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专题 24.10 求圆中阴影部分的面积【九大题型】
【人教版】
【题型1 直接法】......................................................................................................................................................1
【题型2 相加法】......................................................................................................................................................4
【题型3 相减法】......................................................................................................................................................7
【题型4 加减法与混合型图形】............................................................................................................................12
【题型5 旋转法】....................................................................................................................................................15
【题型6 拼接法】....................................................................................................................................................19
【题型7 割补法】....................................................................................................................................................22
【题型8 重组法】....................................................................................................................................................29
【题型9 等积转化法】............................................................................................................................................32
【题型1 直接法】
【例1】（2024·吉林·中考真题）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计
图如图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB,OC分别与⊙O交于点A，D．OA=1m，OB=10m，
∠AOD=40°，则阴影部分的面积为 m2（结果保留π）．
【答案】11π
【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解．
40π(102−12)
【详解】解：由题意得：S = =11π，
阴影 360
故答案为：11π．
【变式1-1】（2024·河南驻马店·二模）如图1所示，点C 是半圆AB上一个动点，点 C 从点 A 开始向终点 B 运动的整个过程中， A´C的长l与时间t（秒）的函数关系如图2所示，则点C 运动3秒时，扇形
OAC的面积为（ ）
9π 9π 8 4π
A． B． C． D．
4 2 3 3
【答案】B
【分析】本题考查的是动点问题的函数图象，弧长的计算，扇形的面积，先求解点C运动3 秒转过的圆心
角以及半径，从而可得答案．
【详解】解：根据图2可知，当点C从点A开始向终点B运动用时12秒，转过的圆心角为180°，
3
∴点C运动3 秒转过的圆心角为 ×180∘=45∘．
12
半圆长度=πr=6π，
∴r=6．
45π×62 9π
∴扇形OAC的面积为 = ．
360 2
故选 B．
【变式1-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在⊙O中，若∠ACB=30°，OA=5，则扇形OAB（阴
影部分）的面积是 ．（结果保留π）
25
【答案】 π
6
【分析】本题考查了扇形面积的计算和圆周角定理．根据圆周角定理由∠ACB=30°，得到∠AOB=60°，OA=5，然后根据扇形面积公式计算扇形OAB的面积．
【详解】解：如图，
∵∠ACB=30°
，
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∵OA=5，
60π×52 25
∴扇形OAB的面积= = π．
360 6
25
故答案为： π．
6
【变式1-3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点
A为圆心，AB长为半径画圆，则阴影部分的面积是 ．
21π
【答案】
2
【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度
数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：∵正八边形和正六边形，
(8−2)×180° (6−2)×180°
∴∠BAG= =135° ∠CAG= =120°
8 6
， ，
∴∠BAC=360°−135°−120°=105°，
105π×62 21π
∴S = = ．
阴影部分 360 2
21π
故答案为： ．
2【题型2 相加法】
【例2】（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆
O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
4 4 2 4 ❑√3
A． π−❑√3 B． π C． π−❑√3 D． π−
3 3 3 3 4
【答案】A
【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面
积公式是关键．
如图：连接OA，AO′，作AB⊥OO′于点B，得三角形AOO′是等边三角形，求出
2π
AB=❑√3，S =S −S = −❑√3，再根据S =S +S ，即可解答．
弓形AO′ 扇形AOO′ △AOO′ 3 阴影 弓形AO′ 扇形AO′O
【详解】解：如图：连接OA，AO′，作AB⊥OO′于点B，
∵OA=OO′=AO′=2，
∴三角形AOO′是等边三角形，
1
∴∠AOO′=60°，OB= OO′=1，
2
∴AB=❑√22−12=❑√3
60π×22 1 2π
∴S ❑ =S ❑ −S ❑ = −2×❑√3× = −❑√3,
弓形 AO′ 扇形 AOO′ △ AOO′ 360 2 3
2π 2π 4π
∴S =S +S = −❑√3+ = −❑√3．
阴影 弓形AO′ 扇形AO′O 3 3 3
故选：A．
【变式2-1】（23-24九年级·浙江台州·期中）如图，矩形ABCD内接于⊙O，AB=6❑√3，∠BAC=30°
，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】12π
【分析】本题考查矩形的性质、扇形的面积公式等知识，解题的关键是学会用转化的扇形解决问题，属于
中考常考题型．根据S =S +S 求解即可．
阴影 扇形OAD 扇形OBC
【详解】
四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠AOD=∠BOC=∠OAB+∠OBA=60°，AC=AB÷cos30°=12，
∴OA=OC=6，
∵S =S =S =S ，
△AOB △AOD △BOC △COD
60π×62
S =S +S = ×2=12π.
阴影 扇形OAD 扇形OBC 360
故答案为：12π．
【变式2-2】（23-24九年级·福建福州·期末）如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，AO=6，点C为A´B
的中点，连接AB，OC，交点为D，点E为OD的中点，连接BE，AC，BC，则图中阴影部分的面积为
．
9❑√3
【答案】6π−
4
【分析】本题考查求不规则图形的面积，用扇形的面积减去三角形的面积得到弓形阴影的面积，再加上两
个三角形阴影的面积，求解即可．
【详解】解：∵在扇形AOB中，∠AOB=120°，AO=6，点C为A´B的中点，
∴A´C=B´C，OA=OB=OC=6，∴AC=BC，
∴OC垂直平分AB，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
1
∴OD= OA=3，AD=❑√3OD=3❑√3，
2
∴CD=OC−OD=3，BD=AD=3❑√3，
1 1 9❑√3 1 1
∴S = AD⋅CD= ×3❑√3×3= ，S = OC⋅BD= ×6×3❑√3=9❑√3，
△ADC 2 2 2 △BOC 2 2
60π
∴S =S −S = ×62−9❑√3=6π−9❑√3，
弓形BC 扇形OCB △BOC 360
∵E为OD的中点，
1 3
∴DE= OD= ，
2 2
1 1 3 9❑√3
∴S = BD⋅DE= ×3❑√3× = ，
△BDE 2 2 2 4
9❑√3 9❑√3 9❑√3
∴图中阴影部分的面积为S +S +S =6π−9❑√3+ + =6π− ；
弓形BC △BDE △ADC 4 2 4
9❑√3
故答案为：6π− ．
4
【变式2-3】（23-24九年级·浙江金华·期末）如图，已知AB是⊙O的直径，且AB=4，点P为半圆上的一
个动点（不与点A，B重合），D在AB延长线上，作∠PAB，∠PBD的平分线，相交于点C，则∠C=
°；在点P移动的过程中，线段AC扫过的面积= ．
【答案】 45 2π+4
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，角平分线的定义，三角形的外角性质，勾股定理，扇形的
面积等知识，设∠PAC=∠BAC=x，∠PBC=∠DBC= y，构建方程组求出 ∠C=45°；取A´B的中点
E，以E为圆心， EA为半径作⊙E，AF是直径，则点C在F´B上运动，则AC扫过的面积=扇形FEB的面
积+△AEB的面积，利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可求解；解题的关键是找到点C的运动轨
迹．【详解】解：∵∠PAB，∠PBD的平分线相交于点C，
∴可以假设∠PAC=∠BAC=x，∠PBC=∠DBC= y，
则有2y=2x+∠P，y=∠C+x，
∴2(∠C+x)=2x+∠P，
1
∴∠C= ∠P，
2
∵AB是直径，
∴∠P=90°，
∴∠C=45°；
取A´B的中点E，以E为圆心，EA为半径作⊙E，AF是直径，则点C在F´B上运动，
∵∠AEB=90°，AE=EB，AB=4，
∴EA=EB=2❑√2，
则AC扫过的面积=扇形FEB的面积+△AEB的面积，
90π×(2❑√2) 2 1
= + ×2❑√2×2❑√2，
360 2
=2π+4；
故答案为：45，2π+4．
【题型3 相减法】
【例3】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，在扇形MON中，∠MON=105°，半径OM=6，将扇形
MON沿过点P的直线折叠，点O恰好落在M´N上的点Q处，折痕交OM于点P，则阴影部分的面积为
（ ）9 9π
A．9❑√2 B．9(π−❑√2) C． π D． −9
2 2
【答案】D
【分析】连接OQ，根据折叠可知PN⊥OQ，QE=OE=3，∠QNE=∠ONE，ON=NQ=6，进而可得
△QON是等边三角形，则∠POQ=45°，进而求得△POQ的面积，根据阴影部分面积=S −S
扇形MOQ △POQ
求解即可．
【详解】解：连接OQ，交PN于E，
∵沿PN对折O和Q重合，OQ=6，
∴PN⊥OQ，QE=OE=3，∠QNE=∠ONE，ON=NQ=6，
∴∠NEO=90°，△QON是等边三角形，
∴∠QON=∠QNO=60°，
∵∠MON=105°，
∴∠POQ=∠MON−∠QON=45°，
∵∠OEP=90°，
∴PE=OE=3，
∴阴影部分的面积
=S −S
扇形MOQ △POQ
45π×62 1
= − ×6×3
360 2
9
= π−9．
2
故选：D．
【点睛】此题主要考查三角形的折叠问题、等边三角形的性质、扇形面积以及特殊角三角函数值的运用，
掌握以上知识是解题的关键．
【变式3-1】（2024·云南红河·二模）如图，扇形AOB的半径OA为2，∠AOB=90°，连接AB，则弧AB
与线段AB围成的区域（阴影部分）的面积是 ．【答案】π−2/−2+π
【分析】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算，掌握扇形和三角形的面积计算公式是解题关键．
由图可知阴影部分与三角形AOB组成扇形AOB，代入题目中数据先求出扇形AOB与三角形AOB的面积
即可．
【详解】∵扇形AOB的半径OA为2，∠AOB=90°，
1
∴ S = ×2×2=2，
△AOB 2
90°×π×22
∴扇形AOB的面积： =π，
360
∴阴影部分面积=扇形AOB的面积−三角形面积= π−2，
故答案为：π−2．
【变式3-2】（2024·山西晋中·三模）如图，AC是▱ABCD的对角线，∠CAB=90°，以点A为圆心，
AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC边于点F，连接DE．若∠ABC=60°，AD=6，则阴影
部分的面积为（ ）
π π 9❑√3 3π 3π 9❑√3
A． B． + C． D． +
4 4 4 4 4 4
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握分割法
1
是解题的关键．连接AE，根据平行四边形的性质得到△ABE是等边三角形，求得S =S = S
△ACE △ABE 2 △ABC
，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，求得AE=3，根据三角形和扇形的面积公式即可求解．【详解】如图，连接AE．
∵ ∠ABC=60° AB=AE
， ．
∴ △ABE是等边三角形．
∴ ∠BAE=60°，AE=BE
∵ ∠CAB=90°，
∴ ∠ACB=30°，∠CAE=90°−∠BAE=30°
∴ ∠ACB=∠CAE．
∴ AE=CE．
∴ BE=CE．
1
∴ S =S = S
△ACE △ABE 2 △ABC
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC=AD=6
1
∴ BE= BC=3
2
∴ AE=3
∴S =S −S +S −S
阴影 △ACE 扇形AEF 扇形ABE △ABE
=S −S
扇形ABE 扇形AEF
60π×32 30π×32
= −
360 360
3π
=
4
故选：C
【变式3-3】（23-24九年级·河南开封·阶段练习）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格
点，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）5 7 5 7 5 7 5 7
A． π− B． π− C． π− D． π−
2 4 2 2 4 4 4 2
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形外接圆与外心，扇形面积的计算，添加正确的辅助线是解题的关键．作
AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA、OB、OC，证明
∠AOC=90°，根据阴影部分面积=S −S −S 的面积即可得到答案．
扇形AOC △AOC △ABC
【详解】解：作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接
OA、OB、OC，则点O是△ABC外接圆的圆心，
由题意得：OA2=12+22=5，
OC2=12+22=5，
AC2=12+32=10，
∴OA2+OC2=AC2，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠AOC=90°，
∵AO=OC=❑√5，
∴阴影部分面积=S −S −S
扇形AOC △AOC △ABC
90π×(❑√5) 2 1 1
= − OA⋅OC− AB⋅1
360 2 2
5π 1 1
= − ×❑√5×❑√5− ×2×1
4 2 2
5π 5
= − −1，
4 2
5 7
= π− ，
4 2故选D．
【题型4 加减法与混合型图形】
【例4】（2024·宁夏银川·一模）如图，正方形ABCD的边长为4，分别以点A，C为圆心，AB长为半径
画弧，分别交对角线AC于点E，F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π−8 B．2π−4 C．π−2 D．8π−16
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，扇形面积计算，勾股定理，先根据正方形的性质，得出
AC⊥BD，∠BAC=∠DCA=45°，AB=BC=CD=AD，根据勾股定理求出
AC=BD=❑√42+42=4❑√2，得出AO=BO=CO=DO=2❑√2，根据
S =S −S +S −S ，求出结果即可．
阴影 扇形ABE △AOB 扇形CDF △COD
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，∠BAC=∠DCA=45°，AB=BC=CD=AD，
∴AC=BD=❑√42+42=4❑√2，
∴AO=BO=CO=DO=2❑√2，
∴S =S −S +S −S
阴影 扇形ABE △AOB 扇形CDF △COD
45×42π 1 45×42π 1
= − ×2❑√2×2❑√2+ − ×2❑√2×2❑√2
360 2 360 2=2π−4+2π−4
=4π−8，
故选：A．
【变式4-1】（2024·辽宁锦州·二模）如图所示，扇形OAB的半径OB长为3，∠AOB=90°，再以点A为
圆心，OA长为半径作弧，交弧AB于点C，则阴影部分的面积是（ ）
9❑√3−3π 9❑√3 9❑√3−3π 9❑√3
A． B． −3π C． D． −3π
2 2 4 4
【答案】C
【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，等边三角形的性质与判定，连接AC，OC，先证明△AOC
❑√3 9❑√3 3
是等边三角形，得到∠AOC=∠OAC=60°，再求出S = ⋅AO2= ，S = π，
△AOC 4 4 扇形AOC 2
3
S = π，据此根据图形面积之间的关系求解即可．
扇形OBC 4
【详解】解：连接AC，OC，
在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=3，以A为圆心，OA长为半径画弧，
∴AO=CO=AC=3，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=∠OAC=60°，
❑√3 9❑√3 60π×32 3 30π×32 3
∴S = ⋅AO2= ，S = = π，S = = π．
△AOC 4 4 扇形AOC 360 2 扇形OBC 360 4
3 9❑√3
∴S =S −S = π− ，
弓形OC 扇形AOC △AOC 2 4
3 (3 9❑√3) 9❑√3−3π
∴S =S −S = π− π− = ，
阴影 扇形OBC 弓形OC 4 2 4 4
故选：C．【变式4-2】（23-24九年级·浙江温州·开学考试）如图，矩形ABCD内接于⊙O，在A´B上取一点E，连接
AE，DE，过点A作AF⊥AE，交DE于点F，AD=6，AB=8，∠ADE=45°，则阴影部分的面积为
．
25π 25
【答案】 +
4 4
【分析】根据勾股定理求出圆的半径，依据等腰直角三角形求出AE长，利用△ABE∽△ADF得到AF
1
长，由图示可知S = S −S +S 代入数据计算即可．
阴影 4 ⊙O △AOE △AEF
【详解】解：连接OA、OE、EB、BD，
∵矩形ABCD内接于⊙O，AD=6，AB=8， ∠BAD=90°
∴BD是直径，BD=❑√AB2+AD2=10，
∴ ⊙O的半径为5，
∵∠ADE=45°，
∴∠AOE=90°，
∴AE=5❑√2，
∵∠ABE=∠ADE，∠BAE=∠DAF=90°−∠BAF，
∴△ABE∽△ADF，AB AE 8 4
∴ = = = ，
AD AF 6 3
15❑√2
∴AF= ，
4
1 1 1 1 15❑√2 25 25
∴ S = S −S +S = π×52− ×5×5+ ×5❑√2× = π+ ，
阴影 4 ⊙O △AOE △AEF 4 2 2 4 4 4
25 25
故答案为： π+ ．
4 4
【点睛】本题考查不规则图形的面积，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的
判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式4-3】（2024·山东济南·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=45°，点E是AD中
点，在AB上取一点F，以点F为圆心，FB的长为半径作圆，该圆与DC边恰好相切于点D，连接BE，若
图中阴影部分面积为4π，则AD= ．
【答案】4❑√2
【分析】本题考查了切线的性质，扇形的面积，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知
识，连接FD，过E作EG⊥AB于G，先判断△ADF，△AEG都是等腰直角三角形，则可求出
❑√2
AB=❑√2AD，EG= AD，然后根据S +S −S =4π求解即可．
4 △ADF 扇形BFD △ABE
【详解】解：连接FD，过E作EG⊥AB于G，
∵圆与DC边恰好相切于点D，
∴FD⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴DF⊥AB，∵∠BAD=45°，
∴△ADF，△AEG都是等腰直角三角形，
❑√2 ❑√2
∴AF=DF= AD，EG= AE，
2 2
❑√2
∴BF=DF= AD，
2
❑√2
∴AB=❑√2AD，EG= AD，
4
∵阴影部分面积为4π，
∴S +S −S =4π，
△ADF 扇形BFD △ABE
(❑√2 ) 2
90π⋅ AD
∴1 ❑√2 ❑√2 2 1 ❑√2 ，
× AD× AD+ − ×❑√2AD× AD=4π
2 2 2 360 2 4
(❑√2 ) 2
90π⋅ AD
即 2 ，
=4π
360
解得AD=4❑√2，
故答案为：4❑√2．
【题型5 旋转法】
【例5】（2024·内蒙古包头·三模）如图，正六边形ABCDEF的外接圆⊙O的半径为4，过圆心O的两条
直线l 、l 的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积和为 ．
1 2
8π
【答案】 −4❑√3
3
【分析】本题考查了正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，连接AO，标注直线与圆的交
点， 由正六边形的性质可得：A，O，D三点共线，△COD为等边三角形，证明扇形AOQ旋转后与扇形COG重合，可得S =S −S ，从而可得答案，熟记正六边形的性质是解本题的关键．
阴影 扇形COD △COD
【详解】如图，连接AO，标注直线与圆的交点，
由正六边形的性质可得：A，O，D三点共线，△COD为等边三角形，
∴∠AOQ=∠DOH，∠COD=∠GOH=60°，
∴∠COG=∠DOH=∠AOQ，
∴扇形AOQ旋转后与扇形COG重合，，
∴S =S −S ，
阴影 扇形COD △COD
∵△COD为等边三角形，OC=OD=4，
过O作OK⊥CD于K，
∴∠COD=60∘，CK=DK=2，OK=❑√42−22=2❑√3，
60π×42 1 8π
∴S =S −S = − ×4×2❑√3= −4❑√3
阴影 扇形COD △COD 360 2 3
8π
故答案为： −4❑√3．
3
【变式5-1】（2024·河南·模拟预测）如图所示，Rt△ABC中，BC=2,∠BAC=30°，将Rt△ABC绕点
C顺时针旋转90°，得到△DEC，点A的轨迹是A´D，点B的轨迹是B´E，B´E与DE相交于点F，则图中阴
影部分的面积为 ．8π
【答案】 −❑√3
3
【分析】本题主要考查了求扇形面积，图形的旋转问题，锐角三角函数等．连接CF，过点F作FH⊥CD
于点H，根据锐角三角函数可得AC=2❑√3，再由旋转的性质可得
∠ACD=90°,CD=CA=2❑√3,∠CDE=∠BAC=30°，∠DEC=∠ABC=60°，
∠BCE=90°,CE=CF=BC=2，从而得到△ECF是等边三角形，进而得到∠BCF=30°，继而得到
1
FH= CF=1，再由S =S +S −S −S ，即可求解．
2 阴影 扇形ACD △DCF 扇形BCF △ABC
【详解】解：如图，连接CF，过点F作FH⊥CD于点H，
在Rt△ABC中，BC=2,∠BAC=30°，
2
AC= =2❑√3
∴ ❑√3 ，∠ABC=60°，
3
由旋转的性质得：∠ACD=90°,CD=CA=2❑√3,∠CDE=∠BAC=30°，∠DEC=∠ABC=60°，
∠BCE=90°,CE=CF=BC=2，
∴△ECF是等边三角形，
∴∠ECF=60°，
∴∠BCF=30°，
1
∴FH= CF=1，
2
∴S =S +S −S −S
阴影 扇形ACD △DCF 扇形BCF △ABC
90π×(2❑√3) 2 1 30π×22 1
= + ×1×2❑√3− − ×2×2❑√3
360 2 360 2
8π
= −❑√3
38π
故答案为： −❑√3
3
【变式5-2】（2024·四川乐山·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=❑√3，BC=1，现将矩形ABCD绕点
C顺时针旋转90°后得到矩形A′B′CD′，则AD边扫过的面积（阴影部分）为（ ）
1 1 1 1
A． π B． π C． π D． π
2 3 4 5
【答案】C
【分析】本题主要考查了扇形的面积公式、旋转的性质、勾股定理等知识点，能够把不规则图形的面积转
换为规则图形的面积成为解题的关键．
连接AC、AC′，则阴影部分的面积为扇形ACA′的面积减去扇形CDD′的面积，据此计算即可．
【详解】解：连接AC、AC′，
根据勾股定理得：AC=❑√AB2+BC2=2，
90π×C A2 90π×CD2 3
∴S = =π，S ❑ = = π,
扇形CAA′ 360 扇形 CDD′ 360 4
1
∴S =S −S = π．
阴影 扇形CAA′ 扇形CDD′ 4
故选：C．
【变式5-3】（2024·山东潍坊·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，若进行下列
操作：①将Rt△ABC 绕点A顺时针旋转90°后得到Rt△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′；②以A为圆
心，线段AB为半径得到弧AB，则图中阴影部分的面积是（ ）A．4π B．4.8π C．8π D．9.6π
【答案】A
【分析】根据题意求出AB=❑√2AC=4❑√2，AB′=AB=4❑√2，∠BAB′=90°，
AC′=AC=BC=B′C=4，∠C′=90°，再根据阴影部分的面积 =S +S −S −S 求
△ABC 扇形ABB′ 扇形CAB △AB′C′
解即可．此题考查了扇形面积的计算、等腰直角三角形，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AB=❑√2AC=4❑√2，
根据题意得，AB′=AB=4❑√2，∠BAB′=90°，AC′=AC=BC=B′C=4，∠C′=90°，
∴阴影部分的面积 =S +S −S −S
△ABC 扇形ABB′ 扇形CAB △AB′C′
1 90π×(4❑√2) 2 90π×42 1
= ×4×4+ − − ×4×4
2 360 360 2
90π×(4❑√2) 2 90π×42
= −
360 360
=8π−4π
=4π，
故选：A．
【题型6 拼接法】
【例6】（2024九年级·全国·专题练习）求下图中阴影部分的面积．（结果保留π）π
(cm2)
【答案】
2
【分析】本题考查了扇形的面积公式．根据阴影部分的面积等于3个扇形面积之和计算即可．
π×12 π
【详解】解： ×180= (cm2)．
360 2
【变式6-1】（2024·吉林长春·一模）如图，已知菱形ABCD的边长为2，B、C两点在扇形AEF的弧EF
上，∠EAF=120°，则图中阴影部分图形的面积之和为 ．
2π 2
【答案】 / π
3 3
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质及菱形的性质．先求出∠BAC的度
数，进而可得出∠EAB+∠CAF的度数之和，再根据扇形面积的计算公式即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC．
又∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
又∵∠EAF=120°，
∴∠EAB+∠CAF=120°−60°=60°．
∵菱形ABCD的边长为2，
∴AB=2，60⋅π⋅22 2π
∴ S = = ．
阴影 360 3
2π
故答案为： ．
3
【变式6-2】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以OB为直径作
半圆交AB于点D，连接OD，则阴影部分的面积是（ ）
1 1
A． π−1 B． π−2 C．π−2 D．π−1
2 2
【答案】C
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先根据题意可知OA=OB=2，∠ABO=∠BAO=45°，从而
证明OD=BD，最后根据阴影部分的面积=扇形AOB的面积−△AOB的面积，进行解答即可．
【详解】解：由题意可知：OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵OB为直径，
∴∠ODB=90°，
∴∠DOB=∠DBO=45°，
∴OD=BD，
∴弓形OD的面积=弓形BD的面积，
∴阴影部分的面积
=扇形AOB的面积−△AOB的面积
90π×22 1
= − ×2×2
360 2
=π−2，
故选：C．
【变式6-3】（23-24九年级·重庆·期末）如图，AB为⊙O直径，点C是⊙O上的一点，连接AC、BC，以C为圆心，AC长为半径画圆弧，使点B在该圆弧上，再将⊙O分别沿AC、BC向内翻折．若AB=2
，则图中阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留π）
π
【答案】
2
【分析】本题考查了求不规则图形的面积，根据题意分析得出阴影部分图形的面积和为S −S 是
⊙O 扇形CAB
解题的关键．依题意，CA=CB，则△ABC是等腰直角三角形， 然后根据图中阴影部分图形的面积和为
S −S ，即可求解．
⊙O 扇形CAB
【详解】解：∵，以C为圆心，AC长为半径画圆弧，使点B在该圆弧上，
∴CA=CB，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AB=2
∴AC=❑√2，
90 π
∴图中阴影部分图形的面积和为S −S =π×12− π×(❑√2) 2= ，
⊙O 扇形CAB 360 2
π
故答案为： ．
2
【题型7 割补法】
【例7】（2024·重庆江津·模拟预测）如图，矩形ABCD中，以C为圆心，CD为半径作圆弧交AB于点
E，CB为半径作圆弧交CD于点F，连接AC，若AC=❑√5，BC=1，则图中阴影部分的面积为 （结
果保留π）❑√3 1
【答案】 + π
2 12
【分析】连接CE交B´F于点K，过点E作EH⊥CD，垂足为H，利用勾股定理求出
AB=❑√AC2−BC2=2，从而得到CD=AB=2，证明四边形EHCB是矩形，得到AD=BC=EH=CK=1
EH 1
，根据题意可得CE=CD=2，即sin∠ECH= = ，求出∠ECH=30°，进而得到
CE 2
∠BCK=60°,CH=❑√CE2−EH2=❑√3，得到BE=❑√3，利用阴影部分的面积等于
S −S +S −S 求解即可．
扇形CDE 扇形CFK △BCE 扇形CBK
【详解】解：连接CE交B´F于点K，过点E作EH⊥CD，垂足为H，
∵ ABCD AC=❑√5 BC=1
四边形 是矩形， ， ，
∴∠ABC=90°
∴ AB=❑√AC2−BC2=2，
∴ CD=AB=2，
∵EH⊥CD，
∴∠EHC=∠ADC=90°，
∴EH∥AD∥BC，
∴∠HEB=90°，
∴∠EHC=∠EBC=∠BCH=∠HEB=90°
∴四边形EHCB是矩形，
∴ AD=BC=EH=1，
根据题意可得CE=CD=2，EH=CK=1，
EH 1
∵ sin∠ECH= = ，
CE 2
∴ ∠ECH=30°，
∴ ∠BCK=60°，∵CH=❑√CE2−EH2=❑√3
∴ BE=❑√3，
∴利用阴影部分的面积等于S −S +S −S
扇形CDE 扇形CFK △BCE 扇形CBK
30π×22 30π×12 1 60π×12
= − + BE⋅BC−
360 360 2 360
1 1 1 1
= π− π+ ×❑√3×1− π
3 12 2 6
❑√3 1
= + π
2 12
❑√3 1
故答案为： + π．
2 12
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，不规则图形面积的求法，涉及矩形的性质，解直角三角形，勾股定
理，熟练掌握这些性质和熟记扇形面积求法是解题的关键．
【变式7-1】（2024·贵州贵阳·一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠A=30°
，BC=4，弦CD⊥AB于F，点E是AB延长线上一点，且AF=EF，连接DE．
(1)填空：∠BCD= °；
(2)判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(3)取CB的中点M，连接DM，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)30
(2)DE与⊙O相切，理由见解析
8π
(3) −2❑√3
3
【分析】（1）根据垂径定理得到B´C=B´D，根据圆周角定理得到结论；
（2）连接OD，根据垂径定理得到CF=DF，∠AFC=∠EFD=90°，根据全等三角形的性质得到
∠E=∠A=30°，根据切线的判定定理得到结论；（3）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据勾股定理得到AC=❑√AB2−BC2=4❑√3，连接OM，根据
1
三角形中位线定理得到OM∥AC，OM= AC=2❑√3，求得∠BOM=∠A=30°，得到∠DOM=90°
2
，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：∵弦CD⊥AB于F，AB是⊙O的直径，
∴ B´C=B´D，
∴∠BCD=∠A=30°，
故答案为：30；
（2）解：DE与⊙O相切，
理由如下：
连接OD，如图所示：
∵ CD⊥AB F AB ⊙O
弦 于 ， 是 的直径，
∴CF=DF，∠AFC=∠EFD=90°，
∵AF=EF，
∴△ACF≌△EDF(SAS)，
∴∠E=∠A=30°，
∵∠DOE=2∠A=60°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，
∴AC=❑√AB2−BC2=4❑√3，连接OM，如图所示：
∵ M CB
点 是 的中点，
1
∴BM=CM= BC=2，
2
∵AO=BO，
∴OM是△ABC的中位线，
1
∴OM∥AC，OM= AC=2❑√3，
2
∴∠BOM=∠A=30°，
∵∠BOD=60°，
∴∠DOM=90°，
∴图中阴影部分的面积=△BOM的面积+扇形BOD的面积−△DOM的面积
1 60π×42 1 8π
= ×2×2❑√3+ − ×2❑√3×4= −2❑√3．
2 360 2 3
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，垂径定理，扇形的面积的计算，三角形中位线定
理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
【变式7-2】（2024·重庆渝北·模拟预测）如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，线段AB长为半径画弧，
交边AD于点E，再以顶点C为圆心，线段CB长为半径画弧，交边AD于点F，若AB=4，AD=8，则
B´E，B´F和EF围成的阴影部分的面积是 ．
28
【答案】 π+8❑√3−32
3
【分析】本题考查扇形的面积公式，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分割法
求阴影部分面积．如图，首先证明△ABE是等腰直角三角形，根据
S =S −(S −S )−(S −S −S )求解即可；
阴影 矩形ABCD 矩形ABCD 扇形ABE 矩形ABCD 扇形CBF △CDF
【详解】解：如图．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8,CD=AB=AE=4,∠ABC=∠A=∠DCB=∠D=90°，
∴BC=CF=8，
∴DF=❑√FC2−CD2=❑√82−42=4❑√3，
4 ❑√3
∴tan∠DFC= = ，
4❑√3 3
∴∠BCF=∠DFC=30°，
∴S =S −(S −S )−(S −S −S )
阴影 矩形ABCD 矩形ABCD 扇形ABE 矩形ABCD 扇形CBF △CDF
=S +S +S −S
扇形ABE 扇形CBF △CDF 矩形ABCD
90π⋅42 30π⋅82 1
= + + ×4×4❑√3−4×8
360 360 2
28
= π+8❑√3−32，
3
28
故答案为： π+8❑√3−32．
3
【变式7-3】（2024九年级·全国·专题练习）如图，将半径为4，圆心角为90°的扇形ABC绕弧AC的中点
P逆时针旋转45°，点A，B,C的对应点分别为点D,E,F，点D落在AB上，点C落在EF上，则图中阴影
部分的面积为 ．
【答案】4π+8❑√2−16
【分析】本题考查旋转的性质，扇形的面积，等腰三角形的判定和性质等，设DE与BC的交点为Q，连接BP、DP、AP，过点P作PG⊥AB于点G，由S =S 可得S =S −S −S ，再
弓形AP 弓形DP 阴影 扇形ABC △ADP △DBQ
证△BPG，△DBQ是等腰直角三角形，求出相关线段长度，进而求出S ，S ，代入计算即可．
△ADP △DBQ
【详解】如图，设DE与BC的交点为Q，连接BP、DP、AP，过点P作PG⊥AB于点G，
∵ ABC P 45° DEF
扇形 绕点 逆时针旋转 得到扇形 ，
∴S =S ，扇形ABC中空白部分的面积=S +S ，
弓形AP 弓形DP △ADP △DBQ
∴S =S −S −S ．
阴影 扇形ABC △ADP △DBQ
∵AP=DP，
∴△ADP是等腰三角形，
∴AG=GD，
∵∠ABC=90°，P为弧AC的中点，
∴∠ABP=45°，
∴△BPG是等腰直角三角形，
∵BP=4，
∴GB=GP=2❑√2，
∴AG=4−2❑√2，
∴AD=8−4❑√2，
1 1
∴S = ⋅AD⋅PG= ×(8−4❑√2)×2❑√2=8❑√2−8，
△ADP 2 2
∵∠PDQ=∠PAD，
∴∠QDB=45°，
∴△DBQ为等腰直角三角形，
1 1
∴S = BD2= (4−AD) 2=24−16❑√2，
△DBQ 2 2
90π×42
∵S = =4π，
扇形ABC 360
∴S =4π−(8❑√2−8)−(4−16❑√2)=4π+8❑√2−16．
阴影故答案为：4π+8❑√2−16．
【题型8 重组法】
【例8】（23-24九年级·云南红河·期末）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为
1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（ ）
A．2π−4 B．2π−2 C．4π−4 D．4π−2
【答案】A
【分析】此题主要考查了扇形的面积公式，应用与设计作图．连接AB，则阴影部分面积
=2(S −S )，依此计算即可求解．
扇形AOB △ABO
【详解】解：连接AB，
(90π×22 1 )
由题意得，阴影部分面积=2(S −S )=2 − ×2×2 =2π−4．
扇形AOB △AOB 360 2
故选：A．
【变式8-1】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以OB为直径作
半圆交AB于点D，连接OD，则阴影部分的面积是（ ）1 1
A． π−1 B． π−2 C．π−2 D．π−1
2 2
【答案】C
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先根据题意可知OA=OB=2，∠ABO=∠BAO=45°，从而
证明OD=BD，最后根据阴影部分的面积=扇形AOB的面积−△AOB的面积，进行解答即可．
【详解】解：由题意可知：OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵OB为直径，
∴∠ODB=90°，
∴∠DOB=∠DBO=45°，
∴OD=BD，
∴弓形OD的面积=弓形BD的面积，
∴阴影部分的面积
=扇形AOB的面积−△AOB的面积
90π×22 1
= − ×2×2
360 2
=π−2，
故选：C．
【变式8-2】（2023·福建莆田·模拟预测）如图，以锐角△ABC的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴影
部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则△ABC的面积为 ．
【答案】180
【分析】本题考查了扇形的面积的计算，圆的面积的计算，正确的识别图形找出各图形之间的关系是解题
的关键． 设△ABC外的6个小弓形的面积和为S
弓形
，观察图形得到S =△ABC外的3个半圆的面积和−三角形外的阴影部分总面积=△ABC外的3个半圆
弓形
1
的面积和−450，得到△ABC的面积= (另外3个半圆的面积和S −三角形内部的深色阴影部分面积)，
2 弓形于是得到答案
【详解】解：设△ABC外的6个小弓形的面积和为S ，
弓形
S =△ABC外的3个半圆的面积和−三角形外的阴影部分总面积=△ABC外的3个半圆的面积和−450，
弓形
1
∴△ABC的面积= (另外3个半圆的面积和−S −三角形内部的深色阴影部分面积)
2 弓形
1
= [另外3个半圆的面积和−(△ABC外的3个半圆的面积和−450)−90]
2
1
= (450−90)
2
=180；
故答案为∶180．
1
【变式8-3】（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，⊙O的半径为2，C 是函数y= x2 的图象，C 是函数
1 2 2
1
y=− x2 的图象，C 是函数y=❑√3x的图象，则阴影部分的面积是（ ）
2 3
5 11 4
A．2π B． π C． π D． π
3 3 3
【答案】B
【分析】本题主要考查了求扇形面积，二次函数与几何综合，解题的关键是对阴影部分的面积进行转换．
根据对称性得到阴影部分面积就是一个圆心角度数为150°，半径为2的扇形面积是解题的关键．
1 1
【详解】解：抛物线y= x2 与抛物线y=− x2 的图象关于x轴对称，
2 2
直线y=❑√3x中当x=1时，y=❑√3，
1
直线与x轴的正半轴的夹角正切值为❑√3，故直线与x轴的正半轴的夹角为60°，且抛物线y= x2和抛物线
21
y=− x2的图象自身都关于y轴对称，
2
∴根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分面积就是一个扇形面积，并
且扇形的圆心角为90°+60°=150°，半径为2，
150×π×22 5
∴S = = π，
阴影 360 3
故选：B．
【题型9 等积转化法】
【例9】（22-23九年级·浙江宁波·开学考试）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，
∠CDB=30°， CD=2❑√3，则图中阴影部分的面积是（ ）
2 2
A． π B．2π C． ❑√3π D．π
3 3
【答案】A
【分析】本题主要考查了垂径定理、扇形面积公式等知识点，解题的关键是将求非规则图形的面积转化为
求规则图形的面积．根据AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，由垂径定理得CE=DE，再根据三角函数的定
义即可得出OC，可证明Rt△COE≌Rt△DBE(AAS)，即可得出S =S ．
阴影 扇形OBC
【详解】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=2❑√3
∴CE=DE=❑√3．
∵∠CDB=30°，
∴∠COE=60°，∠DBE=90°−30°=60°，
∴∠COE=∠DBE．又∵∠CEO=∠DEB=90°
∴Rt△COE≌Rt△DBE(AAS)，
OE
在Rt△OEC中，OC= =2，
sin60°
60π×OC2 1 2
∴S =S = = π×22= π．
阴影 扇形BOC 360 6 3
故选A．
【变式9-1】（2024九年级·全国·专题练习）如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若
AC=BC= ❑√2，则图中阴影部分的面积是
π 1
【答案】 / π
4 4
【分析】本题考查了扇形面积的计算．求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补
法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．先利用圆周角定理的推论得到
∠ACB=90°，则可判断△ACB为等腰直角三角形，接着判断△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于
是得到S =S ，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．
△AOC △BOC
【详解】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC=❑√2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，
∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，
❑√2
∴S =S ，OA= AC=1，
△AOC △BOC 2
90⋅π·12 π
∴S =S = = ．
阴影部分 扇形AOC 360 4
π
故答案为： ．
4
【变式9-2】（2024·河南漯河·二模）如图，AB是半圆O的直径，AB=4，将半圆O绕点A逆时针旋转
22.5°，点B的对应点B′，则图中阴影部分的面积是 ．1
【答案】 π+❑√2
2
【分析】本题考查了求不规则图形的面积及旋转的性质，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题．
记AB′与半圆O交于点C，连接OC，作CH⊥AB于点H，先证明△OCH是等腰直角三角形，再求出
❑√2 ❑√2
CH= OC= ×2=❑√2，根据三角形面积公式算出S ，再根据圆周角定理和扇形面积公式算出
2 2 △OAC
S ，即可解题．
扇形OBC
【详解】解：记AB′与半圆O交于点C，连接OC，作CH⊥AB于点H，
由旋转的性质可知，两个半圆面积相等，∠OAC=22.5°，
∴图中阴影部分的面积=S +S ，
△OAC 扇形OBC
∵ AB=4，
∴OA=OC=2，
∴ ∠OAC=∠OCA=22.5°，
∴∠COH=45°，
∴△OCH是等腰直角三角形，
❑√2 ❑√2
∴CH= OC= ×2=❑√2，
2 2
1 1 45π×22 1
∴ S = OA⋅CH= ×2×❑√2=❑√2，S = = π，
△OAC 2 2 扇形OBC 360 2
1
∴图中阴影部分的面积是 π+❑√2，
21
故答案为： π+❑√2．
2
【变式9-3】（23-24九年级·四川成都·开学考试）（组合图形求面积）如图ABCD是平行四边形，
AD=8cm，AB=10cm，∠DAB=30°，高CH=4cm，弧BE、DF分别以AB、CD为半径，弧DM、
BN分别以AD、CB为半径，阴影部分的面积为多少？（π取3）
【答案】2cm2
【分析】本题考查了扇形和平行四边形的面积公式，解答此题的关键是利用等面积转化，利用其它图形的
面积推出阴影部分的面积．
由题意可知：S =(S +S −S )−(S −S −S )，将题
阴影 扇形ABE 扇形CDF 平行四边形ABCD 平行四边形ABCD 扇形AMD 扇形CBN
目所给数据代入此等量关系式，即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：S =(S +S −S )−(S −S −S )，
阴影 扇形ABE 扇形CDF 平行四边形ABCD 平行四边形ABCD 扇形AMD 扇形CBN
=S +S +S +S −2S ，
扇形ABE 扇形AMD 扇形CDF 扇形CBN 平行四边形ABCD
=2(S +S −S )，
扇形ABE 扇形CBN 平行四边形ABCD
(30×π×102 30×π×82
)
=2× + −10×4 ，
360 360
(25π 16π
)
=2× + −40 ，
3 3
(41π
)
=2× −40 ，
3
=2×(41−40)，
．
