4.2利用导数求单调性（精练）（提升版）（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习（提升版）（新高考地区专用）

4.2 利用导数求单调性（精练）（提升版） 题组一 单调区间 1．（2022·天津·崇化中学）函数 的递增区间是（ ） A． B． C． ， D． 【答案】A 【解析】由题意，函数 ，可得 ， 令 ，即 ，解得 ，所以函数 的递增区间是 .故选：A. 2．（2022·四川省成都市新都一中）已知函数 的导函数为 ， ，则函数 的单调递增区间为（ ） A． B． ， C． D． 【答案】C 【解析】由 得 ，所以 ， ， ，因为 ，所以由 得 ，故选：C． 3．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在 上单调递减的是（ ） A． B． C． D．【答案】C 【解析】对于A，函数 的定义域为R，关于原点对称， 且 ，所以函数 为偶函数， 当 时 ，函数 单调递增，故A不符合题意； 对于B，函数 的定义域为R，关于原点对称， 且 ，所以函数 为奇函数， 由幂函数的性质知函数 在R上单调递增， 所以函数 在R上单调递减，故B不符合题意； 对于C，函数 的定义域为R，关于原点对称， 且 ，所以函数 为偶函数， 当 时 ，又 ， 所以函数 在 上单调递减，故C符合题意； 对于D，函数 的定义域为 ，关于原点对称， 且 ， 所以 是奇函数，又 ， 令 ，令 ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，故D不符合题意. 故选：C.4．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中）函数 ， 的增区间为___________. 【答案】 【解析】由已知得 ， ， 令 ，即 ，解得 ， 令 ，即 ，解得 ， 则 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， 故答案为: . 5．（2022·四川·射洪中学）函数 的单调增区间为______． 【答案】 【解析】函数 的定义域为 ，求导得： ， 由 ，即 ，解得 ，所以函数 的单调增区间为 .故答案为： 题组二 已知单调性求参数 1．（2022·浙江宁波）若函数 在区间 上单调递增，则实数a的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 在区间 上是增函数， 在 上恒成立，，因为 ，所以 令 ，则 ，即 ， ， ，令 ， ，则 ， 在 上单调递减， ，即 ， 故选：A． 2．（2022·广东东莞）若函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A．（-1，1） B． C．（-1，+∞） D．（-1，0） 【答案】B 【解析】 ，由题意得： ，即 在 上恒成立， 因为 ，所以 恒成立，故实数a的取值范围是 .故选：B 3．（2022·天津一中）已知函数 的单调递减区间是 ，则 （ ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】函数 ，则导数 令 ，即 ， ∵ ， 的单调递减区间是 ，∴0，4是方程 的两根， ∴ ， ，∴ 故选：B. 4．（2022·山东聊城）若函数 在区间 上单调递减，则实数m的取值范围是 （ ）A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，则 在 上恒成立，即 恒成 立，又 在 上单调递减，故 ， 所以 ，当 时，导数不恒为0，故选：D. 5（2022·福建宁德）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意 在 上恒成立， ， 时， 是增函数， （ 时取得），所以 ．故选：A． 6．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校）若函数 在区间 内存在单调递增区间， 则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 可得： . 因为函数 在区间 内存在单调递增区间， 所以 在 上有解，即 在 上有解.设 ，由 在 上恒成立，所以 在 单调递增，所以 .所以 .故选：D 7．（2022·河北唐山）已知函数 ， ，若 在 单调递增，a的取值范围 是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 在 单调递增，故 在区间 恒成立， 即 ，令 则 ，故 在 单调递增， 则 ，故 ， 的取值范围为 .故选：B. 8．（2022·河南·南阳中学）若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 ，得 ， 因为函数 在区间 上单调递增， 所以 在区间 上恒成立，即 恒成立， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以实数 的取值范围为 ，故选：A9．（2022·福建泉州·高二期中）已知函数 为减函数，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 ，得 （ ）， 因为函数 为减函数， 所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立， 所以 ，即 ， 当 时， 成立， 当 时， 的对称轴为 ， 所以要 在 上恒成立，只要满足 ，解得 ，综上， ，故选：C 10．（2022·山东潍坊·高二阶段练习）已知函数 在R上单调递增，则实数a的 取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 函数 在R上单调递增，所以 在R上恒成立，令 ，即 在R上恒成立，即 在R上恒成立. 当 时，不等式显然成立. 当 时， ，由 在 上单增，得 时， ，所以 . 当 时， ，由 在 上单增，得 时， ，所以 . 综上：a的取值范围是： .故选：A. 题组三 单调性的应用之解不等式 1．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 的定义域为 ， 因为 ，所以 在 上单调递减， 所以不等式 等价于 ，解得 或 ， 所以不等式 的解集为 .故选：D 2．（2022·河北唐山·三模）已知函数 则使不等式 成立的实数x的取值范 围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】因为 ， 时， ，因此 时也有 ，即函数 是奇函数， 时， ， ，所以 是减函数，所以奇函数 在R上是减函数， 又 ，所以 ，不等式 为 ，所以 ， ， 选：C． 3．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数 ，不等式 的解集为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减， 则 等价于 ，解得 ，即原不等式的解集为 .故选：B. 4．（2022·甘肃·兰州一中）已知 ， ，若 成立，则实数 的取值 范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数 的定义域为 ，关于原点对称， ， 函数 为偶函数， 当 时， ， ，则函数 在 上为增函数， 由 得 ， 由偶函数的性质得 ， 由于函数 在 上为增函数，则 ，即 ， 整理得 ，解得 ，因此，实数 的取值范围是 . 故选：B. 5．（2022·河南）已知 ， ，且 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 ， ， ，当 时， 恒成立， 所以 在 上是增函数，原不等式变形为 ，即 ，所以 ． 故选：B． 6．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知函数 ，若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围______． 【答案】 【解析】 ， 因为 在 上为增函数，所以 在 上为增函数， 因为 ， 所以 可化为 ，因为 在 上为增函数，所以 对 恒成立，所以 对 恒成立， 因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号， 所以 ，即实数 的取值范围 ，故答案为： 题组四 单调性应用之比较大小 1．（贵州省毕节市2022届）已知 ， ， （ 为自然对数的底数），则 ， ， 的大小 关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令 ， ，所以 ， 当 时， ，函数 单调递减 当 时， ，函数 单调递增； 所以 ， ， ， 所以 ，故选：A. 2．（广西贵港市高级中学2022届）已知 ，则下列结论正确的是 （ ） A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞b＞a 【答案】D 【解析】 ， ，由于 ，所以 ， 设 ，则 ，当 时， ，当 时， ，所以f（x）在 单调递增，在 上单调递减，所以 ， 即 ，即 ，所以 ， 得： ，即 ， 又 ，所以 ，得： ，即 ，综上： ，故选：D 3．（河北省邯郸市2022届）已知函数 ，且 ， ， ，则 （ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 ， 当 时， 单调递减， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ，故 ，故选：B 4．（江西师范大学附属中学2022届）设 ．则a，b，c大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 ，故 ； ，故 ； 假设 ，有 ， 令 ，则 ，所以 在 上单调递增，而 ，则 ，所以 成立， ；故 ．故选：A． 5．（2022届高三下学期临考冲刺原创卷（三）数学试题）已知 ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令 ， ， 则 ，则 在 上单调递增，且 ， 因此 ，即 ， 则 ． 令 ， 当 时， ，则 在 上单调递减， 即 ，即 ， 取 ，得 ， 则 ，即 ．综上， ，故选：C． 6．（江苏省苏州市2022届）已知 ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 ，得 ， 令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，所以函数 在 上递增，在 上递减， 又因 ， 且 ，所以 ，即 ， 所以 .故选：D. 7．（新疆乌鲁木齐地区2022届）设 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设 ，则 ，令 ，则 ， 所以当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 又 ， ， ，又 ，所以 . 故选：A. 8．（新疆乌鲁木齐地区2022届）设 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令 ，则 ， 因为函数 在 上递增，所以函数 在 上递增， 所以 ，所以函数 在 上递增， 所以 ，即 ，即 ， 令 ，令 ，令 ，则 ， 所以函数 在 上递增，所以 ， 所以 ，故 ，即 ， 所以 ，综上所述， .故选：D. 9．（河南省郑州市2022届）已知 ， ， ，则它们的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 令 ，则 ， 当 ， ；当 ， ； 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，且 则 ，因此 ，所以 又因为 ，所以 ，得 故 ，有 .综上， .故选：B 10．（陕西省西安中学2022届）已知 ，且 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设函数 ， ，当 ，此时 单调递增，当，此时 单调递减，由题 ， ， ，得 ，因为 ，所以 ，则 ，且 ，所以 .故选：A. 11．（湖北省省级示范高中2022届）已知： ， ， ，则 、 、 大小关系为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令 ，则 ， 当 时， ，所以函数 在 上递增，所以 ，即 ， 又 ，所以 ，所以 ， 又 ，所以 ， ， 所以 ，所以 .故选：B. 12．（吉林省吉林市2022届）已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令 ， ， 当 时， ， ， ， 单调递增，，即 ， ，即 ， 令 ， ， 令 ， 令 ， ， 当 时， ， 单调递增， 在 上单调递减， ， ， 在 上单调递减， ，即 ， 综上： .故选：D. 题组五 含参单调性的讨论 1．（2022云南省师范大学附属中学）已知函数 ，讨论 的单调性； 【答案】 在 上单调递减，在 上单调递增 【解析】函数 的定义域为 ， ． 令 ，解得 ， 则有当 时， ；当 时， ； 所以 在 上单调递减，在 上单调递增．2．（2022天津市河东区）已知函数 （ 且 ）． (1) ，求函数 在 处的切线方程． (2)讨论函数 的单调性； 【答案】(1) ；(2)答案见解析； 【解析】(1)当 时， ，所以 . ，所以 . 所以函数 在 处的切线方程为 ，即 . (2) 的定义域为(0，+∞)， . 当a<0时， 恒成立，所以 在(0，+∞)上单调递减； 当a>0时， .在 上， ，所以 单调递减；在 上， ，所以 单调递增. 78．（2022天津市南开中学）已知函数 ，讨论 的单调性； 【答案】当 时， 在R上单调递减， 当 时，则 在 上单调递减，在 上单调递增. 【解析】 定义域为R， ， 当 时， 恒成立， 在R上单调递减， 当 时，当 时， ，当 时， ，则 在 上单调递减，在 上单调递增， 综上：当 时， 在R上单调递减， 当 时，则 在 上单调递减，在 上单调递增. 4．（2022四省八校）设函数 ，其中 ， 为常数，讨论 的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】 ． 当 时， ， 或 , ， , 当 时， ， 或 , ， , 当 时， ， 综上，当 时， 在 ， 上单调递增， 上单调递减； 当 时， 在 和 上单调递增， 上单调递减； 当 时， 在 上单调递增． 5．（天津市南开中学2022届）已知函数 ，记 的导函数为 ， 讨论 的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【解析】由已知可得 ，故可得 ． 当 时， ，故 在 单调递增； 当 时，由 ，解得 ，或 ，记 ， ，则可知当 变化时， 的变化情况如下表： 0 0 极大值 极小值 所以，函数 在区间 单调递增，在区间 单调递减，在区间 单调递增． 6．（安徽省皖江名校2022届）已知函数 ， ．讨论函数 的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】显然，函数 的定义域为 ，且 ， ①若 ，显然 单调递增． ②若 ，令 ，有 ， 易知 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减． ③若 ，则 ， 单调递增，④若 ，令 ，有 ， 易知 ， 当 ， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增． 综上所述， 若 ， 的增区间为 ，减区间为 ； 若 ， 的增区间为 ； 若 ， 的增区间为 ， ， 减区间为 ．