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热点 07 平均值法
平均值法顾名思义就是求某个物理量的平均值；对于某个物理量虽然是变
化的，但它（随另一个物理量）的变化是均匀的，则其平均值就等于这个物理
量的初始值与末了值的一半。
例题1. 光滑固定斜面上有一个质量分布均匀的正方形薄铁板，质量为M，正方形边长为
d，在外力作用下沿平行于底边方向运动，在斜面上宽度为d的灰色区域内涂有一层特殊材
料，薄铁板与该材料之间的动摩擦因数为 ，重力加速度为g，斜面倾角为 ，则该薄铁
板通过粗糙区域时克服摩擦力做的功为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】物块进入粗糙部分越多，摩擦力越大，所以摩擦力先逐渐增大后逐渐减小，且物
体对粗糙部分的正压力与位移成正比（如图所示），故平均摩擦力 µMgcosθ，所以W=
f
µMgcosθ×2d=µMgdcosθ
故选A。
例题2. 如图所示，将边长为a、质量为m、电阻为R的单匝正方形导线框竖直向上抛出，
穿过宽度也为a、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里。线框向上离开
磁场时的速度刚好是进入磁场时速度的三分之一，线框离开磁场后继续上升一段高度，然
后落下并匀速通过磁场。整个运动过程中线框不发生转动且不计空气阻力，重力加速度为
g。则下列说法中正确的是（ ）A．线框离开磁场后继续上升的高度为
B．线框向上穿过磁场的过程中产生的焦耳热
C．线框向上穿过磁场的过程中通过导线横截面的电荷量为
D．线框向上穿过磁场的时间
【答案】AD
【解析】A．整个运动过程中线框不发生转动且不计空气阻力，且线框离开磁场后继续上
升一段高度，然后落下并匀速通过磁场，则有 可得 则由
可得线框离开磁场后继续上升的高度为 故A正确；
B．线框向上离开磁场时的速度刚好是进入磁场时速度的三分之一，则有 由
能量守恒定律可得 可得 故B错误；
C．线框向上穿过磁场的过程中，穿过线圈的磁通量的变化量为零，根据 可知通过
导线横截面的电荷量为零，故C错误；
D．线框进入磁场的过程中通过导线横截面的电荷量为 线框离开磁场的过
程中通过导线横截面的电荷量为 由动量定理
可得线框向上穿过磁场的时间 故D正确。
故选AD。
一、平均速度求位移
二、平均速率求路程
三、平均作用力求变力的功
四、动量定理求平均作用力
五、平均功率求变力的功
六、平均电流求通过某截面的电荷量（建议用时：30分钟）
一、单选题
1．如图所示，在2022年世界杯某一场足球比赛中，运动员一脚将沿水平方向速度大小为
5m/s飞来的足球以大小为10m/s的速度反向踢回，已知足球质量为0.4 kg，假设足球与脚
接触的时间 。取 ，则脚踢球的过程中（ ）
A．脚对足球不做功
B．足球受到的冲量大小为
C．足球受到脚的水平方向平均作用力为60 N
D．足球受到的合力为60 N
【答案】C
【解析】A．水平方向初速度大小为5m/s飞来的足球以大小为10m/s的速度反向踢回，足
球质量为0.4 kg，可知足球的动能增加了，由动能定理可知，脚对足球做了功，A错误；
B．由动量定理，设v=10m/s的速度方向为正方向，可得
B错误；
C．由动量定理，设v=10m/s的速度方向为正方向，可得
解得
C正确；
D．足球受到重力为
G=mg=0.4 10N=4N
脚的水平方向平均作用力为60 N，则有足球受到的合力为
×
D错误。
故选C。2．某列车沿平直轨道从A运动到B，开始以速度v行驶了 的路程；余下的 的路程速度
为 ，则列车全程的平均速度应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设全程长x，则全程所用时间
则全程的平均速度
ABD错误，C正确。
故选C。
3．某同学用水桶从水井里提水，井内水面到井口的高度为20m。水桶离开水面时，桶和水
的总质量为10kg。由于水桶漏水，在被匀速提升至井口的过程中，桶和水的总质量随着上
升距离的变化而变化，其关系如图所示。水桶可以看成质点，不计空气阻力，重力加速度
g取10m/s2。由图像可知，在提水的整个过程中，拉力对水桶做的功为（ ）
A．2000J B．1800J C．200J D．180J
【答案】B
【解析】水桶匀速上升，拉力等于水桶重力。由于水和水桶的质量随位移的增大而均匀减
小，故拉力与位移满足线性关系，所以可用平均力法求解变力做功。
F=m g=100N
1 1
F=m g=80N
2 2
则拉力做功为
W = h=1800J
拉
故选B。
4．水刀切割具有精度高，无热变形、无毛刺，无需二次加工以及节约材料等特点，因而得
到广泛应用。某水刀切割机床如图所示，若横截面直径为d的圆柱形水流垂直射到要切割
的钢板上，碰到钢板后水的速度减为零。已知水的流量（单位时间流出水的体积）为Q，水的密度为ρ，则钢板受到水的平均冲力大小为（ ）
A．4Qρ B．Qρ C． D．
【答案】D
【解析】设 时间内有体积为 的水打在钢板上，则这些水的质量
以这部分水为研究对象，它受到钢板的作用力为 ，以水运动的方向为正方向，由动量定
理得
解得
水流速度
得
根据牛顿第三定律，钢板受到水的冲力
故选D。
二、多选题
5．如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小均为B的匀强磁场，
方向一个垂直斜面向上，另一个垂直斜面向下，宽度均为L。一个质量为m、电阻为R，边
长为L的正方形金属线框以速度v刚进入上边磁场时，恰好做匀速直线运动，当 到达
与 中点时，又恰匀速，已知重力加速度为g，则（ ）A．当ab边刚越过 时线框的加速度大小为2gsinθ，方向沿斜面向上
B．当ab边刚越过 时线框的加速度大小为3gsinθ，方向沿斜面向下
C．线框从开始进入磁场到ab边到达gg'与 中点时产生的热量为
D．从ab越过 边界到线框再做匀速直线运动所需的时间
【答案】CD
【解析】AB．线框刚开始进入磁场时，线框处于平衡状态，此时有
当ab边刚越过时 ，此时线框速度仍为v，此时有
联立可得
联立可得 ，方向沿斜面向上，故AB错误；
C．线框从开始进入磁场，安培力
ab边到达gg'与 中点时
由共点力平衡知识可知
解得
线框从开始进入磁场到ab边到达gg'与 中点，由动能定理可得产生的热量为
故C正确；
D．从ab越过 边界到线框再做匀速直线运动，由法拉第电磁感应定律可得
设该过程中平均电流为I，由闭合电路欧姆定律可得
取沿斜面向下方向为正，由动量定理可得
联立可得
故D正确。
故选CD。
6．一个质量为m的人乘坐电梯，由静止开始上升，整个过程中支持力的功率随时间变化
的P—t图象如图所示，取g=10m/s2，加速和减速过程均为匀变速运动，匀速运行时速度
v=2m/s，忽略一切阻力，则以下说法正确的是（ ）
A．人的质量m=60kg
B．图中t 的值为2s
1
C．图中P 的值为1330W
2
D．电梯加速阶段对人所做的功小于减速阶段对人所做功
【答案】CD
【解析】A．匀速运动时，支持力等于重力，则有：
因此质量故A错误；
B．t 时刻速度v=2m/s，故支持力为
1
加速度
故时间为
故B错误；
C．减速的加速度
支持力
支持力的功率为
故C正确；
D．加速阶段支持力做功
减速阶段支持力做功
故D正确。
故选CD。
7．比亚迪E-SEED概念车是基于人类未来发展而倾力打造的一款全新型纯电动汽车，其中
“E-SEED”五个英文字母分别代表：电动、运动、体验、环保和装置，蕴含着比亚迪绿色环
保的设计理念。为了获取该款车的有关数据，某次试车过程中，试车员驾驶汽车从静止开
滑平直公路启动，并控制汽车功率按图示规律变化。已知汽车的质量为m，额定功率为 ，
汽车在行驶过程中所受阻力恒为车重的K倍，在 时刻汽车刚好获得最大速度。则下列说
法正确的是（ ）A．在t~t 时间内汽车做匀速直线运动
1 2
B．在0~t 时间内汽车平均功率为
1
C．在0~t 时间内汽车发动机所做的功为
2
D．在t 时刻汽车的运动速度为
2
【答案】BD
【解析】A．由题意并结合图象可知，在 时间内汽车做加速度减小的变加速直线运动，
选项A错误；
B．在 时间内
，
所以汽车的平均功率为
，
选项B正确；
C．在 时间内，汽车发动机所做的功为
，
选项C错误；
D．在 时刻，汽车达到最大速度，则有汽车的牵引力
，
则
，
选项D正确；
故选BD。
8．如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨 、 相距为 ，导轨平面与水平面的
夹角 ，导轨电阻不计，整个装置处于磁感应强度大小为 、方向垂直导轨平面向上
的匀强磁场中。质量为 、长为 、电阻为 的金属棒垂直导轨放置，且始终与导轨接触良好。金属导轨的上端连接一个阻值也为 的定值电阻。现闭合开关 ，给金属棒施加一
个平行于导轨斜向上、大小为 的恒力，使金属棒由静止开始运动。若金属棒上滑
距离 时，金属棒开始匀速运动，则在金属棒由静止到刚开始匀速运动过程，下列说法中
正确的是（重力加速度为 ）（ ）
A．金属棒的末速度为
B．金属棒的最大加速度为1.4g
C．通过金属棒的电荷量为
D．定值电阻上产生的焦耳热为
【答案】ACD
【解析】A．金属棒开始匀速运动，对其受力分析，沿斜面方向有
其中
解得
故A正确；
B．金属棒刚开始运动时速度为0，安培力为0，加速度最大，根据牛顿第二定律有
解得
故B错误；
C．金属棒切割磁场产生的感应电动势平均值为
感应电流的平均值为解得
故C正确；
D．金属棒有静止到刚开始匀速运动的过程，由功能关系、能量守恒定律有
根据串联电路特征，定值电阻上产生的焦耳热
解得
故D正确。
故选ACD。
三、解答题
9．如图所示，在足够长的粗糙水平面上有一滑板，滑板上固定着一个用粗细均匀导线绕成
的正方形闭合线圈，匝数 ，边长 ，总电阻R=0.5Ω，滑板和线圈的总质量
，滑板与地面间的动摩擦因数 。线圈前方有一长2.5L，宽L的矩形区域，
其下边界与线圈中心等高，区域内有垂直线圈平面向里的水平匀强磁场，磁感应强度大小
为0.5T。现给线圈施加一水平拉力F，使线圈以速度 匀速通过矩形磁场。
时刻，线圈右侧恰好开始进入磁场。求：（提示：可以用 图像下的“面积”代表力F
所做的功）
(1)线圈刚进入磁场时线圈中的电流大小和方向；
(2)线圈全部进入磁场区域前的瞬间（如图中虚线所示）滑板对地面的压力大小和水平拉力
F的大小；
(3)线圈匀速通过整个磁场的过程中拉力F做的功。
【答案】(1) ，逆时针方向；(2) ， ；(3)2.75J【解析】(1)根据闭合电路欧姆定律得
由法拉第电磁感应定律得
解得
方向：逆时针方向
(2)线圈全部进入磁场前和滑板竖直方向上三力平衡得
，
解得
由牛顿第三定律得滑板对地面的压力大小
线圈和滑板水平方向上三力平衡得
， ，
解得
(3)①线圈进入磁场过程，设进入磁场的位移为 ，则
可见拉力与位移成一次函数，故进入磁场时，拉力F做功
②整个线圈都在磁场中运动过程，因为线圈中的磁通量不变，所以感应电流为零，故安培
力为零
位移为1.5L，故
线圈出磁场过程，上边框的安培力向上，设线框处磁场的位移为 则
由对称性得线圈匀速通过整个磁场的过程中拉力F做的功
10．如图所示，将两根电阻不计、间距为L的平行长直金属导轨固定在同一水平面上，并
在其右端接有阻值为R的电阻，将整个装置放在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小
为B。一质量分布均匀且为m的导体棒ab垂直于导轨放置，且与两导轨保持良好接触，设
导体棒接入电路的电阻为r，导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ。现用一水平向左的恒力
F作用在导体棒上（F垂直于导体棒），使导体棒从静止开始沿导轨运动，当导体棒速度
恰好达到最大时，导体棒的运动距离恰为d（运动过程中棒始终与导轨保持垂直，已知重
力加速度大小为g），在此过程中：
（1）请判断通过导体棒的电流方向；
（2）求导体棒的最大速度；
（3）求通过电阻R的电荷量。
【答案】（1）电流方向为b→a；（2） ；（3）
【解析】（1）由右手定则可知，此过程通过导体棒的电流方向为b→a。
（2）当导体棒速度达到最大时，满足
根据闭合电路欧姆定律，有
解得最大速度为
（3）此过程产生的平均电动势为
由闭合电路欧姆定律，有
根据得通过电阻R的电荷量为
