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专题24.52 圆中的动点问题（分层练习）（培优练）
一、单选题
1．如图，在平行四边形 中， ， ， ， 是 边的中点， 是
边上的一动点，将 沿 所在直线翻折得到△ ，连接 ，设 的长为 ，则 的范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．如图，AB是 O的直径，AB＝4，C为 的三等分点（更靠近A点），点P是 O上一个动点，
取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
3．如图， ABC为⊙O的内接等边三角形，BC=12，点D为 上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B
△
沿 运动到点C时，线段AE的最大值是（ ）A． B．
C． D．
4．如图，在边长为8的正方形 中，点O为正方形的中心，点E为 边上的动点，连结 ，
作 交 于点F，连接 ，P为 的中点，G为边 上一点，且 ，连接 ，
则 的最小值为（ ）
A．10 B． C． D．
5．如图，点A是 上一定点，点B是 上一动点、连接 、 、 ，分别将线段 、
绕点A顺时针旋转 到 、 ，连接 、 、 、 ，下列结论：①点 在 上；②
；③ ；④当 时， 与 相切．正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，点A是 上一定点，点B是 上一动点，连接 ， ， ．分别将线段 ，
绕点A顺时针能转60°到 ， ，连接 ， ， ， ，则下列结论正确的有（ ）
①点 在 上；② ；③ ； ④当 时， 与 相切．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，在Rt ABO中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P
作⊙O的一条切线PQ△（点Q为切点），则切线长PQ的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．3
8．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，连结AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交 AP
于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是（ ）
A．变大 B．先变大后变小 C．先变小后变大 D．不变
9．如图，在边长为 的菱形 中， ，动点 在 边上（与点 ， 均不重合），点
在对角线 上， 与 相交于点 ，连接 ， ，若 ，则下列结论：① ；②
；③ ；④ 的最小值为 ．其中正确的有（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在平面直角坐标系中，y轴的正半轴（坐标原点除外）上两点 、 ，C为x轴的
正半轴（坐标原点除外）上一动点．当 取最大值时，点C的横坐标为（ ）
A．5 B．2 C．21 D．
二、填空题
11．如图，正方形 中， ， 是 的中点．以点 为圆心， 长为半径画圆，点 是
上一动点，点 是边 上一动点，连接 ，若点 是 的中点，连接 、 ，则 的最
小值为 ．
12．如图，在扇形BOC中，OB＝2，∠BOC＝60°，点D是 的中点，点E，F分别为半径OC，OB
上动点．当△DEF的周长最小时图中阴影部分的面积为 ．13．在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，动点P为矩形边上的一点，点P沿着B﹣C的路径运动（含点B和
点C），则△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是 ．
14．如图， 中， ， ， ， 是线段 上的一个动点，以 为
直径画 ，分别交 ， 于 ， ，连接 ，则 ； 的最小值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系 中，点B的坐标为 ，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分
别为点C、点A，直线 与 交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段 上，动点N在直线
上，若 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为16．如图，已知点A的坐标是 ， 的半径为1， 切 于点B，点P为 上的动点，当
是等腰三角形时，则点P的坐标为 ．
17．如图，矩形 中， ， ．动点E在 边上，以点E为圆心，以 为半径作弧，
点G是弧上一动点．
（1）如图①，若点E与点A重合，且点F在 上，当 与弧相切于点G时，则 的值是
；
（2）如图②，若 连结 ， ，分别取 、 的中点P、Q，连接 ，M为 的中点，
则CM的最小值为 ．
18．如图所示，一动点从半径为2的 上的 点出发，沿着射线 方向运动到 上的点 处，
再向左沿着与射线 夹角为 的方向运动到 上的点 处；接着又从 点出发，沿着射线 方向运动到 上的点 处，再向左沿着与射线 夹角为 的方向运动到 上的点 处； 间的距离
是 ；…按此规律运动到点 处，则点 与点 间的距离是 .
19．如图，在正方形 中， ，M是 的中点，点P是 上一个动点，当 的度数
最大时， 的长为 ．
20．在平面直角坐标系中，已知点 和直线m的函数表达式为 ，动点 在A点的右
边，过点B作x轴的垂线交直线m于点C，过点B作直线m的平行线交y轴于点D，当 时，则
x的值为 ．
三、解答题
21．如图，正方形 中， 是 的直径，点 是 上的一动点（点 不与点 ， 重合，且
在 左侧）．
（1）尺规作图：做出点 使得 ；（2）在（1）的条件下，延长 交 于 ，求证 ．
22．如图，在 中， ， ，D是 上的动点，以D为圆心，
的长为半径作圆交 于点E，F，G分别是 上的点，将 沿 折叠，点A与点E恰
好重合．
（1）如图1，若 ，求证： 与直线 相切．
（2）如图2，若 经过点B，连接 ．
① 的长是___．
②判断四边形 的形状，并证明．23．如图，菱形 中， ， ．点P为射线 上一动点，在射线 上取一点
E，连接 ，使 ．作 的外接圆，设圆心为O．
（1）当圆心O在 上时， ______；
（2）当点E在边 上时，
①判断 与 的位置关系，并证明：
②当 为何值时， 有最大值？并求出最大值；
（3）如图，连接 ，若 ，直接写出 值；将优弧 沿PE翻折交射线 于点Q，直接
写出弧 的长．24．如图1，在 中， ， 于 ， 为 边上的点，过 、 、 三点
的 交 于 ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）如图2，点 为弧 上一动点，连接 ， ， ．在点 运动过程中，试探索 ， ，
之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，在扇形 中， 为弧 上任意一点，过点 作 于点 ，设 为
的内心，当点 从点 运动到点 时，请直接写出内心 所经过的路径长．参考答案
1．C
【分析】首先点 是 的中点，得 ，则点 在以 为圆心，2为半径的圆弧上运动，
找到 的最小和最大时的 点，分别通过勾股定理求解即可．
解： 四边形 是平行四边形，
， ，
点 是 的中点，
，
将 沿 所在直线翻折得到△ ，
，
点 在以 为圆心，2为半径的圆弧上运动（如图），
此时 即为最小值，过 作 ，交 的延长线于 ，
，
，
， ，
在 中，由勾股定理得：
，
，
当 与 重合时， 最大，
此时 ， ，
在 中，由勾股定理得：
，当 与 重合时， 不存在，
，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，勾股定理，圆的定义等知识，发现点 的
运动路径是解题的关键．
2．D
【分析】取OA的中点Q，连接DQ，OD，CQ，根据条件可求得CQ长，再由垂径定理得出OD⊥AP，由
直角三角形斜边中线等于斜边一半求得QD长，根据当C,Q,D三点共线时，CD长最大求解.
解：如图，取AO的中点Q,连接CQ，QD，OD，
∵C为 的三等分点，
∴ 的度数为60°，
∴∠AOC=60°,
∵OA=OC,
∴△AOC为等边三角形，
∵Q为OA的中点，
∴CQ⊥OA，∠OCQ=30°,
∴OQ= ,
由勾股定理可得，CQ= ,
∵D为AP的中点,
∴OD⊥AP，
∵Q为OA的中点，
∴DQ= ,
∴当D点CQ的延长线上时，即点C,Q,D三点共线时，CD长最大，最大值为 .
故选D【点拨】本题考查利用弧与圆心角的关系及垂径定理求相关线段的长度，并且考查线段最大值问题，
利用圆的综合性质是解答此题的关键.
3．A
【分析】连接BO，取BO中点M，连接ME，点E在以M为圆心，BM为半径的圆上，由 ABC是等边
△
三角形可得AH=BH=6，BH=6 ，BO=MH=4 ，BM=2 ，根据勾股定理可得AM的长即
可求AE的最大值．
解：如图
连接BO，取BO中点M，连接ME
∵DE⊥BE，M是BO中点
∴ME= BO
∴E在以M为圆心，BM为半径的圆上
∴当A，M，E共线且E在AM的延长线上时，AE的值最大
延长BO交AC于H
∵△ABC为⊙O的内接等边三角形
∴HB⊥AC，且 ABC是等边三角形，BC=12
∴CH=AH=6 △
∴AH=6 ，AO=4 ，BH=6则OM=2 ，MH=4
∴AM=
∴AE的最大值为2 +2
故选A．
【点拨】本题考查了三角形外接圆和外心，等边三角形的性质，以及勾股定理，找到E的运动轨迹是
解本题的关键，具有一定的难度．
4．D
【分析】过点O作 于点H，作 于点I，连接 ，证明点P运动的轨迹是线段 ，
作点A关于直线 的对称点 ，当点 、点P、点G在同一直线上时， 取得最小值，最小值为
的长，利用勾股定理即可求解．
解：过点O作 于点H，作 于点I，连接 ， ，
∵点O为正方形 的中心，
∴ ， ，
∴四边形 为正方形， 为正方形 的对角线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 都是等腰直角三角形，
∴ ，
，
∴E、I、O、P四点共圆，
∴ ，∵ ，
∴点P运动的轨迹是线段 ，
作点A关于直线 的对称点 ，
当点 、点P、点G在同一直线上时， 取得最小值，最小值为 的长，
过点 作 交 延长线于点Q，
同理得四边形 为正方形，且边长为4，
∴ ， ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，得到点P运动的轨迹是线
段 是解题的关键．
5．A
【分析】由旋转的性质，易证 和 是等边三角形，得到 ，即可判断①结论；逆
用等边三角形性质，即可证明 ，判断②结论；利用等腰三角形的性质和全等三角形的
性质，得到 ，再利用等边三角形的性质，得到 ，然后根据圆周角定理，即
可判断③结论；利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质，得到 ，再利用等边三角形的
性质和三角形外角的定义，得到 ，进而得到 ，然后利用切线的判定定理可判断④
结论．
解：由旋转的性质可知， ， ， ，
和 是等边三角形，
，
点 在 上，①结论正确；
，
在 和 中，
，，②结论正确；
，
，
，
， ，
，
和 是等边三角形，
，
，
，
，
，
，③结论正确；
，
，
， ，
，
，
当 时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 在 上，
，
，
，
，
与 相切，④结论正确，
综上所述，正确的结论有①②③④，共4个，
故选：A．【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形
的判定和性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
6．B
【分析】根据旋转的性质、等边三角形的性质，易证 ，可判断①选项；根据旋转的性质与全
等三角形的性质可证 ，可判断②选项；根据等边三角形的性质与全等三角形的性质，
可得③选项；根据切线的判定定理可判断④正确．
解： 为 绕点A顺时针能转60°得
，
为等边三角形，
点 在 上（点到圆心的距离等于半径的长度，则该点在圆上），故①正确；
为 绕点A顺时针能转60°得
，
，即
， ，
，故②正确；
， ，
为等边三角形
，
，，故③正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 时，则 ，
∴ 是 的中点，此时 ， ，
∴ ，
∴ 与 相切．
，故④正确．
综上所述，正确的结论有4个，
故选：A
【点拨】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，切线的判定定理，根据旋转的性质
证明三角形全等是关键．
7．B
【分析】连接OP，OQ，由PQ为圆O的切线，利用切线的性质得到OQ与PQ垂直，利用勾股定理列
出关系式，由OP最小时，PQ最短，根据垂线段最短得到OP垂直于AB时最短，利用面积法求出此时OP
的值，再利用勾股定理即可求出PQ的最短值．
解：连接OP、OQ，如图所示，∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
根据勾股定理知：PQ2=OP2﹣OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=4，
∴AB= =4 ，
∴S = OA•OB= AB•OP，即OP= =2 ，
AOB
△
∴PQ=
故选B．
【点拨】本题圆的切线的性质，勾股定理，熟练掌握圆的切线性质及相关定理是本题的关键．
8．D
【分析】连接AC交BD于O，连接EO、AG，根据菱形的性质得出∠AOB=90°，AO=CO，证得A、
E、G、O四点共圆，得出∠PAG=∠EOB，∠APG=∠PAG，求出∠APG=∠EOB=∠DBC，即可求出答案．
解：连接AC交BD于O，连接EO、AG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，
∵EG是AP的垂直平分线，
∴AG=PG，∠AEG=∠AOB=90°，∴A、E、G、O四点共圆，
∴∠PAG=∠EOB，∠APG=∠PAG，
∴∠EOG=∠APG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，
∵AE=PE，
∴OE∥BC，
∴∠EOB=∠DBC= ∠ABC，
∵菱形ABCD固定，
∴∠ABC的度数固定，
即∠APG的度数不变，
故选D．
【点拨】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线性质，圆内接四边形性质等知识点，能正确作出辅
助线是解此题的关键．
9．C
【分析】先证明 ， 是等边三角形，得 ，判断①项答案正确，由
，得 ，判断②项答案正确，证 得 ，即可判断③
项答案正确，由 ， ，得点 在以线段 为弦的 上，易得当点 在等边 的内
心处时， 取最小值，由勾股定理求得 ，即可判断④项错误．
解：∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ，
∴∠DAF=∠CBE，
∵BE=AF，
∴ ，
∴DF=CE，∠BCE=∠ADF，故①正确；
∵AB=AD，∠BAF=∠DAF，AF=AF，∴ ，
∴∠ADF=∠ABF，
∴∠ABF=∠BCE，
∴ ，故②正确；
∵∠EBG=∠ECB，∠BEG=∠CEB，
∴△BEG∽△CEB，
∴ ，
∴BE2=CE·EG，
∵BE=AF，
∴AF2=EG·EC，故③正确；
以 为底边，在 的下方作等腰 ，使 ，
∵∠ ，
∴点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
连接 ，交 于 ，此时 最小， 是 的垂直平分线，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，故④错误．
故选： ．【点拨】本题主要考查了菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理，熟练掌握菱形的
性质是解题的关键．
10．D
【分析】当以 为弦的圆与 轴正半轴相切时， 最大，根据圆周角定理得出对应的 最
大，根据垂径定理和勾股定理即可求解．
解：如图所示，当以 为弦的圆 与 轴正半轴相切时， 最大，
∵
∴此时的 最大，
作 轴于 ，连接 、 ．
∵ 、 ，
∴ ，
与 轴相切于点C， 轴，
在直角 中， ，
∴ ，
∴点C的横坐标为 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了圆的切线性质、圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，正确理解当以 为弦的
圆与 轴相切时，对应的 最大是关键，解题时注意结合图形分析．
11． /
【分析】取点B关于直线 的对称点M，连接 、 两线交于点O，连接 ，由勾股定理求得 ，根据 即可求得 的最小值．
解：解∶取点B关于直线 的对称点M，连接 、 两线交于点O，连接 ， ， ，
过O作 于点N，
∵点Q是 的中点，
∴ ，
∴点Q在以O为圆心，l为半径的 上运动，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当M、F、Q、O四点共线时， 的值最小，
∴ 的最小值为 ．
故答案为∶ ．
【点拨】本题考查圆的有关性质的应用，正方形的性质，两点之间线段最短公理的应用，勾股定理，
解题的关键是正确确定点Q的运动轨迹．
12．
【解析】过D分别作关于OB和OC的轴对称点D'和D''，连结D'D''，分别与OC、OB相交于点E'、F'，则D'D''的长度就是△DEF的最小周长，可以证得△OE'F'是等边三角形且OE'=OF'= ，从而根据
可以得到结果．
解：如图，过D分别作关于OB和OC的轴对称点D'和D''，连结D'D''，分别与OC、OB相交于点E'、
F'，则D'D''的长度就是△DEF的最小周长，
由题意可得：∠B''OC=∠C'OB=60°，
连结OD''，D''为弧CB''中点，
∴OD''平分∠COB''，
∴∠B''OD''=∠COD''=30°，
∵D'D''∥B''C，
∴∠E'D''O=∠D''OB''=30°，
∵OD''=2，
∴OF'= ，
同理OE'= ，
∵∠COB=60°，
∴△OE'F'是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查轴对称的综合应用，熟练掌握轴对称的性质及圆的有关性质是解题关键 ．13．
解：分析：如图，连接AC、BD交于点O′．当点P与B或C重合时， PAD的外接圆的圆心与O′重合，
当PA=PD时，设 PAD的外接圆的圆心为O，PO的延长线交AD于E，设P△O=OD=x，因为 PAD的外心在线
段AD的垂直平分△线上， △
观察图象可知，点P沿着B-C的路径运动， ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是2OO′，由此即可
解决问题； △
解：如图，连接AC、BD交于点O′．
当点P与B或C重合时， PAD的外接圆的圆心与O′重合，
当PA=PD时，设 PAD的外△接圆的圆心为O，PO的延长线交AD于E，设PO=OD=x，
Rt ODE中，∵O△D2=OE2+DE2，
∴x△2=（4-x）2+32，
解得x= ，
∴OE=4- = ，
∵O′B=O′D，AE=DE，
∴O′E= AB=2，
∴OO′=O′E-OE= ，
∵△PAD的外心在线段AD的垂直平分线上，
观察图象可知，点P沿着B-C的路径运动， ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是2OO′= ．
△
故答案为: ．
点睛：本题考查轨迹、矩形的性质、三角形的外接圆等知识，解题的关键是正确寻找点O的运动轨迹．14． / 度
【分析】根据三角形内角和定理求得 ，连接 、 ，作 于 ，作 于 ，
如图，根据圆周角定理得到 ＝ ，再计算出 ＝ ，则 最小时， 的长度最小，此时
圆的直径的长最小，利用垂线段最短得到 的长度最小值为 的长，接着计算出 ，从而得到 的
最小值，然后确定 长度的最小值．
解：∵ 中， ， ，
∴
连接 、 ，作 于 ，作 于 ，如图，
＝ ＝ ＝ ，
而 ＝ ， ，
＝ ， ＝ ，
在 中， ＝ ，
当 最小时， 的长度最小，此时圆的直径的长最小，即 的长最小，
的长度最小值为 的长，
的最小值为 ，
长度的最小值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和解直角三角形，推出 ＝ 是解题的关键．
15． 或
【分析】如图，由 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得 在以 为直径的圆 上，
，可得 是圆 与直线 的交点，当 重合时，符合题意，可得 ，当N在
的上方时，如图，过 作 轴于 ，延长 交 于 ，则 ， ，
证明 ，设 ，可得 ， ，而
，则 ，再解方程可得答案．
解：如图，∵ 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ 在以 为直径的圆 上， ，
∴ 是圆 与直线 的交点，
当 重合时，
∵ ，则 ，
∴ ，符合题意，
∴ ，
当N在 的上方时，如图，过 作 轴于 ，延长 交 于 ，则 ，
，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，设 ，
∴ ， ，
而 ，
∴ ，
解得： ，则 ，
∴ ，
∴ ；
综上： 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的
判定与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的
关键．
16． ， 或
【分析】分情况讨论：①当 时；②当 时；③当 时，分别利用圆的基本性质、
切线的性质等求解即可．
解：①过点 作 与 相切，此时 ，连接 ，作 轴于点 ，根据题意易得 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ；
②当 时，若点 位于如图所示位置，
∵
∴ ，又 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
满足 ，此时点 的坐标为 ；
③当 时，点 的位置如图所示：过点 作 轴于点 ，
由①知 ， ，
∴ ，
∵ ， ，即 为 的垂直平分线，
则满足 ，此时点 的坐标为 ；
综上所述，点 的坐标为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质、圆的基本性质、切线的性质等内容，熟练运用几何知识是解题
的关键．
17．
【分析】（1）如图，连接 ,则 , ，勾股定理得 ，由切线长定理得 ，
设 ，由勾股定理得 解得 ，即 ；
（2）如图，连接 、 ，取 的中点H，连接 ，由中位线性质得 ，
，连接 ，取 的中点I，连接 ，同理 ， ；易证四边形
是平行四边形，得 ，由中位线性质得 ，求得 ；取 的中点J，
可证四边形 是平行四边形，得 ，确定点M在以J 为圆心，2.5为半径的圆弧上，由两点之间线段最短得，C，M，J三点共线时， 最短，即最小值 ；延长 ，
交 于点K，L，求得 ，由勾股定理得 中， ，
得解最小值 ．
解：（1）如图，连接 ,则 , ，
∴ ，
∵ ，
∴ 与弧相切于点B，
∴ ，
设 ，则
中，
即 解得 ，即 ，
（2）如图，连接 、 ，取 的中点H，连接 ，则 ，
，连接 ，取 的中点I，连接 ，同理 ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵P、Q是 、 的中点，
∴ ，
∴ ，取 的中点J，由 ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，即点M在以J 为圆心，2.5为半径的圆弧上，
∴当C，M，J三点共线时， 最短，即最小值 ，
延长 ，交 于点K，L，则 ，
∴点K，点L分别是 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
中， ，
∴最小值 ．
故答案为：2， ．
【点拨】本题考查三角形中位线的性质，圆的定义，圆外一点与圆上点距离的最值问题，勾股定理解
直角三角形、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等，结合题设条件确定动点的轨迹是解题的关键．
18． ， 2.
【分析】根据题意求得AA=4，AA=2 ，AA=2，AA=2 ，AA=2，AA=0，AA=4，…于是得
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7
到A 与A 重合，即可得到结论．
2019 3
解：如图，∵⊙O的半径=2，
由题意得，AA=4，AA=2 ，AA=2，AA=2 ，AA=2，AA=0，AA=4，…
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7
∵2019÷6=336…3，
∴按此规律运动到点A 处，A 与A 重合，
2019 2019 3
∴AA =AA=2，
0 2019 0 3
故答案为2 ，2.
【点拨】本题考查了图形的变化规律，圆和等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出图形是解
题的关键．
19．
【分析】过点A、M作 与 相切于点 ,记 的中点为N, 与 交于点Q,连接
,则 ，证明四边形 是矩形, 再求出圆的半径，利用
勾股定理和矩形的性质即可求解．
解：：过点A、M作 与 相切于点 ,记 的中点为N, 与 交于点Q,连接
,
则 ，
∵四边形 是正方形， ，
∴ ， ，∵M是 的中点，
∴ ，
∵过点A、M作 与 相切于点 ，
∴ ，
∵ 的中点为N,
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形,
∴ ,
在 中,
，
∴ ,
∴当点P运动到点 时， 最大，
此时 ，
故答案为：
【点拨】本题考查了最大张角问题，涉及到了切线的性质、垂径定理、圆周角定理、正方形的性质、
勾股定理解三角形、矩形的判定与性质等内容，解题关键是理解当P点在与 相切且经过D点和M点的
圆上且位于切点处时张角最大．
20． 或
【分析】先根据题意画出图形，分两种情况：①当点B在原点右边时，证明A、C、B、D四点共圆，
再根据同弧或等弧所对的圆周角相等从而得到 是直角三角形，分别在 和 中用x
表示出 ，构造方程求解x值；②如图2，当B点在A点右边，O点左边时，可得A、C、O、D四点共圆，
根据同弧或等弧所对的圆周角相等从而得到 ，分别在 和 中用x表示出 ，
构造方程求解x值．
解：分两种情况：
①如图，当点B在原点右边时， 中 ，∴ ， ，
∴ ， ，
∴在 中，根据勾股定理得 ．
∵ ， ，
∴ ．
∴A、C、B、D四点共圆．
连接 ，则 ，又 ，
∴ ．
在 中，利用勾股定理可得 ，
∴在 中， ，
∴ ，
解得 ．
如图，当B点在A点右边，O点左边时，此时 ．
同理可得A、C、O、D四点共圆， ，
在 中， ，
在 中，
∴在 中， ．∴ ，解得 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查了一次函数图象和性质、勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，已知圆内
接四边形求角度，对点 的位置分类讨论是解题的关键．
21．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）连接 ，作 的垂直平分线，交 于点K，以K为圆心， 为半径作圆，交
于点E，即可得出答案；
（2）延长 交 于点G，证明 ，证明 ，得出 ，
求出 ，即可证明 ．
（1）解：如图，连接 ，作 的垂直平分线，交 于点K，以K为圆心， 为半径作圆，交
于一点，该点即为所求作的点E；
连接 、 ， 、 ， ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∵ 为 的直径，
又∵直径所对的圆周角为直角，
∴点C在 上，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：延长 交 于点G，如图所示：
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， 为 半径，
∴ 、 为 的切线，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 半径，
∴ 为 的切线，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，圆的切线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三
角形的判定，垂直平分线的判定，余角的性质，切线长定理，直径所对的圆周角是直角，解题的关键是作
出辅助线，数形结合．
22．（1）见分析；（2）① ；②菱形，证明见分析
【分析】（1）过点D作 ，交 的延长线于点 ，证明 即可；
（2）①根据三角形外角的性质求出 ,再由弧长公式进行计算即可；②证明四边形 是
平行四边形即可得出结论．
解：（1）过点D作 ，交 的延长线于点 ，如图，
∵
∴ ，
∴
∴
∵
∴ ，∴
∴ ，
∴ ，
∴ 与直线 相切；
（2）①如图，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ 的长是 ；
故答案为： ；
②由折叠得， ,
∴ ，
∴
∴
∴四边形 是平行四边形，
又 ,
∴四边形 是菱形
【点拨】本题主要考查了切线的判定、弧长公式以及菱形的判定，证明四边形 是平行四边形是
解答本题的关键．
23．（1）1；（2）① 与 的位置关系是相切，见分析；②当 时， 有最大值，为1；（3） ，
【分析】（1）可证得 ，进而解直角三角形 和直角三角形 ，从而求得结果；
（2）①连接 ， ，利用圆周角定理推出 ，继而推出 ，再根据
，推出 ，从而得到 与 的位置关系是相切；
②连接 ，可证得 ，从而得到 ，设 得方程 ，故
，利用二次函数得最值，得到当 ，即 时， 有最大值，最大值
为1；
（3）可推出 ，进而得出 ， ， ，
故 ，四边形 是菱形，可推出点A是对称后的优弧的圆心，根据弧长公式得出结
果．
（1）解：菱形 中， ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
故答案为：1；
（2）① 与 的位置关系是相切，理由如下：
证明：如图1，连接 ， ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 与 的位置关系是相切；
②如图2，连接 ．
∵ ， ， ，
∴ ，
在菱形 中， ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，得到
∴ ，
设 ，
∴ ，则 ，
∴ ，∵ ，
∴当 ，即 时， 有最大值，最大值为1．
（3）∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
又∵将优弧 沿 翻折交射线 于点 ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∴点A，O关于 对称，
∴弧 在以A为圆心， 长为半径的圆上．
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了菱形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定，等边三角形的判定与性质，二次
函数的最值，相似三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
24．（1）见分析；（2） ，理由见分析；（3）
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可知 ， ，根据圆内接四边形的
性质，可求得 ，进而求得 ，问题即可得证．
（2）过点 作 的垂线，交 于点 ，连接 ，可证得 ，得到 ，再证明
为等腰直角三角形，得到 ，即可求得 ， ， 之间的数量关系．（3）根据内心的定义，先求得 的度数，根据 ，可求得 ，当点 在
上从点 运动到点 时，点 在以 为弦，并且所对的圆周角为 的劣弧 上运动，内心 所
经过的路径长等于劣弧 的长度，据此只需求得劣弧 所对应的圆心角和劣弧 所在圆的半径即
可．
解：（1）∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形 底边上的中线和顶角的角平分线．
∴ ， ．
∵四边形 为 的内接四边形，
∴ ．
又 ，
∴ ．
在 和 中
∴ ．
∴ ．
（2） ．
理由如下：
如图，过点 作 的垂线，交 于点 ，连接 ．
根据题意可知 ．
∵ ，∴ 为 的直径．
∴ ．
∴ ．
又 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ， ．
又 ，
∴ 为等腰直角三角形．
∴ ．
∴ ．
（3） ．
理由如下：
如图，连接 ， ， ．
∵ 为 的内心，
∴ ， ．
∴．
在 和 中
∴ ．
∴ ．
当点 在 上从点 运动到点 时，点 在以 为弦，并且所对的圆周角为 的劣弧 上运
动，内心 所经过的路径长等于劣弧 的长度．
设劣弧 所在的圆为 ．
根据题意可知 ， ，
∴ 为等腰直角三角形．
∴ ．
∴ ．
内心 所经过的路径长等于 ．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质、内心的性质、圆周角的性质、弧长的计算，牢记全
等三角形的判定定理及性质、内心的性质、圆周角的性质、弧长的计算公式是解题的关键．
