文档内容
第 07 讲 利用导数研究双变量问题(精讲
+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：分离双参，构造函数
高频考点二：糅合双参（比值糅合）
高频考点三：糅合双参（差值糅合）
高频考点四：变更主元法
高频考点五：指定主元法
高频考点六：利用根与系数的关系转单变量
高频考点七：利用对数平均不等式解决双变量问题
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 07 讲 利用导数研究双变量问题（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆1、导数中求解双变量问题的一般步骤：
（1）先根据已知条件确定出变量 满足的条件；
（2）将待求的问题转化为关于 的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方
法：①通过将所有涉及 的式子转化为关于 的式子，将问题转化为关于自变量 （ 亦可）的函数
问题；②通过 的乘积关系，用 表示 （用 表示 亦可），将双变量问题替换为 （或 ）的单变
量问题；
（3）构造关于 或 的新函数，同时根据已知条件确定出 或 的范围即为新函数定义域，借助新函数
的单调性和值域完成问题的分析求解.
2、破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等
式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·重庆市第七中学校高二阶段练习）已知函数 的定义域为 ，且对
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：设 ，因为对 ，当 时都有 恒成立，
等价于 ，即 ，
令 ，则 ，所以 在 上为减函数，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，则 ，所以函数 在 上单调递减，在 单调递增，
又 ， ，且 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
故选：A.
2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知函数 ，若 且满
足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意 时， 是减函数，且 ，
时， 是减函数，且 ，
由 且 得， ， ， ，
，所以 ，
，
设 ， ，
时， ， 是增函数，所以 ，即 ，
所以 ．
故选：C．
3．（2022·全国·高三专题练习）若存在两个正实数x，y，使得等式2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）＝0成立，
则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
由2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）＝0得2x+a（y﹣2ex）ln 0，
即2+a（ 2e）ln 0，
即设t ，则t＞0，
则条件等价为2+a（t﹣2e）lnt＝0，
即（t﹣2e）lnt 有解，
设g（t）＝（t﹣2e）lnt，
g′（t）＝lnt+1 为增函数，
∵g′（e）＝lne+1 1+1﹣2＝0，
∴当t＞e时，g′（t）＞0，
当0＜t＜e时，g′（t）＜0，
即当t＝e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）＝（e﹣2e）lne＝﹣e，
即g（t）≥g（e）＝﹣e，
若（t﹣2e）lnt 有解，
则 e，即 e，
则a＜0或a ，
故选：C．
4．（2022·全国·高二）若函数 存在两个极值点 ， ，（ ），则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
根据题意 ， 是 有两解，
所以 ，所以 ，
， ，
由 可得 ，
，由 可得， ，则 ，
故选：D.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：分离双参，构造函数
1．（2022·全国·高二）设函数 ， .若对任何 ， ，恒成立，求
的取值范围______.
【答案】14,+∞##k|k≥14
因为对任何 ， ，
所以对任何 ， ，
所以 在 上为减函数.
， ，
所以 恒成立，即 对 恒成立，
所以 ，
所以 .
即 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】
恒（能）成立问题求参数的取值范围：
①参变分离，转化为不含参数的最值问题；
②不能参变分离，直接对参数讨论，研究 的单调性及最值；
③特别地，个别情况下 恒成立，可转换为 （二者在同一处取得最值）.
2．（2021·重庆巴蜀中学高三开学考试） ，均有 成立，则 的取值范围为
___________.
【答案】不妨设 ，则 ，
由 可得 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 在 上单调递减，
所以 对于 恒成立，
所以 对于 恒成立，
可得 对于 恒成立，
所以 ，因为 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
故答案为：
3．（2021·湖南省邵东市第一中学高二期中）已知函数 ，若 为区间 上的
任意实数，且对任意 ，总有 成立，则实数 的最小值为
______________．
【答案】3
由题得 ，
∴ ，故 在 上单调递增，
不妨设 ，
则 且 ，原不等式即为 ．
令 ，依题意，应满足 在 上单调递减，即 在 上恒成立．
即 在 上恒成立，令 ，则
（i）若 ， ，此时 在 上单调递增，故此时
（ii）若 ， 时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减；
故此时 ∴ ，
故对于任意 ，满足题设条件的 最小值为3．
故答案为：3
4．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ， ．
(1)曲线 在点 处的切线与 轴平行，求实数 的值；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)证明：若 ，则对任意 ， ， ，有 ．
【答案】(1) (2)答案不唯一，具体见解析(3)证明见解析
(1)
函数 的导数为 ，
在点 处的切线斜率为 ，
解得 ；
(2)
的定义域为 ， ，
若 即 ，则 ，故 在 单调递增．
若 ，而 ，故 ，则当 时， ；
当 及 时，
故 在 单调递减，在 和 单调递增．
若 ，即 ，
同理可得 在 单调递减，在 和 单调递增．(3)
欲证 成立，
即证明 ，
设函数
则 ，
由于 ，故 ，
即 在 单调增加，
从而当 时有 ，
即 ，故 成立．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若函数 有两个极值点，求 的取值范围；
(2)证明：若 ，则对于任意的 ， ， ，有 ．
【答案】(1) ， (2)证明见解析
(1)
由题意知， ，
因为函数 有两个极值点，所以 有两个不等的正根，
即 有两个不等的正根，
所以 ，解得 ，所以 的取值范围是 ， ．
(2)
构造函数 ，
则 ．
由于 ， ，故 ，即 在 上单调递增，
从而当 时，有 ，
即 ，故 ；当 时，同理可证 ．
综上，对于任意的 ， ， ，有
6．（2021·山东·高三阶段练习）设函数 ， .
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求 的极小值；
（2）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）极小值为 ；（2） .
【详解】
（1）因为 ，则 .
曲线 在点 处的切线与直线 平行，此切线的斜率为 ，
即 ，解得 ，则 ，
，
由 ，得 ，由 ，得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， 取得极小值 ，故 的极小值为 ；
（2）对任意 ， 恒成立等价于：对任意 ，
恒成立，
设 ，
则对任意 ， ，即 ，
所以，函数 在 上单调递减，
在 上恒成立，
在 上恒成立， ，
故实数 的取值范围是 .高频考点二：糅合双参（比值糅合）
1．（2022·贵州·模拟预测（理））已知函数 有两个零点.
(1)求a的取值范围.
(2)记两个零点分别为x，x，证明： .
1 2
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
(1)
∵
∴ ，
当 时， ，函数 在 上递增，不合题意，
当 时，令 ，得 ，令 ，得 .
所以函数 在 上递减，在 上递增， .
令 ，即 ，得 ，
因为 ，所以函数 在 上有一个零点，
，设 ，
，易知函数 在 上递减，
，即 ，函数 在 上有一个零点.
综上，函数 有两个零点， .
(2)
由（1）知 ，设 ， ，
由 ，得 ，
， ，.
设 ， ，
设 ， ，当 时， ，
函数 在 上递增， ，即当 时， ，
函数 在 上递增，
则 ， ，即 ，
∴所以 ，
∴ .
【点睛】
利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确
定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通
过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想
研究；③构造辅助函数硏究.
2．（2022·陕西·二模（理））已知函数 ．
(1)当 ，求函数 在 的单调性；
(2) 有两个零点 ， ，且 ，求证： ．
【答案】(1)单调递增(2)证明见解析
(1)
由题意，函数 ，则 ，
又∵ ，∴ ， ，∴ ，∴ 在（0，1）上单调递增．
(2)
根据题意， ，
∵ ， 是函数 的两个零点，∴ ， ．两式相减，可得 ，即 ，
∴ ，则 ， ．
令 ， ，则 ．
记 ， ，则 ．
又∵ ，∴ 恒成立，∴ 在 上单调递增，
故 ，即 ，即 ．因为 ，可得 ，∴ ．
【点睛】
本题关键点在于对双变量的处理，通过对 ， 作差，化简得到 ，
分别得到 后，换元令 ，这样就转换为1个变量，再求导确定单调性即可求解．
3．（2022·宁夏·银川二中一模（理））已知函数 ， .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若 ，且 ，证明： .
【答案】(1)单调递增区间为 ，无单调递减区间(2)证明见解析
(1)
解：依题意 ， .
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，即 ，
故函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间.
(2)
证明：要证 ，即证 .
依题意， 、 是方程 的两个不等实数根，不妨令 ，因为 ，故 ，
两式相加可得 ，
两式相减可得 ，
消去 ，整理得 ，故 ，
令 ，故只需证明 ，即证明 ，
设 ，故 ，故 在 上单调递增，
从而 ，因此 .
故原不等式得证.
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
4．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三期末（理））已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 ，且 ，证明： .
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
(1)
函数 定义域为 ，
，
①当 时， 在 上恒成立，即函数 的单调递减区间为
②当 时， ，解得 ，当 时， ，函数 的单调递增区间为 ，
当 时， 函数 的单调递减区间为 ，
综上可知：
①当 时，函数 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
②当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2)
依题意， 是函数 的两个零点，
设 ，因为 ，
， ，
不等式 ，
，所证不等式即
设 ，令 ，
则 ， 在 上是增函数，且 ，
所以 在 上是增函数，且 ，
即 ，从而所证不等式成立.
【点睛】
本题关键是换元 ，结合已知条件可将双变量转换为单变量问题求解.
5．（2022·山西长治·高二阶段练习）已知函数 ．
(1)若 在 上单调递减，求实数a的取值范围．
(2)若 是方程 的两个不相等的实数根，证明： ．
【答案】(1) ；(2)详见解析
(1)
，
， 在 上单调递减，
在 上恒成立，即 ，即 在 ，
设 ， ， ，
当 时， ，函数单调递增，当 时， ，函数单调递减，
所以函数 的最大值是 ，所以 ；
(2)
若 是方程 的两个不相等的实数根，
即 又2个不同实数根 ，且 ， ，
得 ，即 ，
所以 ，
不妨设 ，则 ，
要证明 ，
只需证明 ，
即证明 ，即证明 ，
令 ， ，
令函数 ，
所以 ，
所以函数 在 上单调递减，
当 时， ，所以 ， ，所以 ，即 ，即得
【点睛】
本题考查利用导数的单调性求参数的取值范围，以及证明不等式，属于难题，导数中的双变量问题，往往
采用分析法，转化为函数与不等式的关系，通过构造函数，结合函数的导数，即可证明.
高频考点三：糅合双参（差值糅合）
1．（2022·全国·高三专题练习）若 ，令 ，则 的最小值属于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设 ，则 ， ， ，
令 ， ，易知 单增，
且 ， ，则存在 ，使 ，
即 ， ， 单减； ， ， 单增；
又 ，
则 ，
易知 在 单减，即
故选：C
2．（2021·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））已知函数 ， ．其
中 为自然对数的底数．
（1）若 ，讨论 的单调性；
（2）已知 ，函数 恰有两个不同的极值点 ， ，证明： ．
【答案】（1）当 时，函数 在 上单调递减；当 时，函数 在 上单调递减，在
单调递增；（2）证明见解析．
解：（1） ，，
（i）当 时， ，函数 在 上递减；
（ii）当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ，
函数 在 递减，在 递增；
综上，当 时，函数 在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递减，在 单调递增；
（2）证明： ，依题意，不妨设 ，则 ，
两式相减得， ，
因为 ，要证 ，即证 ，即证 ，
两边同除以 ，即证 .
令 ，即证 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上递减，
， 在 上递减，
，即 ，
故 ．
3．（2022·天津滨海新·高三阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，若函数 ，求 的单调区间；
(3)当 时，若函数 恰有两个不同的极值点 、 ，且 ，求证：
.【答案】(1) (2)答案见解析；(3)证明见解析.
(1)
解：当 时， ， ，则 ，
故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
(2)
解：当 时， ，该函数的定义域为 .
.
当 时，由 可得 或 .
（i）当 时， ，由 ，可得 ，
由 ，可得 或 ，
此时函数 的增区间为 、 ，减区间为 ；
（ii）当 时， ，对任意的 ， 且 不恒为零，
此时函数 在 上单调递增；
（iii）当 时， ，由 ，可得 ，
由 ，可得 或 ，
此时函数 的增区间为 、 ，减区间为 .
综上所述
当 时，函数 的增区间为 、 ，减区间为 ；
当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 的增区间为 、 ，减区间为 .
(3)
证明： ，则 ，
令 ，则 .
当 时，由 可得 .
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，所以， ，解得 .
下面证明不等式 ，其中 ，即证 ，
令 ，即证 对任意的 恒成立，
构造函数 ，其中 ，
则 对任意的 恒成立，故函数 在 上单调递增，
当 时， ，所以，当 时， ，
由已知可得 ，两式作差可得 ，
则 ，即 ，故原不等式得证.
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
高频考点四：变更主元法
在处理导数试题的过程中，我们经常会遇到涉及两个变量的不等式问题，比如一个变量为 ，另个一变量
（也可以是参数）为 .在这种情况下，我们潜意识里总会把函数看作是关于变量 的函数，希望通过利
用导数研究 的性质，从而得出结论.如果说 与 具有一定的关联，这种思维定势会为我们的解决问
题带来方便.但在绝大多数情况下， 与 是没有关联的，这个时候这种思维定势就会给我们的解题带来
障碍.此时，我们不妨转换一下视角，将字母 作为主要未知数，然后来解决问题.这种选择主要未知数
（简称主元）的方法，我们称之为变更主元法.
1．（2021·全国·高一专题练习）当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
【答案】 ．
解：由题意不等式 对 恒成立，
可设 ， ，
则 是关于 的一次函数，要使题意成立只需 ，即 ，解 ，即得 ，解 ，即 得 ，所以原不等式的解集
为 ，所以 的取值范围是 ．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数 满足 ，且 的图象经过点
.
（1）求 的解析式：
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数x的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
（1）设 ，
则 ，
因为 ， ，得 ， ，
又因为 的图象经过点 ，
，则 ，
故 ；
（2）设 ，
，
因为当 时，不等式 恒成立，
，
即 ，解得 .
故 的取值范围是
3．（2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习）已知函数
(1)求函数 的极值；
(2)若函数 的图象与直线 恰有三个交点，求实数 的取值范围；
(3)已知不等式 对任意 都成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 的极大值为 ，极小值为 ；(2)(3)
(1)
的定义域为R， ，因为 ，所以令 得： 或 ，
令 得： ，故 在 处取得极大值，在 处取得极小值，又 ，
，故 的极大值为 ，极小值为 ；
(2)
因为当 时， ，当 时， ，由（1）可知，要想函数 的图象与直
线 恰有三个交点，则要满足 ，解得： ，故实数 的取值范围是
(3)
即 ，整理得： ，因为 ，所以 对任意
恒成立，令
由于 ，所以 ，由基本不等式得： ，当
且仅当 ，即 时取等号，所以 ，故
，实数 的取值范围是 .
4、(武汉市2021届高中毕业生三月质量检测)已知函数 .
(1)当 时,求 的最小值;
(2)证明:当 时, 恒成立.
解析(1) 时, .
设 ,因为 ,
所以 在单调递增.又 ,
故当 时, 单调递减;当 时, 单调递增.
故 在 处取得最小值 .
(2)(定主元 )设 ,
设 ,
所以 在 单调递椷, .
设 ,所以 在 单调递减, .
故 时, .
即 在 单调递减.
故 .
由(1)知, .
故 时, ,即 恒成立.
在上述问题(2)中,如果以 为主元求解较为繁琐.此时重新确定 为主元,要证 ,只要证
,即证 .只需对 进行求导,结合问题(1)的结论就可以得到,这使得解题过
程大大简化.
高频考点五：指定主元法
1、已知 ，试比较 与 的大小，并证明.
证明：本题涉及两个变量 ，这里不妨把 当成常数，指定 为主元 ，构造函数：
， 则 ， 所 以
在 上单调递增
时，
高频考点六：利用根与系数的关系转单变量
1．（2022·安徽合肥·高三期末（文））已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点 ， ，且 ，证明： ．【答案】(1)当 时 在 上单调递增；当 时， 在 ，
上单调递增，在 上单调递减．
(2)证明见解析
(1)
定义域为 ，
， ．
∵ ， ，
∴当 时， ，
所以，当 时， 在 上单调递增；
当 时，令 ，即 ，
解得 ， ．
所以，当 时， 在 ， 上单调递增，
在 上单调递减．
(2)
由（1）知，若函数 有两个极值点，则 ， ， ，
．
设 ，则 ．
∵ ，∴ ．
设 ，易知 在 单调递减，且 ，
∴ 在 恒成立， 在区间 单调递增，
∴ ，
∴ ．【点睛】
对于多元问题，要结合题干条件化为单元问题，进行解决，本题中要利用韦达定理化为单元问题.
2．（2022·湖南常德·高三期末）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点 、 ，且 （ 为自然对数底数，且 ），求
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2) .
(1)
解：由题知，函数 的定义域为 ， ，
当 时，对任意的 ， 且 不恒为零，故 在 上单调递增；
当 时， ， 且 不恒为零，故 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ， ，则 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， .
此时，函数 的单调递增区间为 、 ，单调递减区间为
.
综上，当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 、 ，单调递减区间为
.
(2)
解：由（1）知，当 时， 有两极值点 、 ，且 ， ，
所以
，设 ， ，其中 ，
所以， ，
又因为 ，可知 ，所以 在 上单调递减．
∴ ，即 ，所以 的取值范围为 .
【点睛】
关键点点睛：本题第二小问考查 的取值范围，要注意 、 所满足的关系式（即韦达定理），
在化简时，要注意将参数与变量统一为同一变量，通过构造函数，利用求解函数值域的方法来求解.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)若 存在两个极值点 ， ，证明：
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2)证明见解析
(1)
，
设 ． ， ，
①当 时， ， ，则 ， 在 上单调递增，
②当 时， ， 的零点为 ， ，且 ，
令 ，得 ，或 ，令 ，得 ，
在 ， 上单调递减，在 ， ， 单调递增，
③当 时， ， 的零点为 ，
在 上单调递增，在 ， 上单调递减．
综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 ， 上单调
递减，在 ， ， 单调递增；当 时， 在 上单调递增，在， 上单调递减．
(2)
证明：由（1）知，当 时， 存在两个极值点，
不妨设 ，则 ，
要证： ，只要证 ，
只需要证 ，
即证 ，
设 ， ，
设函数 ，
，
，
，
，
在 上单调递减，则 ，
又 ，
则 ，
则 ，
从而 ．
【点睛】
(1)含参的二次三项式再进行分类讨论的时候，如果二次项含参数，在讨论有根无根的情况下要兼顾到开口
方向以及两根大小的比较；
(2)如果函数 在求导完以后，是一个分子上含有二次三项式，不含指数、对数的式子，那么函数 的
极值点关系，可以使用韦达定理来表示.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；(2)设 存在两个极值点 ，且 ，若 ，求证： .
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析
(1)
由题意可知 ， ，
当 时， ，则 在 是单调递增；
当 时，若 ，即 时，
若 ，即 时， 和 时，
时， ，
综上， 时， 在 是单调递增； 时， 在 和
递增，在 递减
(2)
由题意可设， 是 的两个根，
则
（用 分别表示出 和 ）
，整理，得
，此时
设 ，求导得
恒成立，
在 上单调递减，
高频考点七：利用对数平均不等式解决双变量问题
当 ， 时，有：（当且仅当 时等号成立）
1、已知函数 ，如果 ，且 ，证明
证：因为 ，即： ， ，
由对数平均不等式： （当且仅当 时等号成立）
2、已知函数 的图象与直线 交于不同的两点 ， ，求证 .
证明：对于函数 ，定义域为 ， ；
令 ，令 ，所以 在 单调递
减，在 单调递增，如图：
又因为函数 的图象与直线 交于不同的两点 ， ，所以 .
由 ，所以： ；
，由对数平均不等式（当 ， 时，有：
（当且仅当 时等号成立））得：
，且所以 .第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
【答案】（1） 的递增区间为 ，递减区间为 ；（2）证明见解析.
(1) 的定义域为 ．
由 得， ，
当 时， ；当 时 ；当 时， ．
故 在区间 内为增函数，在区间 内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由 得 ，即 ．
由 ，得 ．
由（1）不妨设 ，则 ，从而 ，得 ，
①令 ，
则 ，
当 时， ， 在区间 内为减函数， ，
从而 ，所以 ，
由（1）得 即 ．①
令 ，则 ，
当 时， ， 在区间 内为增函数， ，
从而 ，所以 ．
又由 ，可得 ，
所以 ．②由①②得 ．
[方法二]【最优解】： 变形为 ，所以 ．
令 ．则上式变为 ，
于是命题转换为证明： ．
令 ，则有 ，不妨设 ．
由（1）知 ，先证 ．
要证：
．
令 ，
则 ，
在区间 内单调递增，所以 ，即 ．
再证 ．
因为 ，所以 ．
令 ，
所以 ，故 在区间 内单调递增．
所以 ．故 ，即 ．
综合可知 ．
[方法三]：比值代换
证明 同证法2．以下证明 ．
不妨设 ，则 ，
由 得 ， ，
要证 ，只需证 ，两边取对数得 ，
即 ，
即证 ．记 ，则 .
记 ，则 ，
所以， 在区间 内单调递减． ，则 ，
所以 在区间 内单调递减．
由 得 ，所以 ，
即 ．
[方法四]：构造函数法
由已知得 ，令 ，
不妨设 ，所以 ．
由（Ⅰ）知， ，只需证 ．
证明 同证法2．
再证明 ．令 ．
令 ，则 ．
所以 ， 在区间 内单调递增．
因为 ，所以 ，即
又因为 ，所以 ，
即 ．
因为 ，所以 ，即 ．
综上，有 结论得证．
【整体点评】
(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导
数问题必备的知识和技能.
方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.
方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.
方法四：构造函数之后想办法出现关于 的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.
2．（2011·湖南·高考真题（文））设函数
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个极值点 和 ，记过点 的直线的斜率为 ，问：是否存在 ，
使得 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）答案见解析：（2）不存在
（1） 定义域为 ，
，
令 ，
①当 时， ， ，故 在 上单调递增，
②当 时， ， 的两根都小于零，在 上， ，
故 在 上单调递增，
③当 时， ， 的两根为 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ；
故 分别在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由（1）知， ，
因为 .
所以 ,
又由（1）知， ，于是 ，
若存在 ，使得 ，则 ，即 ，
亦即 （ ）
再由（1）知，函数 在 上单调递增，而 ，所以 ，这与（ ）式矛盾，
故不存在 ，使得 .
第五部分：第 07 讲 利用导数研究双变量问题（精
练）
一、单选题
1．（2021·湖北·宜昌市夷陵中学高二阶段练习）已知函数 ， ，若 ，
t>0，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意得， ， ，即 ， ，易得f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在
(-1，+∞)上单调递增，又当x∈(-∞，0)时，f(x)<0，x∈(0，+∞)时，f(x)>0，作函数 的图象如图所示.
由图可知，当t>0时， 有唯一解，故 ，且 ，
∴ .设 ， 则 ，令 解得t=e，易得 在(0，e)上单调递
增，在(e，+∞)上单调递减，∴ ，即 的最大值为 .
故选：C.
2．（2021·安徽·屯溪一中高二期末（文））已知函数 ，且 有两个极值点 ，其中
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解： 的定义域 ，
，令 ，则 必有两根 ，，所以 ，
，
，
，
当 时， ， 递减，
所以
的最小值为
故选：A.
3．（2019·辽宁葫芦岛·高三阶段练习（理））已知函数 ， ，若
， ， ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为 ，所以 在 上为增函数，所以 .
令 ， ， .当 时， ；当 时， .所
以 ，从而 .依题意可得 ，即 .
故选：D
4．（2021·山西运城·高三期中（理））已知在函数 ， ，若对
， 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意，
令 ，则 ， 恒成立，即 恒成立，即
令
令 ，即 在 单调递增；
令 ，即 在 单调递减.
令
令 ，即 在 单调递增；
令 ，即 在 单调递减；
故选：B
5．（2021·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习（理））若对于任意的 ，都有 ，
则 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
解： ， ，
，
，
，
函数 在定义域 上单调递增，
在 上恒成立，由 ，解得 ，故 的最大值是 .
故选：C．
6．（2021·福建·莆田一中高二期末）已知 为自然对数的底数，若对任意 ，总存在唯一的 ，
使得 成立，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
等式可化为， ，
构造函数 在 单调递减，最小值为 ，最大值为 ，
构造函数 ，求导 ，
当 时， ，此时 单调递减，当 时， ，此时 单调递增，则
， ， 的最小值为 ，
因为对任意 ，总存在唯一的 ，使得 成立，
则 ，即 .
故答案为B.
二、填空题
7．（2021·全国·高二单元测试）已知实数 满足 ， ，则 _______．
【答案】
根据题意，显然 是正数. 由 ，两边取对数得， ，即 ，又
，即 ，利用 ，于是 ，记 ，
，故 在 上递减，
由 ，于是 ， .
故答案为：
8．（2021·江苏·高二单元测试）已知函数 ，当 ， 恒成立，则 的最大值
为___________.
【答案】1
令 ，则 ， ，
当 ， 恒成立，则有 ， ，
由 得，
因为任意的 ，都有 ，所以 ， ，
结合 ，得 .
当 时， ，
令 ， ，则 ，
由 得， ；由 得， ；
所以 在 上递减，在 上递增， 的最小值为 ，
由 ，得 ，对 恒成立.
所以 ，
取 ，有 恒成立.
综上可知， 的最大值为1.
故答案为：1.
9．（2019·河南郑州·高二期中（理））已知函数 ， ，若 ，则 的
最小值为________.
【答案】
【解析】
设 ，则 ．
令 ，则 ，
令g(t)＝ ，则 ，
∴g(t)，即 在 上单调递增，
又 ，
∴当 时， 单调递减；当 时， 单调递增．
∴ ．故 的最小值为 ．
故答案为： .
10．（2018·湖南省宁远县第一中学高二阶段练习（理））设 ，函数 ，若
对任意的 ，都有 成立，则实数 的取值范围为_______.
【答案】
因为对任意的 ，都有 成立，即 ，
由函数 ，可得 ，
所以 在 上是增函数，所以 ，
又由函数 ，可得 ，
若 时，可得 ，所以 在 上是增函数， ，
因为 ，即 ，所以 ，解得 ；
若 时，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ，
因为 ，即 ，此时恒成立；
若 时，可得 ， 单调递减，所以 ，
因为 ，即 ，此时恒成立，
综上可得，实数 的取值范围为 .
故答案为： .
三、解答题
11．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））已知函数 .
(1)当 时，证明： ；
(2)若 的两个零点分别为 ，证明： .
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
(1)令 ，则 在 上恒成立，
所以 在 ， 上单调递增，所以 ，即 在 上恒成立.
当 时，要证 ，即证 ，
又 ，所以只需证 ，即 .
令 ，则 .
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，故 .
所以 .
(2)
由题意知 ，
两式相加得 ，
两式相减得 ，即 .
所以 ，
即 .
显然 ，记 ，
令 ，则 .
所以 在 上单调递增，则 ，
所以 ，则 ，即 .
所以 ，所以 ，
所以 ，即 .
令 ，则 时， ，
所以 在 上单调递增，又 ，故 .
所以 ，
所以 ，则 ，即
【点睛】
本题的关键点在于利用 ， 消去参数 ，
得到 ，再通过构造函数
及 ，求导确定函数单调性进而证明结论.
12．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（文））已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)设 ，若 ， ，且 ，使得 ，求 的最大值.
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)
解：因为 ，所以 ，
当 时，令 ，可得 或 ，令 ，可得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， ，所以 在R上单调递增；
当 时，令 ，可得 或 ，令 ，可得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
(2)解：因为 ，所以由（1）知 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ， ，且 ，使得 ，
所以当 满足 时， 取得最大值，
令 ，
所以当 时， ，
同理可得 ，
所以当 时， ，
所以此时 ，即 的最大值为 .
13．（2022·甘肃武威·模拟预测（理））已知 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，证明：函数 有且仅有两个零点 ，且 .
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析
(1)
的定义域为 .
当 时， 在 上单调递增；
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减.
(2)
当 时， ，由（1）知， 在 单调递增，在 单调递减，所以
，所以在区间 上 存在零点，
因为 在 单调递增，故 在区间 上存在唯一的零点；
因为 ，所以在区间 上存在零点，因为 在 单调递减，所以 在区间 存在唯一的零点.
所以，函数 有且仅有两个零点 .
不妨设 .
要证 ，只需证明 ，
因为 在 ，e）单调递增且 ，所以只需证明
，又 ，只需证明
设 ，
，
当 时， ，
所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
所以 成立.故有 .
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．
注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问
题处理．
14．（2022·山西长治·模拟预测（理））已知函数 .
(1)证明： ；
(2)若 有两个不相等的实数根 ，求证： .
【答案】(1)见解析(2)见解析
(1)
令 ，
当 时， ；当 时，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
故
(2)
，当 时， ；当 时，即函数 在 上单调递减，在 上单调递增
当 时， ，且
又 有两个不相等的实数根 ，不妨设 ，所以
，即
等价于 ，即
令 ，
，则函数 在 上单调递增
当 时， ，
则存在 ，使得 ，即 ；
即 在 上单调递减，在 上单调递增
当 时， ， ，即 成立，故 .
【点睛】
关键点睛：解决问题二时，对于双变量 ，关键是由单调性得出 等价于 ，从
而将双变量变为单变量问题.
15．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数 ，当 时， 恒成立．
(1)求实数a的最大值；
(2)若 ，证明：对任意 ， ．
【答案】(1)2；(2)证明见解析.
(1)
， ，记 ，
若 ，则 ，当且仅当x=1时取“=”，所以 ，函数 在
上单调递增，所以 ，满足题意；若 ，令 （另一个根 舍去），且
时， ，函数 在 上单调递减，此时
，不合题意.
综上： ，即a的最大值为2．
(2)
构造函数 ， ， .
当 时， ，则 ，令 ，
则 ，∴ 在 上单调递增．
当 时， ，∴ 在 上单调递减．
对 ，取 ， ，则 ，∴ ，
则 ，
∴ ．
【点睛】
本题非常典型，注意以下两个方面：①第（1）问中很容易发现 ，于是考虑到函数恒增满足题意，
函数先减再增不合题意；②第（2）问中取 作为增量极具技巧性，很适合此种题型的做法，可以
作为范本.
