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第 10 讲 导数与函数的单调性
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
f′(x)＞0 f(x)在(a，b)上单调递增
函数y＝f(x)在区间
f′(x)＜0 f(x)在(a，b)上单调递减
(a，b)上可导
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f′(x)在各区
间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
二、考点和典型例题
1、不含参函数的单调性
【典例1-1】1．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数 ，不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减，
则 等价于 ，解得 ，即原不等式的解集为 .
故选：B.
2．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三阶段练习（理））函数 的单调增区间是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
∵ ，∴ ，
当x＞2时， ，∴f(x)的单调递增区间是 ．
故选：D．
3．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数 的导函数为 ，若对任意的 ，
都有 ，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设函数 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，即 ，所以 在 上单调递减，因为 ，
所以 ，因为 ，整理得 ，
所以 ，因为 在 上单调递减，所以 .
故选：C.
4．（2022·浙江金华·模拟预测）已知函数
(1)当 时，讨论 的单调区间；(2)当 时，若 有两个零点 ，且 ，求证： .
【解析】(1)
当 时，
所以，当 时， 在 上增，在 上减；
当 时， 在 上减，在 上增.
(2)
方法一：参数分离
有两个不同的零点
令 ，则
令 得
当 时， ，所以： 在 递增；
当 时， ，所以： 在 递减.显然 时， .
作出 的图象如下：所以：∴ ，
所以： ，所以， ；
下面证明： .要证： ，因为
所以：
由（1）得 .所以 ，原不等式得证.
综上所述： .
方法二：部分参数分离
零点 .
从而 为 的图像与 交点的横坐标.对给定的a，令
使得 ，即 ，
得 ，存在且唯一，此时 的图像与 有唯一交点.
又 ，由（1）得，当 时， ，所以 ，
（这里要说明 ）又因为 成立.
5．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数 ，（ 且 ）.
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若函数 有两个零点，求a的取值范围.【答案】(1)增区间为 ，减区间为 (2)
【解析】(1)
当 时， ，
当 时， ，当 时 ；
故 的单调递增区间为 ，递减区间为 .
(2)由题意知 在 有两个不等实根，
，
令 ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
又 ， ， ， ， ， ，
作出 的图象如图所示：
由图可知 ，解得 且 ，
即a的取值范围为 .2、含参函数的单调性
【典例2-1】1．（2022·四川绵阳·二模（文））若 是函数
的极大值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，
若 时，当 时， ；当 时， ；
则 在 上单调递减；在 上单调递增.
所以当 时， 取得极小值，与条件不符合,故满足题意.
当 时，由 可得 或 ；由 可得
所以在 上单调递增；在 上单调递减，在 上单调递增.
所以当 时， 取得极大值，满足条件.
当 时，由 可得 或 ；由 可得
所以在 上单调递增；在 上单调递减，在 上单调递增.
所以当 时， 取得极小值，不满足条件.
当 时， 在 上恒成立，即 在 上单调递增.
此时 无极值.
综上所述： 满足条件
故选：A2．（2021·湖北·应城市第一高级中学高三阶段练习）已知函数 ，若不等
式 在区间 上恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：由已知可得 即为 ，
设 ， ，
则 ，
当 时，显然 ，当 时， 在 上也成立，
所以 时， 在 上单调递减， 恒成立；
当 时，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
于是，存在 ，使得 ，不满足 ，舍去此情况，
综上所述， .
故选：A.
3．（2021·黑龙江绥化·高三阶段练习（理））已知 ，则下列说法正
确的是（ ）
A．当 时， 有极大值点和极小值点B．当 时， 无极大值点和极小值点
C．当 时， 有最大值 D．当 时， 的最小值小于或等于0【答案】D
【详解】
由题设， 且 ，
当 时 ，则 在 上递增，无极值点和最大值，A、C错误；
当 时，若 则 ， 递减； 则 ，
递增；
所以 ，即 无极大值点，有极小值点，B错误；
令 且 ，则 ，
当 时 ， 递增；当 时 ， 递减；
所以 ，即 的最小值小于或等于0，D正确；
故选：D
4．（2022·全国·模拟预测）（多选题）已知 ，则
（ ）
A．当 ， ， 时，
B．当 ， ， 时，
C．当 ， ， 时，
D．当 ， ， 时，
【答案】AC
【详解】
设 ，
因为 ，所以 ，当 ， 时，
，即 .
易知 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以 ，故选项A正确，选项B错误.
当 ， 时， ，即 .
当 时，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，故选项C正确，选项D错误.
故选：AC.
5．（2022·广东佛山·三模）已知函数 ，其中 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时， 是 的零点，过点 作曲线 的切线 ，试证明
直线 也是曲线 的切线．
【解析】(1)
解：因为 定义域为 ，
所以 ，
①当 时， 在 上恒成立，
所以函数 在 上单调递增，没有减区间；
②当 时，令 时， ，且 ，
令 得 ，所以 的增区间为 ．
令 得 ，所以 的减区间为
(2)
解：当 时， 是 的零点，所以
即
由 得 ，由 得 ．
所以过点 作曲线 的切线 的方程为
（*）
假设曲线 在点 的切线与 斜率相等，
所以 ，所以 ，即
把 代入（*）式得所以点 在切线 上．
所以直线 也是曲线 的切线
3、根据函数的单调性求参数
【典例3-1】1．（2022·福建南平·三模）对任意的 ，当 时，
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
，即 ，
令 ，由题意得 在 上单调递减，
故 ，即 在 上恒成立，则 ，
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数 （ 且 ）在区间
内单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
函数 在区间 内有意义，则 ，
设 则 ，
( 1 ) 当 时， 是增函数，
要使函数 在区间 内单调递增，
需使 在区间 内内单调递增，
则需使 ，对任意 恒成立 , 即 对任意 恒成立；
因为 时， 所以 与 矛盾，此时不成立.
( 2 ) 当 时， 是减函数，
要使函数 在区间 内单调递增，
需使 在区间 内内单调递减，
则需使 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
因为 ，
所以 ，
又 ，所以 .
综上， 的取值范围是
故选：B
3．（2020·天津市第八中学高三期中）若函数 是 上的单调函数，则实
数 的取值范围是（ ）．A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
若函数 是 上的单调函数，只需 在 上恒成立，
即 ，
∴ ．故 的取值范围为 ．
故选：B.
4．（2018·浙江·模拟预测）若定义在 上的函数 满足 ，且 的导函数
的图象如图所示，记 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为导函数的图象为直线，且 ，
所以函数 为过原点的二次函数，
设 ，
所以由导函数图象可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，
又由 ，得 ，则 ，
，
所以 ， ，
所以 ，
故选：C
5．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数
(1)求函数 的极值；
(2)设 ， 为两个不等的正数，且 ，若不等式 恒成立，
求实数 的取值范围．
【解析】(1)
函数 定义域为R，求导得 ，当 时， ，当
时， ，
因此，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时，函数 有极大值1，无极小值.
(2)令 ，即 ，
则 ，
依题意，两个不等的实数 满足 ，且不等式 恒成立，
不妨令 ，由(1)知， 在 上递增，在 上递减，且当 时，
恒成立，而 ，
因此有 ，由 知， ， ，则有 ，而 在
上递减，从而有 ，即 ，两边取对数得：
，
即 ， ，令
， ，
，
当 时， ，则 在 上单调递增， ，符合题意，
当 时，即 ，当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ，不符合题意，
综上得： ，
所以实数 的取值范围是 .
4、函数单调性的应用
【典例4-1】1．（2022·全国·模拟预测）已知函数 有两个不同的零点，
则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题意知方程 有两个不同的实数根，
令 ，作出 的图象如图所示，数形结合可知直线 与函数 的图象在 上有两个不同的交点．
当直线 与函数 的图象相切时，设切点为 ，
则 ， ，则 ①，
当 时， ，则 ②，
由①②可得 ， ，
∴ ，得 ，
故选：A．
2．（2022·全国·模拟预测）若关于x的不等式 在 上恒成立，
则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
依题意， ．令 ，故 ．
令 ，则 ，
故 在 上单调递增，且 ，，
所以存在 ，使得 ，即 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
故 ．
由 ，得 ，即 ，即
，故 ．因为函数
在 上单调递增，所以 ， ，故 ，
解得 .
故选:A．
3．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ，若 有解，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：因为 的定义域为R， ，所以函数 为奇函数，
因为 ，所以函数 在R上单调递增.
因为 有解，即 有解，
所以 有解，由函数 在R上单调递增，可得 有解.解法一：令 ，则 .
①当 时， ，函数 在R上单调递增， ，符合题意；
②当 时， ，不符合题意；
③当 时，令 ，得 ；当 时， ，函数 单
调递减，当 时， ，函数 单调递增，
因此 ， ，
解得 .综上，实数 的取值范围为 .
解法二:若 ，则 有解. 令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，所以
，故 ，即 .
若 ，则 有解，易知 恒小于零，
所以 ，即 .若 ，则 ，不符合题意.综上，
实数 的取值范围为 .
解法三：若 ，如图，在同一平面直角坐标系内作出 与 的图象，
当直线 与函数 的图象相切时，设切点为 ，则切线方程为
，再结合切线 过原点得 ，故 ，由 有解，得函数 的部分图象在直线 的下方，
所以，数形结合可知 .
若 ，易知函数 的图象必有一部分在直线 的下方，符合题意.
若 ，由函数的单调性可知，不符合题意.
综上，实数 的取值范围为 .
故选：D
4．（2022·山东威海·三模）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有两个极值点 ，且 ，从下面两个结论中选一个证明．
① ；
② ．
【解析】(1)
，当 时， ，
令 ，解得 ；令 ，解得 或 ，
所以 的单增区间为 ；单减区间为 ， ．
(2)证明①：由题意知， 是 的两根，则 ，
，
将 代入得， ，
要证明 ，
只需证明 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
只需证明 ，
令 ，则 ，只需证明 ，即 ，
令 ，
，所以 在 上单调递减，可得 ，
所以 ，
综上可知， ．
证明②：
设 ，
因为 有两个极值点，所以 ，
解得 ，
因为 ，
所以 ，
，
由题意可知 ，
可得 代入得， ，
令 ，
，
当 ，所以 在 上单调递减，
当 ，所以 在 上单调速增，
因为 ，所以 ，
由 ，可得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ．
5．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性，并求函数 的极值；
(2)证明：对任意 ，都有 ．
【解析】(1)
因为 ，所以 ，
由 得 或 ，由 得 ，
所以 在 上单调递减，在 和 上单调递增，
因此 ， ．
(2)要证对任意 ，都有 ，即证 对任意 恒成立，
即证 对任意 恒成立.
构造函数 ， .
因为 在 上恒成立，所以 在 上是增函数，故
，
即 ，当且仅当 时等号成立，
因为 ，所以 ，
所以只需证 对任意 恒成立，即证 对任意 恒成立．
令 ， ，
则 ，
因此 在 上是增函数，所以当 时，
．
所以当 时， 恒成立．
故对任意 ，都有 ．
