确的是
A．导函数 的单调递减区间为
B． 的图象关于点 中心对称
C．过原点 只能作一条直线与 的图象相切
D． 恰有两个零点
【解答】解：因为 ，所以 ，
则导函数 为对称轴是 ，且开口向上的抛物线，
故其单调减区间为 ， 错误；
因为 ，
所以 的图象关于点 中心对称， 正确；
设过原点 的直线与 相切于点 ， ，
则 ，整理得 ，
令 ， ，
令 ，得 或 ，令 ，得 ，
故 有极大值 ，极小值 （1） ，由三次函数性质得 只有一个解，
则过原点 只能作一条直线与 的图象相切， 正确；
令 ，得 或 ，令 ，得 ，
所以函数 有极大值 ，极小值 （2） ，
由三次函数性质得 有三个解，即 有三个零点，
故 错误．
故选： ．
8．（2022秋•安丘市期末）已知定义在 上的函数 ，其导函数 的大致图象如图
所示，则下列叙述不正确的是A． （a） （e） （d）
B．函数 在 ， 上递增，在 ， 上递减
C．函数 的极值点为 ，
D．函数 的极大值为 （b）
【解答】解：由导数与函数单调性的关系知，当 时 递增， 时
递减，
结合所给图象知， 时， ，
在 上单调递增，
时， ，
在 上单调递减，
函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值；
（c） （e），
故选： ．
三．填空题（共4小题）
9．（2023春•松江区校级期中）若函数 在 ， 上严格增，那么
的取值范围是 ， ．
【解答】解： 函数 在 ， 上严格增，在 ， 上恒成立，
在 ， 上恒成立，
而 在 ， 上的最大值是2，
故 的取值范围是 ， ，
故答案为： ， ．
10．（2023春•阳高县校级期末）已知函数 ，其中 是自然对数的
底数．若 ，则实数 的取值范围是 ， ．
【 解 答 】 解 ： 因 为
，
所以函数 为奇函数，
又 ，所以函数 为增函数，
由 ，可知， ，即 ，解之得 ，
故答案为： ， ．
11．（2023春•叙州区校级期中）函数 的单调递减区间为 ， 和 ．
【解答】解： ，因为定义域为 ， ， ，
所以 时， ，所以单调减区间为 ．故答案为： ．
12．（2023•徐汇区校级三模）设函数 在 上存在导数 ，对任意的 ，
有 ，且在 上 ．若 ．则实
数 的取值范围为 ．
【解答】解：令 ，
因为 ，
则 ，
所以 ，即 为偶函数，
因为在 上 ，
所以 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
由 可得 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
解得 ．
故答案为： ．
四．解答题（共3小题）13．（2023春•鄄城县校级月考）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由 题 意 得 函 数 的 定 义 域 为 ， 则
，
①当 时， ；
②当 时，由 得 ，由 得 ，
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
14．（2023春•浙江月考）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
【解答】解：（1）当 时， ，函数定义域为 ，
可得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以函数 单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
15．（2023•雅安三模）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
【解答】解：（1）函数 的定义域为 ，，
当 时， 恒成立， 单调递减，
当 时，令 得 ，
所以在 上 ， 单调递减，
在 ， 上 ， 单调递增，
综上所述，当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增．
