文档内容
第 06 讲 利用导数研究恒成立与能成立（有解）问题
（2 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
证明函数的对称性
利用导数求函数的单调性
2024年新I卷，第18题,17分 利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数证明不等式
利用不等式求取值范围
2023年新I卷，第19题,12分 利用导数研究不等式恒成立问题 含参分类讨论求函数的单调区间
利用导数求函数的单调区间
(不含参)
2023年新Ⅱ卷，第22题,12分 利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的零点
根据极值点求参数
含参分类讨论求函数的单调区间
2022年新Ⅱ卷，第22题,12分 利用导数研究不等式恒成立问题
裂项相消法求和
2020年新I卷，第21题,12分 利用导数研究不等式恒成立问题 求在曲线上一点处的切线方程
2020年新Ⅱ卷，第22题,12分 利用导数研究不等式恒成立问题 求在曲线上一点处的切线方程
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分
【备考策略】1能用导数证明函数的单调性
2能求出函数的极值或给定区间的最值
3 恒成立 ， 恒成立 ，
4 有解 ， 有解 ，
【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中
求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,
有一定的难度,一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养
都有较深入的考查，需综合复习知识讲解
1. 恒成立问题常见类型
假设 为自变量，其范围设为 ， 为函数； 为参数， 为其表达式，
（1） 的值域为
① ，则只需要
，则只需要
② ，则只需要
，则只需要
（2）若 的值域为
① ，则只需要
，则只需要 （注意与（1）中对应情况进行对比）
② ，则只需要
，则只需要 （注意与（1）中对应情况进行对比）
2. 恒成立问题的解决策略
①构造函数，分类讨论；②部分分离，化为切线；③完全分离，函数最值；④换元分离，简化运算；
在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找
临界.
一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等
式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综
合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热
点．
3. 能成立（有解）问题常见类型
假设 为自变量，其范围设为 ， 为函数； 为参数， 为其表达式，（1）若 的值域为
① ，则只需要
，则只需要
② ，则只需要
，则只需要
（2）若 的值域为
① ，则只需要 （注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
② ，则只需要 （注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
4. 能成立（有解）问题的解决策略
①构造函数，分类讨论；②部分分离，化为切线；③完全分离，函数最值；④换元分离，简化运算；
在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找
临界.
一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等
式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综
合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热
点．
考点一、 利用导数解决函数恒成立问题
1．（2024·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， ，求 的取值范围．
2．（2023·全国·高考真题）已知函数
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
3．（2022·全国·高考真题）已知函数 ．(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
1．（2024·广东汕头·三模）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 恒成立，求 的最小值．
2．（2024·江苏苏州·三模）已知函数 .
(1) 时，求 的零点个数;
(2)若 恒成立，求实数 的最大值;
(3)求证: .
3．（2024·浙江温州·模拟预测）函数
(1)求 的单调区间.
(2)若 在 时恒成立，求 的取值范围.
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数 ， .（注： 是自然对数的底
数）
(1)若 无极值点，求实数 的取值范围；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
考点二、 利用导数解决函数能成立（有解）问题
1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)若对任意 有解，求 的取值范围.
3．（2024·湖南娄底·一模）已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
(1)求函数 的单调区间；
(2)证明： ；
(3)设 ，若存在实数 使得 ，求 的最大值.
1．（2024·湖北·模拟预测）已知函数 ， 其中 为常数.
(1)过原点作 图象的切线 ，求直线 的方程；
(2)若 ，使 成立，求 的最小值.
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若不等式 在区间 上有解，求实数a的取值范围．
3．（2024·山西运城·一模）已知 ，函数 ， .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明： 存在唯一的极值点；
(3)若存在 ，使得 对任意 成立，求实数 的取值范围.
1．（2023高三·全国·专题练习）设函数 ，若当 时 ，求 的取值范围．2．（2023高三·全国·专题练习）已知 ，实数 使得 对 恒成立，求实
数 的最大值．
3．（2023高三·全国·专题练习）设函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的值．
4．（23-24高三上·贵州安顺·期末）已知函数
(1)求 的单调增区间；
(2)方程 在 有解，求实数m的范围.
5．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 对定义域内任意实数 都有 ，求 的取值范围．
6．（22-23高三上·河南·阶段练习）已知函数 （其中 为自然对数的底数）．
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若 ，求证： ， ．
7．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 ，其图象在点 处的切线方
程为 ．
(1)求 ， 的值与函数 的单调区间；
(2)若对 ， ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
8．（23-24高三上·江苏常州·期中）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)对于 ，使得 ，求实数 的取值范围．
9．（2024·吉林白山·二模）已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 ，求实数 的取值范围.10．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 ，不等式 在 上存在实数解，求实数 的取值范围．
1．（2024·浙江绍兴·二模）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时， ，求实数 的取值范围.
2．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知 ．
(1)讨论 的单调性和极值；
(2)若 时， 有解，求 的取值范围．
3．（2024·陕西渭南·二模）已知函数 ， .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若当 时， 恒成立，求实数m的取值范围.
4．（2024·山东德州·三模）设函数 ， ，曲线 在点 处的切线方
程为 .
(1)求 的值;
(2)求证:方程 仅有一个实根;
(3)对任意 ，有 ，求正数 的取值范围.
5．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数 ．
(1)若曲线 在 处的切线的方程为 ，求实数 的值；
(2)若函数 恒成立，求 的取值范围．
6．（2024·青海海西·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)令 ，若 恒成立，求实数a的取值范围.7．（2024·四川泸州·二模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ， ，求实数a的取值范围．
8．（2024·广东梅州·一模）已知函数 .
(1)若 是函数 的一个极值点，求 的值；
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围；
(3)证明： （ 为自然对数的底数）.
9．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数 .
(1)求 过原点的切线方程；
(2)求证：存在 ，使得 在区间 内恒成立，且 在 内有解.
10．（2024·贵州安顺·二模）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若对任意的 ，存在 ，使得 ，求实数 的取值范围．
1．（2021·天津·高考真题）已知 ，函数 ．
（I）求曲线 在点 处的切线方程：
（II）证明 存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．
2．（2020·山东·高考真题）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式 恒成立，求a的取值范围．
3．（2020·全国·高考真题）已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.4．（2019·全国·高考真题）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
5．（2017·全国·高考真题）设函数 .
（I）讨论函数 的单调性；
（II）当 时， ，求实数 的取值范围.
