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第 10 讲 导数与函数的单调性
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
f′(x)＞0 f(x)在(a，b)上单调递增
函数y＝f(x)在区间
f′(x)＜0 f(x)在(a，b)上单调递减
(a，b)上可导
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f′(x)在各区
间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
二、考点和典型例题
【典例1】不含参函数的单调性
1．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数 ，不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三阶段练习（理））函数 的单调增
区间是( )
A． B． C． D．
3．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数 的导函数为 ，若对任意的 ，
都有 ，且 ，则不等式 的解集为（ ）A． B． C． D．
4．（2022·浙江金华·模拟预测）已知函数
(1)当 时，讨论 的单调区间；
(2)当 时，若 有两个零点 ，且 ，求证： .
5．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数 ，（ 且 ）.
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若函数 有两个零点，求a的取值范围.
【典例2】含参函数的单调性
1．（2022·四川绵阳·二模（文））若 是函数 的极大值点，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·湖北·应城市第一高级中学高三阶段练习）已知函数 ，若不等
式 在区间 上恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·黑龙江绥化·高三阶段练习（理））已知 ，则下列说法正
确的是（ ）
A．当 时， 有极大值点和极小值点B．当 时， 无极大值点和极小值点
C．当 时， 有最大值 D．当 时， 的最小值小于或等于04．（2022·全国·模拟预测）（多选题）已知 ，则
（ ）
A．当 ， ， 时，
B．当 ， ， 时，
C．当 ， ， 时，
D．当 ， ， 时，
5．（2022·广东佛山·三模）已知函数 ，其中 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时， 是 的零点，过点 作曲线 的切线 ，试证明
直线 也是曲线 的切线．
【典例3】根据函数的单调性求参数
1．（2022·福建南平·三模）对任意的 ，当 时， 恒成立，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数 （ 且 ）在区间
内单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·天津市第八中学高三期中）若函数 是 上的单调函数，则实数 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2018·浙江·模拟预测）若定义在 上的函数 满足 ，且 的导函数
的图象如图所示，记 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数
(1)求函数 的极值；
(2)设 ， 为两个不等的正数，且 ，若不等式 恒成立，
求实数 的取值范围．
【典例4】函数单调性的应用
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数 有两个不同的零点，则实数 的
取值范围是( )
A． B． C． D．
2．（2022·全国·模拟预测）若关于x的不等式 在 上恒成立，
则实数m的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
3．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ，若 有解，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东威海·三模）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有两个极值点 ，且 ，从下面两个结论中选一个证明．
① ；
② ．
5．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性，并求函数 的极值；
(2)证明：对任意 ，都有 ．
