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第10讲 导数之单调性、最值、极值
【知识点总结】
一．函数单调性与导函数符号的关系
一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间 内，如果 ，那么函数
在该区间内单调递增；如果 ，那么函数 在该区间内单调递减.
二．求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数 的定义域；
（2）求 ，令 ，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
（3）把函数 的间断点（即 的无定义点）的横坐标和 的各实根按由小到大的顺序排
列起来，然后用这些点把函数 的定义域分成若干个小区间；
（4）确定 在各小区间内的符号，根据 的符号判断函数 在每个相应小区间内的增减性.
注①使 的离散点不影响函数的单调性，即当 在某个区间内离散点处为零，在其余点处均
为正（或负）时， 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在 上， ，
当 时， ；当 时， ，而显然 在 上是单调递增函数.
②若函数 在区间 上单调递增，则 （ 不恒为0），反之不成立.因为
，即 或 ，当 时，函数 在区间 上单调递增.当
时， 在这个区间为常值函数；同理，若函数 在区间 上单调递减，则
（ 不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间
上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：
单调递增；
单调递增 ；
单调递减；
单调递减 .
三．函数极值的概念设函数 在点 处连续且 ，若在点 附近的左侧 ，右侧 ，则
为函数的极大值点；若在 附近的左侧 ，右侧 ，则 为函数的极小值点.
函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小
值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.
四．求可导函数 极值的一般步骤
（1）先确定函数 的定义域；
（2）求导数 ；
（3）求方程 的根；
（4）检验 在方程 的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，
那么函数 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数
在这个根处取得极小值.
注①可导函数 在点 处取得极值的充要条件是： 是导函数的变号零点，即 ，且在
左侧与右侧， 的符号导号.② 是 为极值点的既不充分也不必要条件，如 ， ，但 不是极值点.
为可导函数 的极值点 ；但 为 的极值点.
五．函数的最大值、最小值
若函数 在闭区间 上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在 上一定能够取得
最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
六．求函数的最大值、最小值的一般步骤
设 是定义在区间 上的函数， 在 可导，求函数 在 上的最大
值与最小值，可分两步进行：
（1）求函数 在 内的极值；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 比较，其中最大的一个是最大值，最小的
一个是最小值.
注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是
对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
【典型例题】
例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（文））已知函数 ．
若 图象上的点 处的切线斜率为 ．
（1）求a，b的值；
（2） 的极值．
例2．（2021·陕西礼泉·高三开学考试（文））设 ，函数 .
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性.例3．（2022·全国·高三专题练习）有三个条件：①函数 的图象过点 ，且 ；② 在 时
取得极大值 ；③函数 在 处的切线方程为 ，这三个条件中，请选择一个合适的条件将
下面的题目补充完整（只要填写序号），并解答本题．
题目：已知函数 存在极值，并且______．
（1）求 的解析式；
（2）当 时，求函数 的最值
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）当 时，求函数 的单调区间和极值；
（2）若函数 在区间 上取得最小值4，求 的值.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．讨论 的单调性.
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，讨论 的单调性；【技能提升训练】一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）f(x)是定义在R上的奇函数，且 ， 为 的导函数，且当
时 ，则不等式f（x﹣1）＞0的解集为（ ）
A．（0，1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 在下列区间上为增函数的是（
）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则关于 的结论正确
的是（ ）
A．在区间 上为减函数
B．在 处取得极小值
C．在区间 上为增函数
D．在 处取得极大值
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 在 上是可导函数， 的图象如图所示，则不等式
解集为（ ）A．
B．C．
D．
5．（2022·全国·高三专题练习）函数 的单调递增区间是（ ）
A． 和 B． 和
C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在点 处的切线方程为 ，则函数
的增区间为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的导函数 的图像如图所示，那么函数 的图像最
有可能的是（ ）A． B．C． D．
8．（2022·江苏·高三专题练习）下列关于函数 的结论中，正确结论是（ ）
A． 是极大值， 是极小值；
B． 没有最大值，也没有最小值；
C． 有最大值，没有最小值；
D． 有最小值，没有最大值.
9．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 有极值，则c的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全国·高三专题练习）若函数 ，则（ ）
A．既有极大值，也有极小值 B．有极小值，无极大值
C．有极大值，无极小值 D．既无极大值，也无极小值
11．（2022·全国·高三专题练习）若函数 可导，则“ 有实根”是“ 有极值”的
（ ）．
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．（2022·全国·高三专题练习） 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2022·全国·高三专题练习）函数 在 处有极值10，则a，b的值为
（ ）
A． ， ，或 ， B． ， ，或 ，
C． ， D． ，14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 有两个不同的极值点 ，则满足条
件的 取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，则 的（ ）
A．极小值点为 ，极大值点为 B．极小值点为 ，极大值点为
C．极小值点为 ，极大值点为 D．极小值点为 ，极大值点为
16．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数 在区间 上有最大值，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在区间 内有最小值，则实数 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数 在区间 上存在最小值，则实数
m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
19．（2022·全国·高三专题练习）若函数 ，在区间 上单调，则实数m的取值
范围可以是（ ）
A． B．
C． D．20．（2022·全国·高三专题练习）下图是函数 的导函数 的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．B． 是 的极小值点
C． 是 的极小值点
D． 是 的极大值点
21．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 ，其导函数 的大致图象如图所示，则
下列叙述不正确的是（ ）
A．
B．函数 在 上递增，在 上递减
C．函数 的极值点为 ，
D．函数 的极大值为
22．（2022·全国·高三专题练习）己知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列判断正确的（
）A． 在 时取极小值 B． 在 时取极大值
C． 是 极小值点 D． 是 极小值点
23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列结论正确
的是（ ）A． B．
C． 时， 取得最大值 D． 时， 取得最小值
三、填空题
24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 的单调递减区间是
，则实数 的值为________.
25．（2022·全国·高三专题练习）函数 在区间（-1,1）上为单调减函数，则 的取值范围是
__________．
26．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在定义域内是增函数，则实数 的最小值为
______.
27．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 在区间 上单调递增，则实数a的取
值范围是___________.
28．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数 在 处取得极小值，则 的极大值
为__________
29．（2022·全国·高三专题练习）函数 的极值点是___________.
30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x3＋3mx2＋nx＋m2在x=－1时有极值0，则m＋n=________.
31．（2022·全国·高三专题练习（理））函数 的最小值为______.
四、解答题
32．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．若 ，求函数 的单调区间.33．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 (其中常数 )，讨论 的单调
性；34．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，讨论 的单调性；
35．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （ ），讨论函数 的单调性.
36．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，讨论 的单调性
37．（2022·全国·高三专题练习）设函数 .
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）令 ，讨论 的单调性.
38．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．讨论函数 的单调性.
39．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）求函数 的极大值.
40．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，其中 ．（Ⅰ）当 时， 在 时取得极值，求 ；
（Ⅱ）当 时，若 在 上单调递增，求 的取值范围；41．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
（1）求函数 的极值；
（2）若函数 在 上的最小值为2，求它在该区间上的最大值．
42．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）求 的单调区间；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值．
43．（2021·天津市第一零二中学高三期中）设函数 ．
（1）求 在 处的切线方程；
（2）求 的极大值点与极小值点；
（3）求 在区间 上的最大值与最小值．
44．（2021·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））已知函数 （ ）．
（1）讨论 的单调区间；（2）求 在 上的最大值 ．45．（2021·山东·高三阶段练习）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，求 在区间 上的最大值．
46．（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）求函数 的单调区间和极值；
（3）函数 在区间 上的最大值和最小值；
（4）若在区间 上，函数 总有最小值，求出 的取值范围；
（5）在函数 的图像上是否一定存在两条互相垂直的切线？（本问直接写出结论，不需写理由）
