文档内容
第 06 讲 利用导数研究函数的零点（方程
的根） (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数
高频考点二：证明唯一零点问题
高频考点三：根据零点情况求参数
①利用最值（极值）研究函数零点问题
②利用数形结合法研究函数的零点问题
③构造函数研究函数零点问题
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 06 讲 利用导数研究函数的零点（方程的根）（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的零点（1）函数零点的定义：对于函数 ，把使 的实数 叫做函数 的零点．
（2）三个等价关系
方程f (x)=0有实数根⇔函数y=f (x)的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数y=f (x)有零点．
2、函数零点的判定
如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是 的根．我们
把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二）已知函数 的定义域为 ，部分对应值如下表：
的导函数 的图象如图所示，
则下列关于函数 的命题：
① 函数 是周期函数；
② 函数 在 是减函数；
③ 如果当 时， 的最大值是2，那么 的最大值为4；
④ 当 时，函数 有4个零点．
其中真命题的个数是
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
①显然错误；③容易造成错觉，t ＝5；④错误，f(2)的不确定影响了正确性；②正确，可由f′(x)<0得到．
max
2．（2022·甘肃·金昌市教育科学研究所高三阶段练习（文））已知函数 有两个极
值点，则实数a的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
对原函数求导得， ，
因为函数 有两个极值点，
所以 有两个不等实根，即 有两个不等实根，
亦即 有两个不等实根.
令 ，则
可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
又因为当 时， ，当 时， ，
所以 ，解得 ，
即a的范围是 .
故选：B
3．（2022·全国·高二）若函数 仅有一个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因为函数 仅有一个零点，
所以 与 图像只有一个交点.
对于 ，求导得 .令 ，得 或 .
所以当 时 单调递增；当 时 单调递减；当 时 单调递增.
所以当 时函数有极大值 ，当 时函数有极小值 .
作 与 的图像如下图所示.由图可知，当 与 图像只有一个交点时， 或 ，即 或 .
故选:D
4．（2022·甘肃武威·模拟预测（文））函数 有三个零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A．（﹣4，4） B．[﹣4，4]
C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
【答案】A
由题意，函数 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
要使得函数 有三个零点，则满足 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：A．
5．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数 与 ，则它们的图象交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
【答案】B
令 ，则 ，由 ，得 ，
∴当 时， ，当 时， .
∴当 时， 取得最小值 ，
∴ 只有一个零点，即 与 的图象只有1个交点.
故选：B.第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：判断、证明或讨论函数零点（根）的个数
1．（2022·全国·高二）设函数f (x)＝ x－ln x，则函数y＝f (x)（ ）
A．在区间 ，(1，e)内均有零点
B．在区间 ，(1，e)内均无零点
C．在区间 内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间 内无零点，在区间(1，e)内有零点
【答案】D
当x∈ 时，函数图象连续不断，且f ′(x)＝ － ＝ <0，所以函数f (x)在 上单调递减．
又 ＝ ＋1>0，f (1)＝ >0，f (e)＝ e－1<0，所以函数f (x)有唯一的零点在区间(1，e)内．
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 ，其中 为自然对数的底数，
……，则 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
由题意得， ，∴当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ .∵ ，
∴存在唯一 .使得 ，即 在 上存在唯一零点 .
∵ ，
∴存在唯一 ，使得 ，即 在 上存在唯一零点 .
综上， 有且只有两个零点.
故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习（理））函数 的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，得 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
， ，
所以函数 在 和 各有1个零点，所以共2个零点.
故选：C
4．（2022·全国·高二课时练习）求函数 零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
,
在 上单调递增,在 上单调递减,在 上上单调递增,
所以当 时, 取到极大值 ,
所以当 时, 取到极小值 ,
所以函数 零点的个数为3
所以C选项是正确的
5．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数 与 ，则它们的图象交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
【答案】B
令 ，则 ，由 ，得 ，
∴当 时， ，当 时， .
∴当 时， 取得最小值 ，
∴ 只有一个零点，即 与 的图象只有1个交点.
故选：B.
6．（2022·江苏苏州·模拟预测）方程 的实根个数是______ ．【答案】
解：设 ，则 ，
令 ，得 或 ，
时 ，即 在 上单调递增；
当 时 ，即 在 上单调递减；
当 时 ，即 在 上单调递增，
所以函数在 处取得极大值，在 处取得极小值，且 ，
由上分析知 的图象如图所示，函数与 轴只有一个公共点，
所以方程 只有一个实根．
故答案为： ．
7．（2022·全国·高三专题练习）函数 的零点个数是__________．
【答案】2
，
画出 与 的图象如下图所示，
当 时， ，
，所以在曲线 图象上点 的切线方程为 ，即 .
由图可知 与 有两个公共点，即 有两个零点.
故答案为：8．（2022·广东佛山·高二阶段练习）已知函数 ，其中 ．
(1)若 存在唯一极值点，且极值为0，求 的值；
(2)若 ，讨论 在区间 上的零点个数．
【答案】(1) 或 ；
(2)当 时， 在 ， 上无零点，
当 或 或 时， 在 ， 上有1个零点，
当 时， 在 ， 上有2个零点.
【解析】
(1)
，定义域是 ，
，
①若 ，则当 时， 恒成立，
故 在 单调递增，与 存在极值点矛盾，
②若 时，则由 解得： ，
故 时， ，当 时， ，
故 在 单调递减，在 单调递增，
故 存在唯一极小值点 ，
故 ，
故 或 ；
(2)
① 时， 在 ， 上恒成立，
故 在 ， 上单调递增，
， ，由零点存在性定理， 在 ， 上有1个零点；
②当 时， 在 ， 上恒成立，
故 在 ， 上单调递增，
， ,
由零点存在性定理， 在 ， 上有1个零点；
③当 时，当 ， 时， ， ， 时， ，
在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
，
此时若 ， ， 在 ， 上有1个零点；
若 ， ， 在 ， 上无零点；
若 ， ，
而 ，
若 ，即 ， 在 ， 上有1个零点；
若 ，即 ， 在 ， 上有2个零点；
综上：当 时， 在 ， 上无零点，
当 或 或 时， 在 ， 上有1个零点，
当 时， 在 ， 上有2个零点.
9．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（文））给定函数 ．
(1)判断函数 的单调性，并求出 的极值；
(2)求出方程 的解的个数．
【答案】(1)函数 在 单调递增，在 单调递减， 的极小值为： ，无极
大值.
(2)当 时，方程 无解；当 或 时，方程 有 个解；当 时，方
程 有 个解.
【解析】(1)
因为 ，所以 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，所以函数 在 单调递增，
函数 在 单调递减，所以 为函数 的极小值点，
所以 的极小值为： ，无极大值.
综上所述：函数 在 单调递增，在 单调递减， 的极小值为： ，无极
大值.
(2)
易知当 时， ，当 时， ，当 时， ，
再根据（1）中函数 的单调性和极值可以大致作出函数 图像如下所示：
由（1）知， 的极小值即为函数 最小值，方程 的解的个数
等价于函数 的图像与直线 交点的个数，由下图可知：
当 时，函数 的图像与直线 没有交点，故方程 无解；
当 时，函数 的图像与直线 有 个交点，
故方程 有 个解；
当 或 时，函数 的图像与直线 有 个交点，
故方程 有 个解；
综上所述：当 时，方程 无解；当 或 时，方程 有 个解；当
时，方程 有 个解.高频考点二：证明唯一零点（根）问题
1．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求 的单调区间及相应区间上的单调性；
(2)证明: 只有一个零点．
【答案】(1)递增区间是 ， ，递减区间是 ；
(2)证明见解析.
(1)
若 时，函数 ，求导得 ，
由 ，解得 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以 的递增区间是 ， ，递减区间是 .
(2)
因 ，则 等价于 ，
令 ，则 ，当且仅当 时取“=”，
于是得 在R上单调递增，
而 ，，
则存在唯一的 ，使得 ，即函数 有唯一零点，
所以 只有一个零点.
2．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知函数 ， .
(1)若 ，求 的最大值；
(2)若 ，求证： 有且只有一个零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
若 ，则 ，其定义域为 ，∴ ，
由 ，得 ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴
(2)
证明： ，
由（Ⅰ）知 在 上单调递增，在 上单调递诚，
∵ ，
∴当 时， ，
故 在 上无零点；
当 时， ，
∵ 且 ，∴ 在 上有且只有一个零点.
综上， 有且只有一个零点.
3．（2022·广西玉林·模拟预测（文））已知函数 .
(1)求函数 的最小值；
(2)证明：函数 仅有一个零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
函数 的定义域为 ，
则 ，得 ，
当 时， ，则函数 在 上单调递减；
当 时， ，则函数 在 上单调递增；
所以当 时，函数 取最小值 .
(2)
，
函数 的定义域为 ，且 .设 ，
则 .
当 时， ；当 时， ，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， （当且仅当 时取等号）.
即当 时， （当且仅当 时取等号）.
所以函数 在 上单调递增，至多有一个零点.
因为 是函数 唯一的零点.
所以函数 仅有一个零点.
高频考点三：根据零点（根）情况求参数
①利用最值（极值）研究函数零点（根）问题
1．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数 在 时有极值0．
(1)求函数 的解析式；
(2)记 ，若函数 有三个零点，求实数 的取值范围．
【答案】(1) (2)
(1)
解： ，
因为函数 在 时有极值0，
所以 ，即 ，
解得 ，
经检验符合题意，
所以 ；
(2)
解：由（1）得 ，
则 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 和 上递增，在 上递减，
所以函数 的极大值为 ，极小值为 ，
因为函数 有三个零点，
所以 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
2．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 （a为常数）有3个不同的零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 (2)
(1)，定义域 ，
∴ ，
由 可得 ，由 可得 或 .
∴函数 的单调递增区间为 ，
单调递减区间为 和 .
(2)
函数 在 单调递增，在 和 单调递减.
且当 或 时， .
∴ 的极大值为 ， 的极小值为 ，
当 时， ；当 时， .
由题意可知 ，则 .
3．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））已知函数 ， ．
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)若函数 恰有三个零点，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 的极大值为 ， 的极小值为 (2)
(1)
因为 ，所以 ，
所以，当 或 时， ；当 时， ；
所以 在 和 单调递增，在 单调递减，
所以 的极大值为 ， 的极小值为 ；
(2)
，
当 时，令 ，则 ，
所以，当 或 时， ；当 时， ；所以 在 和 单调递增，在 单调递减，
所以 的极大值为 ，
的极小值为
又 恰有三个零点，所以 ，解得 ．
综上， 的取值范围为 ．
4．（2022·北京丰台·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 的斜率为1的切线方程；
(2)若函数 恰有两个不同的零点，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
(1)
当 时， ，
所以 ．
令 ，解得 ．
因为 ，所以切点坐标为 ．
故切线方程为 ．
(2)
因为 ，
所以
令 ，解得 ．
当 时，由 ，得 ，
所以 ，则 在定义域 上是增函数．
故 至多有一个零点，不合题意，舍去．
当 时，随 变化 和 的变化情况如下表：0
单调递增 单调递减
故 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
当 时， 取得最大值 ．
若 时， ，此时 至多有一个零点；
若 时， ，又 ，
由零点存在性定理可得 在区间 和区间 上各有一个零点，
所以函数 恰有两个不同的零点，符合题意．
综上所述， 的取值范围是 ．
5．（2022·广西桂林·二模（理））已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)
解： ，
若 ，则当 时， ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
若 ，由 得 或 ，
①若 ，则 ，所以 在 上单调递增；
②若 ，则 ，当 时， ；当 时， ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
③若 ，则 ，当 时， ；当 时， ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
综上，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
(2)
解：当 时，由（1）知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，取b满足 且 )，则
，
所以 有两个零点；
当 时，令 ，解得 ，所以 只有一个零点；
当 时，令 ，解得 ，所以 只有一个零点；
当 时，由（1）知， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，当 时， 有极大值 ，
所以 不存在两个零点；
当 时，由（1）知， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 有极大值 ，所以 不存在两个零点；
综上，a的取值范围为 .
②利用数形结合法研究函数的零点（根）问题
1．（2022·宁夏·银川二中高二期末（理））已知函数
(1)填写函数 的相关性质；
极值
定义域 值域 零点 单调性
点
性 质
(2)通过（1）绘制出函数 的图像，并讨论 方程解的个数．
【答案】(1)详见解析(2)详见解析
(1)函数 的定义域是 ，
，
当 时， ，函数单调递增，当 时， ，函数单调递减，
所以当 时，函数取得极大值，同时也是函数的最大值， ，
当 时， ，当 时， ，
函数的值域是 ，
，得 ，所以函数的零点是 ，
极值
定义域 值域 零点 单调性
点
单调递增区间 ，单调
性
质
递减区间
(2)函数 的图象如图，
，即 ，方程解的个数，即 与 的交点个数，
当 时，无交点，即方程 无实数根；
当 或 时，有一个交点，即方程 有一个实数根；
当 时，有两个交点，即方程 有两个实数根.
2．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（文））设函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若关于 的方程 有三个不等实根，求实数 的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为 ， ；单调递减区间为
(2)(1)由已知可得： ，令 ，即 ，
解得 ， ，
所以当 或 时， ，当 时， .
所以 的单调递增区间为 ， ；
单调递减区间为 .
(2)由（1）可知 的图象的大致走势及走向，如图所示，
又 ， ，
所以当 时，直线 与函数 的图象有三个不同的交点，方程 有三个
不等实根.
3．（2022·全国·信阳高中高三阶段练习（理））已知函数 （ ，e为自然对数的底数）.
(1)若 有两个不相等的实数根，求 的取值范围；
【答案】(1) ；(2) .
(1)当 时， ，令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
于是得 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，
而当 时， 恒成立，当 时， 恒成立，如图，观察图象知，当 ，直线 与函数 的图象有两个公共点，即方程 有两个不相
等的实数根，
所以 的取值范围是 .
4．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））已知函数 在 时取得极值，且
在点 处的切线的斜率为 .
(1)求 的解析式；
(2)若函数 有三个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
(1)解：因为 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，所以， .
当 ， 时， ，经检验可知，函数 在 处取得极值.
因此， .
(2)解：问题等价于 有三个不等的实数根，求 的范围.
由 ，得 或 ，
由 ，得 ，
所以 在 、 上单调递增，在 上单调递减，
则函数 的极大值为 ，极小值为 ，如下图所示：由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有 个交点，
因此，实数 的取值范围是 .
5．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ，若方程 有三个不同的解，求a的取值范围.
【答案】(1)详见解析(2)
(1)
，
当 时， ，函数在 单调递增，
当 时， ，得
当 时， ，函数单调递减，
当 时， ，函数单调递增，
综上可知，当 时，函数在 单调递增，
当 时，函数的单调递增区间是 ，
函数的单调递减区间是
(2)
由 ，化简为 ，设 ，设 ，则 ，
，当 时， ，函数单调递减，
当 时， ，函数单调递增，函数 的最大值 ，
画出函数 的图象，由图可知 与 的交点对应的 ，一正一负，
如图，画出函数 的图象，
当 ， 时，对应的 值有3个，
在 单调递增，当 时，
所以
6．（2022·四川绵阳·二模（文））已知函数
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若函数 有且只有一个零点，求实数 的取值范围．
【答案】(1)递增区间是 ，递减区间是 ；(2) 或 .
(1)
当 时， 的定义域为 ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 的递增区间是 ，递减区间是 .
(2)
函数 的定义域为 ，则 ，
令 ， ，求导得： ，由 得 ，
当 时， ，当 时， ，因此， 在 上单调递增，在 上单调
递减，
则当 时， ，且 ， 恒成立，函数 的图象如图，
函数 有一个零点，当且仅当直线 与函数 的图象只有一个公共点，
观察图象知，当 或 时，直线 与函数 的图象只有一个公共点，
所以实数 的取值范围是： 或 .
③构造函数研究函数零点（根）问题
1．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知函数 （e为自然对数的底数）， （
）， .
(1)若直线 与函数 ， 的图象都相切，求a的值；
(2)若方程 有两个不同的实数解，求a的取值范围.【答案】(1) ；(2) .
(1)
设曲线 的切点坐标为 ，
由 ，所以过该切点的切线的斜率为 ，因此该切线方程为：
，因为直线 与函数 的图象相切，
所以 ，
因为直线 与函数 的图象相切，且函数 过原点，
所以曲线 的切点为 ，于是有 ，
即 ；
(2)
由 可得： ，
当 时，显然 不成立，
当 时，由 ，
设函数 ， ，
，
当 时， ，
单调递减，
当 时， ，
单调递减，
当 时， ，
单调递增，
因此当 时，函数有最小值，最小值为 ，
而 ，当 时， ，函数图象如下图所示：方程 有两个不同的实数解，
转化为函数 和函数 的图象，在当 时，有两个不同的交点，由图象可知：
，
故a的取值范围为 .
2．（2022·重庆南开中学高二期末）已知函数 .
(1)若 与 在 处有相同的切线，求实数 的取值；
(2)若 时，方程 在 上有两个不同的根，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
(1)
设公切线与 的图像切于点 ，
f' (x)=1+lnx⇒f' (1)=1,
{f' (1)=1
⇒f(x)在
处的切线为 ，
f(1)=0
由题意得： ；
(2)
当 时， ，①
， ①式可化为为 ，
令令 ， ，
在 上单调递增，在 上单调递减.
，当 时，
由题意知：
3．（2022·四川·成都七中高三阶段练习（理））已知函数 ， ， ．
(1)当 时，函数 有两个零点，求 的取值范围；
(2)当 时，不等式 有且仅有两个整数解，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) , .
(1)
当 时， ，
由 得： ，即 ，
令 ，则 ，
∴ 时 ， 在 内递增，
时 ， 在 内递减，
时 ， 在 内递减，
时 ， 在 内递增，
∴极大值 ，极小值 ，
∴在 上值域为 ，在 上值域为 ，在 上值域为 ，在 上值域为
，
∴要使函数 有两个零点，则 ；
(2)
当 时，由 得： ．
令 ，则 ．
令 ，则 ，即 在 上单调递增，又 ， ，∴ 在 上有唯一零点 ，此时 在 上递减，在 , 上递增．
，
令 ，则 ，故 上 ，在 上 ，
∴ 在 上递减，在 上递增，则 ，即 ，
∴ ．
当 时， ；当 时， ．
①若 ，则 ，此时 有无穷多个整数解，不合题意；
②若 ，即 ，因为 在 , 上单调递减，在 , 上单调递增，
所以 时， ， ，所以 无整数解，不合题意；
③若 ，即 ，此时 ，故0，1是 的两个整数解，
又 只有两个整数解，因此 且 ，解得 ．
∴ , ．
4．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数 ， ．
(1)试讨论函数 的单调性；
(2)若当 时，关于x的方程 有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．
【答案】(1) 时， 在 上单调递减；
时． 在 单调递增， 上单调递减(2)
(1)
由题得 的定义域为 ，
当 即 时， 在 上单调递减；
当 即 时， ，
所以， 在 上单调递增；在 上单调递减
综上， 时， 在 上单调递增；时， 在 单调递增， 上单调递减
(2)
设 ， ，
设 ， ，
由 得， ， ，
∴ ，在 上 单调递增，即 单调递增， ，
①当 ，即 时， 时， ， 在 单调递增，
又 ，此时关于x的方程 有且只有一个实数解，
②当 ，即 时，令 ， ，
当 时， ， ，故 ，
∴ ，则 ，
又 ，故 ， ，
当 时， ， 单调递减，又 ，
∴在 内，关于x的方程 有一个实数解1，
当 时， ， 单调递增，且 ，
令 ，
若 ， ，
故 在 单调递增，则 ，
∴ 时， 在 单调递增，故 ，即 ，又 ，
由零点存在定理可知， ， ，
∴在 ，关于x的方程 有两个实数解，
综上，当 时关于x的方程 有且只有一个实数解，则 ．
5．（2022·河南·三模（理））已知函数 ， .
(1)判断函数 的零点个数；
【答案】(1)一个零点
(1)， ，
设 ，则
因此 在 上单调递减，又 ，所以当 时， ，
即 ， 在 上单调递增，当 时， ，即 ， 在 上单调
递减，所以 在 处有极大值 ，
又 ，故 有且仅有一个零点.
6．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数 ，
(1)求函数 的最值；
(2)令 ，求函数 在区间 上的零点个数，并说明理由．
【答案】(1)当 时， 在R上无最大值与最小值
当 时， 在R上无最大值，有最小值为 .
(2)函数 在 上的零点的个数为 ，理由见解析
(1)
，
①当 ，即 时，得 恒成立，此时函数 在R上单调递增，故函数 在R上无最大
最小值
②当 ，即 时，由 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增
当 时， ， 单调递减
所以 时， 取最小值
即
综上所述：当 时， 在R上无最大值与最小值
当 时， 在R上无最大值，有最小值为 .
(2)
，则
①当 时，由 在区间 上单调递减，知： 在 上单调递增，且 ， ，知：函数 在 上有唯一的零点 .
当 时，由 ，知： 在 上单调递减，同理可知： 在 上单调递增.
由 ， ， ，
故函数 在区间 上有两个不同的零点.
②当 时，由 ，
构造函数 ，则由 恒成立，知：函数 在 上单调递增，故：
，由 ，知：函数 在 上恒成立，即 恒成立，此
时函数 无零点.
综上，函数 在 上的零点的个数为 .
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题（理））已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．
【答案】（1） 上单调递增； 上单调递减；（2） .
（1）当 时， ,
令 得 ,当 时， ,当 时， ,
∴函数 在 上单调递增； 上单调递减；
（2）[方法一]【最优解】：分离参数
,设函数 ,
则 ,令 ，得 ,在 内 , 单调递增；
在 上 , 单调递减；
,
又 ，当 趋近于 时， 趋近于0，
所以曲线 与直线 有且仅有两个交点，即曲线 与直线 有两个交点的充分必要
条件是 ,这即是 ,
所以 的取值范围是 .
[方法二]：构造差函数
由 与直线 有且仅有两个交点知 ，即 在区间 内有两个解，取对数得方程
在区间 内有两个解．
构造函数 ，求导数得 ．
当 时， 在区间 内单调递增，所以， 在
内最多只有一个零点，不符合题意；
当 时， ，令 得 ，当 时， ；当 时， ；
所以，函数 的递增区间为 ，递减区间为 ．
由于 ，
当 时，有 ，即 ，由函数 在 内有两个零点知
，所以 ，即 ．
构造函数 ，则 ，所以 的递减区间为 ，递增区间为 ，所以
，当且仅当 时取等号，故 的解为 且 ．
所以，实数a的取值范围为 ．
[方法三]分离法：一曲一直
曲线 与 有且仅有两个交点等价为 在区间 内有两个不相同的解．
因为 ，所以两边取对数得 ，即 ，问题等价为 与 有且仅有两个交点．
①当 时， 与 只有一个交点，不符合题意．
②当 时，取 上一点 在点 的切线方程为
，即 ．
当 与 为同一直线时有 得
直线 的斜率满足： 时， 与 有且仅有两个交点．
记 ，令 ，有 ． 在区间 内单调递增；
在区间 内单调递减； 时， 最大值为 ，所当 且 时
有 ．
综上所述，实数a的取值范围为 ．
[方法四]：直接法
．
因为 ，由 得 ．
当 时， 在区间 内单调递减，不满足题意；
当 时， ，由 得 在区间 内单调递增，由 得
在区间 内单调递减．
因为 ，且 ，所以 ，即 ，即
，两边取对数，得 ，即 ．
令 ，则 ，令 ，则 ，所以 在区间 内单调递增，在区间
内单调递减，所以 ，所以 ，则 的解为 ，所以 ，即 ．故实数a的范围为 ．]
【整体点评】
本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，
方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数
形结合思想求解.
方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.
方法三：将问题取对，分成 与 两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线
斜率与一次函数的斜率比较得到结论．
方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.
2．（2021·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 只有一个零点
① ；
② ．
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
(1)由函数的解析式可得： ，
当 时，若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
(2)若选择条件①：
由于 ，故 ，则 ，而 ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
，
由于 ， ，故 ，
结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
若选择条件②：
由于 ，故 ，则 ，
当 时， ， ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
当 时，构造函数 ，则 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
注意到 ，故 恒成立，从而有： ，此时：
，
当 时， ，
取 ，则 ，
即： ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.，
由于 ， ，故 ，
结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高
考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几
何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求
参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
3．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且 ，函数
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 .
(注： 是自然对数的底数)
【答案】(1) 时， 在 上单调递增； 时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为
；
(2) ；
(3)证明见解析.
(1) ，
①若 ，则 ，所以 在 上单调递增；
②若 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
综上可得， 时， 在 上单调递增；
时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为 .(2) 有2个不同零点 有2个不同解 有2个不同的解，
令 ，则 ，
记 ，
记 ，
又 ，所以 时， 时， ，
则 在 单调递减， 单调递增， ，
.
即实数 的取值范围是 .
(3)[方法一]【最优解】：
有2个不同零点，则 ，故函数的零点一定为正数.
由(2)可知有2个不同零点，记较大者为 ，较小者为 ，
，
注意到函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
故 ，又由 知 ，
，
要证 ，只需 ，
且关于 的函数 在 上单调递增，
所以只需证 ，
只需证 ，
只需证 ，
，只需证 在 时为正，由于 ，故函数 单调递增，
又 ，故 在 时为正，
从而题中的不等式得证.
[方法二]：分析+放缩法
有2个不同零点 ，不妨设 ，由 得 （其中
）．
且 ．
要证 ，只需证 ，即证 ，只需证 ．
又 ，所以 ，即 ．
所以只需证 ．而 ，所以 ，
又 ，所以只需证 ．
所以 ，原命题得证．
[方法三]：
若 且 ，则满足 且 ，由（Ⅱ）知 有两个零点 且 ．
又 ，故进一步有 ．
由 可得 且 ，从而
．．
因为 ，
所以 ，
故只需证 ．
又因为 在区间 内单调递增，故只需证 ，即 ，注意
时有 ，故不等式成立．
【整体点评】
本题第二、三问均涉及利用导数研究函数零点问题，其中第三问难度更大，涉及到三种不同的处理方法，方法一：直接分析零点 ，将要证明的不等式消元，代换为关于 的函数，再利用零点反代法，换为
关于 的不等式，移项作差构造函数，利用导数分析范围.
方法二：通过分析放缩，找到使得结论成立的充分条件，方法比较冒险！
方法三：利用两次零点反代法，将不等式化简，再利用函数的单调性，转化为 与0比较大小，
代入函数放缩得到结论.
第五部分：第 06 讲 利用导数研究函数的零点（方程
的根）（精练）
一、单选题
1．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）已知a∈R，则函数 零点的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．与a有关
【答案】A
令 ，得 .
令 ， ，只需看两个图像的交点的个数.
所以 在R上单调递增.
当 时， ；当 时， ；
所以 与 有且只有一个交点.
故选：A
2．（2022·浙江省浦江中学高二阶段练习）已知函数 在 上有零点，则m的取
值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
由函数 存在零点，则 有解，
设 ，
则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
则 时 取得最小值，且 ，
所以m的取值范围是 ．
故选：C
3．（2022·全国·高二）函数 的零点个数及分布情况为（ ）
A．一个零点，在 内
B．二个零点，分别在 ， 内
C．三个零点，分别在 ， ， 内
D．三个零点，分别在 ， ， 内
【答案】A
或 ，
或 ，
在 单调递减，在 单调递增，
是 的极小值点， 是 的极大值点，且 ，
在 恒成立，且 ， ，
在 存在唯一零点，
故选：A4．（2022·全国·高二）直线 与函数 的图象有三个不同的交点，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为 ，
所以 ，
令 ，解得 或 ，
由 ，解得 或 ，
由 ，解得 ，
所以 在 上递增，在 递减，在 递增，
当 时， 取得极大值且为 ，
当 时， 取得极小值且为 ，
因为直线 与函数 的图象有三个不同的交点，
所以实数 的取值范围为 ，
故选：A
5．（2022·全国·高二）已知函数 ，若函数 有两个零点，则实数
等于（ 为自然对数的底数）（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
依题意可知 的图象与 的图象有两个公共点，
画出 的图象与 的图象如下图所示，
由图可知， 与 相切，设切点为 ，
，故斜率为 ，所以 ，则斜率 .
故选：A6．（2022·河南·襄城高中高二阶段练习（理））已知函数 ， ，其中 为自
然对数的底数，若方程 存在两个不同的实根，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
函数 的定义域为 ，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
；
令 ，
是图象关于 对称的，开口方向向上的二次函数， ；
当且仅当 ，即 时，方程 有两个不同的实根，
由 得： ，即 的取值范围为 .
故选：B.
7．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数 有三个不同的零点
，且 ，则 的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．36
【答案】D解：因为 ，所以 ，因为 ，所
以 有三个不同的零点 ，令 ，则 ，所以当 时
，当 时 ，即 在 上单调递增，在 上单调递减，所以
，当 时 ，令 ，则 必有两个根 、 ，
不妨令 、 ，且 ， ，即 必有一解 ， 有两解 、 ，
且 ，故
故选：D
8．（2022·全国·高三专题练习）已知方程 在区间 上恰有3个不等实数根，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
，
直线 过点 ，
设 ，
所以在 点处的 的切线方程为 ，
即 ，将 代入得 ， .
，即 在函数 的图象上，
.
要使方程 在区间 上恰有3个不等实数根，
则 ，即 的取值范围是 .故选：A
二、填空题
9．（2022·河南焦作·二模（理））函数 在 上有两个零点，则实数a的取值范围
是_______.
【答案】
由函数 的零点个数等价于函数 与 的图象公共点个数，
由指数函数和对数函数的性质，可得它们都经过点 ，
又由 ， ，可得 ， ，
①当 时， 单调递增， 或 单调递减，两图象仅有一个交点；
②当 时，结合两函数的图象，可得两个图象只有一个公共点；
③当 时，根据指数函数与对数函数图象的形状，可知两个图象在区间 上有一个交点，即在
上有两个交点；④当 时，根据指数函数与对数函数图象的形状，两个图象在区间 上有一个交点，即在 上
有两个交点，
综上：实数a的取值范围为 .
故答案为：
10．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数 恰有3个零点，则 的取值
范围是________．
【答案】
设函数 ，根据题意函数 恰有3个零点，
即为函数 的图象与直线 有3个公共点，
当 时，可得 ，令 ，得 ，
当 时，函数 单调递减；
当 时，函数 单调递增，所以当 时，函数 取得极小值，极小值为 ，
又由 ，
作出 的图象，如图所示，
由图可知，实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知不等式 有且只有两个整数解，则实数a的范围为
___________．
【答案】
整理为： ，即函数 在 上方及线上存在两个整数点，
，故显然 在 上单调递增，在 上单调递减，且与 相邻的整数点的函数
值为： ， ， ， ，显然有 ，要恰有两个整数
点，则为0和1，此时 ，解得： ，如图
故答案为：12．（2022·全国·高二）已知函数 在区间 上有3个不同的极值点，
则实数a的取值范围是__________.
【答案】
.因为 在 上有3个不同的极值点，
所以 在 上有3个不同的实根，
所以 在 上有2个不同的实根（且不等于1）.
由 ，得 .令 ，则 ，
显然函数 在 单调递减，在 单调递增.
又 ，因为 ，所以 .
故答案为：
三、解答题
13．（2022·河南·栾川县第一高级中学高二阶段练习（理））已知 ．
(1)若2是函数 的极值点，求a的值，并判断2是 的极大值点还是极小值点；
(2)若关于x的方程 在 上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．参考数据：
【答案】(1) ；2是 的极小值点；(2) .
(1)
因为 ，所以 ．
因为2是 的极值点，所以 ，解得 ．
此时 ．
令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
所以2是 的极小值点．
(2)由 ，得 ，
令 ，
则 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 的极大值是 ，
而 且 ，
故实数a的取值范围是 ．
14．（2022·陕西宝鸡·二模（文））已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若方程 在 上有实根，求实数a的取值范围．
【答案】(1)见解析；(2) .
(1)
，
时， ， 在R上单调递减；
时， ， ， 单调递增，
， ， 单调递减；
综上， 时， 在R上单调递减；
a＞0时，f(x)在 单调递增，在 单调递减.
(2)
，
令 ，
则 ，
∴g(x)在(1，e)上单调递增，∴
∴ .
15．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知函数 .
(1)当 时，证明：函数 的图象恒在函数 的图象的下方；
(2)讨论方程 的根的个数.
【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析
(1)
设 ，其中 ，
则 ，
在区间 上， 单调递减，
又∵ ，即 时， ，∴ ，
∴在区间 上函数 的图象恒在函数 的图象的下方.
(2)
由 得 ，即 ，
令 ，则 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
∴ 在 处取得最小值 ，∴ ，
又∵当 时， ，当 时， ，有零点存在性定理可知函数有唯一的零点 ，
∴ 的大致图象如图所示，∴当 时，方程 的根的个数为0；
当 或 时，方程 的根的个数为1；
当 时，方程 的根的个数为2.
16．（2022·吉林·长春外国语学校高二阶段练习）若函数 ，当 时，函数 有
极值 .
(1)求函数的解析式；
(2)若关于 的方程 有三个解，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)
函数 的定义域为R. .
由题意可得： ，
解得： ，所以 .
此时， .
令 ，解得： 或 ；令 ，解得： .
所以 在 ， 上单增，在 上单减，所以 时，函数 有极值 ，符合题意；
故解析式为 .
(2)
令 ，解得： 或 .列表得：
x 1 2
+ 0 - 0 +单增 极大值 单减 极小值 单增
要使关于 的方程 有三个解，
只需 .
即实数 的取值范围为 .
17．（2022·浙江浙江·二模）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 的极小值点；
(2)当 时，讨论函数 的图象与函数 的图象公共点的个数，并证明你的结论．
【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；
(1)
解：当 时， ，
所以 ，令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 是函数 的极小值点；
(2)
当 时，令 ，
则 ，
当 时， 时， ， 时， ，
所以当 时， 取得极小值，且 ， ，
当 ，即 ，函数 的图象与函数 的图象无公共点；
当 ，即 时，函数 的图象与函数 的图象有1个公共点；
当 ，即 时，函数 的图象与函数 的图象有2个公
共点；
当 ，即 ，函数 的图象与函数 的图象有1个公共点；
当 ，即 时， 或 时， ， 时， ，
所以当 时， 取得极大值，当 时， 取得极小值，且 ， ，因为 恒成立，
所以函数 的图象与函数 的图象只有1个公共点；
当 ，即 时， 恒成立，
所以 在 上递增，所以函数 的图象与函数 的图象有1个公共点；
当 ，即 时， 或 时， ， 时， ，
所以当 时， 取得极大值，当 时， 取得极小值，且 ， ，
因为 ， ， 恒成立，
所以 的图象与函数 的图象只有1个公共点.
综上： 当 时，函数 的图象与函数 的图象无公共点；
当 或 或 时， 的图象与函数 的图象只有1个公共点；
当 时，函数 的图象与函数 的图象有2个公共点.
